精品解析：山东省临沂市郯城县2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年度上学期期末学业质量检测 八年级数学 本试卷共4页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 花钿（diàn）是我国古代女子妆容的精美装饰，以精致花朵形态设计并贴于两鬓、眉间或面颊．它采用金箔、丝绸等材质精心打造，并镶嵌璀璨珠宝或绣上繁复图案，既显匠人高超技艺，又衬女子温婉典雅，是妆容中不可或缺的元素．下列四种眉间花钿图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 2. 2024年9月，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知7纳米米，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：用科学记数法可表示为， 故选：． 3. 已知等腰三角形的周长为，且一边长为，则腰长为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边的关系，等腰三角形中有两条边相等，所以本题中应分为等腰三角形的底边和为等腰三角形的腰两种情况讨论，还要根据三角形三边的关系判断能否组成三角形． 【详解】解：当为等腰三角形的底边时，等腰三角形的腰长为， 此时等腰三角形的三边长分别为、、， 能构成三角形； 当为等腰三角形腰时，等腰三角形的底边长为， 此时等腰三角形的三边长分别为、、， ， 能构成三角形， 等腰三角形的腰长为或． 故选： D． 4. 数学兴趣小组通过组内合作互评作业，增进互助，纠正错误，深化对数学知识的理解与掌握．下列是李明的作业：①；②；③；④；⑤；⑥，请你帮助找出结果正确的算式有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法，合并同类项，积的乘方，负整数指数幂，零指数幂逐项判断即可得解． 【详解】解：①，结果正确；②，结果不正确；③，结果不正确；④，结果不正确；⑤，结果正确；⑥，结果不正确， 所以结果正确的算式有2个， 故选：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，积的乘方，负整数指数幂，零指数幂，解题的关键是熟练运算法则． 5. 下列关于分式的说法正确的是（ ） A. 约分的结果是 B. 分式与的最简公分母是 C. D. 化简的结果是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式基本性质和分式的加减运算，解决本题的关键是根据分式的基本性质把分式进行变形即可． 【详解】解：A选项：，故A选项错误； B选项：，与的最简公分母是，故B选项错误； C选项：，故C选项正确； D选项：，故D选项错误． 故选： C． 6. 郯城县银杏叶以其高品质著称，得益于当地得天独厚地理环境与悠久的银杏栽培传统．叶片富含有效成分，广泛应用于银杏叶茶、提取物等医药与保健品领域，享有较高声誉，深受国内外市场青睐．如图，被银杏树叶遮掩的部分是一个正边形，若直线所夹锐角为，则的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的定义及性质和外角和．先根据题意画出图形，再根据已知条件求出和的度数，然后根据正多边形的性质和外角和，求出正多边形的边数即可． 【详解】解：如图所示： 由题意得：， ， ， 正多边形每个外角都相等， ， 正多边形的外角和为， 它的边数为：， 的值为5， 故选A． 7. 如图，线段是四边形的对角线，，下列条件中不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理，即可解答． 【详解】解：A．当时，根据可判定，不符合题意； B．当时， ∴，根据可判定，不符合题意； C．当时，根据不能判定，符合题意； D．当时，根据可判定，不符合题意． 故选：C． 8. 对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，正确掌握新定义是解题的关键． 根据新定义的运算将转化为一般的式子，然后利用多项式与多项式相乘化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，以点为直角顶点，为腰在第二象限作等腰直角三角形，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质，坐标与图形，熟悉全等三角形的判定方法是解题的关键．作轴于点D，证明，得到，，进而求解即可． 详解】过点C作轴于点D，如下图， ∵点坐标为，点坐标为， ∴， ∵以点为直角顶点，为腰在第二象限作等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∵点在第二象限 ∴点的坐标为． 故选：D． 10. 如图，是等边三角形，D，E分别是边的中点，连接，点P是上一动点，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由对称性知，，则，当P、B、E三点共线时，最小，从而求得最小值． 【详解】解：连接，如图， 由对称性知，， ∴， 当P、B、E三点共线时，最小，最小值为线段的长． ∵是等边三角形，D，E分别是边的中点， ∴， 即的最小值为8； 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，两点间线段最短，对称的性质等知识，掌握这些知识是关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 将在实数范围内分解因式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．用平方差公式连续分解两次即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 若是一个完全平方式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构特征进行判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键. 本题易错点在于：是加上或减去两数乘积的2倍，在此有正负两种情况，要全面分析，避免漏解． 13. 若分式的值为0，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分式的值为0时，分子为零，分母不为零，列式计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查分式的值为零．熟练掌握分式的值为0时，分子为零，分母不为零，是解题的关键． 14. 如图，在Rt中，，以点、为圆心，以大于长为半径画弧，连接两弧交点，交、于、两点，若，，则的长度是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、尺规作图、线段垂直平分线的性质．根据尺规作图可知是的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知，根据等边对等角可知，从而可求，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半可得：，再利用可求结果． 【详解】解：如下图所示，连接， 由作图可知是的垂直平分线， ， ，， ，， ， 在中，， ． 故答案为： ． 15. 观察下列算式： ，，，， 按照以上规律，写出第个算式_____（用含正整数的算式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律、分式的乘法，解决本题的关键是通过观察前几个式子的变化规律，用含的分式把算式的各部分分别表示出来，然后再根据分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 按照以上规律可知：． 故答案为： ． 16. 如图，在中，为的中点，平分与交于点，若的面积比的面积大，则的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解平分线的性质、三角形的面积公式．首根据平分，可知点到的距离和点到的距离相等，所以可得，设，，则，根据点为的中点，可知，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，把和的面积用含的代数式表示出来，再根据和的面积差为，得到关于的一元一次方程，解方程求出的值，即可得到的面积． 【详解】解：平分， 点到的距离和点到的距离相等， ， 设，， 则， 点为的中点， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ，， ， 若的面积比的面积大， ， 解得：， ． 故答案为： ． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，以及零指数幂和负整数指数幂的意义，先算乘方、开方、零指数幂和负整数指数幂，再算加减． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解了分式方程，解题的关键是将分式方程去分母转化为整式方程；将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：方程两边乘，得：， 解得：， 检验：当时，， 原分式方程的解为． 19. 先化简，再求值：，且的值满足 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则与运算顺序，并正确计算是解题的关键；先计算括号里的减法，再计算除法，最后整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ； 因为， 所以， 原式． 20. 在平面直角坐标系中，点A、B、C、O都在边长为1的小正方形组成网格的格点上，的位置如图所示． （1）在图中画出关于y轴对称的； （2）的顶点B关于x轴对称的点的坐标为：_____； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3）12 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，关于坐标轴对称的点的坐标的特征，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质即可画出图形； （2）根据关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数求解即可； （3）利用所在的矩形的面积减去周围三个三角形面积即可． 【小问1详解】 如图，即为所求； 【小问2详解】 ∵点， ∴点B关于x轴对称的点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 ． 21. 大美临沂，水韵琅琊，小明和小军相约共赴临沂，他们计划坐高铁出行，小明和小军分别从曲阜东站和日照西站出发至临沂北站，其中曲阜东站至临沂北站约，日照西站至临沂北站约，小明所乘坐高铁的速度是小军乘坐高铁速度的1.2倍，且小军比小明早到达临沂北站，则小明和小军所乘坐高铁的速度分别是多少？ 【答案】小明和小军所乘坐高铁的速度分别是 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设小军所乘坐的高铁速度为，根据小军比小明早到达临沂北站列方程求解即可． 【详解】解：设小军所乘坐的高铁速度为，则小明所乘坐的高铁速度为，由题意得，， 解得， 经检验原分式方程的解为， ， 答：小明和小军所乘坐高铁的速度分别是． 22. 材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 （1）利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； （2）结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ；． 【答案】（1）；； （2）；． 【解析】 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式．解决本题的关键是阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式． 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可． 【小问1详解】 解：， ； 解：， ； 【小问2详解】 解：， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：； ：解， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：． 23. 【知识生成】图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）如图，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为_____；（用、表示） 根据上面结论，当，时，_____． 【知识应用】 （2）类比的探究过程，请用不同的代数式表示图中大正方形的面积． 由此得到的等式为_____；（用、、表示）； 根据上面的结论，已知，，则_____． 【知识迁移】 （3）类比上述两个题目探究过程，请直接写出_____．（用、、、表示） 【答案】（1），13； （2），14； （3）． 【解析】 【分析】用两种不同的方式表示正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可； 把中得到的等式变形可得：，再把，代入计算即可； 类比用两种不同的方式表示正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可； 把中得到的等式变形可得：，把、代入计算即可； 根据、中等式的规律直接写出结果即可． 【详解】正方形的边长为， 正方形的面积为， 大正方形可以分成个边长为的正方长、个边长为的正方长、个长为宽为的长方形， 大正方形的面积为， ， 故答案为：； 由可知， ， 又，， ， 故答案为：； 类比可得：， 故答案为：； 由可得：， ，， ， 故答案为：； 由可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、完全平方式的几何背景、数形思想的结合、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系． 24. 如图，和是等腰三角形且，，垂足为． （1）求证： （2）猜想和的位置关系，并说明理由； （3）求证：． 【答案】（1）见解析； （2），理由见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可知，，，，根据同角的余角相等可证，根据可证； 由知，所以可知，根据，，可知，所以可得，从而可证； 延长到，使得，连接，可证，根据全等三角形的性质可得，所以可得，由可知，所以，由辅助线的作法可知，从而可证结论成立． 【小问1详解】 证明：和是等腰三角形，， ，，，， ， 在和中， ； 【小问2详解】 解：， 理由如下： ，， ， 由知， ， ， ； 【小问3详解】 证明：延长到，使得，连接， ， ， 在和中，， ， ，， ， ，，， ，， ， ， 在和中，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找到边之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期期末学业质量检测 八年级数学 本试卷共4页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 花钿（diàn）是我国古代女子妆容精美装饰，以精致花朵形态设计并贴于两鬓、眉间或面颊．它采用金箔、丝绸等材质精心打造，并镶嵌璀璨珠宝或绣上繁复图案，既显匠人高超技艺，又衬女子温婉典雅，是妆容中不可或缺的元素．下列四种眉间花钿图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年9月，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知7纳米米，用科学记数法可表示（ ） A. B. C. D. 3. 已知等腰三角形的周长为，且一边长为，则腰长为（ ） A. B. C. D. 或 4. 数学兴趣小组通过组内合作互评作业，增进互助，纠正错误，深化对数学知识理解与掌握．下列是李明的作业：①；②；③；④；⑤；⑥，请你帮助找出结果正确的算式有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 下列关于分式说法正确的是（ ） A. 约分的结果是 B. 分式与的最简公分母是 C. D. 化简的结果是 6. 郯城县银杏叶以其高品质著称，得益于当地得天独厚的地理环境与悠久的银杏栽培传统．叶片富含有效成分，广泛应用于银杏叶茶、提取物等医药与保健品领域，享有较高声誉，深受国内外市场青睐．如图，被银杏树叶遮掩的部分是一个正边形，若直线所夹锐角为，则的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 7. 如图，线段是四边形的对角线，，下列条件中不能使的是（ ） A. B. C. D. 8. 对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，以点为直角顶点，为腰在第二象限作等腰直角三角形，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是等边三角形，D，E分别是边的中点，连接，点P是上一动点，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 将在实数范围内分解因式为_____． 12. 若是一个完全平方式，则______． 13. 若分式的值为0，则_________． 14. 如图，在Rt中，，以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，连接两弧交点，交、于、两点，若，，则的长度是_____． 15. 观察下列算式： ，，，， 按照以上规律，写出第个算式_____（用含正整数的算式表示） 16. 如图，在中，为的中点，平分与交于点，若的面积比的面积大，则的面积是_____． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17. 计算： 18. 解方程： 19. 先化简，再求值：，且的值满足 20. 在平面直角坐标系中，点A、B、C、O都在边长为1的小正方形组成网格的格点上，的位置如图所示． （1）在图中画出关于y轴对称的； （2）的顶点B关于x轴对称的点的坐标为：_____； （3）求的面积． 21. 大美临沂，水韵琅琊，小明和小军相约共赴临沂，他们计划坐高铁出行，小明和小军分别从曲阜东站和日照西站出发至临沂北站，其中曲阜东站至临沂北站约，日照西站至临沂北站约，小明所乘坐高铁的速度是小军乘坐高铁速度的1.2倍，且小军比小明早到达临沂北站，则小明和小军所乘坐高铁的速度分别是多少？ 22. 材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 （1）利用上述十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； （2）结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ；． 23. 【知识生成】图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）如图，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为_____；（用、表示） 根据上面结论，当，时，_____． 【知识应用】 （2）类比的探究过程，请用不同的代数式表示图中大正方形的面积． 由此得到的等式为_____；（用、、表示）； 根据上面的结论，已知，，则_____． 【知识迁移】 （3）类比上述两个题目探究过程，请直接写出_____．（用、、、表示） 24. 如图，和是等腰三角形且，，垂足为． （1）求证： （2）猜想和的位置关系，并说明理由； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $