精品解析：山东省潍坊诸城市龙城中学2024-2025学年高三下学期自主检测二数学试题

龙城中学高三下学期自主检测二 数学试题 2025年2月5日 一、单选题 1. 设集合，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用子集的概念计算可求的值. 【详解】因为集合，且， 所以或或，解得或或， 当时，，符合集合元素的互异性， 当时，，不符合集合元素的互异性，故舍去， 当时，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 综上所述：. 故选：D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数除法求出即可得对应点的位置. 【详解】由，得， 所以在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将用表示为，再利用诱导公式和二倍角公式求解即得. 【详解】因， 则. 故选：A. 4. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，，又，可得，可求. 【详解】因为，所以，所以，所以， 又因为，所以，又，所以， 所以，所以，所以. 故选：D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇偶性可判断CD不符合，利用赋值法可判断AB. 【详解】由，可得，所以，所以， 解得或，定义域关于原点对称， 又，故函数为奇函数，故排除CD； 又，， 故B符合，A不符合. 故选：B. 6. 已知为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线方程与抛物线方程联立后化简得，再结合韦达定理可求得，利用点到直线距离公式求得高，即可求解面积. 【详解】由得，设， 由得，则， 所以， 因为到直线的距离为， 则. 故选：C 7. 已知三棱锥的底面的面积为6，顶点在底面的投影在的内部，点P到底面三条边的距离均相等，且三个侧面的面积分别为，则该三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过向底面作垂线，垂足为，分别过向三边作垂线，垂足分别为，连接，由题意可证得，从而，可得为三角形的内心，再利用底面的面积和侧面积，分别计算可得的内切圆半径及的值，进而可求三棱锥的高，即可求体积. 【详解】过作底面，垂足为，分别过作，垂足分别为，连接， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理， 则，所以≌≌， 所以，所以为三角形的内心， 由三棱锥的三个侧面的面积分别为3，4，5，得三边之比为 不妨设为， 由底面的面积为6，所以，解得， ∴. 设内切圆的半径为，则，所以. 由侧面的面积为5，所以，所以. 所以， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用顶点到底面三条边的距离均相等，得到在平面的投影是三角形的内心，据此计算可求得体积. 8. 已知为定义在上的奇函数，其导函数为，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，函数为偶函数，结合为奇函数可求得函数的解析式，利用导数分析函数在上的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，即， 等式两边同时求导得，即， 即①，所以函数为偶函数， 因为为奇函数，则②， 联立①②可得， 当时，，仅当时取等号，所以函数在上为增函数， 由函数为偶函数，由可得，可得， 即，整理得，解得， 因此不等式的解集为. 故选：B. 二、多选题 9. 某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对甲、乙的演讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则（ ） A. 若去掉最高分和最低分，则甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分的极差大于乙得分的极差 C. 甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用极差、中位数及百分位数的公式计算，和方差的意义逐项判断即可. 【详解】甲、乙的得分从小到大排列如下： 甲：，乙：， 故去掉最高分和最低分可得甲的中位数为，乙的中位数为，故A正确； 甲的极差为，乙的极差为，故B正确； ，所以甲的第75百分位数为，乙的第75百分位数为，故C错误； 由图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确. 故选：ABD 10. 阿波罗尼斯是古希腊数学家，他研究发现：如果平面内一个动点到两个定点的距离之比为常数，且，那么这个点的轨迹为圆，这就是著名的阿氏圆.若点到点与点的距离之比为，则（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 点到直线距离的最小值为 C. 点到圆上的点的最大距离为 D. 若到直线的距离为的点至少有3个，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A根据距离比化简可得；选项B转化为圆心的直线的距离减半径可判断； 选项C转化为两圆圆心距加两个半径可得；选项D转化为圆心到直线的距离小于或等于可得. 【详解】设点坐标，由题意可得， 化简可得，故A正确； 在圆上，其圆心坐标为，半径为， 故点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减半径，即为 ，故B错误； 点到圆上的点的最大距离为到的距离加两个半径，即为 ，故C正确； 若到直线的距离为的点至少有3个， 设圆心到直线的距离为，则， 即，可得，故D正确， 故选：ACD 11. 已知函数，记的最小值为，则（ ） A. B. ，的图象关于直线对称 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】当时，设，令，求得，得出的单调性与最小值，求得，可判定A；由，可判定B；由A选项，即可求出的最大值，可判定C；由，得到，进而得到，从而可判定D． 【详解】对于A，当时，；当时，设，则， 令，可得，其中， 当时，，所以，可得； 当时，，所以，即， 所以，所以A错误； 对于B，因为， 所以函数的图象都关于直线对称，所以B正确； 对于C，由A选项知，，，所以的最大值为1，即的最大值为1，故C正确； 对于D，设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又由，所以，即，所以， 又，可得， 所以，所以D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：该题A，C选项的关键是，通过换元构造函数，借助导数，求出函数的最大值最小值，从而得解，对于B选项的关键是把对称问题，转化为证明等式恒成立问题，对于D选项的关键是构造函数，再一次借助导数，证明不等式，从而借助不等式性质，和数列求和即可得证. 三、填空题 12. 若函数同时满足以下三个条件，则其一个解析式可以为__________. ①在其定义域内有；②，有；③. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据条件写出函数即可. 【详解】，可知是偶函数，在上单调递减，符合①②两个条件， 又，所以符合条件③. 同理可得也符合条件. 故答案为：（答案不唯一） 13. 的展开式中常数项为______． 【答案】40 【解析】 【分析】由二项式定理及展开式通项公式可得：展开式的通项公式为,再利用乘法的分配律运算即可得解. 【详解】解：由展开式的通项公式为, 则 的展开式中常数项为-=40, 故答案为40. 【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题. 14. 在三棱锥中，两两垂直，，若点为三棱锥外接球上一动点，则点到平面距离的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】把三棱锥补成一个长方体，利用长方体的外接球可求得点到平面距离的最大值. 【详解】因为两两垂直，所以三棱锥可补成一个长方体，如图所示： 所以长方体的体对角线为三棱锥外接球的直径， 所以，所以外接球的半径， 又球心到平面的距离为， 因为点为三棱锥外接球上一动点， 所以点到平面距离的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 高血压是血液在流动时对血管壁造成的压力值持续高于正常范围的现象.改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血压水平下降，高血压发病率降低，控制高血压的发展.某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，开展“低碳万步走，健康在脚下”徒步走活动.下表为开展活动后近 5 个季度社区高血压患者的血压情况统计. 季度 1 2 3 4 5 血压明显降低（或治愈）人数 320 270 210 150 100 （1）若血压明显降低（或治愈）人数与季度变量（季度变量依次为1,2,3,4,5,…）具有线性相关关系，请预测第 6 季度血压明显降低（或治愈）的大约有多少人？ （2）社区将参加徒步走活动的队员分成了甲，乙，丙三组进行挑战，其规则为：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战某组，则下次挑战权在该组.若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为 ；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，，经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望． 附：回归方程 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1）预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有人. （2）分布列见解析，期望 【解析】 【分析】（1）首先计算和，再代入参考公式，求回归方程，代入，即可求解； （2）首先确定，再根据随机变量的意义，结合独立事件概率公式，即可求分布列，最后代入期望公式，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知，，， ， ， 所以回归方程， 当时，， 所以预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有人. 【小问2详解】 由题知，的所有可能值为0,1,2， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 期望. 16. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用给定条件结合余弦定理求解角度即可. （2）利用正弦定理边化角，再结合三角形周长公式将目标式用三角函数表示，利用三角函数的性质求解取值范围即可. 【小问1详解】 在锐角中，因为， 所以由正弦定理得，故， 得到，化为， 故得，化简得， 即，由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，由正弦定理得， 所以，且设周长为， 所以 ， 因为在锐角中，所以， 所以，解得， 综上可得，所以， 故，则， 得到，即， 故周长的取值范围为. 17. 如图，四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形. （1）证明：； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，取中点O，连接，先证明平面，即得证； （2）说明是二面角的平面角，以为原点，分别为轴，过与平面平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，可知轴在平面内，然后用空间向量法求线面角． 【小问1详解】 连接，取中点O，连接， 在直角梯形中，，， 则，从而， 所以是等边三角形，则，又是等边三角形，所以， 又，平面， 所以平面，而平面，所以. 【小问2详解】 由（1）的证明知是二面角的平面角，所以， 以为原点，分别为轴，过与平面平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系， 如图，轴在平面内， 又，同理， 则，，，， 则，， ，， 设平面的一个法向量是， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则． 18. 已知为坐标原点，双曲线的一条渐近线方程为，且点在上. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与的右支交于点（异于顶点），且以为直径的圆过的右顶点. （i）直线是否过定点？若是，求出该定点，若否，说明理由； （ii）设直线与轴交于点，求的取值范围. 【答案】（1）双曲线的方程为； （2）（i）直线过定点. （ii）取值范围为 【解析】 【分析】（1）由已知可得，求解即可； （2）（i）设直线与的右支交于点，分直线斜率是否存在两种情况求解，存在时，设的方程为，联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系可得，根据已知可得，可求定点，直线的斜率不存在时，由，计算可得结论；（ii）结合（i）可得，，可得，利用基本不等式可求取值范围. 【小问1详解】 因为双曲线的一条渐近线方程为，且点在上， 所以，解得，所以双曲线的方程为； 【小问2详解】 （i）直线过定点，理由如下： 设直线与的右支交于点， 当直线的斜率存在时，不妨设的方程为， 联立，消去得， 于是， 因为以为直径的圆过的右顶点. 所以，所以，所以，又， 所以，所以， 又， 所以， 所以， 所具， 整理得，即， 所以或， 当时，直线方程为，过定点，不满足条件； 当时，直线方程为，过定点， 当直线斜率不存在时，由，得，可得直线过点； 所以直线过定点 （ii）因为直线与的右支交于点，所以， ，所以， 所以， 又，所以， 对于直线，令，可得，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：求直线过定点问题，设直线方程为，关键在于根据已知条件得到的关系式，从而可求解. 19. 已知数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）设是的任意排列，表示其中同时满足条件①和②的排列的个数，为数列的前项和. （i）证明：； （ii）证明：能被2整除. 【答案】（1） （2）（i）（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）降次作差即可得，再根据等比数列通项公式即可； （2）（i）分，和讨论即可；（ii）根据余数规律猜测得猜测余数列以7为周期，再证明该猜想，结合即可. 【小问1详解】 当时，，所以． 当时，，又， 所以，即， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以． 【小问2详解】 （i）因为，所以或． 当，则各项分别除以2后，恰是满足条件①②的排列，其个数为； 当，则，此时各项分别除以8后，恰是 满足条件①②的排列，其个数为； 当，设是该排列中第一个出现的2的偶数次幂， 则前个数应是应是或． 由条件②知，排在后的各数，要么都小于，要么都大于． 因为4在后面，此时仅有1个排列，即递增排出所有2的奇数次幂， 再依递减的顺序排出所有的2的偶数次幂． 综上，得到递推关系． 因为， 将所有式子相加，得：， 因为，所以，得证． （ii）因为，由递推公式可得除以2的余数依次为：，猜测余数列以7为周期． 事实上，令表示除以2的余数， 则 所以数列的周期为7．又， 所以所以能被2整除，命题得证． 【点睛】关键点点睛：该题第二问第一小问的关键是对的值进行分类讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙城中学高三下学期自主检测二 数学试题 2025年2月5日 一、单选题 1. 设集合，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若，则（ ） A B. C. D. 4. 已知向量满足，且，则（ ） A B. 2 C. D. 3 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则的面积为（ ） A B. C. D. 7. 已知三棱锥的底面的面积为6，顶点在底面的投影在的内部，点P到底面三条边的距离均相等，且三个侧面的面积分别为，则该三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为定义在上的奇函数，其导函数为，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对甲、乙的演讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则（ ） A. 若去掉最高分和最低分，则甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分的极差大于乙得分的极差 C. 甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 10. 阿波罗尼斯是古希腊数学家，他研究发现：如果平面内一个动点到两个定点的距离之比为常数，且，那么这个点的轨迹为圆，这就是著名的阿氏圆.若点到点与点的距离之比为，则（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 点到直线距离的最小值为 C. 点到圆上的点的最大距离为 D. 若到直线的距离为的点至少有3个，则 11. 已知函数，记的最小值为，则（ ） A. B. ，的图象关于直线对称 C. D. 三、填空题 12. 若函数同时满足以下三个条件，则其一个解析式可以为__________. ①在其定义域内有；②，有；③. 13. 的展开式中常数项为______． 14. 在三棱锥中，两两垂直，，若点为三棱锥外接球上一动点，则点到平面距离的最大值为__________. 四、解答题 15. 高血压是血液在流动时对血管壁造成的压力值持续高于正常范围的现象.改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血压水平下降，高血压发病率降低，控制高血压的发展.某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，开展“低碳万步走，健康在脚下”徒步走活动.下表为开展活动后近 5 个季度社区高血压患者的血压情况统计. 季度 1 2 3 4 5 血压明显降低（或治愈）人数 320 270 210 150 100 （1）若血压明显降低（或治愈）人数与季度变量（季度变量依次为1,2,3,4,5,…）具有线性相关关系，请预测第 6 季度血压明显降低（或治愈）的大约有多少人？ （2）社区将参加徒步走活动的队员分成了甲，乙，丙三组进行挑战，其规则为：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战某组，则下次挑战权在该组.若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为 ；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，，经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望． 附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 16. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求周长取值范围. 17. 如图，四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形. （1）证明：； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知为坐标原点，双曲线一条渐近线方程为，且点在上. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与的右支交于点（异于顶点），且以为直径的圆过的右顶点. （i）直线是否过定点？若是，求出该定点，若否，说明理由； （ii）设直线与轴交于点，求的取值范围. 19. 已知数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）设是的任意排列，表示其中同时满足条件①和②的排列的个数，为数列的前项和. （i）证明：； （ii）证明：能被2整除. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $