专题02 立方根重难点题型专训（9大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题02 立方根重难点题型专训（9大题型+15道提优训练） 题型一 立方根的概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 计算器——平方根和立方根 题型五 与立方根有关的规律探索 题型六 立方根新定义运算 题型七 立方根与数轴综合问题 题型八 立方根的实际应用 题型九 算术平方根和立方根的综合应用 知识点01 立方根 1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 总结： 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【经典例题一 立方根的概念理解】 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习），则的值为（   ） A．0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6 1．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）下列说法中正确的是（    ） 的立方根是；的立方根是；无立方根；互为相反数的数的立方根也互为相反数． A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）在一次出国访问途中，我国著名数学家华罗庚看到邻座乘客在阅读一道智力题：一个数是，希望求解它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分震惊，询问其奥妙．华罗庚是这样得出答案的： （1）由，，确定立方根是位数． （2）由的个位数是，确定其立方根的个位数是． （3）划去后面三位数，得到数，而，，可以确定十位数是．因此可以得到立方根为． 请你仿照以上的方法，计算 ． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你是怎样确定是几位数的？ (2)由59319的个位上的数是9，你是怎样确定的个位上的数是几的？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你又是怎样确定的十位上的数是几的？ (4)已知6859，19683，110592都是整数的立方，按照上述方法，请你确定它们的立方根（直接写出结果）． 【经典例题二 求一个数的立方根】 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知为实数，规定运算：，，，，，，按上述方法，当时，的值等于（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）一次数学游戏活动时，有个同学藏在大木牌后面，女同学的木牌前写的是正数，男同学的木牌前写的是负数，个木牌如下所示，则男生有（　　） A．人 B．人 C．人 D．人 2．（2025七年级·全国·专题练习）在①，②3.14，③，④，⑤0，⑥0.454455444555…（4和5的个数依次增加1）⑦，⑧中，有理数有 ，无理数有 ．（填序号） 3．（2025七年级下·全国·专题练习）根据如表，回答下列问题： 0.000216 0.216 216 216000 0.06 0.6 6 60 (1)想一想表中数的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)根据你发现的规律解答： ①已知，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______． ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到平方米） 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例3】（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）若，则b的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 1．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）已知的立方根是，则的算术平方根是（    ）. A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）根据下面的运算程序 若输入一个正数时，输出的值是12，则输入的的值是 ． 3．（24-25七年级下·湖南永州·期末）（1）已知一个正数的平方根是和．求这个正数； （2）已知实数的平方根为，实数的立方根为1，求的平方根． 【经典例题四 计算器——平方根和立方根】 【例4】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 1．（2024·湖南常德·二模）如图，某计算器中、、三个按健，以下是这三个按键的功能． （1）：将荧幕显示的数变成它的平方； （2）：将荧幕显示的数变成它的倒数； （3）：将荧幕显示的数变成它的算术平方根． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若一开始输入的数据为5，那么第2020步之后，显示的结果是（    ） A．5 B． C． D．25 2．（2024·湖南怀化·一模）运用科学计算器进行计算，按键顺序如下：    则计算器显示的结果是 ． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知一直角三角形的两直角边长分别为1，2，斜边长为． (1)根据一直角三角形，写出关于的方程， 并说明是有理数吗？为什么？ (2)估计的值(结果精确到十分位)，并用计算器验证你的估计． (3)如果结果精确到百分位呢？ 【经典例题五 与立方根有关的规律探索】 【例5】（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）小裴同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律： 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（   ） A．0.235 B．0.0235 C．2.35 D．0.00235 1．（24-25七年级下·全国·周测）（1）已知，则 ， ； （2）已知，则 ， ． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）（1）填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2）根据上表，你发现了什么规律？用语言叙述这个规律； （3）若，求的值[利用（2）的规律计算，计算结果用表示]． 【经典例题六 立方根新定义运算】 【例6】（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）定义一种新的运算：．计算：的值是（    ） A．2 B．5 C．10 D． 1．（23-24七年级下·湖南益阳·阶段练习）定义新运算的法则为，则 ． 2．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）【新考向】阅读下列材料：要求59319的立方根，我们可以这样想：①，即59319的立方根是一个两位数；②因为59319的个位数字是9，而，所以能确定的个位数字是9；③如果划除59319后面的三位数，得到59，而，可得，所以的十位数字是3，所以． 请根据上面的材料回答下列问题： ． 3．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_________． （2）探究性质：①1的四次方根是_________；②16的四次方根是_________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_________； 【拓展应用】（1）__________（2）比较大小：_________． 【经典例题七 立方根与数轴综合问题】 【例7】（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）如图，数轴上，，三点所表示的数分别是，，，已知，，且是关于的一元一次方程的解的立方根，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 1．（2024·湖南娄底·二模）在数轴上，与最接近的整数是 ． 2．（24-25七年级下·湖南张家界·阶段练习）实数在数轴上对应点的位置如图，化简： 3．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）（1）通过计算下列各式的值探究问题： （1）①______；______；______；______．综上，对于任意有理数，______． ②______；______；______；______．综上，对于任意有理数，______． （2）应用（1）所得结论解决问题：有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 【经典例题八 立方根的实际应用】 【例8】（24-25七年级下·湖南怀化·期中）小华制作了一个棱长为的正方体，小夏也准备制作一个正方体，其体积是小华制作的正方体体积的8倍，则小夏制作的正方体的棱长为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·湖南娄底·阶段练习）2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）把两个半径分别为和的铅球熔化后做成一个更大的铅球，则这个大铅球的半径是 cm（球的体积公式，其中是球的半径）． 3．（24-25七年级下·山东青岛·期中）一个长与宽均为，且高是的长方体容器中装满了水，现将其中的水全部倒入到另一个正方体容器中，恰好装满，则这个正方体容器的棱长是多少？ 【经典例题九 算术平方根和立方根的综合应用】 【例9】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 2．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）的绝对值是 ；的立方根是 ；的算术平方根是 ； 3．（23-24七年级下·湖南益阳·阶段练习）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）在实数（每两个1之间的3依次多1）中，其中无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25七年级下·湖南常德·期中）下面是嘉淇同学做的测试题，他最后的得分是（   ） 姓名：______嘉淇______得分：______ 填空题（评分标准：每道题分） （1）的立方根是； （2）算术平方根等于它本身的数有和； （3）的相反数是； （4）． A．分 B．分 C．分 D．分 4．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）计算器求值时，文文将按键为的显示结果记为a，在计算器显示DEG状态下，将按键  的显示结果记为b，则a与b的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能比较 5．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 6．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）如果  ，那么 ． 7．（23-24七年级下·全国·期末）若，则 ， ． 8．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…，则按此规律可推得这一列数中的第个数是 ． 49．（23-24七年级下·湖南泰州·期中）若用该正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，则该正方体所用纸片的面积为 ． 10．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求出它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了计算过程： 第一步：因为，所以； 第二步：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是，所以的个位数字是； 第三步：如果划去后面的三位得到数，而，所以，即的十位数字是；所以． 请根据上述材料解答下列问题： （1）用上述方法确定的立方根的个位数字是 ； （2） ． 11．（24-25七年级下·益阳·期末）计算： (1)； (2)． 12．（23-24七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．其中a是4的一个平方根，b是的立方根，c是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值：． 13．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？ 14．（24-25七年级下·益阳·期中）如何快速求解四位数的算术平方根呢？已知1764的算术平方根是一个整数，下面是嘉嘉同学求解的探究过程： ①由，，可以确定是一个_________位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是_________或_________； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则_________． (1)补全上述探究过程． (2)已知3249的算术平方根也是一个整数，仿照上述探究方法计算． (3)我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，参照求解算术平方根的过程，计算59319的立方根为_________． 15．（23-24七年级下·全国·期中）阅读与探究 本学期我们在《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根．这就是说，如果，那么x叫做的平方根． 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根这就是说，如果，那么叫做的立方根． 运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算． 性质 正数有两个平方根，他们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；的立方根是；负数的立方根是负数． 表示方法 正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号” 一个数的立方根可以用“”表示，读作“三次根号”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． (1)探究定义：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： ． (2)探究性质： ①的四次方根是 ；的四次方根是 ； （填“有”或“没有”）四次方根． ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 立方根重难点题型专训（9大题型+15道提优训练） 题型一 立方根的概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 计算器——平方根和立方根 题型五 与立方根有关的规律探索 题型六 立方根新定义运算 题型七 立方根与数轴综合问题 题型八 立方根的实际应用 题型九 算术平方根和立方根的综合应用 知识点01 立方根 1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 总结： 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【经典例题一 立方根的概念理解】 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习），则的值为（   ） A．0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义和性质，以及代数式求值，通过立方根的性质求出x的值，再代入代数式求值． 【详解】解：∵， ∴或1或， 解得或1或3， 当时，； 当时，； 当时，； ∴的值为0或2或6． 故选：D． 1．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）下列说法中正确的是（    ） 的立方根是；的立方根是；无立方根；互为相反数的数的立方根也互为相反数． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的概念，掌握立方根的概念是解答本题的关键． 根据立方根的概念逐个判断即可解答． 【详解】解：的立方根是，故正确； 的立方根是故错误； 有立方根，故错误； 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，故正确； 所以正确的说法有：， 故选：C． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）在一次出国访问途中，我国著名数学家华罗庚看到邻座乘客在阅读一道智力题：一个数是，希望求解它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分震惊，询问其奥妙．华罗庚是这样得出答案的： （1）由，，确定立方根是位数． （2）由的个位数是，确定其立方根的个位数是． （3）划去后面三位数，得到数，而，，可以确定十位数是．因此可以得到立方根为． 请你仿照以上的方法，计算 ． 【答案】 【分析】根据题意的方法，确定个位数与百位数，再进行估算即可求解． 【详解】解：（1）由，，确定算术平方根是位数． （2）由的个位数是，确定其算术平方根的个位数是． （3）划去后面四位数，得到数，而，可以确定个位数是． ∵，，， ∴十位数字为， 因此可以得到，经检验 故答案为：． 【点睛】本题考查了立方根，算术平方根的定义，根据题意找到规律是解题的关键． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你是怎样确定是几位数的？ (2)由59319的个位上的数是9，你是怎样确定的个位上的数是几的？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你又是怎样确定的十位上的数是几的？ (4)已知6859，19683，110592都是整数的立方，按照上述方法，请你确定它们的立方根（直接写出结果）． 【答案】(1)59319的立方根为两位数 (2)个位数字为9，见解析 (3)十位上的数字为3，见解析 (4)19，27，48 【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方，理解一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数是解题的关键． （1），，且，得出，即可得出结论； （2）根据1到9的立方个位数字出现的规律，即可得出结论 （3）根据，，且，即可得出结论； （4）先用（1）的方法确定是两位数，再用（2）的方法确定个位数字为9，再用（3）的方法确定6859十位数字为1，则；同理可得：；1． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴， ∴59319的立方根为两位数； （2）解：∵，，，，，，，，，根据个位数字出现的规律， 由59319的个位上的数是9，因此的个位数字为9； （3）解：划去59319后面的三位319得到数59， ∵，， ∴， ∴的十位上的数字为3； （4）解：∵，，且， ∴是两位数， ∵6859个位数字为9， ∴个位数字为9， ∵，，且， ∴6859十位数字为1， ∴； 同理可得：；1． 【经典例题二 求一个数的立方根】 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知为实数，规定运算：，，，，，，按上述方法，当时，的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律题，求一个数的立方根，当时，则，，，，，则有以三个数为一组，不断循环，从而有，然后代入求出立方根即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当时， ∴， ， ， ， ， ∴以三个数为一组循环， ∴， ∴， ∴， 故选：． 1．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）一次数学游戏活动时，有个同学藏在大木牌后面，女同学的木牌前写的是正数，男同学的木牌前写的是负数，个木牌如下所示，则男生有（　　） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，先根据有理数的乘方、相反数、立方根、绝对值、有理数的乘法法则分别计算，再根据正数和负数的定义判断即可得出答案，熟练掌握有理数的乘方、相反数、立方根、绝对值、有理数的乘法法则以及正负数的定义是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴结果是负数的有个，即男同学有人， 故选：． 2．（2025七年级·全国·专题练习）在①，②3.14，③，④，⑤0，⑥0.454455444555…（4和5的个数依次增加1）⑦，⑧中，有理数有 ，无理数有 ．（填序号） 【答案】 ①②④⑤⑦ ③⑥⑧ 【分析】本题考查了有理数的定义和无理数的定义：无限不循环小数，开方不尽的数等，熟记无理数定义是解题的关键． 根据有理数和无理数的定义，逐个分析判断即可． 【详解】解：， ①，②3.14，③，④，⑤0，⑥0.454455444555…（4和5的个数依次增加1），⑦，⑧中， ①②④⑤⑦是有理数， ③⑥⑧是无理数， 故答案为：①②④⑤⑦；③⑥⑧． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）根据如表，回答下列问题： 0.000216 0.216 216 216000 0.06 0.6 6 60 (1)想一想表中数的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)根据你发现的规律解答： ①已知，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______． ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到平方米） 【答案】(1)数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位 (2)①12和13之间；②12.26；③9.02平方米 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （2）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位； （2）解：①∵， ∴ ∴介于整数12和13之间； ②∵ ∴ 故答案为：12.26； ③设正方体的棱长为米，则， ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例3】（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）若，则b的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义判断答案． 【详解】 故选B． 【点睛】本题考查立方根的定义，熟知立方根的定义是解题的关键 1．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）已知的立方根是，则的算术平方根是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据立方根的定义可得，得到，进而得到，再根据算术平方根的定义即可求解，掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是， 故选：． 2．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）根据下面的运算程序 若输入一个正数时，输出的值是12，则输入的的值是 ． 【答案】3或 【分析】分两种情况，当时，则，当，则，解方程即可． 【详解】解：当时，则， 解得：， 当，则， 解得：， 综上所述，的值可能是3或， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了程序流程图与代数式求值，一元一次方程，立方根的定义，解题的关键是注意分类讨论，不要漏解． 3．（24-25七年级下·湖南永州·期末）（1）已知一个正数的平方根是和．求这个正数； （2）已知实数的平方根为，实数的立方根为1，求的平方根． 【答案】（1）49；（2） 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数： （1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程求出平方根，即可求出这个数； （2）根据平方根的定义得到，，据此求出a、b的值，进而求出的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵一个正数的平方根为和， ∴， 解得， ∴， ∴这个数为； （2）∵实数的平方根是，实数的立方根为1， ∴，， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【经典例题四 计算器——平方根和立方根】 【例4】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了数的规律，以及用计算器的计算开方，得出让第十位的数字出现，只有想办法减少计算器上数位的个数是解决问题的关键． 因为计算器只能显示9位（包括小数点），要想知道第十位的数字是什么，必须想办法让第十位的数字出现，即小数点前面应尽可能得去掉数据，使数位减少，从而让第十位的数据出现． 【详解】解：A、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； B、，一共才8位，这样第十位的数字就会出现，故此选项符合题意； C、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； D、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； 故选：B． 1．（2024·湖南常德·二模）如图，某计算器中、、三个按健，以下是这三个按键的功能． （1）：将荧幕显示的数变成它的平方； （2）：将荧幕显示的数变成它的倒数； （3）：将荧幕显示的数变成它的算术平方根． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若一开始输入的数据为5，那么第2020步之后，显示的结果是（    ） A．5 B． C． D．25 【答案】C 【分析】本题考查了计算器-数的开方和找数字的规律，弄清程序中的运算是解本题的关键．根据题中的按键顺序确定出显示的数的规律，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：第一步为， 第二步为， 第三步为， 第四步为， 第五步为， 第六步为，… 综上所述，是6个数字一个循环， ∵， ∴按了第2020下后荧幕显示的数是， 故选：C． 2．（2024·湖南怀化·一模）运用科学计算器进行计算，按键顺序如下：    则计算器显示的结果是 ． 【答案】19 【分析】根据计算器的按键代表的运算可得答案． 【详解】解：根据题意可知计算式为， 解得， 故答案为：19． 【点睛】本题考查了用计算器计算的知识点，掌握计算器的各个按键所表示的意义是解决本题的关键． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知一直角三角形的两直角边长分别为1，2，斜边长为． (1)根据一直角三角形，写出关于的方程， 并说明是有理数吗？为什么？ (2)估计的值(结果精确到十分位)，并用计算器验证你的估计． (3)如果结果精确到百分位呢？ 【答案】(1)，不是有理数，是无理数 (2) (3) 【分析】本题考查了平方根的应用、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出，再求出的值，判断即可得出答案； （2）估算出，结合，，，即可得出答案； （3）结合，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴，（不符合题意，舍去）， 故不是有理数，是无理数； （2）解：∵， ∴，即， ∵，，，， ∴； （3）解：∵，， ∴． 