精品解析：新疆维吾尔自治区2025年普通高考第二次适应性检测数学试题

新疆维吾尔自治区2025年普通高考第二次适应性检测 数学 （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，根据并集概念求出答案. 【详解】，又， 所以. 故选：C 2. 若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】设（，），然后由复数除法运算得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】设（，），则 . 因为，，所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 3. 已知圆的圆心在抛物线上，且圆过定点，则圆与直线的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相离 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义可知，到焦点的距离等于到准线的距离， 所以圆与直线相切， 又因为抛物线的图象在轴的右侧， 所以圆与直线相交. 故选：A. 4. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用模长公式求出，再用夹角公式即可得到答案. 【详解】由模长公式， 由夹角公式. 故选：A. 5. 已知圆锥的表面积为9，它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件，求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积． 【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l， 圆锥的侧面展开图是一个半圆，则，得， 又表面积，解得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为． 故选：B． 6. 新疆维吾尔自治区博物馆推出古代文物精华展，5名志愿者准备到3个展厅参加志愿服务，若每个展厅至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有（ ） A. 54种 B. 90种 C. 150种 D. 540种 【答案】C 【解析】 【分析】将5名志愿者分为1，2，2和1，1, 3两种情况, 先分组再进行排列即可. 【详解】将5名志愿者分为1，2，2，则有种分法； 将5名志愿者分为1，1，3，则有种分法， 则不同的分配方案共有种. 故选：C. 7. 已知函数，，设，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】据题意，求得函数的值域为，结合题意转化为，列出不等式，即可求解. 【详解】因为，作出函数的图象，如图所示， 所以当时，；当时，， 故函数的值域为. 设，若存在，使得成立，即，只需， 即对于，满足成立， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 8. 已知函数，若方程在的解为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的图像和性质，先求出在的一条对称轴及与轴的两个交点，再由图像的对称性得到的关系及的范围，利用，把转化成即可求解. 【详解】因为，所以， 所以当时，解得即为在的一条对称轴, 当时，解得或， 即或为在与轴的两个交点， 又因为是方程在的解， 所以由图像的对称性可知，， 且，所以， 所以. 又因为，， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题有两个关键点： 关键一：由图像的对称性得到， 关键二：利用，把转化成. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（ ） A. B. C. 若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车 D. 若某天只有38分钟可用，小明应选择骑自行车 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性和事件的原则，逐项判断即可. 【详解】由题意：，. 对A：因为，，所以，故A错误； 对B：因为，，所以，故B正确； 对C：因为，，所以，所以只有34分钟可用，小明应选择坐公交，故C错误； 对D：因为，，所以，所以只有38分钟可用，小明应选择骑自行车，故D正确. 故选：BD 10. 已知函数，，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数关于对称 C. 函数的所有零点构成的集合为 D. 函数在上是增函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二倍角公式求的解析式，再求其周期，可判断A的真假；根据同角三角函数基本关系求的解析式，再分析函数性质，判断B的真假；根据辅助角公式求与的解析式，分析函数性质，可判断CD的真假. 【详解】对A：，其最小正周期为，故A错误； 对B：，其图象关于对称，故B正确； 对C：，由（），故C正确； 对D：，由，所以函数在上为增函数，又，所以D正确. 故选：BCD 11. 已知双曲线与直线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点．当点变化时，则（ ） A. B. 直线与两渐近线所围成的面积为定值 C. 有最大值 D. 记点，则点的轨迹方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，由直线与双曲线相切，联立方程组利用即可求解；对B，求出直线与两渐近线的交点，再利用面积公式即可求解；对C，先求出M点的坐标，由直线方程求出两点的坐标，利用基本不等式求的最大值；对D，由满足的关系式，得到点的轨迹方程. 【详解】双曲线与直线有唯一公共点， 则直线与双曲线的渐近线平行或与双曲线相切， 双曲线的渐近线方程为，而，所以直线与双曲线相切， 由，消去得， 由，化简得，A选项正确； 解得点M的坐标为，即，其中， 设直线与双曲线的渐近线的交点分别为， 则由，解得， 由，解得， 直线与轴的交点为， 故直线与两渐近线所围成的面积： ， 由A选项知，则，故B正确； 过点M且与l垂直的直线为， 可得， 因为， 则 ， 当且仅当，即时等号成立，而已知，C选项错误； 由， 即为，其中，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛： 由直线和双曲线的位置关系，通过联立方程组，得到；由直线与两渐近线的交点，求直线与两渐近线所围成的面积；求出点M的坐标和，由和的关系，得点的轨迹方程，结合基本不等式求有最大值. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】-1 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系及两角和的正弦公式即可求解. 【详解】将平方可得①， 将平方可得②， 将①②两式相加可得， 所以. 故答案为：-1 13. 已知函数，则_____，的最小值是_____． 【答案】，. 【解析】 【详解】， 若：，当且仅当时，等号成立； 若：，当且仅当时，等号成立，故可知． 考点：1．分段函数；2．函数最值． 14. 在中，，，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先把向量转化成三角形的有关性质，再求三角形面积的最大值. 【详解】如图：取、的中点、，连接、，交于点. 由，由. 又为的重心，所以. 设四边形的面积为，则. 设，则，所以当时，取得最大值1. 此时的面积也取得最大值：. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：该方法的关键在于根据向量运算的几何意义，把向量问题转化成三角形的边角关系. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且是等差数列，，． （1）求的通项公式； （2）记，求． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）分和，结合得到数列是等比数列，利用裂项相消得到数列的公差，进而得到通项公式； （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 因为，所以当时，解得， 当时，解得，由可知，即， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 设等差数列的公差为， 则 ， 解得，又因为，故； 【小问2详解】 ①， ②， ①-②，得， 即． 16. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点为，点在上，点与点关于轴对称． （1）求的方程； （2）设点为上异于的任意一点，直线与轴分别交于点，判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）是，2 【解析】 【分析】（1）依题意可得、，即可求出、，从而得解； （2）设，则，即可表示出直线方程，令求出，即可得到，同理得到，从而求出的值. 【小问1详解】 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍且右焦点为， 所以，解得，所以的方程为． 【小问2详解】 因为为椭圆上异于的任意一点，所以直线的斜率存在， 设，则， 直线方程为， 令，得，则， 同理可得， 所以， 因为， 所以， 故． 17. 手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式把图案设计和制作添加在编织物上的一种艺术，大致分为三个环节，简记为工序，工序，工序．经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，．现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激发参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在活动开始前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序，技术员只完成其中一道工序，且只能聘请一位技术员，需另付聘请费用100元，若制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用． （1）求小李独立成功完成三道工序的概率； （2）若小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，求他成功完成三道工序的概率； （3）为了使小李获得收益的期望值更大，请问小李是否需要聘请一位技术员？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）小李需要聘请一位技术员，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式得到小李独立成功完成三道工序的概率； （2）分三种情况，求出相应的概率，再相加得到答案； （3）分别求出没有聘请技术员参与比赛，和聘请技术员参与比赛，收益的期望值，比较后得到结论. 【小问1详解】 设事件“小李独立成功完成三道工序” 则． 【小问2详解】 设事件“小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，成功完成三道工序”， 当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：， 当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：， 当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：， 故． 【小问3详解】 若小李没有聘请技术员参与比赛，设小李最终收益为， ，所以， 若小李聘请一位技术员参与比赛，设小李最终收益为， 有如下几种情况： 技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时， 由（1）知，， 技术员参与补救并成功完成三道工序，此时，由（2）知， 技术员参与补救但仍未成功完成三道工序，此时， ， 所以， 因为，所以小李需要聘请一位技术员． 18. 如图，已知四边形是直角梯形，，，，是等边三角形，平面平面为的中点，为的中点，． （1）证明：平面平面； （2）分别为棱上的动点（不包含端点），当时，试判断二面角和二面角的大小是否相等，并说明理由． 【答案】（1） 因为是等边三角形，为的中点，，所以， 在底面内，过点作交于点，如图， 因为四边形是直角梯形，所以， 四边形为矩形，则， 因为，所以，，所以， 因为为的中点，所以， 在中，，所以， 所以，即， 因为是等边三角形，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面， 平面平面平面． （2）二面角和二面角大小相等， 理由： 二面角和二面角的大小相等，证明如下： 法一：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，， 设，则， ，， ， 易得平面和平面的法向量均为， 设平面的法向量， 则，令，则， 设平面的法向量， 则，令，则， 由已知易得二面角和二面角均为锐角， 设二面角和二面角的平面角分别为， 则，即． 法二：过作，交于，过作，交于，连接， 则平面， 同理可证平面， 平面平面，平面平面， ，且平面， 平面均与垂直， 二面角的平面角为，二面角的平面角为， ，， 与全等，， 即二面角和二面角大小相等． 【解析】 【分析】（1）由已知求出底面各边长，再利用线线垂直证明线面垂直，进而得到面面垂直； （2）方法一：建系，分别求出两个二面角的平面角的余弦值得到相等；方法二：将两个半平面延展，直接找到两个二面角的平面角，根据三角形全等得到二面角的大小相等. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知函数，其中． （1）若和的图象有公共点，求的取值范围； （2）若和的图象没有公共点，一条直线与和的图象都相切，切点坐标分别为和． 证明：（ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用方程有解，结合同构思想，进而构造函数，利用导数探讨单调性，将问题转化为求的值域即可. （2）（ⅰ）利用导数的几何意义求出指定点处的切线方程，建立关系并结合反证法推理得证；（ⅱ）由（ⅰ）的信息建立与的关系等式，借助分析法推理构造函数，利用导数求出最小值判断得证. 【小问1详解】 由和的图象有公共点，得方程有解， 即有解，又，令， 求导得，函数在上单调递增， 因此， 令，求导得，当时，；时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 （i）由，求导得， 的图象在处切线方程为，即， 的图象在处切线方程为，即， 则，两式相除得，假设，即， 解得，由（1）知，则，与矛盾，所以. （ⅱ）由（ⅰ）知：，即，则， ，整理得 不等式，令，则， 而，整理得， 因此， 令，求导得，由，得， 当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增， ， 所以成立. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆维吾尔自治区2025年普通高考第二次适应性检测 数学 （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知圆的圆心在抛物线上，且圆过定点，则圆与直线的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相离 4. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的表面积为9，它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 新疆维吾尔自治区博物馆推出古代文物精华展，5名志愿者准备到3个展厅参加志愿服务，若每个展厅至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有（ ） A. 54种 B. 90种 C. 150种 D. 540种 7. 已知函数，，设，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程在的解为，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（ ） A. B. C. 若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车 D. 若某天只有38分钟可用，小明应选择骑自行车 10. 已知函数，，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数关于对称 C. 函数的所有零点构成的集合为 D. 函数在上是增函数 11. 已知双曲线与直线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点．当点变化时，则（ ） A. B. 直线与两渐近线所围成的面积为定值 C. 有最大值 D. 记点，则点的轨迹方程为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 已知函数，则_____，的最小值是_____． 14. 在中，，，则面积的最大值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且是等差数列，，． （1）求的通项公式； （2）记，求． 16. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点为，点在上，点与点关于轴对称． （1）求的方程； （2）设点为上异于的任意一点，直线与轴分别交于点，判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由． 17. 手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式把图案设计和制作添加在编织物上的一种艺术，大致分为三个环节，简记为工序，工序，工序．经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，．现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激发参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在活动开始前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序，技术员只完成其中一道工序，且只能聘请一位技术员，需另付聘请费用100元，若制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用． （1）求小李独立成功完成三道工序的概率； （2）若小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，求他成功完成三道工序的概率； （3）为了使小李获得收益的期望值更大，请问小李是否需要聘请一位技术员？请说明理由． 18. 如图，已知四边形是直角梯形，，，，是等边三角形，平面平面为的中点，为的中点，． （1）证明：平面平面； （2）分别为棱上的动点（不包含端点），当时，试判断二面角和二面角的大小是否相等，并说明理由． 19. 已知函数，其中． （1）若和的图象有公共点，求的取值范围； （2）若和的图象没有公共点，一条直线与和的图象都相切，切点坐标分别为和． 证明：（ⅰ）； （ⅱ）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $