精品解析：山东省泰安市肥城市2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024—2025学年度上学期期末考试 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共10页，两个大题25个小题，考试时间120分钟． 2．答题前请将答题卡上的考生信息项目填写清楚，然后将试题答案书写在答题卡的规定位置． 3．请认真书写，规范答题；考试结束，只交答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. 下列多项式：①；②；③；④中，能用公式法分解因式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列四个著名图案中，其中是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 七巧板 C. 斐波那契螺线 D. 谢尔宾斯基三角形 3. 若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 4. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置．若，则与所在直线的夹角（锐角）的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图，下列说法不正确的是（ ） A. 每月阅读课外书本数的众数是58 B. 每月阅读课外书本数的中位数是58 C. 从2到7月份阅读课外书的本数逐月下降 D. 从1到7月份每月阅读课外书本数的极差是50 6. 如图，将菱形绕其对角线的交点顺时针旋转后，再向右平移3个单位，则两次变换后点C对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车，达到世界先进水平，安全、舒适、快速是它的显著优点．从泰山站到北京站的距离是467千米，乘坐“复兴号”动车组列车将比乘坐普通快车节省2小时30分钟．已知“复兴号”动车组的平均速度比普通快车速度快80千米/时，设“复兴号”动车组的平均速度为千米/时，根据题意列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若凸多边形每个外角均为，过该多边形一个顶点的所有对角线条数是（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 36 9. 如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相平分四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 11. 如图1，在矩形中，动点从点出发沿方向运动到点停止，动点从点出发沿方向运动到点停止，若点同时出发，点的速度为，点的速度为，设运动时间为与的函数关系图像如图2所示，则的长为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 14 12. 如图，平行四边形的对角线交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中成立的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6小题，只要求填写结果） 13. 若，，则的值为________． 14. 小明用s2＝[（x1﹣2）2＋（x2﹣2）2＋…＋（x10﹣2）2]计算一组数据的方差，那么x1＋x2＋x3＋…＋x10＝__________________． 15. 若整式有一项因式为，那么的值为________． 16. 如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是______． 17. 定义：为分式（，，为实数）的“关联数”，若“关联数”相对应的分式的值为，则关于的方程的解是________． 18. 如图，在图1中，分别是等边的边的中点，在图2中，分别是的边的中点，已知的面积为1，按此规律，则的面积是_________． 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解答题 （1）分解因式：； （2）解方程：． 20. 先化简：，再从1，2，3中选择一个适合的数代入求值． 21. 为了解九年级学生对某个知识点的掌握程度，某校对九年级学生以人一组进行了随机分组，开展了一次素养调研，并用SOLO评分模型进行评分：“完全不理解”记为分，“了解了一个方面”记为分，“了解了几个独立的方面”记为分，“理解了几个方面的相关性”记为分，“能够综合运用”记为分，现从调查结果中随机抽取了个小组学生的得分，进行统计分析，过程如下： 【整理与描述】 （1）请补全第小组得分条形统计图；第小组得分扇形统计图中，“得分为分”这一项所对应的圆心角的度数为______． （2）【分析与估计】 平均数 众数 中位数 第1组 第2组 第3组 由上表填空：______，______，______； （3）若该校九年级有名学生，请你估计该校九年级学生在调研中表现为“能够综合运用”人数有______人； （4）【评价与建议】结合你的分析，请给第组的同学提供一条有关该知识点的学习建议． 22. 下面是小颖同学的数学日记，请你仔细阅读，并完成相应的任务． 月日星期一晴 今天上午的数学课上，我们小组对“测量某池塘宽度”进行了热烈讨论． 我发现：同学们都能学以致用，我学到的测量方法也特别多，现举几例，赏析如下． 小丽的方法：如（图），在过点且与垂直的直线上确定一点，使点可直接到达点，连接，在的延长线上确定一点，使，测出的长，则． 小丽的理由： ∵，， ∴． 小强的方法：如（图），在地面上选取一个可以直接到达点、的点，连接，，在，，上分别取点、，使，，连接，测出的长，则． 小强的理由： ∵，， ∴是的中位线， ∴ 同时，小强根据课外学过的数学知识还知道这样的结论： 若 那么 小亮的方法：如（图），在的延长线上取一点，在过点且与垂直的直线上确定一点，使从点可直接到达点，在过点且与垂直的直线上确定一点，使点，，在同一条直线上，测出，，的长，即可求出的长． 我的方法：在过点且与垂直的直线上确定一点，只需测得的度数和的长度，就可求出池塘的宽度． 我感悟：数学来源于生活又服务于生活，我们遇到问题要想办法，用所学的数学知识解决实际问题，同一问题可以用不同的方法来解决． 任务： （1）若按照小亮方法（图），测出，，，请你结合小强的结论，求出池塘的宽度； （2）小颖同学方法如（图），若测得，的长度为米，求池塘的宽度．（结果精确到米，参考数据：） 23. 近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． （1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． （2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 24. 如图，矩形中，对角线相交于点O，点F是边上的一点，连接，将沿直线折叠，点D落在点G处，连接并延长交于点H，连接并延长交于点M，交的延长线于点E，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：． 25. 一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，作于点．如图． （1）求证：； （2）在同一平面内，将图中的两个三角形按如图所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点． 当时，如图，求证：四边形为正方形； 当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，如图所示，画出点的位置，并直接写出线段，，的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期期末考试 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共10页，两个大题25个小题，考试时间120分钟． 2．答题前请将答题卡上的考生信息项目填写清楚，然后将试题答案书写在答题卡的规定位置． 3．请认真书写，规范答题；考试结束，只交答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. 下列多项式：①；②；③；④中，能用公式法分解因式的有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了公式法以及提取公因式分解因式，直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而得出答案． 【详解】解：①，能用公式法分解因式； ②，不能用公式法分解因式； ③，能用公式法分解因式； ④，能用公式法分解因式； 故选：C． 2. 下列四个著名图案中，其中是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 七巧板 C. 斐波那契螺线 D. 谢尔宾斯基三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，时刻注意分母不为这个条件．解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出，根据方程的解为非负数求出的范围即可． 【详解】解： 分式方程去分母得：， 解得：， 由方程的解是非负数，得到，且， 解得：且． 故选：． 4. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置．若，则与所在直线的夹角（锐角）的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．延长交于点E，根据题意求出，由旋转的性质得：，再利用三角形内角和定理得到，推出，即可求解． 【详解】解：延长交于点E， ∵，， ∴， 由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∴则与所在直线的夹角（锐角）的度数为， 故选：B． 5. 某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书数量，绘制了折线统计图，下列说法不正确的是（ ） A. 每月阅读课外书本数的众数是58 B. 每月阅读课外书本数的中位数是58 C. 从2到7月份阅读课外书的本数逐月下降 D. 从1到7月份每月阅读课外书本数的极差是50 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查折线统计图、众数及中位数的定义等知识点，解题的关键是掌握众数、中位数的定义，并能从统计图中得到必要的信息．根据众数、中位数、极差的定义一一判断即可． 【详解】解：A、从统计图，可以知道58出现的次数最多，因为众数是58，选项正确，故不符合题意； B、把数据从小到大排列：28，33，45，58，58，72，78，可以知道中位数是58，选项正确，故不符合题意； C、从统计图，可知2月份到4月份逐月下降，4月到5月上升，5到6月下降，6月到7月上升，选项不正确，故符合题意； D、最少的阅读本数是28，最多的本数是78，极差为，选项正确，故不符合题意； 故选：C． 6. 如图，将菱形绕其对角线的交点顺时针旋转后，再向右平移3个单位，则两次变换后点C对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，坐标与平移，先求出菱形绕其对角线的交点为，旋转得到点的对应点为，再根据点的平移：左减右加，上加下减即可得出结果． 【详解】解：由图和题意可知，， 设菱形的对角线的交点为，则：为点的中点， ∴， ∴ 设旋转后点的对应点为，则：， ∴， 将再向右平移3个单位，得到，即：； 故选C． 7. 中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车，达到世界先进水平，安全、舒适、快速是它的显著优点．从泰山站到北京站的距离是467千米，乘坐“复兴号”动车组列车将比乘坐普通快车节省2小时30分钟．已知“复兴号”动车组的平均速度比普通快车速度快80千米/时，设“复兴号”动车组的平均速度为千米/时，根据题意列方程正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】设“复兴号”动车组的平均速度为千米/时，则普通快车的速度为千米//时，根据乘坐“复兴号”动车组列车比乘坐普通快车节省2小时30分钟，列出方程即可．本题主要考查了由实际问题抽象出的分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的等量关系． 【详解】解：设“复兴号”的速度为x千米//时，则普通快车的速度为千米//时， 根据题意得， 故选：B． 8. 若凸多边形的每个外角均为，过该多边形一个顶点的所有对角线条数是（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理与多边形的对角线条数多边形的外角和是固定的，依此可以求出多边形的边数，然后根据过凸多边形一个顶点的所有对角线的总条数条计算即可． 【详解】解：∵一个多边形的每个外角都等于， ∴多边形的边数为． ∴过该多边形一个顶点的所有对角线的总条数， 故选：A． 9. 如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，的值最小， 此时， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是掌握矩形的性质并理解垂线段最短的意义． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形和菱形的判定，解题的关键是掌握矩形、菱形和平行四边形的判定方法．据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误，故此选项不符合题意； B．对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故此选项不符合题意； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，故此选项符合题意； D．对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 11. 如图1，在矩形中，动点从点出发沿方向运动到点停止，动点从点出发沿方向运动到点停止，若点同时出发，点的速度为，点的速度为，设运动时间为与的函数关系图像如图2所示，则的长为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合函数图像，可知当时，点在上运动；当时，点运动到点，即；当时，点在上运动；当时，点运动到点，即，结合矩形性质，利用勾股定理即可得到． 【详解】解：根据题意，结合函数图像可知： 当时，点在上运动，当时，点运动到点，则； 当时，点在上运动，当时，点运动到点，则； 在矩形中，，由勾股定理可知， 故选：C． 【点睛】本题考查从图像中获取相关信息，读懂题意，分析函数图像得到相应线段长，利用矩形的性质及勾股定理求解是解决问题的关键． 12. 如图，平行四边形对角线交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中成立的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质，证得是等边三角形以及是的中位线是解答本题的关键． 由中，，易得是等边三角形，又由，证得；继而证得，得；由、以及，可得；可得是三角形的中位线，证得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 平分， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，故正确； ， ，故正确； ，， ， ，故错误； ，，， ， ， ， ， ，故错误； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，只要求填写结果） 13. 若，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，求代数式值，掌握因式分解的步骤，公式的运用是解题的关键．先提公式，再运用公式法，将待求的代数式用已知的代数表示，代入求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 14. 小明用s2＝[（x1﹣2）2＋（x2﹣2）2＋…＋（x10﹣2）2]计算一组数据的方差，那么x1＋x2＋x3＋…＋x10＝__________________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据方差公式可以确定这组数据的平均数和数据个数，相乘即可得出答案． 【详解】解：由方差计算公式s2＝[（x1﹣2）2＋（x2﹣2）2＋…＋（x10﹣2）2]可知，这组数据的平均数是2，一共有10个数据， x1＋x2＋x3＋…＋x10＝2×10=20． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了方差公式，解题关键是熟记方差计算公式，根据公式确定平均数与数据个数． 15. 若整式有一项因式为，那么的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了因式分解和整式的乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．不妨设，然后利用整式的乘法得到，从而得到，，，最后算得答案． 【详解】解：不妨设 那么 ，， ， 故答案为：2． 16. 如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面密铺的问题．正多边形的组合进行平面镶嵌，位于同一顶点处的几个角之和为，从而可得的度数，计算正多边形的外角，由此可得边数． 【详解】解：正三角形和正方形的内角分别为与， ， 这块正多边形地砖的边数为， 故答案为：． 17. 定义：为分式（，，为实数）的“关联数”，若“关联数”相对应的分式的值为，则关于的方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键，先根据关联数求出m的值，进而代入关于的方程即可求解 【详解】解：∵相对应的分式的值为， ∴， 求解验根得： ∴可转化为， 求解验根得：， 故答案为： 18. 如图，在图1中，分别是等边的边的中点，在图2中，分别是的边的中点，已知的面积为1，按此规律，则的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由分别是等边的边的中点，可知，，是等边的中位线，则四边形、、、均为平行四边形，，由分别是的边的中点，同理可得，，推导一般性规律，然后作答即可． 【详解】解：∵分别是等边的边的中点， ∴，，是等边的中位线， ∴四边形、、、均为平行四边形， ∴， ∵分别是的边的中点， 同理可得，， ∴推导一般性规律，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中位线，平行四边形的判定与性质，图形的规律探究．解题的关键在于根据题意推导一般性规律． 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解答题 （1）分解因式：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式和解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般方法，注意最后对分式方程的解进行检验． （1）先提公因式，然后再用完全平方公式进行分解因式； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：两边同时乘以得： ． 解得：， 检验，当时， 所以原方程的解是． 20. 先化简：，再从1，2，3中选择一个适合的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号内的减法运算，再计算除法运算得到化简的结果，再选取使分式有意义的x的值代入求值即可．本题考查的是分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练的进行分式的混合运算是解本题的关键． 【详解】解：原式 ∵，， ∴， 则原式． 21. 为了解九年级学生对某个知识点的掌握程度，某校对九年级学生以人一组进行了随机分组，开展了一次素养调研，并用SOLO评分模型进行评分：“完全不理解”记为分，“了解了一个方面”记为分，“了解了几个独立的方面”记为分，“理解了几个方面的相关性”记为分，“能够综合运用”记为分，现从调查结果中随机抽取了个小组学生的得分，进行统计分析，过程如下： 【整理与描述】 （1）请补全第小组得分条形统计图；第小组得分扇形统计图中，“得分为分”这一项所对应的圆心角的度数为______． （2）【分析与估计】 平均数 众数 中位数 第1组 第2组 第3组 由上表填空：______，______，______； （3）若该校九年级有名学生，请你估计该校九年级学生在调研中表现为“能够综合运用”的人数有______人； （4）【评价与建议】结合你的分析，请给第组的同学提供一条有关该知识点的学习建议． 【答案】（1）①见解析；②； （2）； （3）； （4）调整“”分和“”分的学生心态，让他们积极的愉快的掌握该知识点． 【解析】 【分析】（1）①根据总人数为人，条形图各得分的人数即可解答；②根据调查总人数人，再利用扇形统计图得分为“”的百分数即可解答． （2）①根据条形统计图的数据即可解答；②根据扇形统计图的数据即可解答；③根据折线图即可解答． （3）先计算出三组人数中得分的百分数，再计算出人的表现为“能够综合运用”的人数即可解答． （4）调整“”分和“”分的学生心态，让他们积极的愉快的掌握该知识点． 【小问1详解】 解：∵随机调查的总人数为人，“”分的人数为人，“1”分的人数为人，“2”分的人数为人，“”分的人数为人， ∴“”分的人数为：（人）， 如图所示： ∵第小组得分扇形统计图中“得分为分”所占的百分数为， ∴“得分为分”这一项所对应的圆心角的度数为； 故答案为． 【小问2详解】 解：∵根据条形统计图可知“得分为分”的人数最多， ∴第组的众数为分， ∴， ∵根据第小组得分扇形统计图可知， “”分的人数为人，“”分的人数为人，“”分的人数为人，“”分的人数为人，“”分的人数为人， 第组的平均数是为， ∴， ∵第组的折线图可知中位数第和第个分数：， ∴第组的中位数是， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵第组得分为分的人数为人，第组得分为分的人数为人，第组得分为分的人数为人， ∴三组得分的总人数为人， ∵三组总人数为人， ∴九年级有名表现为“能够综合运用”的人数有（人）； 故答案为人． 【小问4详解】 解：调整“”分和“”分的学生心态，让他们积极的愉快的掌握该知识点． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数，众数，平均数，由样本估算整体，掌握中位数、众数、平均数的定义是解题的关键． 22. 下面是小颖同学的数学日记，请你仔细阅读，并完成相应的任务． 月日星期一晴 今天上午的数学课上，我们小组对“测量某池塘宽度”进行了热烈讨论． 我发现：同学们都能学以致用，我学到的测量方法也特别多，现举几例，赏析如下． 小丽的方法：如（图），在过点且与垂直的直线上确定一点，使点可直接到达点，连接，在的延长线上确定一点，使，测出的长，则． 小丽的理由： ∵，， ∴． 小强的方法：如（图），在地面上选取一个可以直接到达点、的点，连接，，在，，上分别取点、，使，，连接，测出的长，则． 小强的理由： ∵，， ∴是的中位线， ∴ 同时，小强根据课外学过的数学知识还知道这样的结论： 若 那么 小亮的方法：如（图），在的延长线上取一点，在过点且与垂直的直线上确定一点，使从点可直接到达点，在过点且与垂直的直线上确定一点，使点，，在同一条直线上，测出，，的长，即可求出的长． 我的方法：在过点且与垂直的直线上确定一点，只需测得的度数和的长度，就可求出池塘的宽度． 我感悟：数学来源于生活又服务于生活，我们遇到问题要想办法，用所学的数学知识解决实际问题，同一问题可以用不同的方法来解决． 任务： （1）若按照小亮的方法（图），测出，，，请你结合小强的结论，求出池塘的宽度； （2）小颖同学的方法如（图），若测得，的长度为米，求池塘的宽度．（结果精确到米，参考数据：） 【答案】（1）20米 （2）19米 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质，含角直角三角形的性质，能综合运用与三角形有关的性质是解题的关键． （1）证明，再根据相似三角形的性质列式计算即可； （2）根据含角三角形的性质得到，间的关系，再利用勾股定理列方程可求出池塘的宽度． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴． 解得：． 答：池塘的宽度为米； 【小问2详解】 解：在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴米． 答：池塘的宽度约为米． 23. 近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． （1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． （2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 【答案】（1）20元 （2）2250元 【解析】 【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，根据题意列出方程，解出方程即可； （2）设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，花费为y元，根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，解出m的取值范围，列出花费y 与A种菜苗捆之间的关系式，根据关系式求出最少花费多少钱即可． 【小问1详解】 解：设：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元， 解得 检验：将代入，值不为零， ∴是原方程的解， ∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元． 【小问2详解】 解：设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，费用为y元， 由题意可知：， 解得， 又∵， ∴， ∵y随m的增大而减小 ∴当时，花费最少， 此时 ∴本次购买最少花费2250元． 【点睛】本题考查分式方程与一次函数表达式求最小值，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键． 24. 如图，矩形中，对角线相交于点O，点F是边上的一点，连接，将沿直线折叠，点D落在点G处，连接并延长交于点H，连接并延长交于点M，交的延长线于点E，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质证明，，由此即可证明得到，进而推出，再由，即可证明四边形是平行四边形； （2）由（1）的结论可得，进一步证明，再证明，即可证明． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得 ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25. 一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，作于点．如图． （1）求证：； （2）在同一平面内，将图中两个三角形按如图所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点． 当时，如图，求证：四边形为正方形； 当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，如图所示，画出点的位置，并直接写出线段，，的数量关系． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析；当时，，证明见解析；当时， ，证明见解析． 【解析】 【分析】因为，根据等腰三角形三线合一定理可知点是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，在中，、，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可知，又因为，可证结论成立； 当时，可证，根据、，可证，所以可知四边形为矩形，因为，，可知，所以可证四边形为正方形； 当时，连接，可证，根据全等三角形的性质可证，所以可证；当时，连接，，根据全等三角形的性质可证，所以可证． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 证明：，， ，， ， ， ， 四边形为矩形， ，即，， 四边形是正方形； 解：当时，线段，，的数量关系为； 当时，线段，，的数量关系为； 如图，当时，连接， 由可得：， 在和中 ， ， ， 如图，当时， ， 当时，连接， 由可得：，， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定、含角的直角三角形的性质，解决本题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半，找到线段之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $