第六章 图形的相似 基础提优练习2024－2025学年苏科版（2012）数学九年级下册

第六章 图形的相似 基础提优练习 一、单选题 1.下列四组线段是成比例线段的是( ) A. B. C. D. 2.如图,某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度,已知人的站位点A,镜子O,树底B三点在同一水平线上,眼睛与地面的高度为1.6米,米,米,则树高为( )米 A.4 B.5 C.6 D.7 3.如图,在内,画有边长依次为,,的三个正方形,则,,之间的关系是() A. B. C. D. 4.如图,在平面直角坐标系中,与是以点O为位似中心的位似图形,若,点B的坐标是,则点E的纵坐标是( ) A.7 B.8 C.10 D.9 5.如图.,若,,,则DF的长是( ) A.3 B.5 C.6 D.8 6.如图,等边中,点,分别在边,上,,交于点. 若. 则的长为( ) A. B. C. D. 7.如图,交于点D,,,,,则的长等于( ) A. B. C. D. 8.已知点A是双曲线在第一象限分支上的一个动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为边作等边三角形ABC,点C在第四象限内,随着点A的运动,点C的位置也不断变化,但点C始终在双曲线上运动,则k的值是( ) A.1 B. C. D.2 9.如图,矩形的边,点是边上的一点,连接,将沿折叠,使点落在边上的点处,若与的面积之比为,则的长为( ) A. B. C. D.5 10.已知四边形ABCD两条对角线相交于点E,AB=AC=AD,AE=3,EC=1,则BE•DE的值为( ) A.6 B.7 C.12 D.16 二、填空题 11.如果,则= . 12.若,则的值为 . 13.如图,,反比例函数的图象过点B,若点A的坐标为,,则 . 14.在一张由复印机通过放大复印出来的纸上,一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm,则这次复印出来的图案的面积是 15.如图,直线,若,,则的长为 . 16.如图, 是半圆直径, 半径于点平分交弧于点, 连接 , 给出以下四个结论: (1); (2) (3)(4). 其中正确结论的序号是 . 17.已知反比例函数y=(x>0)的图象经过A、B两点,的延长线交x轴于点C,以为边作平行四边形,连接的面积为3,,则 . 18.如图,已知,,点D在射线上,以为边作正方形,连接、,则的最小值为 . 19.如图,中,,,,D,E分别为中,边上一点,将沿折叠,点A的对应点为点F,使得,当点F落在的高上时, . 20.如图,已知正方形的边长为1,点是线段上的动点,过点作,使,连接交于点,交于点.以下结论正确的是 . ①; ②; ③点到直线的距离最大值为; ④点到直线的距离最大值为. 三、解答题 21.若,求的值. 22.如图,在中,,,,,求的长. 23.如图,在四边形中,,点E在上,. (1)求证:; (2)若,求的长. 24.如图,为上一点,点是直径延长线上的一点,连接,且. (1)求证:是的切线; (2)若,,求的长. 25.如图,在平面直角坐标系中,每个小正方形的顶点叫做格点,的三个顶点都在格点上. (1)将绕点逆时针旋转,得到,画出; (2)以为位似中心,在位似中心异侧把放大到原来的倍,得到,画出. 26.如图,四边形内接于,平分,交于点M. (1)如图1,求证:. (2)如图2,若经过圆心O,且,求的长. 27.如图1,⊙O是的外接圆,是直径,,交⊙O于点E,且. (1)求证:是⊙O的切线; (2)若点E为线段的中点,判断以O、A、C、E为顶点的四边形的形状并证明; (3)如图2,作于点F,连接交于点G,求的值. 28.如图,在中,,.如果点P由B出发沿向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动.已知点P的速度为,点Q的速度为.连接,设运动的时间为t(单位:s)() (1)求,的长; (2)当t为何值时,与相似. (3)当t为何值时,的面积为面积的. 试卷第2页,共7页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案 1.B 【分析】本题考查了比例线段,如果最大线段最小线段其他两条线段的乘积,那么这些线段是成比例线段,据此进行逐项分析,即可作答. 【详解】解:A、,这些线段不是成比例线段,故该选项错误; B、,这些线段是成比例线段,故该选项正确; C、,这些线段不是成比例线段,故该选项错误; D、,这些线段不是成比例线段,故该选项错误; 故选B. 2.A 【分析】点作镜面的法线,由入射角等于反射角可知,则,由相似三角形的判定定理可得出,再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长. 【详解】解:点作镜面的法线,由入射角等于反射角可知, , , , 又, , , 米,米,米 , 米. 故选:A. 【点睛】本题考查相似三角形性质的应用,解题时关键是找出相似的三角形,然后根据对应边成比例 列出方程,建立适当的数学模型来解决问题. 3.B 【分析】易证,得到,然后代入,,进行计算即可. 【详解】由题意易证:, ∴, 则, ∴, ∴, 故选:B. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定,解题关键是根据相似找出对应边成比例. 4.B 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质,根据位似图形的概念得到,得到,进而求出,根据位似变换的性质计算,得到答案. 【详解】解:与是以点O为位似中心的位似图形, , , , 与的相似比为, 点B的坐标是, 点E的坐标是,即, 点E的纵坐标是8. 故选:B. 5.B 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理作答即可.本题考查的是平行线分线段成比例定理,根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键. 【详解】解:∵, , ,,, , , , 故选:B. 6.D 【分析】本题考查了等边三角形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,过点作的垂线段,交于点,利用勾股定理求得的长度,再证明,利用相似三角形的性质求得,即可解答,熟练运用相似三角形求线段长是解题的关键. 【详解】解:如图,过点作的垂线段,交于点, ,, , 是等边三角形, , ,, , , , , , , , , , , 故选:D. 7.A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质,证明推出可得结论,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题. 【详解】 , 故选:A. 8.A 【分析】根据反比例函数的性质得出OA=OB,连接OC,过点A作AE⊥x轴于E,过点C作CD⊥x轴于D,根据等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质即可求得结果. 【详解】∵双曲线关于原点对称 ∴A、B关于原点对称 ∴OA=OB 连接OC,过点A作AE⊥x轴于E,过点C作CD⊥x轴于D,如图所示 ∵ ABC是等边三角形 ∴OC⊥AB,∠BAC=60゜,AB=AC,AC=2OA ∴由勾股定理得: ∵AE⊥OE,CD⊥OD ∴∠AEO=∠CDO=90゜ ∵∠AOE+∠COD=∠COD+∠OCD=90゜ ∴∠AOE=∠OCD ∴Rt AOE∽Rt OCD ∴ 由反比例函数比例系数k的几何意义知: ∴ ∵k>0 ∴k=1 故选:A 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,反比例函数比例系数k的几何意义,等边三角形的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理等知识,综合运用这些知识进行推理和计算是解题的关键. 9.B 【分析】本题主要考查矩形的性质,折叠的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理的运用,掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键. 设,由四边形是矩形,可得,根据折叠的性质得:,,从而得出,证得,再利用相似三角形性质得出,最后在中,通过,列出方程求解即可. 【详解】设, ∵四边形是矩形, ∴, ∴, 根据折叠的性质得:,, ∴, ∴, ∴, ∴, 即, ,, , , ∵在中,, ∴ 解得:(舍去), ∴. 故选:B. 10.B 【分析】根据AB=AC=AD,可知点D、C、B在以点A为圆心的圆上,延长CA交⊙A于点F,连接DF,EF=AF+AE=AC+AE,再证明 FDE∽ BCE,,即BE•DE=CE•EF,则问题得解. 【详解】∵AB=AC=AD, ∴点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动, 如图,延长CA交⊙A于点F,连接DF, ∵AE=3,EC=1, ∴AC=AF=AE+CE=3+1=4, 即EF=AE+AF=3+4=7, ∵∠F=∠CBD,∠FDB=∠FCB, ∴ FDE∽ BCE, ∴, 即BE•DE=CE•EF=1 7=7, 故选:B. 【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识,根据AB=AC=AD,确定点D、C、B在以点A为圆心的圆上,是解答本题的关键. 11. 【分析】先根据分式的除法进行计算,求出的值,再代入求出即可. 【详解】解:, , , , 故答案为:. 【点睛】本题考查了比例的性质,能灵活运用性质进行计算是解此题的关键. 12. 【分析】由题意根据两内项之积等于两外项之积列式整理,并代入要求的式子即可. 【详解】解:∵ ∴,即, ∴. 故答案为:. 【点睛】本题考查比例的性质,熟练掌握并利用两内项之积等于两外项之积的性质对式子变形整理是解题的关键. 13. 【分析】过点A作轴,过点B作轴,证明,求得.据此即可求解. 【详解】 解:如解图,过点A作轴,过点B作轴,垂足分别为C,D, 则, ∴. ∵, ∴, ∴, ∴, ∴. ∵点A的坐标为, ∴, ∴, ∴,即, ∴. ∵反比例函数的图象经过点B, ∴k的值为. 故答案为:. 【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式,相似三角形的判定和性质,证明是解题的关键. 14.32 【分析】复印前后的图案按照比例放大或缩小,因此它们是相似图形,按照相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可. 【详解】解:∵在一张由复印机通过放大复印出来的纸上,一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm, ∴相似比, ∴面积比, ∴这次复印出来的图案的面积. 故答案是:32. 【点睛】考查了相似图形,掌握相似图形面积之比等于相似比的平方是解题的关键. 15.12 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理求解. 【详解】解:∵直线, ∴, 即, 解得:DF=12, 故答案为:12. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 16.(1)(4)/(4)(1) 【分析】(1)根据等腰三角形的性质和角平分线的性质,利用等量代换求证即可;(2)过点E作于点F,根据平分交弧于点D,求得,又得,进而得; (3)两三角形中,只有一个公共角的度数相等,其它两角不相等,所以不能证明(3); (4)根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,求出,再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出,再求证,利用其对应变成比例即可得出结论. 【详解】解:(1)∵, ∴, ∵平分交弧于点D, ∴, ∴, ∴, ∴(1)正确. (2)过点E作于点F, ∵平分交弧于点D,, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴(2)错误. (3)∵在和中,只有, ∵, ∴, ∴不能证明和相似, ∴(3)错误; (4)∵平分交弧于点D, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵(已证), ∴, ∴, ∴, ∴, ∴(4)正确. 综上所述,只有(1)(4)正确. 故答案为:(1)(4). 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形内角和定理等知识点的灵活运用,此题步骤繁琐,但相对而言,难易程度适中,很适合学生的训练是一道典型的题目. 17./ 【分析】分别过点A和点B作x轴的垂线,垂足分别为点E和点F,先求出,利用得到,得到,可设点A纵坐标为,则点B的纵坐标为,则点,,求出,再求出,则,由得到,即可得到k的值. 【详解】解:分别过点A和点B作x轴的垂线,垂足分别为点E和点F, 则, ∵四边形是平行四边形, ∴,, ∴, ∴, ∵的面积为3, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴可设点A纵坐标为,则点B的纵坐标为, 则点,, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, 解得, 故答案为: 【点睛】此题考查了求反比例函数系数,用到了反比例函数的图象和性质、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识,准确计算和数形结合是解题的关键. 18. 【分析】本题主要考查等边三角形和等腰三角形的判定和性质,动点问题,正方形的性质,熟练掌握性质定理是解题的关键.以为边作等腰,连接,得到,作点关于的对称点,连接、、、,证明,设垂足为,求出,即可得到答案. 【详解】以为边作等腰,连接, 则,, , , , 点在直线上运动, 作点关于的对称点,连接、、、, 则, 是等边三角形, , 又, , ,, , 设垂足为,则, , , , 即的最小值为. 故答案为:. 19.或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、翻折的性质、菱形的性质与判定,熟练掌握以上知识点,找出图中的相似三角形并利用相似三角形性质求线段长是解题的关键.由题意得,分2种情况①点F落在上时;②点F落在边上的高时,分别画出对应的图形,利用翻折的性质和菱形的判定方法得到四边形是菱形,设菱形的边长为,再利用相似三角形的对应边成比例性质,求出的值即可解答. 【详解】解:①当点F落在上时,如图, 由折叠的性质得,,, , , , , 四边形是平行四边形, 又, 四边形是菱形, 设菱形的边长为,则,, , , ,即, 解得:, ; ②当点F落在边上的高时,延长交于点,则有,如图, , , , 又, , ,即, 解得:, 同理①可得,,四边形是菱形, 设菱形的边长为,则,, , , ,即, 解得:, ; 综上所述,或. 故答案为:或. 20.①④ 【分析】根据得到,从而得到,根据正方形得到,从而得到,即可得到,即可得到,根据得到,过F作,,将绕B点逆时针旋转得到,易得,即可得到点到直线的距离等于,设,表示出,结合函数关系即可得到答案. 【详解】解:∵,四边形是正方形, ∴,, ∴,, ∴, ∴,故①正确; ∵, ∴, 将绕B点逆时针旋转得到, ∴,,,, ∴, ∴E、C、K在同一直线上, ∴, ∴, ∵,, ∴, ∴,, ∴, ∵,, ∴, ∴, ∴, ∵,, 又∵不一定等于, ∴不一定等于,故②错误; 过点H作于点P,过F作,,设, ∵,, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴平分, ∵,, ∴, ∴当,即时,最小,且最小值为,故④正确, ∵,,, ∴, 在与中, , ∴, ∴, ∵点是线段上的动点, ∴最大值为1, ∴点到直线的距离最大值1,故③错误; 故答案为:①④. 【点睛】本题考查正方形的性质,三角形相似的性质与判定,三角形全等的性质与判定,解题的关键是作出辅助线,得到线段及角度关系. 21. 【分析】本题主要考查了比例的性质,解题的关键是直接利用已知设,,,进而代入得出答案. 【详解】解:∵, ∴设,,, ∴. 22.6 【分析】根据,可得,从而得到,即可求解. 【详解】解:∵, ∴, ∴, ∵,,, ∴, 解得:. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键. 23.(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质; (1)由及可得,从而可得这两个直角三角形相似; (2)由相似三角形的性质即可求出,进而求得的长. 【详解】(1)证明:∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴. (2)解:∵, ∴,即, ∴, ∴. 24.(1)见解析 (2)5 【分析】(1)根据圆周角定理和等腰三角形的性质,得出,即即可得出结论; (2)利用相似三角形的判定与性质,求出,进而求出半径,再求出即可. 【详解】(1)如图,连接, ∵是的直径, ∴, 即, ∵, ∴, 又∵, ∴, 即, ∵是的半径, ∴是的切线; (2)∵,, ∴, ∴, 即, ∴, ∴ ∴ 【点睛】本题考查圆周角定理,等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质,掌握圆周角定理,相似三角形的性质是解题关键. 25.(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查作图—位似变换、作图—旋转变换, (1)根据旋转的性质作图即可; (2)根据位似的性质作图即可; 解题的关键是掌握位似的性质:①位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比;②位似图形的对应点连线交于一点;③位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等;④位似图形是相似图形;旋转的性质:①对应点到旋转中心的距离相等;②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;③旋转前后的图形全等. 【详解】(1)解:如图即为所作; (2)如图即为所作. 26.(1)见解析 (2) 【分析】(1)由角平分线的定义可得,即可得出,结合圆周角定理推出,由相似三角形的性质可得,即可得证; (2)由圆周角定理结合角平分线的定义得出,从而得出,推出,由勾股定理得出,,作于,求出、的长,即可得解. 本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理,熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键. 【详解】(1)证明:平分, , , , , , , ; (2)解:为直径, , 平分, , , , 在中,,, , 在中,,, , 作于, , 在中,,, , 在中,,, , . 27.(1)见解析 (2)四边形是菱形;证明见解析 (3) 【分析】(1)根据圆周角定理得出,再由等量代换得出,利用切线的判定即可证明; (2)连接,根据等边三角形的判定和性质得出为等边三角形,再由平行四边形及菱形的判定证明即可; (3)根据相似三角形的判定得出及,再由其性质求解即可. 【详解】(1)证明:∵是⊙O的直径, , ,, ∵,, ∴, ∵, ∴, , , , ∴为⊙O的切线; (2)证明:连接,如图所示, ∵ ∴为等边三角形, ∴, 又∵, ∴, 又∵ , ∴且, ∴四边形是平行四边形, 而, ∴四边形是菱形; (3)解:∵, ∴, 而, ∴, ∴, ∴即, 又∵, ∴, ∴即, ∴, ∴. 【点睛】题目主要考查切线的判定及圆周角定理,菱形的判定和性质,相似三角形的判定和性质等,理解题意,综合运用这些知识点是解题关键. 28.(1) (2)t为或 (3)t为1或4 【分析】(1)先利用线段的比值可得,再利用勾股定理求解即可; (2)分两种情况讨论:当时,,当时,,再建立方程求解即可; (3)作于点E,证明,可得, 求解,再利用三角形的面积公式建立方程求解即可. 【详解】(1)解:在中,, ∴, ∴; (2)∵,, ∴, 当时,, ∴, ∴, 当时,, ∴, ∴, 故当t为或时,与相似.与相似. (3)作于点E, 由题意得,, ∴, ∵, ∴, ∴,即, ∴, ∴的面积,的面积, ∴, ∴, ∴当t为1或4时,的面积为面积的; 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用,相似三角形的判定与性质,一元二次方程的解法,动态三角形的面积的表示,熟练的证明三角形相似并灵活应用相似三角形的性质是解本题的关键. 29.(1)见解析 (2)见解析 (3)20 【分析】(1)根据等腰三角形的三线合一性质,结合定义解答即可. (2)根据新定义解答画图即可. (3)利用等腰三角形的性质,新定义,三角形相似的判定和性质,解答即可. 本题考查了新定义四边形,等腰三角形的性质,三角形相似的判定和性质,熟练掌握新定义,三角形相似的性质是解题的关键. 【详解】(1)证明:∵,是的角平分线, ∴, ∴, ∴, ∴四边形是邻余四边形. (2)解:根据新定义,画图如下: 则四边形即为所求. (3)解:∵ ,是的角平分线, ∴,, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵ ,中点M, ∴, ∴, ∵ , ∴, ∴, ∴,又, ∴, 解得, ∵ N为的中点, ∴. 答案第24页,共25页 学科网(北京)股份有限公司 $$