2.3.2-2.3.4 两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离 同步练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.2　两点间的距离公式　2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 A级 必备知识基础练 1.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为(　　) A.1 B.-5 C.1或-5 D.-1或5 2.(多选题)与直线3x-4y+1=0垂直,且与点(-1,-1)的距离为2的直线方程为(　　) A.4x+3y-3=0 B.4x+3y+17=0 C.4x-3y-3=0 D.4x-3y+17=0 3.(多选题)到直线2x+y+1=0的距离等于的直线方程可能为(　　) A.2x+y-1=0 B.2x+y-2=0 C.2x+y=0 D.2x+y+2=0 4.到点A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P满足的方程是(　　) A.3x-y-8=0 B.3x+y+4=0 C.3x-y+6=0 D.3x+y+2=0 5.直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是(　　) A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=0 6.光线从点A(-3,5)射到x轴上,经x轴反射后经过点B(2,10),则光线从A到B经过的距离为(　　) A.5 B.2 C.5 D.10 7.过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有　　　　　条.  8.两平行直线l1:ax+4y=0,l2:3x+4y+m=0,若两直线之间的距离为1,则m=　　　　　　.  9.求过点P(0,2)且与点A(1,1),B(-3,1)等距离的直线l的方程. 10.已知△ABC三边所在直线方程:lAB:3x-2y+6=0,lAC:2x+3y-22=0,lBC:3x+4y-m=0(m∈R,m≠30). (1)判断△ABC的形状; (2)当BC边上的高为1时,求m的值. B级 关键能力提升练 11.已知直线l:kx-y+2-k=0过定点M,点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,则|MP|的最小值是(　　) A. B. C. D.3 12.过点A(1,2),且与原点O距离最大的直线的方程是(　　) A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0 C.x+3y-7=0 D.x-2y+3=0 13.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A.3 B.2 C.3 D.4 14.已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,点A(-3,-3),B,则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为(　　) A. B. C. D.3 15.(多选题)若点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14≤x-y≤7,则点P到坐标原点距离的取值可以是(　　) A.6 B.8.5 C.10 D.12 16.(多选题)已知平面上一点M(5,0),若直线l上存在点P使|PM|=4,则称该直线为点M的“相关直线”,下列直线是点M的“相关直线”的是(　　) A.y=x+1 B.y=2 C.4x-3y=0 D.2x-y+1=0 17.经过两直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点,且和原点相距为1的直线的条数为　　　　　.  18.已知直线l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,若直线l1,l2的距离等于,且直线l1不经过第四象限,则a=　　　　　.  19.已知直线l经过点P(4,3),且与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,O为坐标原点. (1)若点O到直线l的距离为4,求直线l的方程; (2)求△OAB面积的最小值. 20.在△ABC中,A(1,1),B(m,),C(4,2)(1<m<4),求当m为何值时,△ABC的面积S最大. C级 学科素养创新练 21.已知x+y-3=0,则的最小值为　　　　　.  2.3.2　两点间的距离公式 2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 1.C　由|AB|==5,得(a+2)2=9,解得a=1或-5. 2.AB　设所求直线方程为4x+3y+C=0, 则=2, 即|C-7|=10,解得C=-3或C=17. 故所求直线方程为4x+3y-3=0或4x+3y+17=0. 3.CD　因为所求直线与直线2x+y+1=0的距离为,所以可得所求直线与已知直线平行. 设所求直线方程为2x+y+c=0(c≠1), 则d=,解得c=0或c=2, 故所求直线方程为2x+y=0或2x+y+2=0. 4.B　设P(x,y),则,即3x+y+4=0. 5.D　(方法1)设所求直线的方程为2x+3y+C=0,由题意可知, 解得C=-6(舍去)或C=8. 故所求直线的方程为2x+3y+8=0. (方法2)令(x0,y0)为所求直线上任意一点,则点(x0,y0)关于(1,-1)的对称点为(2-x0,-2-y0),此点在直线2x+3y-6=0上,代入可得所求直线方程为2x+3y+8=0. 6.C　点B(2,10)关于x轴的对称点为B'(2,-10),由对称性可得光线从A到B经过的距离为|AB'|==5.故选C. 7.2　显然x=1过点(1,3)且与原点的距离为1;再设直线方程为y-3=k(x-1),由=1得,k=,因此满足条件的直线有两条. 8.±5　根据两平行直线之间的距离公式,得=1,解得m=±5. 9.解(方法1)∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,∴直线l的斜率存在,设为k. 又直线l在y轴上的截距为2,∴直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0. 由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等, 得, 解得k=0或k=1. ∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0. (方法2)①当直线l过线段AB的中点时,直线l与点A,B的距离相等. ∵AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2), ∴直线l的方程是x-y+2=0. ②当直线l∥AB时,直线l与点A,B的距离相等. ∵直线AB的斜率为0, ∴直线l的斜率为0, ∴直线l的方程为y=2. 综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2. 10.解(1)因为直线AB的斜率为kAB=,直线AC的斜率为kAC=-, 所以kAB·kAC=-1,所以直线AB与AC互相垂直,因此△ABC为直角三角形. (2)解方程组即A(2,6). 由点到直线的距离公式得d=.当d=1时,=1,|30-m|=5,解得m=25或m=35. 所以m的值为25或35. 11.B　由题易得直线l:kx-y+2-k=0,即k(x-1)-y+2=0,过定点M(1,2). ∵点P(x,y)在直线2x+y-1=0上, ∴y=1-2x,∴|MP|=, 故当x=-时,|MP|取得最小值.故选B. 12.A　根据题意得,所求直线与直线OA垂直, 因为直线OA的斜率为2, 所以所求直线的斜率为-. 所以由点斜式方程得y-2=-(x-1), 即x+2y-5=0. 13.A　由题意知,直线l1与l2平行,所以点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线的方程为x+y+c=0(c≠-7且c≠-5),则,即c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上,所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即=3. 14.B　(方法1)如图1,由平行线间的距离公式得|PQ|=. 图1 设点P(a,-a-2),点Qa+,-a-. 则|AP|+|PQ|+|QB|=. 图2 设点M(a,a),C(1,-3),D(-1,0),如图2,则=|MC|+|MD|≥|CD|=. 故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为. (方法2)如图3,由平行线间的距离公式得|PQ|=. 图3 过点A作垂直于l1的直线,并截取|AA'|=|PQ|.则有PQ􀰿AA'. 设点A'(x0,y0), 则 因此,点A'-,-,则|A'B|=. 连接A'Q,则四边形AA'QP是平行四边形, 故|AP|+|QB|=|A'Q|+|QB|≥|A'B|=. 因此,|AP|+|PQ|+|QB|≥. 故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为. 15.ABC　∵点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14≤x-y≤7, ∴-6≤x≤3. ∵线段4x+3y=0(-6≤x≤3)过原点, ∴点P到坐标原点的最近距离为0. 又点(-6,8)在线段上, ∴点P到坐标原点的最远距离为=10. ∴点P到坐标原点距离的取值范围是[0,10]. 对照选择项知ABC均可. 16.BC　点M到直线y=x+1的距离d==3>4,即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点P,使|PM|=4,故A中的直线不是点M的“相关直线”;点M到直线y=2的距离d=|0-2|=2<4,即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4,所以该直线上存在点P,使|PM|=4,故B中的直线是点M的“相关直线”;点M到直线4x-3y=0的距离d==4,所以该直线上存在点P,使|PM|=4,故C中的直线是点M的“相关直线”;点M到直线2x-y+1=0的距离d=>4,故D中的直线不是点M的“相关直线”.故选BC. 17.2　设所求直线l的方程为x+3y-10+λ(3x-y)=0,即(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0, 因为原点到直线的距离d==1, 所以λ=±3,即直线方程为x=1或4x-3y+5=0, 所以和原点相距为1的直线的条数为2. 18.3　由直线l1,l2的方程可知,直线l1∥l2.在直线l1上选取一点P(0,a),依题意得,l1与l2之间的距离为,整理得,解得a=3或a=-4.因为直线l1不经过第四象限,所以a≥0,所以a=3. 19.解(1)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-3=k(x-4),即kx-y-4k+3=0,则点O到直线l的距离d==4, 解得k=-. 故直线l的方程为-x-y-4×-+3=0,即7x+24y-100=0. (2)因为直线l的方程为kx-y-4k+3=0, 所以A-+4,0,B(0,-4k+3). 则△OAB的面积S=|OA|·|OB|=×-+4×(-4k+3)=--16k+24.由题意可知k<0,则--16k≥2=24,当且仅当k=-时,等号成立.故△OAB面积的最小值为×(24+24)=24. 20.解∵A(1,1),C(4,2), ∴|AC|=,直线AC的方程为x-3y+2=0. 根据点到直线的距离公式,可得点B(m,)到直线AC的距离d=,∴S=|AC|·d=|m-3+2|=. ∵1<m<4, ∴1<<2⇒-, ∴0≤2<, ∴当m=时,△ABC的面积S最大. 21.　设P(x,y),A(2,-1), 则点P在直线x+y-3=0上, 且=|PA|. |PA|的最小值为点A(2,-1)到直线x+y-3=0的距离d=. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$