精品解析：上海市复旦大学附属复兴中学2024-2025学年高三下学期2月练习数学试卷

复兴高中高三数学练习试卷 2025.02 一．填空题 1. 已知集合，则______________． 2. 准线为直线，且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为______. 3. 若，，则_________. 4. 在的展开式中，的系数为_________． 5. 若函数的一个零点是，则函数的最大值为______ 6. 已知x，y是两个具有线性相关的两个变量，其取值如下表： x 1 2 3 4 5 y 4 a 9 b 11 其回归方程为，则__________. 7. 已知偶函数，则a＝________． 8. 已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为__________. 9. 某次数学考试中，学生成绩 服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于120的概率是__________. 10. 能够使得命题“曲线上存在四个点满足四边形是正方形”为真命题的一个实数的值为______. 11. 已知，，若，且的最小值为，则实数 的值为__________. 12. 已知函数的定义域为，且和对任意的都成立，若当时，的值域为，则当时，函数的值域为________ 二．单选题 13. 在 中，“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 在正方体中，是底面的中心， 是棱上的点，且，记直线与直线所成角为，直线与平面 所成角为，二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 16. 已知数列不是常数列，前项和为，且．若对任意正整数，存在正整数 ，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题：①存在等差数列是“可控数列”；②存在等比数列是“可控数列”．则下列判断正确的是（ ） A. ①与②均为真命题 B. ①与②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 三．解答题 17. 已知等比数列的公比，且，． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，且是严格增数列，求实数的取值范围． 18. 如图，已知四棱锥中，底面 是边长为2的菱形，，底面 ，，点 是的中点. （1）求证：面； （2）求到平面的距离. 19. 某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 数学 成绩 优秀 50 30 80 不优秀 40 80 120 合计 90 110 200 （1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值. （3）现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数 的概率分布列及数学期望. 附： 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，过右焦点 作两条互相垂直的弦，，设，中点分别为 ，． （1）写出椭圆右焦点 的坐标及该椭圆的长轴长； （2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标； （3）若弦，的斜率均存在，求面积的最大值． 21. 设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； （2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数 的取值范围； （3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 复兴高中高三数学练习试卷 2025.02 一．填空题 1. 已知集合，则______________． 【答案】##{2,1} 【解析】 【分析】根据交集的定义计算． 【详解】因为， 所以． 故答案为：． 2. 准线为直线，且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的性质得出抛物线标准方程即可. 【详解】设抛物线为， 因为准线为，则，所以， 所以. 故答案为：. 3. 若，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系得，再结合诱导公式即可得到答案. 【详解】，，， . 故答案为：. 4. 在的展开式中，的系数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可. 【详解】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：60. 5. 若函数的一个零点是，则函数的最大值为______ 【答案】2 【解析】 【分析】根据求得，再用辅助角公式化简，从而得到的最大值. 【详解】由题意，所以， 所以， 又，所以，故的最大值为2. 故答案为：2. 6. 已知x，y是两个具有线性相关的两个变量，其取值如下表： x 1 2 3 4 5 y 4 a 9 b 11 其回归方程为，则__________. 【答案】11 【解析】 【分析】根据给定的数表，求出样本的中心点，再利用回归直线的性质计算即得. 【详解】依题意，，， 由在回归直线上，得，所以. 故答案为：11 7. 已知偶函数，则a＝________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用偶函数的定义直接求解即可. 【详解】为偶函数， ，当时，恒成立，当时，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x， 则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2. 故答案为：2 8. 已知关于 的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】由题意可得，求出的范围，再利用一元二次方程的求根公式求出，然后利用列方程可求出的值. 【详解】因为关于 的一元二次方程有两个虚根， 所以，即，得或， 所以中， 因为， 整理得，解得或（舍），故， 所以实数的值为3. 故答案为：3 9. 某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于120的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求出学生的成绩高于120的概率，再根据独立重复试验的概率公式可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以，因为，所以， 所以， 则所求概率为. 故答案为： 10. 能够使得命题“曲线上存在四个点满足四边形是正方形”为真命题的一个实数的值为______. 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意可设，，由对称性可得，，，可得，代入曲线方程，由双曲线的范围，解不等式即可得到所求值． 【详解】曲线上存在四个点P，Q，R，S满足四边形PQRS是正方形， 设，， 由对称性可得，， 则，即，即， 由曲线的方程可得，即有解， 有，得， 解得或， 任取a的一个值为3. 故答案为：3（答案不唯一）． 11. 已知，，若，且的最小值为，则实数的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，可得，从而构造， 利用导数求得即可得到结果. 【详解】因为，所以， 所以， 设，所以，令，则， 所以当时，时，即，， 所以时，取极小值，即由， 解得. 故答案为: 12. 已知函数的定义域为，且和对任意的都成立，若当时，的值域为，则当时，函数的值域为________ 【答案】 【解析】 【分析】由条件可知，可得，通过换元令，得到，得到时，，从而得到当时，的值域为，再根据递推关系推出当时的值域及时的值域，依此类推可知，当时，的值域为，从而求得当时，的值域，再根据，求得时的值域，取并集即可. 【详解】解：令，则有，即 当时，，又，∴ 即当时，的值域为 ∴当时，的值域为， ， ∴当时，的值域为，时，的值域为， 依此类推可知，当时，的值域为， ∴当时，的值域为 又，当时，， ∴ 综上，当 时，函数的值域为. 【点睛】本题考查利用换元法推导函数满足的恒等式、通过仿写得到函数的值域的方法，考查了运用递推与归纳的方法，属于较难题. 二．单选题 13. 在 中，“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化及“大角对大边”及“大边对大角”性质可得. 【详解】设 外接圆半径为，由正弦定理得：，即，. 充分性验证： 若，由大角对大边得，即，所以充分性成立. 必要性验证：若，则，即，由大边对大角得，所以必要性成立. 因此“”是“” 的充要条件. 14. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意知,若 a = 0 ,则倾斜角为, 若,则, ①当时，(当且仅当时，取“”)， ②当时，(当且仅当时，取“”)， ，故， 综上，， 故选：C. 15. 在正方体中，是底面的中心，是棱上的点，且，记直线与直线 所成角为，直线与平面 所成角为，二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，为 轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，推导出，由此得到． 【详解】解：以为原点，为 轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体中棱长为4， 则， ，， ＝＝， 平面 的法向量， ∴＝，∴＝， ，， 设平面的法向量， 则，取，得， ＝， ∵，∴. 故选：C. 【点睛】本题考查异面直线所成角、线面角、二面角的比较，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力． 16. 已知数列不是常数列，前项和为，且．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题：①存在等差数列是“可控数列”；②存在等比数列是“可控数列”．则下列判断正确的是（ ） A. ①与②均为真命题 B. ①与②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，结合，的变化情况，利用极限思想即可判断①；根据题意，结合“可控数列”的定义，举出实例说明②，即可得出答案. 【详解】①数列不是常数列，则，则看作是一次函数的变化， 由得，看作是二次函数的变化， 当足够大时，极限的思想说明不成立； ②取，则， 当 时，取，满足， 当 时，取，满足； 故选：. 【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 三．解答题 17. 已知等比数列的公比，且，． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，且是严格增数列，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列通项公式的基本量进行运算即可； （2）是严格增数列，利用恒成立即可求解. 【小问1详解】 因为数列是等比数列，且，所以或2， 若，，则与矛盾，舍去， 若，，则，，满足题意， 所以． 【小问2详解】 因为，是严格增数列， 所以对于任意正整数n都成立， ， 即对于任意正整数n都成立，所以， 因为在上严格递减， 所以当 时，最大，最大值为， 所以的取值范围是. 18. 如图，已知四棱锥中，底面 是边长为2的菱形，，底面 ，，点是的中点. （1）求证：面； （2）求到平面的距离. 【答案】（1）证明:由底面 是菱形可得， 又面，面， 故面； （2） 【解析】 【分析】（1）直接由证得面即可； （2）将到平面的距离转化为点 到平面的距离，求出和，由等体积法即可求得到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知面，故到平面的距离即点 到平面的距离，设为，连接，取中点 ，连接， 易得且，则底面 ，又，则，故， 又，故， 又，故，， 又因为，即，解得，即到平面的距离为. 19. 某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 数学 成绩 优秀 50 30 80 不优秀 40 80 120 合计 90 110 200 （1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件 发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”， 表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值. （3）现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望. 附： 【答案】（1）认为数学成绩与语文成绩有关； （2）； （3）的概率分布列为： 0 1 2 3 .【解析】 【分析】（1）零假设后，计算的值与比较即可； （2）根据条件概率公式计算即可； （3）分层抽样后运用超几何分布求解. 【小问1详解】 零假设：数学成绩与语文成绩无关. 据表中数据计算得： 根据小概率值的的独立性检验，我们推断不成立，而认为数学成绩与语文成绩有关； 【小问2详解】 ∵， ∴估计的值为； 【小问3详解】 按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量的所有可能取值为. ，， ，， ∴的概率分布列为： 0 1 2 3 ∴数学期望. 20. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆，过右焦点 作两条互相垂直的弦， ，设， 中点分别为，． （1）写出椭圆右焦点 的坐标及该椭圆的长轴长； （2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标； （3）若弦， 的斜率均存在，求面积的最大值． 【答案】（1）右焦点，长轴长为； （2）证明见解析，； （3）. 【解析】 【分析】（1）直接根据椭圆方程写出右焦点 的坐标及长轴长. （2）斜率均存在，设直线AB方程为与椭圆方程联立求出点坐标，同理得点坐标，再求出直线的方程即可；再讨论一条直线斜率不存在时的情况. （3）由（2）中中信息求出，借助函数的单调性求出最值. 【小问1详解】 由椭圆，得长半轴长，短半轴长，半焦距， 所以右焦点坐标，长轴长为. 【小问2详解】 当直线斜率均存在时，设，直线AB方程为， 由消去，得， 则有，点，而直线 ：，同理， 当时，直线MN斜率， 直线：，整理得，直线恒过定点， 当，即时，直线：过点， 当两条直线其中一条斜率不存在，一条直线斜率为0时， 不妨设斜率不存在， 斜率为0，，直线：过点， 所以动直线过定点. 【小问3详解】 由（2）知直线过定点， ， 令，当且仅当取等号，， 函数在上单调递增，， 所以，即时，取得最大值. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 21. 设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； （2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； （3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 【答案】（1） 区间是函数的“美好区间”，区间不是函数的“美好区间”，理由如下： 由， 当时，，所以区间是函数的“美好区间” 当时，，不是的子集且两集合交集非空， 所以区间不是函数的“美好区间” （2） （3） 对于任意区间，记， 因为对于任意，都有， 所以在区间上单调递减，故， 因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①， 所以若为的“美好区间”必满足性质②，即， 即只需要或， 由显然不恒成立，所以存在常数使得， 如果，取，则区间满足性质②； 如果，取，则区间满足性质②； 综上，函数一定存在“美好区间”； 记，则的图象连续不断，下证明有零点， 由于在上单调递减，则在上是减函数，记 若，则是的零点； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 综上，有零点，即， 因为所有“美好区间”都满足性质②，故，否则与性质②矛盾； 即存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”，证毕. 【解析】 【分析】（1）分别求出函数在区间和区间上的值域，结合“美好区间”的定义判断即可； （2）记，，根据“美好区间”的定义可得：或，利用导数研究在上的单调性，分，，以及四种情况讨论在区间上的值域，利用集合间的关系，即可得到实数的取值范围； （3）对于任意区间，记，根据单调性得到，若为的“美好区间”必满足性质②，转化为或，得出函数一定存在“美好区间”，记，结合函数的单调性和零点存在定理，得到存在，使得，即可证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记， 若区间是函数的一个“美好区间”，则或 由，可得， 所以当或时，，则的单调递增区间为：，； 当时，，则的单调递增区间为：， 且，，，得到在的大致图像如下： (i)当时，在区间上单调递减，且， 所以，则，即对于任意，都有，满足性质②, 故当时，区间是函数的一个“美好区间”； (ii)当，在区间上单调递减，在上单调递增，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； (iii)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； (iv)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 因为，则要使区间是函数的一个“美好区间”，则，即， 构造函数， 则， 由于，所以恒成立，则在区间上单调递增， 所以，则，不满足题意， 故当时，区间不是函数的一个“美好区间”， 综上，实数的取值范围是 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：本题是新定义题，解题关键是理解“美好区间”的含义，对于区间是函数的一个“美好区间”，实质就是在区间上的值域满足或，这样就把新定义转化为一般函数及导数的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $