精品解析：山东省寿光第一中学2024-2025学年高三下学期开学检测数学试题

6学科网 命组卷网 2022级开学检测考试数学试题 一、单选 1.已知复数=2+i,=a-iaER),若复数为纯虚数，则实数0的值为《) 1 A.1 B.0 C.2 D.-1 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数乘法法则求出2,2a+1+(a-21,因为粟积为纯虚数，所以2a+1=0且 a-2≠0 ,即可求得结果. aq=- 【详解】因为32，=2a+1+(a-2)i,所以2a+1=0且a-2≠0，解得“=2 故选：C 2.蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活.如图所示的蒙古包由下面圆柱部分和 上面圆锥部分组合而成，用毛毡覆盖其表面（底面除外）·其中圆柱的高为2m,底面半径为4m,圆锥 的顶点到底面的距离是5m,则图中蒙古包所用毛毡的面积为() A.157m2 B.20nm2 C.30xm2 D. 36πm2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到圆锥的母线长，分别求得圆锥和圆柱的侧面积即可， 【详解】解：由题意得：圆锥的高为3m,底面半径为4m, 第1页/共29页 命学科网命组卷网 所以圆锥的母线长为5m, =rl=20元m2 所以圆锥的侧面积为 而圆柱的侧面积 S=2rl=16πm2 6πm 所以蒙古包所用毛毡的面积为 故选：D 3.从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取3球，那么互斥而不对立的两个事件是() A.至少一个红球和都是红球 B.至少一个黑球和都是红球 C.至少一个黑球和至少一个红球 D.恰有一个红球和恰有一个黑球 【答案】D 【解析】 【分析】由互斥事件及对立事件的定义进行依次判断。 【详解】对于A至少一个红球和都是红球不互斥，同时发生的情况是都是红球，A错误： 对于B至少有一个黑球和都是红球互斥并对立，所以B错误； 对于C至少一个黑球和至少一个红球，当一个黑球两个红球是可以同时发生，不互斥，C错误： 对于D,恰有一个红球和恰有一个黑球，互斥但不对立，存在情况都是红球或都是黑球，D正确 故选：D 4.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,D是AB上的点，CD平分∠ACB,CD=2 且csin A+-V5 acosC=0,则△ABC面积的最小值是(） A.4 B.4V3 C.8 D.8V5 【答案】B 【解析】 C2π 【分析】由正弦定理得到sinC=-V5cosC→tanC=-V5,求出=3，由三角形面积公式得 S..AC 5..cn 4 2 BC,根据SBc=S△CD+SAnCD,求出 2 第2页/共29页 命学科网命组卷网 AC.BC=2AC+2BC AC.BC≥16 ,由基本不等式，得到 ,从而求出面积最小值 【详解】csin4+V3 C=0,由正弦定理得sin Csin4+v3sin4cosC=0, 因为A∈(0，m,所以sinA>0,故sinC+V5cosC=0, 所以sinC=-V5cosC→tanC=-V5 yC2π 因为C∈(0，π)，所以C=3, CD平分∠ACB,故 ∠ACD=∠BCD= 3, 由三角形面积公式病5c=)CB4Cs 2 2元-5CBAC 34 5.4C.CDsin60 AC S.CD=2 IBC-CDsinor-5c 2 3 因为S△MBc=S△ACD+S△BCD,所以4 C.BC- AC+5BC 2 2 即AC·BC=2AC+2BC, 由基本不等式得2AC+2BC≥4VAC-BC 故4CBC24VB,BC,解得4C~BC≥16，当且仅当1C=BC=4时，等号成立， 故Sc=3AC4c≥4A 4 故选：B x2 y2 5已知椭圆C:。+尔=(a>b>0) 的左焦点为耳，焦距为2c,圆0：x2+y2=c2与椭圆C有四个 第3页/共29页 6学科网 组卷网 交点，其中点P,2分别在第、四象限，若△FP 为等边三角形，则椭圆C的离心率为() √2 √5 A√2-1 B.3 C.√5-1 D.2 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的对称性及定义结合离心率公式即可求解 【详解】由于△PQ为等边三角形，由椭圆的对称性可得 2PRE -I 6,所以 -eIrl- 阳风义海P-(5+水=2a所自-后后-1 故选：C M 6.若(2x-l=a,+a(x-)++a,x-l则a=（) A10 B.1 D10 【答案】D 【解析】 【分析】令f=x-l,将二项式变形为(2r+)=a,+a1+a,++a, ,然后利用二项式展开的通项 公式，即可求得a的值 第4页/共29页 6学科网列组卷网 【详解】因为(2x-)=a+a(c-)+a,(c-12++a,(x-1) 令1=x-L,则x=1+L,所以(21+l)3=a,+at+a,r2++a,r 又因为21+)展开式的通项为=C·(2).'=2rC(0≤r≤5，reN) 令5-=1，解得r=4,所以4=C·2=10 故选：D. 7.当x∈[-2π，2m列时，曲线y=simx与y=e-l的交点个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 【分析】令imr=e-易知x=0是imx=e-的一个根当re(0,2时，令 f()=c-1-sinx∈(0,2利用导数研究其单调性可判断方程根的个数当r∈-2,0)时 ，sinx=l-e心画出两个函数的图象判断交点个数求解 【详解】解：令sinr=e-, 当x=0时'sin0=e°- 故x=0是sinr=e-l的一个根 当xe(0,2m]时，sinx=e-1. 令f(x)=e-l-sinx,xe(0,2元， 则f'()=e-cosx>1-cosx≥0， 所以f(x)在x∈(0,2上单调递增， 第5页/共29页 6学科网6组卷网 所以/()>f0)=0, 所以x∈(0,2]时，e-1>sin,即方程sinr=e-l在x∈(0,2n无实数根 当r∈[-2m,0)时，sinx=1-e, y=1-e在r∈[2π，0)上单调递减，且y=l-e< 如图所示： y=1-e* 2π π io y=sinx y=1-e与y=sinr的图象在x∈[20)上有两个交点， 所以方程six=e-l在x∈-2x0)有两个不同的根 综上所述，曲线y=sinr与y=e-l的交点个数为3. 故选：C 当b<x<a 1 1 8已知随机变量5-N(2,o）,且P(5≤a-3b)=P(5≥b),则当b<x<2时，a-2x+x-b的最 小值为() 1+V2 3+2W2 7 A.4 B.4 C.4 D.4 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态曲线关于直线x=2对称，得出a+2b=4,即a-2x+2(x-b)=4 再利用基本不等 式，即可求出结果 【详解】由题意知，随机变量5-N(2,02)】 第6页/共29页 6学科网命组卷网 所以正态曲线关于直线x=2对称， 又P(5≤a-3b)=P(5≥b) 所以a-3b+b=4,即0-2b=4, 所以0-2x+2(x-b)=4 因为<<号 2,则a-2x>0,x-b>0. g2s。4as6e-2-2-明 2}02 2(x-b）_a-2x 当且仅当a-2xx-b,时取等号， 1 1 3+2V2 所以a-2xx-b的最小值为4一. 故选：B. 9.已知变量x,y的样本数据如下表，根据最小二乘法，得经验回归方程为户=x+3.4则《) 5 10 11 15 ∑（年--） 附：样本相关系数 截距 2-习②-可 会如e防6.-司 2(6-可 a=-b. 第7页/共29页 6学科网6组卷网 b=2.3 A. B.当x=5时，对应样本点的残差为0.6 C.表中y的所有样本数据的第70百分位数是11 D.去掉样本点(310)后，y与x的样本相关系数不变 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出样本中心点，利用样本中心点在经验回归方程上求出乃判断A,利用残差的概念判断B:利 用百分数的概念判断C；利用样本中心点正好是(3,10)可判断D =1+2+3+4+5 =3, 【详解】由表中数据可得 万=5+9+10+11+15 10, 5 因为经验回归方程为少=6r+3.4,经过点(310) 则10=36+34，解得：6=22，放八错误： 当x=5时.=2.2x5+3.4=14.4 时， 残差为15-14.4=0.6，故B正确： 因为5×70%=3.5， 所以表中y的所有样本数据的第70百分位数是从小到大排列的第4个数，为11，故C正确； 因为=3，了=10，所以去掉样本点(3,10)后，y与x的样本相关系数计算公式中的分子、分母都不发生 变化不变，所以相关系数的值不变，故D正确 第8页/共29页 6学科网 命组卷网 故选：BCD 10.已知圆台O,0上、下底面半径分别为1,4，半径为R的球0内切于圆台，则（) A.R=2 6元 B.圆台侧面展开图扇环的圆心角为5 6 C.过O的截面与底面所成角为60时，O2到截面距离为2 4V3 D.在圆台内放一正方体，正方体可绕其中心自由转动，则该正方体棱长的最大值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A,根据轴截面分析即可；对B,根据圆台的侧面积公式求解即可；对C,应用二面角及点到 平面距离计算即可：对D,计算圆台内能放下的最大球的直径，再根据该球为此正方体外接球求解即可 【详解】对A,圆台00上、下底面半径分别为1,4， A02=4,BO=1,AB=1+4=5,AO2-BO=3,O0=VAB2-32=4 则半径为R的球O内切于圆台，所以2R=4,故A正确； 第9页/共29页 6学科网命组卷网 BOC 02 对B,由A母线长为5，设圆台侧面展开图扇环的圆心角为a,则根据扇形弧长a×t=2元，α(+5)=8元 6元 所以“=5，故B正确 对C,过的截面与底面所成角为60°时，1 0T0,=60,00,1圆面0， 所以∠0,07=30,0,0，=4,0，到截面距离 0,0,×sin30°=2，故C错误： 03 对D,由题意A,圆台中能放下的最大球的半径为2，直径为4， 致在用合内改双个以任的正体，正方体过该转的的接正方体，枝长为台B故视 正确： 故选：ABD 1,如图，已知曲线C的方程为)=r-x,Mx)是曲线C上任意一点，则() 第10页/供29页 6学科网列组卷网 M(x,y) （-0,-1]U[1,+o0) A.点 横坐标的范围是 8宜线少 9与曲线C有两个交点 D设P(,),(,)是曲线C上两点，若X+x=1,(%<0),则P≥1 【答案】CD 【解析】 【分析】解不等式y=r-x之0可知A错误，构造函数求得f(四=r-在xe-1.0小[，+切)上的 最值，再由数形结合即可判断B错误；利用两点间距离公式构造函数 3四++E山0L+o并求得其最值，阿求得仙见 2,即C正确，分别对 +名=l和+名=-小分类讨论，利用两点间距离公式计算即可得PO=1,可知D正确 【详解]对于A,易知广=-x之≥0，即(x+1(x-120,解得xc1,0小[+w）,即A错误： 对于B,令函数f()=r-xx∈[-1,0]小U儿，+o) 则/)3x-山，令f)=0,可a=5 3, 第11页/共29页 6学科网列组卷网 上单调递增； 可了5 当re[+o)时，f()>0,即f(d)在[L+w)上单调递淄： 微=马板*世（司9{2 25、25 易知 9 9,所以直线y=2 9与曲线c在[-1,0]上有两个交点，在L,+0)上有一个交点，共 三个交点，即B错误： 令8)=r+r+好xel0小L+o）】 可g342x=0a+2.日-0.00g=号. 1引.e0,的a-引*0 [.g内<0.g利上4减 又-)=go-子，5当e0.82. 第12页/供29页 6学科网列组卷网 当xe[L,+m)时.8()280>4， 府我-+r子产4-.得4.tcE 对于D,由P(,片)(，h),<0 即，异号时，Pg=V:-}+(y-}'≥V(x-x}=k-x: 当+，=1时，不妨设>x,即1-x>x,解得<2： 又x∈-1.0小L,+w),所以5<0： 此时压-=1-2x>1即此时PO>1 当5+为=-1 时， 可得(x-尸=4m2 +片(m小-(*rgj-(分小w -}}j(-4a …-号行w-+g时j小g月 所u@-6-s+0-2m+子m+2[任m-5+0-2可m 第13页/供29页 6学科网命组卷网 ≥3+22 +-2*g1 PO 综上可知， ,即D正确 故选：CD 【点睛】关键点点睛：解决本题关键在于通过构造函数并利用导数求得函数单调性，得出函数最值；再结 合函数与方程的思想以及两点间距离公式计算可判断出结论 二、填空 12.已知随机事件A,B相互独立， P(A)=1-P(B),P(4)小P(B)=8'则P(4UB)的值为 【答案】8 【解析】 【分析】利用P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)求解 【详解】解：由题意得： P(AUB)=P(4)+P(B)-P(AB)=1-1-7 88, 故答案为：8 13.在（x-1(x-2)(x-3x-4)的展开式中，含x的项的系数是 【答案】-10 【解析】 【分析】根据乘法公式展开即可求出各项，进而确定系数和. 【详解】(-1x-2x-3x-4)的结果中含r的项， 定是三个括号用x另一个括号用具体数字进行相乘， 因此含x的项为r+(-2)r3+(-3)x2+(4x2=-10r 第14页/供29页 6学科网命组卷网 因此含的项的系数为-1+(-2)+(-3)+(-4)=-10. 故答案为：-10. 14.写出与椭圆C:2 +r=1和抛物线C,:x2=4y都相切的一条直线方程 【答案】 V2x-y-2=0或V2x+y+2=0(只需写出其中一个) 【解析】 y=kx+b 【分析】先说明所求直线的斜率存在，再设所求直线为 ,联立方程组结合切线性质列方程求 k,b ,由此可得所求直线方程 【详解】抛物线 =4y的对称轴为x=0, 所以抛物线的切线的斜率一定存在，故所求直线的斜率存在， y=kx+b 设所求直线的方程为 因为直线少=x+b 抛物线 2=4y相切， x2=4y 所以方程组y=+b只有一组解， 所以方程46一46=0只有个根。 所以方程-4x-4b=0的判别式△=16k+166=0.即2+b=0, +=1 因为直线y=x+b与椭圆2 相切， +x2=1 所以方程组 2 只有一组解， y=kx+b 第15页/供29页 6学科网列组卷网 所以方程(K+2小r+2x+-2=0只有一个根， 方程(k+2)2+2kr+-2=0的判别式△，=4-4(k2+2b-2)=0, 所以k2-2+2=0 所以b2+b-2=0 所以b=-2或b=1, [k=-√2∫k=√2 所以1b=-2或b=-2, 所以所求直线方程为V2x-y-2=0或V2x+y+2=0 故答案为： V2x-y-2=0或2x+y+2=0(只需写出其中一个即可). 三、解答题 n+n 15,已知正项数列{a,}前n项积为工，1og,7。-2 （山)求a,}的通项公式 （2)设么，=4+a,+…+a,求数列b.}的前n项和S 【答案】(1)0。=2” (2)Sn=(n-1)×2*2-n2-n+4 【解析】 【分析】(1)分n=1和n≥2两种情况讨论即可： (2)求出，求出血，根据错位相减法即可求出列b,}的前n项和S 【小问1详解】 第16页/供29页 6学科网命组卷网 Tn=22,当n=1时，41=2， n(n+1) T= 22 当 0少=2” n≥2 T122 n=1时适合上式，所以4=2” 【小问2详解】 2×1-2"） b= =21-2, 1-2 nbn=2n×2”-2n.Sn=b+2b2+…+nbn=2×2+4×22+…+2n×2”-(2+4+…+2n） 含0，=2x2+4x2++2n×20. 20.=2x2++(2n-2x2+2m×2"@. @-@g-0.=2xf+2++29）-2n×2m02）-2nx2-0-x24 1-2 所以2。=(n-1)x2*2+4 所以。=(n-1)x22+4-n(2+2m 2=(n-1)x22-n2-n+4. 16如图，在四校柱MBCD-ABCD中，底面ABCD是矩形'44=AB=2MD,∠D,DC=60,平面 DCCD1平面4BCD,点五，F分别为棱CC,M的中点 D A B 第17页/供29页 6学科网 命组卷网 （)证明：B,EDF四点共面： (2)求平面BDE与平面4BCD夹角的余弦值 【答案】1)取DD中点G,连接4AG,G.则有DG/1CE,DG=CE, B 所以四边形CDGE为平行四边形，所以CD/IEG,CD=EG, 又因为AB/ICD,AB=CD,所以AB/IEG,AB=EG, 所以四边形ABEG为平行四边形，所以BEI1AG,BE=AG, 又因为 F1/DG,AP=D,C所以四边形1GD,F为平行四边形， 所以1G/1DF所以BE/DF所以B,B,D,P点共面 G (2)4 【解析】 AGDF 【分析】(1)证明四边形 为平行四边形，利用平面的基本性质得出结论： (2)建立空间直角坐标系，利用向量方法求面面角 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取DC中点O,AB中点M,连接D,OOM, 因为M4=AB,∠D,DC=60'所以侧面DCCD是菱形， 第18页/共29页 命学科网命组卷网 所以D01DC 因为平 DCCD1平面ABCn,平面DCCD,n平面ABCD=CD,DOc平面DCCD, 所以D01 面ABCD,进而有 ,O⊥OM,D,O⊥OC, 因为底面ABCD是矩形，所以OM/10C,所以OMOC'OD两两互相垂直 如图所示建系， ZA D C M B 由（四知D0上平面ABCD,所以m=(0,01)是平面4BCD的一个法向量 gD-l则na0)L0,因t=L-jaE-02） 设元=(，火2)平面DBE的法向量，则i1DB,i1DE x+y-V3z=0, x-2y=0 以33三=O.听以 2 2=V3y 取y=1,则x=2,2=5.于是i=(2,1V)是平面D,BE的一个法向量 √56 设平面BD,E与平面AB,CD夹角为cos=- V4+1+34 6 即平面BD,E与平面A,B,C,D夹角的余弦值为4 c 2cosB+cosC 17.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知a2-cosA 第19页/供29页 命学科网命组卷网 (1)求A的值： (2)若BC,4C 边上的两条中线 AM,BN 相交于点P,且2AM=V21c求∠MPN的正切值 π 【答案】(1)3 √阝 (2)2 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理将边化角，再利用角之间的关系消去角C,运算即可得到 0sA=2'再求角即 可： (2)不妨设C=1,利用中线求出b,再利用正弦定理求解△ABN,进而在三角形ABP中求解即可 【小问1详解】 c 2cosB+cosC sinC 2cosB+cosC 在△ABC,因为a2-cosA，由正弦定理得：sinA2-cosA 2sinC-cosAsinC 2sinAcosB+sinAcosC, 2sinC=2sincos(sindcosC+cosAsinC), 因为sin4cosC+cos4sinC=sin(A+C), 所以2sinC=2 sinAcosB+sinB, sinC =sin(4+B)=sinAcosB+cosAsinB, 所以2 sinAcosB+2 cosAsinB=2 sinAcosB+sinB, 整理得2 cosAsinB=sinB, 第20页/共29页 6学科网命组卷网 因为△ABC中，sinB>0, 1 所以cos1= 又A∈(0，π)所以A=3 【小问2详解】 因为M是边C的中线，所以(B+AC) 则-4{a+4C+2西Ccs 国w.起-r,6o 即+h-20=0,解得'b=4或5（含 AN-b-2. 所以2 2 A中公 在 Sin乙4 BN sin∠ANB’即5W sin +∠ABN 3 2 1 即sin∠ABN sinr。 cos∠ABN+cossin∠ABN, 3 解得cos∠ABN=O, ∠ABN= 2 所以，在RIABN中，BN=VAW2-c2=√4-i=√5， 第21页/供29页 6学科网6组卷网 又易知，P是aABC重心，所以BP= 3w=25 3 tan∠MPN=tan∠APB=AB-1-V5 所 BP25=2 3 M x2,y2 √2 18已知椭圆C。+F=1a>b>0)的离心率为之'左、右焦点分别是爪，F,过E的直线与c交于 M,V两点aMN的周长为4V2 (1)求C的标准方程： (2)若OM⊥ON,记线段MN的中点为R. ()求R的坐标： (i)过R的动直线I与C交于P,O两点，PQ,PN的中点分别是S和T,求△RST面积的最大值 x2 【答案】(1)2+y=1 4 2 4V2 (2)(i) 5 5 或55： (i) 10 【解析】 cc2 【分析】(1)由椭圆的定义可得aMN的周长为4a,求出a=2.离心率e=。V万-2'解得 利用=a-c之求出，可得椭圆的方程： c=1, (2)()设出直线方程，与椭圆方程联立，结合数量积为0，求出直线的斜率，进而求R的坐标；(i) 第22页/共29页 6学科网命组卷网 4√2 不妨设点R的坐标是 5 '此时直线N的方程可化为 2x+y-2=0,SARST=SATRS 1 2 设点S到直线MN的距离为d,求出三角形的面积， 分类讨论，求出d的最大值，即可得出结论 【小问1详解】 由椭圆的定义可得△MN 的周长为4a,所以4a=4V2,所以a=V2. 离心索e=C=V a√22’解得c=1,所以b2=a2-c2=1, +y2=1. 所以椭圆C的标准方程为2 F2 【小问2详解】 (①)由(1)可得点F乃坐标（L0)易得过点B的所有直线与椭圆一定有两个不同的交点， 由OM1ON可得OM.ON=0, 回直线M0N斜率不存在时，在椭圆方程中令r=得”二2 21 所以OM.ON=1-=】≠0，所以不成立 22 ②直线N斜率存在时，设直线N的斜率为太，则其方程为y=k(x-)少， 第23页/共29页 命学科网命组卷网 设M(,h)N(:,), y=k(x-1), 由方程组 侣+=1去 (2k2+1)x2-4k2x+2K2-2=0, 4k2 2k2-2 则有+62k+7'= 2k2+1 所以有OM-0N=西+y=,+2(飞-1(x-1)=(k2+1)-k(飞+5)+2 (k2+1(2k2-2）4k4 +k2=2-2=0, 2k2+1 2k2+12k2+1 所以k=±V反. 当k=V2时”+书= 4*%=*52)同g小2 42 所以点R的坐标是 55 4V2 同理当k=-V时，点R的坐标是5’5 42 4V2 综上所述，点R的坐标是 5-5或5’5 ()根据对称性△RST面积最大值与点R所在象限无关， 4V2 不妨设点R的坐标是 55 此时直线MN的方程可化为 1 1 2x+y-V2-0 S.moT-S.ns-5Ns-.sw 设点S到直线MN的距离为d, 第24页/供29页 命学科网命组卷网 因为T为PN的中点，R为N的中点，所以可得 1 1 S.SNR 41 m-wd-nod-8a 4 线1斜率不存在时，点S坐标为5，此时点S到直线√2x+y-V2=O的真 .0 @我1牛.使省假'方行为-r台n写P心gWe化）. y=mx 5m- 5 由方程组 2+2=1 消去，得(2m2+1）x2-4m 5 4m(4m-V2) 则有 X3十x4= 5(2m2+1) 智 2m(4m-V2) 4m-√2 所以点S坐标为 5(2m2+1） 5(2m2+1) √2x2m(4m-V2） 4m-V2 所以可得d= 5(2m2+1 5(2m2+1 2√2(0m+√2)2 5 5v3(2m2+1） 令f(m)=m+2 2m2+1 ,m∈R,令t=m+2, 当m=V 2时，即=0 此时直线PQ与MN重合aRS7 0: 面积为 1 m=2t0时，则有2r-W2+2g4 y= +2 第25页/供29页 6学科网6组卷网 122 5 从而当i5’即m= 4时，f(m)取得最大值2 此时4sv6v6 -V6 3>15'所以dm=3'所以ARST面积最大值为10 B 【点酯】关键点点睛：解题的关候点是换元设面数了m)-勿2 2m2+1’再结合二次函数的性质求最值， 19.已知函数f(x)=e+x2,g(x)=xnx+(a+1x (1)求曲线'=8()在L8》处的切线方程， （2)若()28()，求0的取值范周， (3)若f()=8()有两个实数解七，七，证明：血x+1血6<0 【答案】1)(a+2)x-y-1=0 2)（o,e] (3)证明见解析 【解析】 【分析】(1)借助导数的几何意义计算即可得： (②)设F()-生-加x+-口+)，号数研究英华调性回可剂： (3)结合(2)申所得可得a>e可将所需证明内容转化为证明F(,)>F 等价于证明 第26页/共29页 6学科网命组卷网 +he e ->xe2 +In xe2 X2 X2 10 构造函数G)=x+nx结合其单调性只需证方-21血 再构造函 h(x)=x-21nx- x,利用导数研究其单调性即可得证 【小问1详解】 g()=a+1g'(x)=nx+a+2g'()=a+2 所以8()在80)处的切线方程为’-(a+)=(a+2(x-l) 即(a+2)x-y-1=0 【小问2详解】 由f()≥g()可知，e+r≥xlhx+(a+l)x.x∈(0，+∞). e-lnx+x-(a+)20在x∈(0，+o)上恒成立， 即 设F()-g-mx+x-(a+),F四--e+ 当x∈(0,1)时.F'()0,F(d在(0,1)单调递减： 当xe(L,+o)时，F'()>0,F(:在（，+o)单调递增， 所以x=1时，F()取得最小值，最小值为F()=e-a, 由题意知e-a≥0，即a≤e,放a的取值范围为-0，c； 【小问3详解】 方程+=x血x+(a+1)r有两实数解，。， 第27页/供29页 6学科网列组卷网 -lnx+x-(a+1)-0有两实数解，不妨设<， 即x 由(2)知方程/()=8()要有两实数解，则e-a<0,即a>e, 时ea.5e+o,eo) F(x)=-lnx+x-(a+)】 则F()=F()=0,F()在(0,1)单调递减， 欲证血写+n与<0，即5<1，与< =P)F）.F小F) e 等价于x -lnx+x>x,e5+ln+ 21 e 1 +ln 整理得x >e+ne回 X2 又G()在(0，+0）单调递增， 1 故①式等价于： >x,e”,即-2n5->0 令x-2hx士)=- 第28页/供29页 6学科网6组卷网 当x>1时，()>0，h()在，+∞)单调递增。 叉5>1，AG2h0E0.即2n0,7 所以<，则血+ln<0 【点防】关键点点睛：最后一间关键点在于将原不等式转化为证明F(3,)>F日 x 再转化为证明 e 1 1 C+Ine>xe*+ne X2 X2 最后转化为证明为一215-1>0，从而可构造函数 h(x)=x-2Ix-1 帮助证明 第29页/共29页 2022级开学检测考试数学试题 一、单选 1. 已知复数，，若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由下面圆柱部分和上面圆锥部分组合而成，用毛毡覆盖其表面（底面除外）．其中圆柱的高为，底面半径为，圆锥的顶点到底面的距离是，则图中蒙古包所用毛毡的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取3球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A. 至少一个红球和都是红球 B. 至少一个黑球和都是红球 C. 至少一个黑球和至少一个红球 D. 恰有一个红球和恰有一个黑球 4. 在中，角，，所对的边分别为，，，是上的点，平分，，且，则面积的最小值是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 5. 已知椭圆：的左焦点为，焦距为，圆：与椭圆有四个交点，其中点，分别在第一、四象限，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若则（ ） A. B. C. D. 7. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知变量x，y的样本数据如下表，根据最小二乘法，得经验回归方程为则（ ） x 1 2 3 4 5 y 5 9 10 11 15 附：样本相关系数，经验回归方程斜率，截距 A. B. 当时，对应样本点的残差为 C. 表中y的所有样本数据的第70百分位数是11 D. 去掉样本点后，y与x的样本相关系数不变 10. 已知圆台上、下底面半径分别为1，4，半径为的球内切于圆台，则（ ） A. B. 圆台侧面展开图扇环的圆心角为 C. 过的截面与底面所成角为60°时，到截面距离为 D. 在圆台内放一正方体，正方体可绕其中心自由转动，则该正方体棱长的最大值为 11. 如图，已知曲线的方程为，是曲线上任意一点，则（ ） A. 点横坐标的范围是 B. 直线与曲线有两个交点 C. 已知，则 D. 设，是曲线上两点，若，，则 二、填空 12. 已知随机事件A，B相互独立，且则的值为__________. 13. 在的展开式中，含的项的系数是______． 14. 写出与椭圆：和抛物线：都相切的一条直线方程______. 三、解答题 15. 已知正项数列前项积为，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 如图，在四棱柱中，底面ABCD是矩形平面平面ABCD，点E，F分别为棱的中点. （1）证明：B，EF四点共面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 记的内角的对边分别为，已知 （1）求A的值； （2）若边上的两条中线相交于点P，且求的正切值. 18. 已知椭圆的离心率为左、右焦点分别是过的直线与C交于M，N两点的周长为 （1）求C的标准方程； （2）若记线段MN的中点为 （ⅰ）求R的坐标； （ⅱ）过R的动直线l与C交于P，Q两点，PQ，PN的中点分别是S和T，求面积的最大值. 19. 已知函数，. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若，求的取值范围； （3）若有两个实数解，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $