精品解析：江西省宜春市上高县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

上高县2024－2025学年度第一学期期末质量监测 九年级数学 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列标点符号中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 掷一枚骰子，向上一面的点数是7 B. 随意打开一本书，书的页码是奇数 C. 明天下雪的概率是，则明天一定会下雪 D. 任意画一个三角形，其内角和是 3. 拋物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若是方程的一个根，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的直径，弦交于点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知的半径为2，若点在圆上，则______2（填“”、“”、“”）． 8. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 9. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是______． 10. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲走了步（步为古代长度单位，类似于现在的米），根据题意可列方程：____________．（结果化为一般式） 11. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是__________． 12. 如图，在矩形中，，以为直径在矩形内作半圆，点P为半圆上的一动点（不与A，D重合），连接，当为锐角等腰三角形时，的长为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程： （2）如图所示，为的直径，弦于点，若，，求的长度． 14. 已知抛物线经过点，． （1）求b，c的值． （2）用配方法求抛物线的顶点坐标． 15. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．某快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为4万件和万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递快递万件，那么该公司现有10名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 16. 如图，已知是等边三角形，以为直径作，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图（1）中作的角平分线； （2）连接，在图（2）中作的角平分线． 17. 酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种． （1）小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液里，结果变红的概率是多少？ （2）小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 四、解答题：（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 已知关于x的方程． （1）求证：k取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若斜边长，另两条边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 19. 如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P． （1）求∠BDE的度数； （2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．判断DF和PF的数量关系，并证明． 20. 如图，是的直径，弦相交于点，，点F在的延长线上，，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求直径的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 小红和小琪在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表．小红站在点处，在点处将沙包（看作点）抛出，其运动的路线为抛物线（为常数，）的一部分，小琪恰在点处接住沙包，然后跳起在点处将沙包回传，其运动的路线为抛物线（为常数）的一部分． （1）求，的值； （2）若小红在与点的竖直距离不超过的范围内可以直接接到回传的沙包，当时，小红能否接住沙包？请说明理由． （3）若小红可以接到回传的沙包的范围为与的水平距离不超过，与点的竖直距离不超过的矩形，请直接写出的取值范围． 22. 问题背景：（1）如图1，在等腰中，D为边上一动点，将绕点A逆时针旋转得到线段，连接，判断与的数量与位置关系，并证明； 尝试运用：（2）如图2，在中，D为边上一动点，以为斜边在右侧构造等腰，连接，求证：； 拓展提升：（3）在（2）的条件下，若，直接写出的长______________________． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图1，已知二次函数图象与轴交点为，其顶点为． （1）求二次函数的表达式； （2）直线与轴交于，现将线段上下移动，若线段与二次函数的图象有交点，求向上和向下平移的最大距离； （3）若将（1）中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕点顺时针旋转，得到抛物线，如图2所示，直线与交于，两点，为上位于直线左侧一点，求面积最大值，及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上高县2024－2025学年度第一学期期末质量监测 九年级数学 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列标点符号中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的定义，理解中心对称图形的定义是解题关键． 若把一个图形绕中心点旋转180°，旋转后的图形能和原图形重合，则这个图形为中心对称图形，即可判断． 【详解】A．若把绕中心点旋转180°，旋转后的图形为，不能和原图形重合，不符合题意； B．若把绕中心点旋转180°，旋转后的图形为，不能和原图形重合，不符合题意； C．若把绕中心点旋转180°，旋转后的图形为，能和原图形重合，符合题意； D．若把绕中心点旋转180°，旋转后的图形为，不能和原图形重合，不符合题意． 故选C． 2. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 掷一枚骰子，向上一面的点数是7 B. 随意打开一本书，书的页码是奇数 C. 明天下雪的概率是，则明天一定会下雪 D. 任意画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查事件分类，涉及随机事件、必然事件和不可能事件的定义及识别，根据各类事件定义逐项验证即可得到答案，熟记随机事件、必然事件和不可能事件的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、掷一枚骰子，向上一面的点数是7，是不可能事件，不符合题意； B、随意打开一本书，书的页码是奇数，是随机事件，不符合题意； C、明天下雪的概率是，则明天一定会下雪，是随机事件，不符合题意； D、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意； 故选：D． 3. 拋物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．根据抛物线的顶点式即可求解． 【详解】解：拋物线的顶点坐标是． 故选：A． 4. 若是方程的一个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 5. 如图，为的直径，弦交于点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等；由等腰三角形的性质得，由同弧所对的圆周角相等得，，由直径所对的圆周角为直角得，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 为的直径， ， ， ， 故选：C． 6. 如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，连接，，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点，经过第2026次旋转后，顶点D在的位置，先求出点的坐标，再证明即可． 【详解】解：连接，，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点， 在正六边形中，，， ， ， 将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转， ，即8次旋转一周， 余2， ， 故经过第2026次旋转后，顶点D在的位置， ， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知的半径为2，若点在圆上，则______2（填“”、“”、“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键；因此此题可根据“当点到圆心的距离时，则点在圆外，当点到圆心的距离时，则点在圆上，当点到圆心的距离时，则点在圆内”可进行求解． 【详解】解：由题意得：； 故答案为：＝． 8. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，据此解答即可 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为： 9. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据图象平移规律即可求解，掌握：“自变量加减左右移，函数值加减上下移”的平移规律是解题的关键． 【详解】将抛物线先向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是； 再向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是； 故答案为：． 10. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲走了步（步为古代长度单位，类似于现在的米），根据题意可列方程：____________．（结果化为一般式） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程、勾股定理的应用，由题意得出，，，则，求出，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 由题意得：，，， ∴， ∵甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 整理得：， 故答案为：． 11. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由于三条弧所对的圆心角的和为180°，根据扇形的面积公式可计算出三个扇形的面积和，而三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC-三个扇形的面积和，再利用三角形的面积公式计算出S△ABC=?4?4=8，然后代入即可得到答案． 【详解】解：∵∠C=90°，CA=CB=4， ∴AC=2，S△ABC=×4×4=8， ∵三条弧所对的圆心角的和为180°， 三个扇形的面积和==2π， ∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC-三个扇形的面积和=8-2π． 故答案为8-2π． 12. 如图，在矩形中，，以为直径在矩形内作半圆，点P为半圆上的一动点（不与A，D重合），连接，当为锐角等腰三角形时，的长为________． 【答案】6或或 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、垂径定理等知识点，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． 分、、三种情况，分别画出图形、运用垂径定理、切线性质、勾股定理进行解答即可． 【详解】解：由题意可得：． ①当时，是等腰三角形，此时； ②如图：当时，是等腰三角形． 此时是的切线，连接交于F． ∴ ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴； ③当时，是等腰三角形． 如图：作于H，交⊙O于，作． ∴， 在中，， ∴ ∴（为钝角三角形，不符合题意），； 综上所述，的长为6或或． 故答案为6或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程： （2）如图所示，为的直径，弦于点，若，，求的长度． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，垂径定理，勾股定理，熟练掌握解一元二次方程的方法及垂径定理是解题的关键． （1）根据因式分解法解方程； （2）连接，根据垂径定理及勾股定理求出的长度． 【详解】解:（1） ∴，或 解得，； （2）解：连接，如图． ， ∵直径， ． ． 14. 已知抛物线经过点，． （1）求b，c的值． （2）用配方法求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1）； （2）抛物线的顶点坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求解函数表达式以及将抛物线表达式化为顶点式． （1）把，代入，列出方程组，即可求出b和c的值； （2）根据（1）中求出的b和c的值，得出抛物线的表达式，将其化为顶点式，即可求出顶点坐标． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得：， ∴该抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为． 15. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．某快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为4万件和万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递快递万件，那么该公司现有10名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 【答案】（1）该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%； （2）该公司现有的10名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加4名业务员． 【解析】 【分析】（1）直接利用三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为4万件和万件，表示出5月份的总件数进而得出方程； （2）首先求出6月份的任务，进而得出10名快递投递业务员能完成的快递投递任务，再利用每人每月最多可投递快递万件，即可得出需要的人数． 【小问1详解】 解：设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x， 根据题意得 ， 解得：（不合题意舍去）． 答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%； 【小问2详解】 ∵今年6月份的快递投递任务是（万件）， ∴10名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：， ∴该公司现有的10名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务： ∵平均每人每月最多可投递万件， ∴需要增加业务员（人）， 即该公司现有的10名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加4名业务员． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出5月份的任务量是解题关键． 16. 如图，已知是等边三角形，以为直径作，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图（1）中作的角平分线； （2）连接，在图（2）中作的角平分线． 【答案】（1） 解：如图，即为所作； ； （2） 解：如图，射线即为所作． ． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质． （1）设交于点，连接，如图，为的角平分线； （2）连接并延长交于点，连接交于点，作射线，利用三角形的角平分线相交于一点，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种． （1）小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液里，结果变红的概率是多少？ （2）小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式即可解题； （2）运用树状图列出所有可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可． 【小问1详解】 解：总溶液4瓶，其中碱性溶液2瓶（氢氧化钠和氢氧化钙），酚酞变红需溶液碱性， 故结果变红的概率是； 【小问2详解】 解：溶液标记为A（盐酸，酸性）、B（硝酸钾，中性）、C（氢氧化钠，碱性）、D（氢氧化钙，碱性），小明和小亮各选1瓶不同溶液，所有等可能结果列表如下： 小明 小亮 A B C D A —— B —— C —— D —— 总共有12种等可能结果， 变红溶液为C和D，不变色溶液为A和B， 一瓶变红一瓶不变色的结果有：，共8种。 ∴概率为． 四、解答题：（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 已知关于x的方程． （1）求证：k取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若斜边长，另两条边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）的周长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可； （2）利用根与系数的关系求得，，再利用完全平方公式得到，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵边长b，c恰好是这个方程的两个根， ∴，，（） ∵斜边长， ∴， ∴，即， 整理得，即， （负值已舍）， ∴， ∴的周长为； ∴的周长为． 19. 如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P． （1）求∠BDE的度数； （2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．判断DF和PF的数量关系，并证明． 【答案】（1）∠BDE＝90°； （2）DF＝PF， 证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°， 在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°， ∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°， ∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD， 即∠FPD＝∠FDP， ∴DF＝PF． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质即可求得结果； （2）由旋转的性质可得∠ACE=∠ADB=45゜，则易得∠FPD=∠DAC+∠ACE=∠CDF+∠ADB=∠FDP，从而可得DF=PF． 【详解】（1）由旋转的性质可知，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ADE=∠B， 在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°， ∴∠ADE＝∠B＝45°， ∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°． （2）略 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，关键是掌握旋转的性质． 20. 如图，是的直径，弦相交于点，，点F在的延长线上，，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求直径的长． 【答案】（1） 证明：， ． ， ， ， ， ， 是的直径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据，得出，根据，得出．结合三角形的内角和定理推出，即可推出是的切线． （2）由可得，根据勾股定理的得出．设，则，．根据勾股定理得出，列出方程，求出x的值，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 设，则，． 在中，， ， 解得， ， ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 小红和小琪在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表．小红站在点处，在点处将沙包（看作点）抛出，其运动的路线为抛物线（为常数，）的一部分，小琪恰在点处接住沙包，然后跳起在点处将沙包回传，其运动的路线为抛物线（为常数）的一部分． （1）求，的值； （2）若小红在与点的竖直距离不超过的范围内可以直接接到回传的沙包，当时，小红能否接住沙包？请说明理由． （3）若小红可以接到回传的沙包的范围为与的水平距离不超过，与点的竖直距离不超过的矩形，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 小红不能接到沙包；理由如下： ∵小红在与点的竖直距离不超过的范围内可以直接接到回传的沙包， ∴， ∴； 当时：， ∵， ∴小红不能接到沙包； （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用． （1）将点代入，求出的值，令，求出的值，即为的值； （2）把代入，求出值，根据题意，进行判断即可； （3）根据题意得到小红能接到红包的最低点为：，最高点为，分别求出此时的值，即可得出结果． 读懂题意，正确的计算，是解题的关键． 【小问1详解】 解：把点代入，得：， 解得：， ∴， 当时，，即：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵小红可以接到回传的沙包的范围为与的水平距离不超过，与点的竖直距离不超过的矩形， ∴，，即：，， 由题意，得：小红能接到红包的最低点为：，最高点为， 当经过时：，解得：； 当经过时：，解得：； ∴的范围为：． 22. 问题背景：（1）如图1，在等腰中，D为边上一动点，将绕点A逆时针旋转得到线段，连接，判断与的数量与位置关系，并证明； 尝试运用：（2）如图2，在中，D为边上一动点，以为斜边在右侧构造等腰，连接，求证：； 拓展提升：（3）在（2）的条件下，若，直接写出的长______________________． 【答案】 （1） 理由：∵将绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴； （2）证明：将绕点A逆时针旋转得到线段， 由（1）知，是等腰直角三角形， ∴，， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴D、O、E三点共线， ∵，， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴，即， ∴，， ∴； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判断，含的直角三角形的性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是： （1）根据旋转的性质可证明，然后利用证明即可； （2）将绕点A逆时针旋转得到线段，由（1）可得，是等腰直角三角形，判断，得出D、O、E三点共线，利用等腰三角形的性质证明O是中点，证明，利用勾股定理即可求解； （3）过O作于G，先证明，然后利用等腰三角形的性质等求出，，，在中，利用勾股定理求出，然后代入求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）过O作于G， 由（2）知：， 又， ∴， ∴，，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图1，已知二次函数图象与轴交点为，其顶点为． （1）求二次函数的表达式； （2）直线与轴交于，现将线段上下移动，若线段与二次函数的图象有交点，求向上和向下平移的最大距离； （3）若将（1）中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕点顺时针旋转，得到抛物线，如图2所示，直线与交于，两点，为上位于直线左侧一点，求面积最大值，及此时点的坐标． 【答案】（1） （2）CM向下平移的最大距离为，向上平移的最大距离为6． （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①设直线向下平移最大距离为，由△，即可求解；②设直线向上平移最大距离为，同理可解； （3）由，即可求解． 【小问1详解】 解：顶点， 设二次函数的解析式为， 把代入得：， ， ， 即； 【小问2详解】 解：由点、的坐标得，直线解析式为， ， ①设直线向下平移最大距离为， 平移后的直线解析式为， 此时直线与抛物线有一个交点， 把 代入， 得， ， △， 即：． ②设直线向上平移最大距离为， 此时，对应点为，， 则， 当恰在二次函数上时， ， ， 向上平移的最大距离为6． 综上，向下平移的最大距离为，向上平移的最大距离为6； 【小问3详解】 解：二次函数平移后顶点与原点重合时顶点为， 则函数的解析式为：， 设 为 上一点， 绕顺时针旋转 后，对应点为， 则， 则，， ， 若在轴左侧同理可证成立，即满足横坐标为纵坐标的平方， 所以， 把 代入， ， 解得：，； 则，， 设：， 过点作轴交于点， ， ， ， ， 当 时，有最大值，， 此时． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、面积的计算、图象的旋转等，有一定的综合性，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $