专题04 实数70道计算题专项训练（7大题型）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题04 实数70道计算题专项训练（7大题型） 题型一 求一个数的平方根（算术平方根） 题型二 求一个数的立方根 题型三 利用平方根、立方根解方程 题型四 平方根、立方根的规律相关计算 题型五 实数的混合运算 题型六 新定义的实数计算 题型七 与实数运算相关的规律题 【经典计算题一 求一个数的平方根（算术平方根）】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）分别求下列各数的平方根： (1)225； (2)； (3)0.0036． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)81； (2)； (3)1.69； (4)； (5)； (6) 3．（2024七年级下·湖南·专题练习）计算： （1） ， ； （2） ， ； （3） ， ； （4） ， ． 比较上述各式，你猜想到什么结论？ 4．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是1，求的平方根． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是5，的算术平方根是4，求的值． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知且，求的平方根； （2）已知的平方根是的立方根是3，求的算术平方根． 7．（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）一个正数x的两个不同的平方根分别是与． (1)求x和m的值； (2)求的平方根． 8．（23-24七年级下·湖南永州·期中）已知的平方根为，的算术平方根为7． (1)求a、b的值； (2)求的算术平方根． 9．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）已知正数a的两个不同的平方根分别是和, 的算术平方根是3. (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 10．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）先观察下列各式：；；；． (1)计算：　 　；　 　； (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，计算：； (3)应用上述结论，请计算的值． 【经典计算题二 求一个数的立方根】 11．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）利用计算器解方程（近似根保留三位小数）． 12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）求下列各数的立方根： (1)； (2)；    (3)． 13．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）计算： (1)； (2)． 14．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（23-24七年级下·全国·单元测试）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）计算题 (1) (2) 18．（23-24七年级下·湖南·阶段练习）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 19．（24-25七年级下·湖南岳阳单元测试）已知互为相反数，互为倒数，，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 20．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）【阅读与应用】 【问题提出】 对于任意实数，定义一种新运算，例如：． 【初步感知】 （1）求的值； 【拓展运用】 （2）若实数满足，求的值． 【经典计算题三 利用平方根、立方根解方程】 21．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）求下列各式中的值： (1)； (2)． 22．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）计算：； （2）已知，求x的值． 23．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）（1）求中的x值； （2）求中的x值． 24．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）计算 (1)； (2)． 25．（24-25七年级下·全国·期中）已知 ，且 为正数，求 的算术平方根和立方根． 26．（2024七年级下·湖南·专题练习）计算或求式子中的x： (1)． (2)| (3)； (4)． 27．（24-25七年级下·湖南永州·阶段练习）求下列式子中的值 (1) (2) (3) (4)． 28．（24-25七年级下·湖南邵阳·阶段练习）计算： (1)； (2)求x的值：． (3)计算： (4)计算：． 29．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）（1）计算：； （2）计算：． （3）解方程：； （4）解方程：． 30．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）（1）已知，一个正数的两个平方根分别为和，求m和这个正数； （2）已知a是的小数部分，b是的整数部分，求的值． 【经典计算题四 平方根、立方根的规律相关计算】 31．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）计算下列各式并归纳结论： (1) ； ； (2) ； ； (3)根据（1），（2）的结果，请猜想：与的值是否相等？结论： （选填“”或“”）． 32．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）观察下列各式： ；；；，⋯． (1)计算：________； (2)通过观察，请计算：． 33．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）计算下列各式，将结果填在横线上． ______；______；______； ______；______；______． 你发现了什么？__________________． 请根据上述规律完成计算： ______； ______．（n为正整数） 34．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）（1）计算：______，______；______，______； （2）请根据（1）中的规律进行计算： ①；②； （3）已知，，用含，的式子表示． 35．（23-24七年级下·湖南邵阳·开学考试）解决下列题目： (1)用计算器计算： _____，_____，_____，_____． (2)观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？ (3)试运用发现的规律猜想：_____，并通过计算器验证你的猜想． 36．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）探索规律： (1)计算： ①_________，_________； ②________，________． (2)归纳：由（1）的计算可得________． (3)利用（2）探索出的规律，解答下题． 若与互为相反数，求x的值． 37．（23-24七年级下湖南娄底·期中）阅读下列解题过程， ；；；… (1)______，______； (2)观察上面的解题过程，则： ①______（n为自然数）； ②利用这一规律计算：． 38．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，例如： ，， 这三个数，，，其结果 6，3，2 都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”，请问：，， 这三个数是“完美组合数”吗? 请说明理由 39．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）据说我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道求大数的立方根的题目，他很快便给出了正确答案，忙问计算中的奥妙．请你跟着下面求15625的立方根的步骤试一试． 步骤一：，则15625的立方根是 位数； 步骤二：15625的个位上的数字是5，则15625的立方根的个位上的数字是 ； 步骤三：划去15625后面的三位“625”得到数15，而，由此可确定15625的立方根十位上的数字是 ，因此15625的立方根是 ． (1)请将上面的解题步骤补充完整； (2)请用上述该方法，直接写出658503的立方根．答 ． 40．（24-25七年级下·湖南湘潭·阶段练习）综合与实践 问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法”的结果的一般性规律问题： 观察发现：（1）①； ②； ③_________； ④_________． 规律总结：（2）_________． 应用规律：（3）①若，求的算术平方根； ②若的结果不含的项，求的立方根． 【经典计算题五 实数的混合运算】 41．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）计算： 42．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 43．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 44．（24-25七年级下·湖南张家界·阶段练习）计算： (1)； (2)． 45．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 46．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1) ； (2) ； (3) ． 47．（24-25七年级下·湖南常德·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 48．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 49．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 50．（24-25七年级下·湖南永州·阶段练习）（1）计算： （2）求值． （3）求值 （4）如图，，是数轴上三个点、、所对应的实数． 试化简： 【经典计算题六 新定义的实数计算】 51．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）规定一种运算：，求． 52．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）对于任意非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，求的值． 53．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）新规定的一种运算法则：，例如： ． (1)求的值； (2)若，求x的值． 54．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）定义一种新运算“”，其运算方式如下：，例：．运用这种运算方法，若，求的值． 55．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）【新考向】在学习完“有理数的运算”后，小红对运算产生了浓厚的兴趣．她定义了一种新运算“*”，规则如下：，其中． (1)求3*的值； (2)求的值； (3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“*”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 56．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）定义一种新运算： ；； ；． 观察上述各式，解答下列问题． (1) ； ． (2)请计算：的值． 57．（23-24七年级下·湖南益阳·阶段练习）求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方．如：，等．类比有理数的乘方，我们把记作2③，读作“2的圈3次方”． 记作④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把记作ⓝ，记作“的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：2③＝ ，④＝ ，⑤＝ (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：ⓝ＝ (3)计算④⑤⑥． 58．（24-25七年级下·湖南湘潭·阶段练习）阅读下列材料．让我们规定一种运算，如，再如．按照这种运算规定，请解答下列问题． (1)计算______；______；______； (2)当时，求的值（要求写出计算过程）． 59．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，个相同的因数相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即．一般地，若，则叫做以为底的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即． (1)计算下列各对数的值：______，______，______； (2)已知的值满足：，，求的值； (3)已知为正整数，且满足：，，当为正整数时，求满足条件的的值． 60．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等.类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“－3的下4次方”一般地，把记作，读作“a的下n次方”. （1）直接写出计算结果：______，______. 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ______，______. （3）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：______. 【结论应用】（4）计算：______. 【经典计算题七 与实数运算相关的规律题】 61．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 62．（2024七年级下·湖南·专题练习）探究题： (1)计算下列各式，完成填空： ＝6，＝ ，＝ ，＝ (2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：． 63．（23-24七年级下·河南新乡·阶段练习），，…，．将以上等式两边分别相加得 用你发现的规律解答下列问题 (1)猜想并写出：___________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①_____________； ②______________； (3)探究并计算：． 64．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）观察下面算式，解答问题： ，，…… (1)填空： ； ； (2)若n表示正整数，求的值； (3)请用上述规律计算的值． 65．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）多个数进行相加时，有许多计算技巧，其中一种为裂项相消法，有一种裂项方法为：当n，i均为正整数时，有，例如．根据上述结论，完成问题： (1)计算：； (2)直接写出下式的计算结果： ______； (3)①计算的值； ②计算的值． 66．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）阅读材料：求的值． 解：设，将等式①的两边同乘以2， 得， 用得，， 即． 即． 请仿照此法计算： (1)请直接填写的值为 ； (2)求值； (3)求的值． 67．（2024·安徽合肥·三模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 68．（23-24七年级下·湖南益阳·阶段练习）阅读下文，寻找规律： 已知 ，观察下列各式： ，，   (1)填空： (2)观察上式，并猜想： ① ． ② ． (3)根据你的猜想，计算： ① ． ② ． 69．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）阅读理解题．定义：如果一个数的平方等于，记，这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部， b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算： 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ； (2)计算：； (3)计算： ． 70．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算，经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算： (1)； (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 实数70道计算题专项训练（7大题型） 题型一 求一个数的平方根（算术平方根） 题型二 求一个数的立方根 题型三 利用平方根、立方根解方程 题型四 平方根、立方根的规律相关计算 题型五 实数的混合运算 题型六 新定义的实数计算 题型七 与实数运算相关的规律题 【经典计算题一 求一个数的平方根（算术平方根）】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）分别求下列各数的平方根： (1)225； (2)； (3)0.0036． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义计算即可； （2）根据平方根的定义计算即可； （3）根据平方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：因为， 所以225的平方根为． （2）解：因为， 所以的平方根为． （3）解：因为， 所以0.0036的平方根为． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)81； (2)； (3)1.69； (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】此题考查了求平方根． （1）根据平方根的定义进行解答即可； （2）根据平方根的定义进行解答即可； （3）根据平方根的定义进行解答即可； （4）根据平方根的定义进行解答即可； （5）根据平方根的定义进行解答即可； （6）根据平方根的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：， ∴81的平方根是． （2） ∴的平方根是． （3）， ∴1.69的平方根是． （4） ∴的平方根是． （5）， 的平方根是． （6） ∴的平方根是． 3．（2024七年级下·湖南·专题练习）计算： （1） ， ； （2） ， ； （3） ， ； （4） ， ． 比较上述各式，你猜想到什么结论？ 【答案】（1），（2），（3），（4），；结论：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握平方根是解题的关键．根据平方根的运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1），； （2），； （3），； （4），． 结论：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 4．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是1，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查已知平方根和立方根求未知数，求一个数的平方根，根据平方根和立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵的平方根是，的算术平方根是1， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是5，的算术平方根是4，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义和求代数式的值．根据算术平方根的定义，得到关于，的方程，求出，的值进而算出结果． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 解得， ∴． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知且，求的平方根； （2）已知的平方根是的立方根是3，求的算术平方根． 【答案】（1）0；（2）12 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根、绝对值： （1）先根据已知条件判断出与y的数量关系，进而求出的平方根； （2）先根据平方根、立方根的定义得出，解方程组求出x，y的值，进而求出的值，再根据算术平方根的定义求解． 【详解】解：（1） 或． 且， ， ， ， 的平方根是0． （2）由题意可知，， 解得， ． ， 的算术平方根是12． 7．（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）一个正数x的两个不同的平方根分别是与． (1)求x和m的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质． （1）根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中，，代入，利用平方根定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，解得， ∴； （2）解：将，代入中，得． ∵36的平方根是， ∴的平方根是． 8．（23-24七年级下·湖南永州·期中）已知的平方根为，的算术平方根为7． (1)求a、b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根，熟练掌握平方根、算术平方根的定义是解此题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义即可得出a、b的值； （2）先求出的值，再求出算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为，的算术平方根为7， ∴，， ∴，； （2）解：， ∴的算术平方根为． 9．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）已知正数a的两个不同的平方根分别是和, 的算术平方根是3. (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根的意义，平方根的意义，计算即可． （2）根据平方根的意义，计算即可． 本题考查了平方根，算术平方根的计算与应用，正确理解正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得，   ， ， ∴； ∴， ∴， ∴. （2）． 10．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）先观察下列各式：；；；． (1)计算：　 　；　 　； (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，计算：； (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)6，50 (2)n (3)52 【分析】（1）通过观察该类算式结果的规律进行求解； （2）通过观察、猜想、归纳得到此类算式结果的规律； （3）对该算式变形后运用（2）题结果进行运算． 【详解】（1）由题意得， ， ， 故答案为：6，50； （2）∵， ， ， ， ……， ； （3）由（2）题结论可得， ＝52． 【点睛】此题考查了平方根运算规律的归纳与运用能力，关键是能通过观察、猜想准确归纳得该类问题的运算规律． 【经典计算题二 求一个数的立方根】 11．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）利用计算器解方程（近似根保留三位小数）． 【答案】2.830 【分析】本题考查利用立方根解方程，根据立方根的定义结合计算器解方程即可． 【详解】解：， ∴． 12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）求下列各数的立方根： (1)； (2)；    (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查立方根的定义，熟练掌握立方根定义是解题关键． （1）根据立方根的定义进行计算即可； （2）根据立方根的定义进行计算即可； （3）根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：， 的立方根是 ， 即； （2）解：， 的立方根是， 即； （3）解：， 的立方根是， 即． 13．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】此题考查了绝对值，算术平方根，立方根和有理数的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算绝对值，立方根和有理数的乘方，然后计算加法即可； （2）首先计算算术平方根，立方根和化简绝对值，然后计算加减即可． 【详解】（1） ； （2） ． 14．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【分析】本题考查求算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根和立方根是解题的关键． （1）根据算术平方根的求解即可； （2）根据立方根进行求解即可； （3）根据立方根进行求解即可； （4）根据算术平方根的定义求解即可； （5）根据算术平方根求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了利用立方根的性质解方程， （1）根据立方根的性质求解即可； （2）根据立方根的性质求解即可； （3）根据立方根的性质求解即可； （4）根据立方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， ． 16．（23-24七年级下·全国·单元测试）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查利用立方根解方程，掌握立方根的定义是解题的关键． （1）根据先移项，系数化为，然后利用立方根的概念求解； （2）先利用立方根的求解，然后解一元一次方程即可； （3）先系数化为，然后开立方即可求解； （4）根据先移项，系数化为，然后利用立方根的概念求解． 【详解】（1）解： 解得：； （2） 解得； （3） 解得； （4） 解得． 17．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）计算题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、绝对值、有理数的乘方运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简绝对值，有理数的乘方，最后运算加减； （2）先化简算术平方根、立方根、绝对值、有理数的乘方运算，再运算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（23-24七年级下·湖南·阶段练习）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的性质是解题的关键．根据是的算术平方根，得到，求出a的值，根据是的立方根，得到，求出b的值，从而求出A，B，进而求出的值，即可求出结果． 【详解】解：是的算术平方根， ， ， 是的立方根， ， 又， ， ，， ， ． 19．（24-25七年级下·湖南岳阳单元测试）已知互为相反数，互为倒数，，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)5 (2)4 【分析】此题考查了代数式求值，相反数，倒数，以及绝对值． （1）根据互为相反数，互为倒数，，先确定、及m的值，再求代数式的值即可； （2）根据可求出a，b，c，d的值，然后代入所求的代数式即可． 【详解】（1）解：，互为相反数， ， ，互为倒数， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ，， ， ． 20．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）【阅读与应用】 【问题提出】 对于任意实数，定义一种新运算，例如：． 【初步感知】 （1）求的值； 【拓展运用】 （2）若实数满足，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，立方根的应用． （1）运用运算公式，计算即可； （2）利用公式，列出方程，求解方程即可． 【详解】解：（1）根据题意得： ； （2）根据题意得：，即， 整理得：， ， ， ． 【经典计算题三 利用平方根、立方根解方程】 21．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程： （1）两边同时除以3，再由平方根定义求解； （2）直接利用立方根定义求解． 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： 解得：． 22．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）计算：； （2）已知，求x的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】此题考查了算术平方根和立方根，利用平方根解方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先将除法转化成乘法，算术平方根和立方根，然后计算乘法，然后计算加减即可； （2）移项得到，然后利用平方根的性质求解即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）， ， ， 解得或． 23．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）（1）求中的x值； （2）求中的x值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据求立方根的方法解方程即可； （2）根据求平方根的方法解方程即可． 本题主要考查了根据立方根和平方根的方法解方程，熟知求立方根和平方根的方法是解题的关键． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴； （2）∵ ∴ ∴ ∴． 24．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】本题考查了利用平方根的定义解方程，实数的混合运算． （1）先把两边都除以4，再利用平方根的定义求解即可； （2）先算乘方、开方、绝对值，再算加减即可求解． 【详解】（1）解： 或 或． （2）解：原式 ． 25．（24-25七年级下·全国·期中）已知 ，且 为正数，求 的算术平方根和立方根． 【答案】算术平方根：8；立方根：4 【分析】本题考查的是立方根、平方根以及算术平方根，熟知平方根及立方根的定义是解答此题的关键． 先根据“ ，且 为正数”，求出y的值，再求出的值，根据算术平方根和立方根的定义解答即可． 【详解】解∶，且y为正数， ， ， ，． 26．（2024七年级下·湖南·专题练习）计算或求式子中的x： (1)． (2)| (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【分析】本题考查了实数的混合运算能力以及利用平方根、立方根求未知数的值，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算． （1）先计算平方根、立方根、平方和立方，最后计算加减． （2）首先计算乘方、开方和绝对值，然后从左向右依次计算即可． （3）先求出的值，然后根据平方根的定义解答； （4）先求出的值，然后根据立方根的定义解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：由得 ， 或， 解得，． （4）解：由得 ， ， 解得． 27．（24-25七年级下·湖南永州·阶段练习）求下列式子中的值 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查利用平方根、立方根解方程， （1）将方程变形为，然后利用平方根的定义求出的值，再求的值； （2）利用立方根的定义求出的值，再求的值； （3）将方程变形为，然后利用平方根的定义求出的值； （4）将方程变形为，然后利用立方根的定义求出的值，再求的值； 解题的关键是明确平方根和立方根的定义． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴或， ∴的值为或； （2）， ∴， ∴， ∴的值为； （3）， ∴， ∴或， ∴的值为或； （4）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 28．（24-25七年级下·湖南邵阳·阶段练习）计算： (1)； (2)求x的值：． (3)计算： (4)计算：． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数的运算，多项式乘以多项式，多项式除以单项式，求平方根的方法解方程： （1）先计算立方根和算术平方根，再计算绝对值，最后计算加减法即可； （2）根据求平方根的方法解方程即可； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （4）根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （3）解： ； （4）解： ． 29．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）（1）计算：； （2）计算：． （3）解方程：； （4）解方程：． 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4） 【分析】本题考查了实数的运算，用平方根和立方根的意义解方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用平方根以及立方根的性质化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案． （2）利用平方根和绝对值的性质化简，结合实数的加减运算法则计算得出答案． （3）方程变形后，利用开平方法计算即可． （4）方程变形后，利用立方根定义开立方即可解答． 【详解】解：（1）原式， （2）原式． （3）， ． ． 或． （4）， ， ． ． ． 30．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）（1）已知，一个正数的两个平方根分别为和，求m和这个正数； （2）已知a是的小数部分，b是的整数部分，求的值． 【答案】（1），36；（2） 【分析】本题考查了平方根，无理数的估算，熟练掌握含义列出方程是解题的关键． （1）根据一个正数的平方根互为相反数列方程求解即可； （2）根据无理数的估算列出关于a、b的方程求值，再计算即可． 【详解】解：（1）由题意得：， 解得， ，， 这个正数为； （2）， ， 的整数部分为2， 的小数部分为， a是的小数部分， ， ， ， 的整数部分为4， 是的整数部分， ， ． 【经典计算题四 平方根、立方根的规律相关计算】 31．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）计算下列各式并归纳结论： (1) ； ； (2) ； ； (3)根据（1），（2）的结果，请猜想：与的值是否相等？结论： （选填“”或“”）． 【答案】(1)； (2)12； (3) 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根： （1）根据进行求解即可； （2）根据进行求解即可； （3）根据（1）（2）的计算结果即可得到结论． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：；； （2）解：； ； （3）解：由（1）（2）的结果可知，， 故答案为： 32．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）观察下列各式： ；；；，⋯． (1)计算：________； (2)通过观察，请计算：． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了算术平方根和数字类变化规律，通过观察所给的式子，得出一般规律是解此题的关键． （1）通过计算直接求出答案即可； （2）将原式化为，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：； ； ； ； ……， ； ． 33．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）计算下列各式，将结果填在横线上． ______；______；______； ______；______；______． 你发现了什么？__________________． 请根据上述规律完成计算： ______； ______．（n为正整数） 【答案】；；；；；；；； 【分析】本题考查数字的变化规律，首先根据已知数据直接计算进行填空即可；利用前面所求得出数字变化规律进而得出发现的规律；最后利用规律解决问题．根据已知数据得出数字中的变与不变是解题关键． 【详解】解：；；； ；；． 发现规律：． ； ． 故答案为：；；；；；；；；． 34．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）（1）计算：______，______；______，______； （2）请根据（1）中的规律进行计算： ①；②； （3）已知，，用含，的式子表示． 【答案】（1）6，6，20，20；（2）①25，②4；（3） 【分析】（1）根据算术平方根的定义直接计算得出即可； （2）利用（1）的规律计算即可； （3）利用（1）的规律计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）根据（1）的计算，发现． ∴①， ②； （3）∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了数字变化规律，算术平方根的定义等知识，找出规律是解题关键． 35．（23-24七年级下·湖南邵阳·开学考试）解决下列题目： (1)用计算器计算： _____，_____，_____，_____． (2)观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？ (3)试运用发现的规律猜想：_____，并通过计算器验证你的猜想． 【答案】(1)，，， (2)根号内被开方数是( n=1，2，3，…)个数字和个数字的差，结果为个数字 (3) 【分析】（1）用计算器逐个式子计算即可； （2）根据（1）的计算结果可总结规律根号内被开方数是( n=1，2，3，…)个数字和个数字的差，结果为个数字； （3）由（2）总结的规律即可直接得出答案，再利用计算器验算即可． 【详解】（1），，，． 故答案为：，，，； （2）根据（1）的计算结果可以得出：根号内被开方数是( n=1，2，3，…)个数字和个数字的差，结果为个数字； （3）由（2）所得规律可直接得出：， 通过计算器验证：． 故答案为：33333． 【点睛】本题考查数的开方，解题的关键是用计算器计算出结果再总结出规律． 36．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）探索规律： (1)计算： ①_________，_________； ②________，________． (2)归纳：由（1）的计算可得________． (3)利用（2）探索出的规律，解答下题． 若与互为相反数，求x的值． 【答案】(1)① -5，5；②-2，2 (2) (3) 【分析】（1）根据立方根的定义解答即可； （2）根据（1）总结规律即可解答； （3）根据（2）所得规律以及（3）的已知条件可得（x-1）+（2x-3）=0，然后求解即可． 【详解】（1）解：①-5，5； ②-2，2． 故答案为① -5，5；②-2，2． （2）解：由（1）的计算可归纳： 故答案为． （3）解：∵与互为相反数 ∴+=0 ∴（x-1）+（2x-3）=0，解得：． 【点睛】本题主要考查了求一个数的立方根、数字规律以及相反数的意义等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 37．（23-24七年级下湖南娄底·期中）阅读下列解题过程， ；；；… (1)______，______； (2)观察上面的解题过程，则： ①______（n为自然数）； ②利用这一规律计算：． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据所给前几个等式的变化规律即可求解； （2）①根据所给等式的变化规律即可得出结论；②根据所得结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， ， 故答案为：，； （2）解：①由题意，， 故答案为：； ② ． 【点睛】本题考查数字类规律探究、算术平方根、有理数的乘法运算，找到等式中数字的变化与序号之间的关系是解答的关键． 38．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，例如： ，， 这三个数，，，其结果 6，3，2 都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”，请问：，， 这三个数是“完美组合数”吗? 请说明理由 【答案】是，理由见解析 【分析】根据定义计算判断，本题考查了新定义，正确理解定义是解题的关键. 【详解】，，这三个数是“完美组合数”，理由如下 ，，， 其结果 12，4，6 都是整数， ∴，，这三个数称为“完美组合数”. 39．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）据说我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道求大数的立方根的题目，他很快便给出了正确答案，忙问计算中的奥妙．请你跟着下面求15625的立方根的步骤试一试． 步骤一：，则15625的立方根是 位数； 步骤二：15625的个位上的数字是5，则15625的立方根的个位上的数字是 ； 步骤三：划去15625后面的三位“625”得到数15，而，由此可确定15625的立方根十位上的数字是 ，因此15625的立方根是 ． (1)请将上面的解题步骤补充完整； (2)请用上述该方法，直接写出658503的立方根．答 ． 【答案】(1)两，5，6，25 (2)87 【分析】本题考查立方根及尾数特征，理解题干中求一个数的立方根的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：步骤一：，则15625的立方根是两位数； 步骤二：15625的个位上的数字是5，则15625的立方根的个位上的数字是5； 步骤三：划去15625后面的三位“625”得到数15，而，由此可确定15625的立方根十位上的数字是2，因此15625的立方根是25； 故答案为：两，5，6，25； （2）解：658503的个位上是3，则它的立方根的个位上的数字是7； ∵划去658503后面的三位“503”得到数658，而，由此可确定658503的立方根十位上的数字是8； 故答案为：87． 40．（24-25七年级下·湖南湘潭·阶段练习）综合与实践 问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法”的结果的一般性规律问题： 观察发现：（1）①； ②； ③_________； ④_________． 规律总结：（2）_________． 应用规律：（3）①若，求的算术平方根； ②若的结果不含的项，求的立方根． 【答案】（1）③；④；（2）；（3）①4；②1． 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，立方根，算术平方根，求代数式的值，利用多项式乘多项式法则发现规律得到猜想是解决本题的关键． （1）根据多项式乘多项式法则计算即可得解； （2）观察各①②③④小题结果的二次项系数、一次项系数及常数项，发现规律得猜想； （3）①利用猜想得，，，从而代入求解即可；②由（2）的规律知：，进而求得，即可得解． 【详解】解：观察发现：（1）③， 故答案为：； ④， 故答案为：． 规律总结：（2）①； ②； ③； ④； 根据上面的计算，可发现： 故答案为： ； 应用规律：（3）①， ∴，， ∴， ∴的算术平方根为； ②由（2）的规律知：， ∵的结果不含的项， ∴， ∴， ∴的立方根为1． 【经典计算题五 实数的混合运算】 41．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算算术平方根，乘方运算，立方根，化简绝对值，再合并即可． 【详解】解： ． 42．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，理解立方根和平方根的定义并正确运算是解答的关键． （1）去绝对值和括号，再加减运算即可； （2）先进行开平方、开立方的运算，继而加减运算可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 43．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简立方根，算术平方根，绝对值，再计算加减即可； （2）先乘方、化简立方根、算术平方根，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 44．（24-25七年级下·湖南张家界·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，整式的运算等知识点，解题的关键是掌握算术平方根，立方根的计算，以及整式的运算法则． （1）根据有理数的乘方，绝对值，立方根分别计算各项的值，再进行加减运算； （2）先分别计算单项式乘单项式以及多项式乘多项式，再合并同类项． 【详解】（1） ； （2） ． 45．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)6 (3)10 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算绝对值，乘方，算术平方根，再进行加减计算； （2）先计算立方根，绝对值，乘方，再进行加减计算； （3）先计算算术平方根，绝对值，再进行乘除计算，最后进行加减计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 46．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据加法法则计算即可； （2）先算绝对值和开方，再算加减； （3）先算乘方，并把除法转化为乘法，再按乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 47．（24-25七年级下·湖南常德·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算法则，是解题的关键． （1）先计算立方根和算术平方根，再进行加减运算； （2）先化简绝对值，再计算加减即可； （3）先计算括号，再计算乘除即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 48．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)34 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及乘方的运算，立方根，平方根的求解，化简绝对值，熟练掌握相关运算定律为解题关键． （1）先算乘方，立方根，化简绝对值，再算乘方，最后算加减法即可； （2）先算乘方，立方根，化简绝对值，再算乘方，最后算加减法即可； （3）先算乘方，立方根，算术平方根，化简绝对值，再算乘方，最后算加减法即可； （4）先算乘方，立方根，算术平方根，化简绝对值，再算乘方，最后算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 49．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)118 【分析】本题考查了有理数的混合运算，算术平方根，立方根． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减即可； （3）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可； （4）先算乘方和立方根、算术平方根，再算乘除，最后算加减即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 50．（24-25七年级下·湖南永州·阶段练习）（1）计算： （2）求值． （3）求值 （4）如图，，是数轴上三个点、、所对应的实数． 试化简： 【答案】（1）5；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查数轴上的点，绝对值的性质，平方根和立方根，掌握平方根和立方根的概念是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的概念计算即可； （2）运用平方根的概念解方程； （3）运用立方根的概念解方程； （4）根据数轴确定的符号，再由绝对值的性质，和平方根，立方根的性质化简即可． 【详解】（1） ． （2）， ； （4）解： ． ， ， 或， 解得． （3）， ， ， ， 解得． （4）由数轴可知，， ， ． 【经典计算题六 新定义的实数计算】 51．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）规定一种运算：，求． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义先计算出，再计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴． 52．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）对于任意非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数运算，正确应用分数的性质将原式变形是解题关键． 根据题意将原式变形，进而根据分式的性质化简得出答案． 【详解】解： ． 53．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）新规定的一种运算法则：，例如： ． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了定义新运算以及解一元一次方程，读懂题意，理解题目中的新定义是解本题的关键． （1）根据题目所给新定义代入数值求值即可； （2）根据题目所给新定义代入数值得出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵ ∴， 解得． 54．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）定义一种新运算“”，其运算方式如下：，例：．运用这种运算方法，若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，解一元一次方程，先根据新定义得出，再根据，得出，最后解方程即可得出答案． 【详解】 ， 解得：． 55．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）【新考向】在学习完“有理数的运算”后，小红对运算产生了浓厚的兴趣．她定义了一种新运算“*”，规则如下：，其中． (1)求3*的值； (2)求的值； (3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“*”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 【答案】(1)3 (2) (3)不具有，见解析 【分析】本题考查了新定义运算，正确理解题意是解题关键． （1）根据定义即可求解； （2）先计算，再计算即可求解； （3）验证是否成立即可； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： （3）解：∵，， ∵， ∴， ∴， 所以这种新运算“*”不具有交换律. 56．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）定义一种新运算： ；； ；． 观察上述各式，解答下列问题． (1) ； ． (2)请计算：的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了新定义的运算，根据题意得出新运算的运算法则，熟练掌握有理数的混合运算和整式的混合运算是解答本题的关键． （1）根据题目所给新运算的运算法则进行计算，得到答案． （2）根据新定义的运算法则进行计算，得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ， ， 故答案为：，． （2） ． 57．（23-24七年级下·湖南益阳·阶段练习）求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方．如：，等．类比有理数的乘方，我们把记作2③，读作“2的圈3次方”． 记作④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把记作ⓝ，记作“的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：2③＝ ，④＝ ，⑤＝ (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：ⓝ＝ (3)计算④⑤⑥． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）利用定义的新运算进行计算，即可解答； （2）利用定义的新运算进行计算，即可解答； （3）利用（2）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：2③， ④, ⑤ 故答案为：；； （2）解：ⓝ 故答案为：； （3）解：原式 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键． 58．（24-25七年级下·湖南湘潭·阶段练习）阅读下列材料．让我们规定一种运算，如，再如．按照这种运算规定，请解答下列问题． (1)计算______；______；______； (2)当时，求的值（要求写出计算过程）． 【答案】(1)1，， (2)11 【分析】本题考查了整式的化简求值以及新定义的运算，读懂题意掌握新运算并能用其将整式进行化简是解题的关键． （1）根据新运算的定义式，代入数据求出结果即可； （2）根据新运算的定义式将原式化简为，代入即可得出结论． 【详解】（1）解： ； ； ． 故答案为：1，，； （2）解：原式 当时，原式． ∴当时，的值为11． 59．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，个相同的因数相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即．一般地，若，则叫做以为底的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即． (1)计算下列各对数的值：______，______，______； (2)已知的值满足：，，求的值； (3)已知为正整数，且满足：，，当为正整数时，求满足条件的的值． 【答案】(1)2，3，6 (2)， (3)满足条件的的值为或 【分析】本题考查二元一次方程的解． （1）根据题意直接计算即可； （2）根据定义列出等量关系再解方程即可； （3）先列出等量关系，再根据为正整数即可． 【详解】（1）解：，，， 故答案为：2，3，6； （2），， ， ， （3）， ， 即， ， ， 将代入得， ， ， 都为正整数， ， 满足条件的的值为或． 60．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等.类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“－3的下4次方”一般地，把记作，读作“a的下n次方”. （1）直接写出计算结果：______，______. 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： ______，______. （3）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：______. 【结论应用】（4）计算：______. 【答案】（1），、（2），、（3）、（4） 【分析】本题考查新定义运算，有理数乘方的意义，理解新定义，掌握有理数的乘方意义是解题的关键． [概念学习]根据新定义，列式计算即可； [深入探究]（2）根据新定义，列式计算，并将结果写成乘方形式即可； （3）根据新定义和（2）中反映的结果规律即可写出结果； [结论应用]将写出幂的形式，在计算即可得到答案． 【详解】解：[概念学习] ； 故答案为：，； [深入探究] （2）依题意，； 故答案为：， （3） 故答案为： [结论应用] 故答案为： 【经典计算题七 与实数运算相关的规律题】 61．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索： （1）根据给出的等式找出一般规律，写出第4个等式即可； （2）根据题干中给出的一般规律，写出第n个等式即可； （3）根据（2）的规律把对应式子进行替换，然后隔项相消即可得到答案． 【详解】（1）解：第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； … 第4个等式为：． 故答案为：． （2）解：解：第n个等式为：（n为正整数）； 故答案为：． （3）解： ． 62．（2024七年级下·湖南·专题练习）探究题： (1)计算下列各式，完成填空： ＝6，＝ ，＝ ，＝ (2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：． 【答案】(1)6，， (2)（a≥0，b≥0）， 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算； （2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根，根据此规律得到，然后约分后根据算术平方根定义计算． 【详解】（1），，； 故答案为：6，，； （2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.用字母表示为：（a≥0，b≥0）． 故答案为： （a≥0，b≥0）， 【点睛】本题考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 63．（23-24七年级下·河南新乡·阶段练习），，…，．将以上等式两边分别相加得 用你发现的规律解答下列问题 (1)猜想并写出：___________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①_____________； ②______________； (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2)① ② (3) 【分析】本题主要考查了与实数运算相关的规律题． （1）归纳总结得到一般性规律，写出即可. （2）①两式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；②总结规律即可． （3）先探索当分母为连续偶数时如何写成差的形式，再计算． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）① 故答案为：． ② 故答案为：． （3） 64．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）观察下面算式，解答问题： ，，…… (1)填空： ； ； (2)若n表示正整数，求的值； (3)请用上述规律计算的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）将首尾两数相加，再除以2，再将所得结果平方即可得到求解； （2）根据所得规律求解即可； （3）将原式变形为：，再利用所得规律求解即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：； （2）解：， 故答案为： （3）解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字变化规律，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目的难点，也是解此类题目的关键． 65．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）多个数进行相加时，有许多计算技巧，其中一种为裂项相消法，有一种裂项方法为：当n，i均为正整数时，有，例如．根据上述结论，完成问题： (1)计算：； (2)直接写出下式的计算结果： ______； (3)①计算的值； ②计算的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了与实数运算相关的规律题． （1）原式利用裂项方法变形，计算即可求出值； （2）归纳总结得到一般性规律，利用裂项法求出值即可； （3）①原式利用裂项法变形，计算即可求出值；②原式利用裂项法变形，计算即可求出值． 【详解】（1）解： ， 故答案为：， （2） ， 故答案为：． （3）① ； ② ， ． 66．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）阅读材料：求的值． 解：设，将等式①的两边同乘以2， 得， 用得，， 即． 即． 请仿照此法计算： (1)请直接填写的值为 ； (2)求值； (3)求的值． 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，熟练掌握运算法则，熟练运用有理数乘法，以及运用消项的思想是解题的关键． （1）先计算乘方，即可求出答案； （2）根据题目中的运算法则进行计算，即可求出答案； （3）根据题目中的运算法则进行计算，即可求出答案； 【详解】（1）解： ； 故答案为：15； （2）解：设①，把等式①两边同时乘以5，得 ②， 由，得：， ∴， ∴； （3）解：设①， 把等式①乘以10，得： ②， 把，得：， ∴， ∴ 67．（2024·安徽合肥·三模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 【答案】(1)2， (2) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，数字类的规律探索． （1）根据图形即可得到，观察图形可知第n幅图中★的个数为； （2）由（1）得，再找到规律，据此把所求式子裂项求解即可． 【详解】（1）解：第1幅图中★的个数为， 第2幅图中★的个数为， 第3幅图中★的个数为， ， 以此类推，第n幅图中★的个数为； （2）解：由（1）知，第n幅图中★的个数为， ， ， ， ， 以此类推，可知， ∴ ． 68．（23-24七年级下·湖南益阳·阶段练习）阅读下文，寻找规律： 已知 ，观察下列各式： ，，   (1)填空： (2)观察上式，并猜想： ① ． ② ． (3)根据你的猜想，计算： ① ． ② ． 【答案】(1) (2)①；② (3)① ；② 【分析】归纳概括规律：等号左边为两个因式的乘积，第一个为，第二个为连续指数的和；等号的右边为两个数的差，被减数为1，减数为的幂，指数比等号前面第二个因式中，最大指数多1，然后将下面式子分别代入即可． 【详解】（1）解：中，指数为8， 故前面应该加到 答案为： （2）解：①根据规律可得： ② （3）解：①中， 让得： ② 【点睛】本题考查了归纳概括能力，以及类比思想，准确找出规律是解题关键． 69．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）阅读理解题．定义：如果一个数的平方等于，记，这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部， b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算： 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ； (2)计算：； (3)计算： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1），据此即可求解； （2）利用材料所给乘法运算和乘方运算法则即可求解； （3）据此可找到规律求解． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）解：原式 （3）解：由题意可得： ∵ ∴原式 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了学生举一反三以及抽象概括能力． 70．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算，经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可； （2）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可；． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$