【经典例题五 与立方根有关的规律探索】 【例5】（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）小裴同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律： 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（   ） A．0.235 B．0.0235 C．2.35 D．0.00235 【答案】A 【分析】本题考查立方根的规律运算，先根据表格发现规律：一个数的小数点向右移动3位，则它的立方根的小数点向右移动1位，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 1．（24-25七年级下·全国·周测）（1）已知，则 ， ； （2）已知，则 ， ． 【答案】 0.2646 26.46 6.69 14.42 【分析】本题考查了平方根和立方根的性质，熟练掌握求一个数的平方根和立方根的方法是解决本题的关键．根据平方根和立方根的性质求解即可判断． 【详解】解：（1）∵， ∴， ， 故答案为：0.2646；26.46； （2）∵， ∴， ， 故答案为：6.69，14.42． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1)0.01，100 (2) (3)当或时，；当或或时，；当或时， 【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． （1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：（1）；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：0.01、100； （2）已知，若，用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3），，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或或时，； 当或时，． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）（1）填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2）根据上表，你发现了什么规律？用语言叙述这个规律； （3）若，求的值[利用（2）的规律计算，计算结果用表示]． 【答案】（1）0.01，0.1，1，10，100；（2）一个数的小数点每向右（或向左）移动三位，这个数的立方根的小数点就向右（或向左）移动一位；（3）． 【分析】此题考查立方根的知识，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键. （1）由立方根与立方互为逆运算，可从立方入手计算； （2）规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位，由此解决问题； （3）根据（2）的规律计算即可得到结果. 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴填表如下： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 0.01 0.1 1 10 100 故答案为：0.01   0.1   1   10   100 （2）由上表可得，被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动1位. （3）∵ ∴即 即， 【经典例题六 立方根新定义运算】 【例6】（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）定义一种新的运算：．计算：的值是（    ） A．2 B．5 C．10 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，利用题中的新定义计算即可求出． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 1．（23-24七年级下·湖南益阳·阶段练习）定义新运算的法则为，则 ． 【答案】 【分析】根据新定义运算法则，计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义运算、算术平方根、立方根，解本题的关键在理解新定义运算法则． 2．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）【新考向】阅读下列材料：要求59319的立方根，我们可以这样想：①，即59319的立方根是一个两位数；②因为59319的个位数字是9，而，所以能确定的个位数字是9；③如果划除59319后面的三位数，得到59，而，可得，所以的十位数字是3，所以． 请根据上面的材料回答下列问题： ． 【答案】56 【分析】本题考查了求一个数的立方根，模仿题干的解题过程，先找出，再确定的个位数是，接着得出，确定的十位数是5，据此即可作答． 【详解】解：依题意，∵， ∴的立方根是一个两位数； ∵的个位数是，且 ∴能确定的个位数字是6； 如果划除后面的三位数，得到175， ∵， ∴， ∴的十位数字是5， 即， 故答案为：56 3．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_________． （2）探究性质：①1的四次方根是_________；②16的四次方根是_________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_________； 【拓展应用】（1）__________（2）比较大小：_________． 【答案】类比探索：（1），，；一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 拓展应用：（1）；（2） 【分析】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． 【类比探索】（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； 【拓展应用】（1）根据定义求一个数的四次方根； （2）通过将数进行四次方以后进行比较大小即可． 【类比探索】（1），，；表格中数据依次为：，，； 类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①1的四次方根是：；②16的四次方根：；③0的四次方根是：0；④没有四次方根； 类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 故答案为为：①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 【拓展应用】（1）； 故答案为： （2）∵，∴． 故答案为： 【经典例题七 立方根与数轴综合问题】 【例7】（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）如图，数轴上，，三点所表示的数分别是，，，已知，，且是关于的一元一次方程的解的立方根，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】此题主要考查了数轴的特征和应用，以及一元一次方程的解的含义和应用，要熟练掌握．首先根据数轴上两点间的距离的求法，求出的值是多少，进而求出的值是多少；然后根据是关于的方程解的立方根，求出的值为多少即可． 【详解】解：， ， 解得， ， ， 是关于的方程的解的立方根， 是此方程的解， ， 解得． 故选：A 1．（2024·湖南娄底·二模）在数轴上，与最接近的整数是 ． 【答案】4 【分析】利用立方根、无理数的估算可得，由此即可得． 【详解】解：， ， 在数轴上与最接近的整数为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 2．（24-25七年级下·湖南张家界·阶段练习）实数在数轴上对应点的位置如图，化简： 【答案】 【分析】首先由数轴判断，的正负，然后根据去绝对值，去括号法则，算术平方根的定义，立方根的定义化简，最后进行加减运算即可． 【详解】解：根据数轴可知：，， ． 【点睛】本题考查了整式的加减，数轴的特点，绝对值，去括号法则，立方根，算术平方根，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 3．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）（1）通过计算下列各式的值探究问题： （1）①______；______；______；______．综上，对于任意有理数，______． ②______；______；______；______．综上，对于任意有理数，______． （2）应用（1）所得结论解决问题：有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 【答案】（1）①3，0，2，，；②3，0，，，；（2） 【分析】本题主要考查了实数的运算，掌握算术平方根、立方根的意义和求法是解决本题的关键． （1）①先计算被开方数，再算算术平方根，根据被开方数和结果得结论； ②先计算被开方数，再算立方根，根据被开方数和结果得结论； （2）根据数轴和（1）的结论，化简绝对值和各式． 【详解】解：（1）①；；；． 综上，对于任意有理数，． ②；；；． 综上，对于任意有理数，． 故答案为：①3，0，2，，；②3，0，，，． （2）由数轴知，，，． 【经典例题八 立方根的实际应用】 【例8】（24-25七年级下·湖南怀化·期中）小华制作了一个棱长为的正方体，小夏也准备制作一个正方体，其体积是小华制作的正方体体积的8倍，则小夏制作的正方体的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根的定义的应用，正方体的体积等知识点，根据正方体的体积公式计算出这个正方体的体积，再根据立方根的定义解答，熟练掌握立方根的定义并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】∵小华制作了一个棱长为的正方体，小夏制作的正方体体积是小华制作的正方体体积的8倍， ∴小夏制作的正方体体积是， ∴小夏制作的正方体的棱长为， 故选：C． 1．（24-25七年级下·湖南娄底·阶段练习）2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键．首先设小美制作的正方体礼盒的棱长为，根据题意列方程并求解，可得小美制作的正方体礼盒的棱长，进而计算小美制作的正方体礼盒的体积，根据题意可得小嘉制作的正方体礼盒的体积；设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为，由正方体体积公式可解得小嘉制作的正方体礼盒的棱长，然后计算小嘉制作的正方体礼盒的表面积即可． 【详解】解：设小美制作的正方体礼盒的棱长为， 根据题意，可得， ∴， ∴小美制作的正方体礼盒的棱长为， ∴小美制作的正方体礼盒的体积为， ∴小嘉制作的正方体礼盒的体积为， 设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为， ∴， ∴， ∴小嘉制作的正方体礼盒的棱长为， ∴小嘉制作的正方体礼盒的表面为． 故选：B． 2．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）把两个半径分别为和的铅球熔化后做成一个更大的铅球，则这个大铅球的半径是 cm（球的体积公式，其中是球的半径）． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，求出半径分别是，的铅球的体积之和，再根据立方根的定义计算出结果即可，熟记立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：这个大铅球的半径是， 由题意得：， ∴，则， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·山东青岛·期中）一个长与宽均为，且高是的长方体容器中装满了水，现将其中的水全部倒入到另一个正方体容器中，恰好装满，则这个正方体容器的棱长是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用以及应用，设正方体容器的棱长为，由题意可得长方体容器和正方体容器的体积相等，根据正方体的体积等于棱长的立方，长方体的体积等于长、宽、高相乘列等式，再开立方计算即可． 【详解】解：设正方体容器的棱长为，由题意得： ， ， ∴， 答：正方体容器的棱长为． 【经典例题九 算术平方根和立方根的综合应用】 【例9】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 1．（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 【答案】D 【分析】根据平方根，立方根和算术平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：、根据平方根的定义可知的平方根是，该选项不符合题意； B、根据立方根的定义可知的立方根是，该选项不符合题意； C、根据立方根的定义可知的立方根是，该选项不符合题意； D、根据算术平方根的定义可知的算术平方根是，该选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查平方根，立方根和算术平方根，解题的关键是熟练运用其定义，本题属于基础题型． 2．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）的绝对值是 ；的立方根是 ；的算术平方根是 ； 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的相关性质，灵活准确的利用绝对值，立方根、算术平方根是关键．根据算术平方根、立方根、绝对值的概念进行求解． 【详解】解：的绝对值是； 的立方根是； ， 的算术平方根是， 故答案为：，，． 3．（23-24七年级下·湖南益阳·阶段练习）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 【答案】(1)80； (2)被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位 (3) 【分析】（1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）仿照算术平方根的规律探索即可． （3）根据发现的规律计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故． ∵， ∴， 故 故答案为：80，． （2）发现规律如下：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． 故答案为：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． （3）根据平方根的变化规律得： ， ， ． 根据立方根的变化规律得： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了开平方，开立方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据相关运算法则计算判断，即可解题． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算错误，不符合题意； D、，选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）在实数（每两个1之间的3依次多1）中，其中无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题主要考查了立方根和无理数的定义，熟知无理数的常见形式是解题的关键．首先计算，然后根据无理数是无限不循环小数判断即可． 【详解】解：， 根据无理数的定义可知：，，（每两个1之间的3依次多1）是无理数， 无理数的个数是个． 故选：B． 3．（24-25七年级下·湖南常德·期中）下面是嘉淇同学做的测试题，他最后的得分是（   ） 姓名：______嘉淇______得分：______ 填空题（评分标准：每道题分） （1）的立方根是； （2）算术平方根等于它本身的数有和； （3）的相反数是； （4）． A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【分析】根据立方根、算术平方根、相反数和绝对值的定义，分别判断嘉琪同学做的四道练习题的正误，即可进行解答． 【详解】解：（1）的立方根是，故（1）不正确，不得分； （2）算术平方根等于它本身的数有和，故（2）正确，得分； （3）的相反数是，故（3）正确，得分； （4），故（4）正确，得分； 综上：一共得（分）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了立方根的定义，算术平方根的定义，相反数的定义和绝对值的定义，熟练掌握相关定义和求立方根，算术平方根，相反数和绝对值的方法是解题的关键． 4．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）计算器求值时，文文将按键为的显示结果记为a，在计算器显示DEG状态下，将按键  的显示结果记为b，则a与b的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能比较 【答案】B 【分析】根据计算器的使用方法，再结合按题目所给的按键顺序求出a和b，然后比较大小即可． 【详解】解：由计算器计算得： ， 又∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查计算器的使用，正确按题目所给按键顺序求出a和b是解题的关键． 5．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，求得每个小正方体的体积成为解题的关键． 先求出每个小正方体的体积，利用立方根定义求出棱长即可． 【详解】解：根据题意得每个小正方体的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：A． 6．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）如果  ，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，把原式变为，即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴为奇数， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·全国·期末）若，则 ， ． 【答案】 【分析】根据立方根的性质，进行运算，即可求解． 本题考查了立方根的性质，解题的关键是：熟练掌握立方根的性质． 【详解】解：∵， ∴， ， 故答案为：12；． 8．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…，则按此规律可推得这一列数中的第个数是 ． 【答案】 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第2023个数． 【详解】解：一列实数：，，，，，，，，，，… 这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， 这一列数中的第个数应是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解． 49．（23-24七年级下·湖南泰州·期中）若用该正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，则该正方体所用纸片的面积为 ． 【答案】 【分析】根据体积求得正方体的边长，然后求出所用面积即五个正方形的面积． 【详解】解：因为无盖正方体的体积是，所以边长为， 所用面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正方体的边长与面积的关系，求一个数的立方根、面积的求法，解题的关键是要了解它们之间的关系． 10．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求出它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了计算过程： 第一步：因为，所以； 第二步：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是，所以的个位数字是； 第三步：如果划去后面的三位得到数，而，所以，即的十位数字是；所以． 请根据上述材料解答下列问题： （1）用上述方法确定的立方根的个位数字是 ； （2） ． 【答案】 【分析】（1）根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数，即可获得答案； （2）借助华罗庚讲述的计算过程，先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，再确定十位数，即可获得答案． 【详解】（1）解：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是， 所以的立方根的个位数字是； 故答案为：． （2）第一步：因为，，， 所以． 第二步：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是，所以的个位数字是． 第三步：如果划去后面的三位得到数，而，， 所以，即的十位数字是． 所以． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·益阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0.7 (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根，再计算加减即可得解； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴． 12．（23-24七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．其中a是4的一个平方根，b是的立方根，c是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值，平方根，立方根，算术平方根的定义，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据平方根，立方根，相反数的意义结合数轴得位置即可解答； （2）根据绝对值的性质，立方根的性质，算术平方根的性质化简，再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由数轴上的位置可知：，，， 又∵a是4的一个平方根，b是的立方根，c是的相反数． ∴，，， 故答案是：，，； （2）由数轴上的位置可知：，， ∴，， ∴ 13．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？ 【答案】 【分析】本题考查实数的实际应用，先根据正方体的体积公式求出第一个正方体水箱的体积，进而得到第二个正方形水箱的体积，根据立方根的定义即可求出第二个水箱的棱长，进而根据正方形的表面积公式即可求解． 【详解】解：第一个正方体水箱的体积为， 所以第二个正方体水箱的体积为， 所以第二个正方体水箱的棱长为， 所以需要铁皮为． 答：第二个水箱需要铁皮． 14．（24-25七年级下·益阳·期中）如何快速求解四位数的算术平方根呢？已知1764的算术平方根是一个整数，下面是嘉嘉同学求解的探究过程： ①由，，可以确定是一个_________位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是_________或_________； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则_________． (1)补全上述探究过程． (2)已知3249的算术平方根也是一个整数，仿照上述探究方法计算． (3)我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，参照求解算术平方根的过程，计算59319的立方根为_________． 【答案】(1)两；2；8；42 (2) (3)39 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，理解题意，能够仿照题意的方法求算术平方根和立方根是解题的关键． （1）根据题意提供的思路和方法，进行推理验证得出答案即可； （2）根据（1）的方法、步骤，类推出相应的结果即可； （3）参照（1）的方法、步骤，计算立方根即可． 【详解】（1）解：①由，，可以确定是一个两位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是2或8； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则． 故答案为：两；2；8；42． （2）①由，，可以确定是一个两位数； ②由3249的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是3或7； ③如果划去3249后面的两位49得到数32，而，，可以确定的十位上的数是5，因为，而，所以选择较大的个位数字，则． 综上所述，． （3）①由，，可以确定是一个两位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是3，则． 故答案为：39． 15．（23-24七年级下·全国·期中）阅读与探究 本学期我们在《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根．这就是说，如果，那么x叫做的平方根． 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根这就是说，如果，那么叫做的立方根． 运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算． 性质 正数有两个平方根，他们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；的立方根是；负数的立方根是负数． 表示方法 正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号” 一个数的立方根可以用“”表示，读作“三次根号”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． (1)探究定义：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： ． (2)探究性质： ①的四次方根是 ；的四次方根是 ； （填“有”或“没有”）四次方根． ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ． 【答案】(1)一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根． (2)①，，没有；②正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根． 【分析】本题考查了立方根，平方根，四次方根的定义、性质和应用，运用类比思想说出四次方根的定义和性质，是解答本题的关键． （1）类比题目中平方根和立方根的定义，说出四次方根的定义，由此得到答案． （2）①根据四次方根的定义，求出答案．②根据①中的结果，得到四次方根的性质． 【详解】（1）解：根据题意得： 类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： 一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根． 故答案为：一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根． （2）①根据题意： 的四次方根是：，的四次方根是，没有四次方根． 故答案为：，，没有； ②四次方根的性质：正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根， 故答案为：正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根． 学科网（北京）股份有限公司 $$