课后分层练(二十)　点到直线的距离公式　两条平行直线间的距离-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(二十)]　点到直线的距离公式　两条平行直线间的距离 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．两条平行直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y＋1＝0之间的距离为(　　 ) A． B．1 C．2 D． 解析：选A.距离d＝＝. 2．点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　 ) A．1 B． C． D．2 解析：选B.记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝. 3．(多选)与直线2x＋y－1＝0平行，且距离等于的直线方程为(　　 ) A．2x＋y＝0 B．2x＋y－2＝0 C．2x－y＝0 D．2x＋y＋2＝0 解析：选AB.设所求直线方程为2x＋y＋c＝0.由题意知两平行直线间的距离为d＝＝，解得c＝0或c＝－2.所以所求直线的方程为2x＋y＝0或2x＋y－2＝0. 4．已知点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，则△ABC的面积等于(　　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选C.设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，所以S△ABC＝×2×＝5. 5．(2025·山东潍坊高二月考)已知实数x，y满足2x＋y＋5＝0，那么的最小值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.表示直线2x＋y＋5＝0上的动点到点(0，－3)的距离，过点(0，－3)向直线2x＋y＋5＝0作垂线，由垂线段最短知的最小值为点(0，－3)到直线2x＋y＋5＝0的距离，即＝. 6．在直线x＋3y＝0上有一点，它到原点的距离和到直线x＋3y＋2＝0的距离相等，则此点的坐标是________． 解析：由题意可设所求点的坐标为(－3a，a)，因为直线x＋3y＝0与直线x＋3y＋2＝0平行，所以两平行线间的距离为＝，根据题意有＝，解得a＝±，所以所求点的坐标为(－，)或(，－). 答案：(－，)或(，－). 7．过点M(2，4)作两条互相垂直的直线，分别交x，y轴的正半轴于点A，B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，则直线AB的方程为____________，此时四边形OAMB的面积为________． 解析：设直线AB的方程为＋＝1(a>0，b>0)，∴A(a，0)，B(0，b).∵MA⊥MB，∴(a－2)×(－2)＋(－4)×(b－4)＝0，即a＝10－2b.∵a>0，b>0，∴0<b<5，0<a<10. ∵直线AB的一般式方程为bx＋ay－ab＝0，∴点M到直线AB的距离d＝.∴△MAB的面积S1＝d|AB|＝×|2b＋4a－ab|＝|b2－8b＋20|＝b2－8b＋20，△OAB的面积S2＝ab＝5b－b2. ∵直线AB平分四边形OAMB的面积，∴S1＝S2，可得2b2－13b＋20＝0，解得或∴所求直线AB的方程为x＋2y－5＝0或2x＋y－4＝0. ∵四边形OAMB的面积为S1＋S2＝b2－8b＋20＋5b－b2＝－3b＋20，∴四边形OAMB的面积为8或. 答案：x＋2y－5＝0或2x＋y－4＝0　8或 8．(易错题)求点P0(－1，2)到下列直线的距离： (1)2x＋y－10＝0； (2)x＝2； (3)y－1＝0. 解：(1)由点到直线的距离公式，知d＝＝＝2. (2)方法1：把直线方程化为一般式为x－2＝0.由点到直线的距离公式，得d＝＝3. 方法2：因为直线x＝2与y轴平行，所以由图知d＝|－1－2|＝3. (3)方法1：由点到直线的距离公式，得d＝＝1. 方法2：因为直线y－1＝0与x轴平行，所以由图知d＝|2－1|＝1. 9．(2025·四川成都高二期末模拟)平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(－1，3)，B(3，－4)，边AC上的高线所在的直线方程为2x＋3y＋6＝0，边BC上的中线所在的直线方程为2x＋3y－7＝0. (1)求点B到直线AC的距离； (2)求△ABC的面积． 解：(1)由题意kAC＝，直线AC的方程为y－3＝(x＋1)，即3x－2y＋9＝0.点B到直线AC的距离d＝＝2. (2)设C(m，n)，则BC的中点坐标为， 则 解得即C(1，6)， 所以|AC|＝＝. 所以△ABC的面积S＝|AC|·d＝··2＝13. 【综合运用】 10．已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为3x＋2y＋1＝0和3x＋2y＋4＝0，另一组对边所在的直线方程分别为4x－6y＋c1＝0和4x－6y＋c2＝0，则|c1－c2|等于(　　 ) A． B． C． D．6 解析：选D.3x＋2y＋1＝0与3x＋2y＋4＝0间的距离d1＝＝， 4x－6y＋c1＝0与4x－6y＋c2＝0间的距离d2＝＝|c1－c2|， 又由正方形特点可知d1＝d2， 即＝|c1－c2|，解得|c1－c2|＝6. 11．(多选)(新定义题)已知平面上一点M(5，0)，若直线l上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线是点M的“相关直线”的是(　　 ) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．4x－3y＝0 D．2x－y＋1＝0 解析：选BC.点M到直线y＝x＋1的距离d＝＝3>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4，故A中的直线不是点M的“相关直线”；点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4，故B中的直线是点M的“相关直线”；点M到直线4x－3y＝0的距离d＝＝4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4，故C中的直线是点M的“相关直线”；点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝＝>4，故D中的直线不是点M的“相关直线”． 12．若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为________． 解析：由两平行直线的距离公式，可得直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝＝，又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°. 答案：15°或75° 13．(2025·新疆高二期末)已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：4x－2y－1＝0，若直线l1，l2的距离等于，且直线l1不经过第四象限，则a＝________． 解析：由直线l1，l2的方程可知，直线l1∥l2.在直线l1上选取一点P(0，a)，依题意得，l1与l2之间的距离为＝，整理得＝，解得a＝3或a＝－4.因为直线l1不经过第四象限，所以a≥0，所以a＝3. 答案：3 14．已知△ABC三边所在直线方程：lAB：3x－2y＋6＝0，lAC：2x＋3y－22＝0，lBC：3x＋4y－m＝0(m∈R，m≠30). (1)判断△ABC的形状； (2)当BC边上的高为1时，求m的值． 解：(1)直线AB的斜率为kAB＝，直线AC的斜率为kAC＝－， 所以kAB·kAC＝－1，所以直线AB与AC互相垂直， 因此，△ABC为直角三角形． (2)解方程组得即A(2，6). 由点到直线的距离公式， 得d＝＝， 当d＝1时，＝1，即|30－m|＝5，解得m＝25或m＝35. 【创新探索】 15．已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0. (1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程； (2)若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系． 解：(1)联立 解得 即m与n的交点为(－21，－9). 当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0； 当直线l不过原点时，设l的方程为＋＝1，将(－21，－9)代入得b＝－12， 所以直线l的方程为x－y＋12＝0， 故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0. (2)设原点O到直线m的距离为d， 则d＝＝， 解得a＝－或a＝－， 当a＝－时，直线m的方程为x－2y－5＝0，此时m∥n； 当a＝－时，直线m的方程为2x＋y－5＝0，此时m⊥n. 学科网（北京）股份有限公司 $