重难点02：组合图形阴影面积 培优课程讲义2024—2025学年沪教版（五四制）数学六年级下册

2024-2025学年上海初中六年级数学新教材（培优课程） 重难点02 圆组合图形阴影面积 1、三角形的面积 =． 2、等腰直角三角形的面积 =． 3、长方形的面积 =． 4、正方形的面积 = 边长的平方 = ． 5、菱形的面积 =． 6、梯形的面积 =． 7、圆的面积 =． 8、扇形的面积 =． 题型1：圆环的面积 【例1】一个圆形草坪的周长是31.4米，要在这个草坪的周围铺一条2米宽的石子路，这条石子路的面积是多少平方米？ 【答案】75.36平方米 【分析】根据圆的周长公式，，得出，再根据圆环的面积的计算方法，即用大圆的面积减去小圆的面积，求出环形石子路的面积即可． 【详解】解：草坪的半径：（米， 石子路的面积： （平方米）； 答：石子路的面积是75.36平方米． 【点睛】此题主要考查了圆环的面积的计算方法，即用大圆的面积减去小圆的面积，注意2米是小路的宽度，不是圆的半径． 【例2】图中，三个同心圆的半径分别为2、6、10，则图中阴影部分占大圆面积的______%． 【答案】． 【解析】， ，． 【总结】考查阴影部分图形的面积所占的百分比，注意通过割补，将阴影部分的面积移到一 起． 【例3】如图，梯形ABCD的面积是25平方厘米，求圆环的面积．（取3.14） 【答案】157平方厘米．A B C D O 【解析】圆环的面积等于大圆面积减小圆面积，即； 同时，已知梯形的面积又等于两个三角形的面积的差，即： ， 所以圆环的面积为：平方厘米． 【总结】本题综合型较强，亮点在于把圆环面积与三角形面积和梯形的面积结合起来． 【例4】如图，阴影部分的面积是100平方厘米，求圆环的面积． 【答案】100平方厘米． 【解析】设大圆半径为R，小圆半径为r，则 ， 又， 所以平方厘米． 【总结】本题中要注意正方形的边长就是相应的圆的半径． 【例5】如图，有半径为5厘米、4厘米、3厘米的三个圆，A部分（即两小圆的重叠部分）的面积与阴影部分的面积相比，哪个大？大多少？ 【答案】相等．A 【解析】大圆的面积为：； 两个内圆的面积分别是：；； A部分的面积为：白色区域面积=白色区域面积； 阴影部分面积为：白色区域面积；所以，两部分面积相等． 【总结】半径为5的大圆的面积，减掉半径为3和半径为4的两个小圆的面积的和，再加上 一个A部分的面积，即为阴影部分面积． 【例6】如图，以半圆的半径8厘米为直径在半圆内作一个圆，求图中阴影部分的面积．（取3.14） 【答案】50.24平方厘米． 【解析】平方厘米． 【总结】阴影部分的面积等于大半圆的面积减去中间圆的面积． 题型2：圆与正方形组合的图形 【例7】如图，已知正方形长10cm,求阴影部分周长. 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了求阴影面积和周长，正方形和圆的面积和周长， （1）根据正方形的周长和圆的周长公式求解即可； （2）用大的圆的面积减去小的半圆的面积求解即可． 解题的关键是熟练掌握方形和圆的面积和周长公式． 【详解】解：（1） （2） 【例8】求下图中阴影部分的面积(图中长度单位为厘米) 【例9】如图，正方形的边长是6厘米，则阴影部分的周长是______厘米，面积是______平方厘米．（取3.14） 【答案】61.68；7.74． 【解析】厘米； 平方厘米． 【总结】阴影部分的周长等于正方形的周长加上四个等圆的周长，阴影部分的面积等于正方 形的面积减掉四个等圆的面积． 【例10】如图，正方形中，分别以两个对角顶点为圆心，以正方形的边长6为半径画弧，形成树叶形的图案（阴影部分），求树叶形图案的周长． 【答案】18.84． 【解析】树叶形的周长是半径为6的半圆的周长， 所以． 【总结】考查阴影部分的周长的计算，注意认真分析图形的特征． 【例11】下列个选项中，正方形边长相同，阴影部分面积与其他三个不同的图案是（　 ） A. （A） B. （B） C. （C） D. （D） 【答案】B 【解析】 【详解】图A阴影的面积：正方形面积−圆的面积； 图B阴影的面积：正方形的面积−对角线的一半为半圆的面积； 图C阴影的面积：正方形的面积−圆的面积； 图D阴影的面积：正方形的面积−圆的面积. 故选B. 点睛：此题考查了扇形与圆的面积的计算，对每个图形的阴影部分的面积进行分析，据此解答. 【例12】如图，正方形的边长为4厘米，阴影部分的面积是______平方厘米． 【答案】5.72平方厘米． 【解析】， 故平方厘米． 【总结】考查阴影部分的面积的求法． 【例13】边长为1的正方形中，分别以边长为直径作3个半圆．求围成的阴影部分的面积． 【答案】. 【解析】方法一：一个半圆面积加上一个正方形面积一半减去两个四分之一 扇形的面积的和， 即； 方法二：下面的半圆拆为两个四分一直扇形拼在上面空白部分，正好与上方阴影部分组 成一个长方形，这个长方形的面积就等于正方形面积的一半． 【总结】本题主要考查利用割补法求阴影部分的面积． 【例14】如图，一个大正方形各边都被四等分，分成十六个小正方形，图A是一个圆，图B是由三个半圆围成的图形，那么图A与图B的周长的大小关系是______，图A与图B的面积的大小关系是______． 【答案】；．A B 【解析】设正方形边长为4，则，， ，， 故；． 【总结】本题中图A就是一个圆，图B是由三个半圆构成的，因此主要考查圆的周长和面 积的运用． 【例15】如图，正方形的边长为6分米，求阴影部分的面积．（取3.14） 【答案】7.74平方分米． 【解析】平方分米． 【总结】阴影部分的面积等于正方形的面积减掉两个扇形的面积． 【例16】如图，正方形的边长为2厘米，以圆弧为分界线的A、B两部分的面积的差是______平方厘米．（取3.14）A B 【答案】2.28． 【解析】由题可得：平方厘米； 而平方厘米； 所以平方厘米，故平方厘米． 【总结】本题中一方面要区分A与B两部分的面积，另一方面要认真观察，进行分析． 【例17】如图是由正方形和半圆形组成的图形，其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？（取3.14）A B C D P Q 10 【答案】51.75平方厘米． 【解析】连接． 平方厘米． 【总结】本题主要考查如何将不规则的图形转化成规则图形的组合，从而求出面积． 【例18】如图，扇形AFB恰为一个圆的，BCDE是正方形，边长为3，AFBG也是正方形，边长为4，求图中阴影部分的面积．（取3.14）A B C D E F G M 【答案】10.56． 【解析】． 【总结】阴影部分面积等于三角形面积减去左下角空白部分的面积． 【例19】如图，小正方形的边长4厘米，大正方形边长6厘米，的面积为3.2平方厘米，求阴影部分的面积．A B C D E 30° 【答案】1.38平方厘米． 【解析】由图可知：厘米， 所以厘米， 所以 平方厘米． 【总结】阴影部分的面积等于三角形ABC的面积减去小扇形的面积． 题型3：圆与三角形组合的图形 【例20】如图，，C为的中点，已知阴影甲的面积为16平方厘米，求阴影乙的面积．（取3.14） 【答案】平方厘米． 【解析】由图可知：，， 故平方厘米． 【总结】本题中要认真观察两个阴影部分之间的关系，进行和差运算之后求出面积．甲 乙 A B C O S空 【例21】求阴影部分的面积（结果保留）． 【例22】如图，是等腰直角三角形，腰AB长为4厘米，求阴影部分的面积．（取3.14） 【答案】4平方厘米． 【解析】连接BD，则上面阴影的弓形的面积等于空白弓形的面积，A B C D 则阴影部分的面积就是直角三角形ABD的面积，故． 【总结】本题主要考查通过割补法求阴影部分面积． 【例23】如图，是直角三角形，AB = 20米，阴影（1）的面积比阴影（2）的面积小23平方米，求BC的长度是多少米？（取3.14） 【答案】18米．A B C 1 2 【解析】由题可知：，故， 即．所以， 解得：米． 【总结】本题中要认真观察两个阴影部分之间的关系，进行和差运算之后求出面积． 【例24】如图，是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径．已知：AB = BC = 10，求阴影部分的面积．（取3.14）A B C D 【答案】32.125． 【解析】连接BD． 因为，， 所以． 【总结】本题中连接BD是关键点，这样就可以将阴影部分进行分割，从而进行求解． 【例25】如图，直径AB为3厘米的半圆以点A为圆心逆时针旋转60°，使AB到达AC的位置，求图中阴影部分的面积．（取3.14）A B C 【答案】平方厘米． 【解析】平方厘米． 【总结】本题主要考查利用割补法将阴影部分转化成一个扇形，从而求出面积． 【例26】如图，圆的半径都是3厘米，则阴影部分的面积为______平方厘米． 【答案】3.87． 【解析】三个扇形的圆心角的度数的和为180度，故而将三个扇形面积 拼在一起，也就等于去求一个半径为3厘米的圆的面积． 三角形面积：，三个扇形的面积：， 故阴影部分面积为：平方厘米． 【例27】有一个著名的希波克拉蒂月牙问题．如图：以BC为直径作半圆，C是圆弧上一点(不与A、 B重合)，以AC，BC为直径分别作半圆，围成两个月牙形1、2（阴影部分）．已知直径BC=20cm，直径AC=12cm，直径AC=16cm（注：此时∠BAC是直角） （1）分别求出三个半圆的面积．（结果用含π的式子表示） （2）请猜测：这两个月牙形的面积与△ABC的面积之间有怎样的关系？ （3）求出这两个月牙形的周长和． 【例28】如图，为等腰直角三角形，D是AB的中点，AB = 20厘米，分别以A、B为圆心作弧GD、HD，求图中阴影部分的面积．（取3.14） 【答案】107平方厘米．A B C D E F G H 【解析】由图可知，两圆半径为10，由于图形对称， 故只需要求出左边部分即可，而左边部分阴影面积 为：， 所以阴影部分面积为：平方厘米． 【总结】本题中要认真观察图形的特征，根据对称性求出阴影部分的面积． 【例29】已知等腰直角三角形ABC，D为斜边中点，AC = BC = 2分米，弧DF、弧DH分别是以B、C为圆心画的弧，求阴影部分的面积．E A B C D F G H 【答案】1平方分米． 【解析】通过割补法可知，阴影部分的面积的等于正方形的面积， 故平方分米． 【总结】考查利用割补法求阴影部分的面积． 【例30】如图，是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米，现在以C点为圆心，把顺时针旋转90°，求AB边在旋转时扫过的面积． 【答案】0.6775平方米． 【解析】如图，过， 因为，． 故AB在旋转时扫过的面积为： 平方米． 【总结】本题综合性较强，与等腰直角三角形的性质联系起来考查扇形面积的求法． 题型4：圆与扇形组合的图形 【例31】如图，圆O的直径为8厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？（取3.14） 【答案】18.24． 【解析】阴影部分的面积等于一个大圆的面积加上一个大扇形的面积的和， 减去空白部分面积的两倍，而空白部分的面积是一个直角三角形的面积 【例32】已知半圆的直径AB=12cm，弧AC所对的圆心角为30°，求阴影部分的周长 【例33】如图，其中四个圆的直径均为4厘米，那么阴影部分的面积为______平方厘米．（取3.14） 【答案】16． 【解析】平方厘米． 【总结】本题中阴影部分的面积等于一个正方形的面积减掉一个圆的面积，解题时要认真分 析． 【例34】如图，AB与CD是两条互相垂直的直径，圆O的半径为15厘米，，是以C为圆心，AC为半径的圆弧，求阴影部分的面积．（取3.14）A B C D E O 【答案】平方厘米． 【解析】因为 所以， 所以 平方厘米． 【总结】本题的关键是要根据等面积法求出整个大圆的半径的平方，从而再利用图形的组合 求出阴影部分的面积． 题型5：圆与其他图形组合的图形 【例35】如图，长方形的宽是8厘米，求阴影部分的面积．（取3.14） 【答案】50.24平方厘米． 【解析】平方厘米． 【总结】此题中阴影部分的面积等于长方形的面积减去三角形的面积再减去弯角处的空白部 分的面积． 【例36】如图，直角梯形的面积是54平方厘米，求阴影部分的面积．（取3.14） 【答案】平方厘米．135° 【解析】由题意，得圆的半径厘米， 所以平方厘米． 【总结】本题主要要理解梯形的下底是2个半径长，从而求出阴影部分的面积． 一、选择题 1.下面两个图形中，其中正方形的面积相等，那么阴影部分面积大小关系是（ ） A．甲 > 乙 B．甲 < 乙 C．甲 = 乙 D．无法比较 【答案】C 【解析】乙的四个扇形恰好组成一个圆． 【总结】本题主要考查对阴影部分的面积的计算． 2.如图，阴影部分周长相同的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】阴影部分的周长都等于大半圆的长加小半圆的长，每个图中都只有一个大半圆， 所有的小半圆周长也相等，所以四个阴影部分周长都相等，故选D． 【总结】考查阴影部分的周长的计算． 3.如图，有两张边长都是4厘米的正方形纸片上，分别从中剪下一个圆和四个大小相同的小圆，余下的面积分别为，则（ ） A. ； B. ； C. ； D.不能确定. 【答案】C； 【解析】解：根据题意，得，，故，因此答案选C. 4.已知图1、图2中两个半圆的半径相等，、分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】设两个圆的半径都是r，则图1中长方形的长为2r，宽为r，图2中三角形的底为2r，高为r，图1中阴影部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积，图2中阴影部分的面积为半圆的面积减去三角形的面积，再进行比较所得面积的大小． 【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1中长方形的长为2r，宽为r， 图2中三角形的底为2r，高为r， ∴ ． 故选A 【点睛】本题考查了求阴影部分的面积，圆的性质，半圆、矩形、三角形的面积公式，解题的关键是明确半圆、矩形、三角形的面积求法及阴影部分求面积的方法． 5.如图，这四个图形中正方形边长相等，期中一个图形的阴影部分面积与其也三个不同，这个图形是 A. B. C. D. 6.下面有四个图形，正方形大小相等，与左边阴影部分面积相等的（ ） （1） （2） （3） （4） A.(1)(4) B.(2)(4) C.(1)(2)(3) D.(1)(2)(4) 二、填空题 7.已知，如图，在2×2的网格中，每个小正方形的边长都是1，图中的阴影部分图案是由一个点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积为 . 【答案】1.14； 【解析】解：= =. 8.如图，正方形ABCD的边长为6，分别以点D为圆心，4为半径作弧；以点C为圆心，6为半径张弧. 若图中阴影部分的面积分别为时，则= .（结果保留π） 【答案】13π-36； 【解析】解：根据图形，=. 9.如图是一个长方形花圃的平面图，其中阴影部分种植牡丹，空白部分种植芍药，已知长方形的宽是2米，那么种植牡丹的面积是 平方米． 【答案】 【分析】利用长方形的面积减去两个半径为2的四分之一圆的面积，再减去上方中间的空白部分面积即可． 【详解】解：由题意可得： 种植牡丹的面积是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求不规则图形的面积，解题的关键是得出阴影部分面积的构成，利用割补法的思想计算． 10.如图，半圆中长方形的宽是长的一半，半径为3厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．    【答案】 【分析】根据阴影部分面积等于半圆面积减去空白部分长方形的面积进行求解即可． 【详解】解：因为长方形的宽是长的一半， 所以空白部分的长方形可以割补成一个边长为3的正方形， 所以阴影部分的面积为平方厘米， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了求不规则图形面积，正确利用转换法把用规则图形的面积表示出不规则图形的面积是解题的关键． 11.如图，正方形的边长为，则阴影部分面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据即可求解． 【详解】解：如图所示，对角线与弧交于点， ∵正方形的边长为，是对角线， ∴， ∴，，以为直径的半圆的面积， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查不规则图形面积的计算，理解图示的组成部分，掌握扇形面积的计算方法，圆面积的计算方法是解题的关键． 12.如图，边长为4的正方形，两个半径为4的圆弧相交于点O，正方形内部空白部分与阴影部分的面积差为__________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据图形性质判断，再分别求解空白部分的面积与阴影部分的面积，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得： ，，，， ∴， 所以空白部分的两个扇形面积相等， 所以空白部分的面积为：， 所以阴影部分的面积为：， ∴正方形内部阴影部分与空白部分的面积差为 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正方形的面积，扇形面积的计算，熟悉图形的性质是解本题的关键． 13.一个圆环的内直径是，圆环的宽度是，这个圆环的面积是 . 【答案】 【分析】根据圆环的面积公式进行计算即可． 【详解】解：， 即这个圆环的面积是． 故答案为：28.26． 【点睛】本题主要考查了圆环面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式． 三、解答题 14.如图所示，正方形的边长为2，求阴影部分的周长与面积． 【答案】周长6.71；面积0.645 【分析】分别计算小扇形的弧长、大扇形的弧长和直的部分的长度，再把三部分相加即可得阴影部分的周长.分别计算大正方形的面积、大扇形的面积、小正方形的面积、小扇形的面积，再根据即可算出阴影部分的面积. 【详解】解：（1）； ； ； 所以； （2）， ； ， ， 所以 . 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的周长和面积.熟练掌握扇形的弧长和面积的计算方法是解题的关键. 15.计算下面图形中阴影部分的面积，( AB = 6cm ,FA = BC = 3cm )（用表示） ( B C D F A ) 16.求下列各图中阴影部分的面积 17.如图：扇形OAB的半径为10cm，∠AOB=90°分别以OA、OB为直径作半圆，两半 圆相交于点C．求图中阴影部分面积是多少？ 18.如图，是正方形，且，求阴影部分的面积．(取) 19.某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长和面积． 【答案】阴影部分的周长为，阴影部分的面积为 【解析】 【分析】根据圆的周长和面积公式分别求出阴影的周长和面积，再进行运算即可． 【详解】解： ； . 答：阴影部分的周长为，阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了圆的面积、周长公式的运用；能够熟练运用公式，并正确化简计算是解题的关键． 20.正方形的边长为4厘米． (1)分别以点A、C为圆心，4厘米为半径的弧、弧与边、所形成的阴影部分如图1，求图1阴影部分的面积． (2)以点B为圆心，4厘米为半径的弧与以、为直径的两个半圆所形成的阴影部分如图2，求图2阴影部分的面积． (3)若以为直径的半圆与三角形的边、所形成的阴影部分如图3，请试求图3阴影部分的面积． 【答案】(1)3.44 (2)4.56 (3)4 【分析】（1）因为四边形为正方形，所以，可通过可求出阴影部分的面积；（2）如图2，连接，，交点为O，则可将阴影①绕点O顺时针旋转至③，将阴影②绕点O逆时针旋转至④，则通过可求出阴影部分的面积；（3）如图3，将阴影①沿的垂直平分线翻折至②，则，求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴， ∴ (平方厘米)； （2）解∶如图2，连接，，交点为O， 则可将阴影①绕点O顺时针旋转至③，将阴影②绕点O逆时针旋转至④， 则 (平方厘米)； （3）如图3，将阴影①沿的垂直平分线翻折至②， 则， ∵厘米， ∴（平方厘米）， ∴（平方厘米）． 【点睛】本题考查了与圆有关的计算，阴影部分的面积等，解题关键是能够将不规则图形的面积转化为几个规则图形面积的差或和等． 26. （2023-2024下黄浦区期末试卷）如图，四边形是一个正方形，四点在一直线上，且厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？（取） 【答案】阴影部分的面积是 【解析】 【分析】本题主要考查了组合图形的面积计算，根据进行求解即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， 答：阴影部分的面积是． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年上海初中六年级数学新教材(培优课程) 重难点02 圆组合图形阴影面积 1、三角形的面积 =. 2、等腰直角三角形的面积 =. 3、长方形的面积 =. 4、正方形的面积 = 边长的平方 = . 5、菱形的面积 =. 6、梯形的面积 =. 7、圆的面积 =. 8、扇形的面积 =. 题型1:圆环的面积 【例1】一个圆形草坪的周长是31.4米,要在这个草坪的周围铺一条2米宽的石子路,这条石子路的面积是多少平方米? 【例2】图中,三个同心圆的半径分别为2、6、10,则图中阴影部分占大圆面积的_%. 【例3】如图,梯形ABCD的面积是25平方厘米,求圆环的面积.(取3.14)A B C D O 【例4】如图,阴影部分的面积是100平方厘米,求圆环的面积. 【答案】100平方厘米. 【例5】如图,有半径为5厘米、4厘米、3厘米的三个圆,A部分(即两小圆的重叠部分)的面积与阴影部分的面积相比,哪个大?大多少?A 【例6】如图,以半圆的半径8厘米为直径在半圆内作一个圆,求图中阴影部分的面积.(取3.14) 题型2:圆与正方形组合的图形 【例7】如图,已知正方形长10cm,求阴影部分周长. 【例8】求下图中阴影部分的面积(图中长度单位为厘米) 【例9】如图,正方形的边长是6厘米,则阴影部分的周长是_厘米,面积是_平方厘米.(取3.14) 【例10】如图,正方形中,分别以两个对角顶点为圆心,以正方形的边长6为半径画弧,形成树叶形的图案(阴影部分),求树叶形图案的周长. 【例11】下列个选项中,正方形边长相同,阴影部分面积与其他三个不同的图案是( ) A. (A) B. (B) C. (C) D. (D) 【例12】如图,正方形的边长为4厘米,阴影部分的面积是_平方厘米. 【例13】边长为1的正方形中,分别以边长为直径作3个半圆.求围成的阴影部分的面积. 【例14】如图,一个大正方形各边都被四等分,分成十六个小正方形,图A是一个圆,图B是由三个半圆围成的图形,那么图A与图B的周长的大小关系是_,图A与图B的面积的大小关系是_.A B 【例15】如图,正方形的边长为6分米,求阴影部分的面积.(取3.14) 【例16】如图,正方形的边长为2厘米,以圆弧为分界线的A、B两部分的面积的差是_平方厘米.(取3.14)A B 【例17】如图是由正方形和半圆形组成的图形,其中P点为半圆周的中点,Q点为正方形一边的中点,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?(取3.14)A B C D P Q 10 【例18】如图,扇形AFB恰为一个圆的,BCDE是正方形,边长为3,AFBG也是正方形,边长为4,求图中阴影部分的面积.(取3.14)A B C D E F G M 【例19】如图,小正方形的边长4厘米,大正方形边长6厘米,的面积为3.2平方厘米,求阴影部分的面积.A B C D E 30 题型3:圆与三角形组合的图形 【例20】如图,,C为的中点,已知阴影甲的面积为16平方厘米,求阴影乙的面积.(取3.14)甲 乙 A B C O S空 【例21】求阴影部分的面积(结果保留). 【例22】如图,是等腰直角三角形,腰AB长为4厘米,求阴影部分的面积.(取3.14)A B C D 【例23】如图,是直角三角形,AB = 20米,阴影(1)的面积比阴影(2)的面积小23平方米,求BC的长度是多少米?(取3.14)A B C 1 2 【例24】如图,是等腰直角三角形,D是半圆周的中点,BC是半圆的直径.已知:AB = BC = 10,求阴影部分的面积.(取3.14)A B C D 【例25】如图,直径AB为3厘米的半圆以点A为圆心逆时针旋转60 ,使AB到达AC的位置,求图中阴影部分的面积.(取3.14)A B C 【例26】如图,圆的半径都是3厘米,则阴影部分的面积为_平方厘米. 【例27】有一个著名的希波克拉蒂月牙问题.如图:以BC为直径作半圆,C是圆弧上一点(不与A、 B重合),以AC,BC为直径分别作半圆,围成两个月牙形1、2(阴影部分).已知直径BC=20cm,直径AC=12cm,直径AC=16cm(注:此时∠BAC是直角) (1)分别求出三个半圆的面积.(结果用含 的式子表示) (2)请猜测:这两个月牙形的面积与 ABC的面积之间有怎样的关系? (3)求出这两个月牙形的周长和. 【例28】如图,为等腰直角三角形,D是AB的中点,AB = 20厘米,分别以A、B为圆心作弧GD、HD,求图中阴影部分的面积.(取3.14)A B C D E F G H 【例29】已知等腰直角三角形ABC,D为斜边中点,AC = BC = 2分米,弧DF、弧DH分别是以B、C为圆心画的弧,求阴影部分的面积.E A B C D F G H 【例30】如图,是一个等腰直角三角形,直角边的长度是1米,现在以C点为圆心,把顺时针旋转90 ,求AB边在旋转时扫过的面积. 题型4:圆与扇形组合的图形 【例31】如图,圆O的直径为8厘米,则阴影部分的面积是多少平方厘米?(取3.14) 【例32】已知半圆的直径AB=12cm,弧AC所对的圆心角为30 ,求阴影部分的周长 【例33】如图,其中四个圆的直径均为4厘米,那么阴影部分的面积为_平方厘米.(取3.14) 【例34】如图,AB与CD是两条互相垂直的直径,圆O的半径为15厘米,,是以C为圆心,AC为半径的圆弧,求阴影部分的面积.(取3.14)A B C D E O 题型5:圆与其他图形组合的图形 【例35】如图,长方形的宽是8厘米,求阴影部分的面积.(取3.14) 【例36】如图,直角梯形的面积是54平方厘米,求阴影部分的面积.(取3.14) 135 一、选择题 1.下面两个图形中,其中正方形的面积相等,那么阴影部分面积大小关系是( ) A.甲 > 乙 B.甲 < 乙 C.甲 = 乙 D.无法比较 2.如图,阴影部分周长相同的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图,有两张边长都是4厘米的正方形纸片上,分别从中剪下一个圆和四个大小相同的小圆,余下的面积分别为,则( ) A. ; B. ; C. ; D.不能确定. 4.已知图1、图2中两个半圆的半径相等,、分别是两圆的圆心,图1中的阴影部分面积为,图2中的阴影部分面积为,则与之间的大小关系是( ) A. B. C. D.不能确定 5.如图,这四个图形中正方形边长相等,期中一个图形的阴影部分面积与其也三个不同,这个图形是 A. B. C. D. 6.下面有四个图形,正方形大小相等,与左边阴影部分面积相等的( ) (1) (2) (3) (4) A.(1)(4) B.(2)(4) C.(1)(2)(3) D.(1)(2)(4) 二、填空题 7.已知,如图,在2 2的网格中,每个小正方形的边长都是1,图中的阴影部分图案是由一个点为圆心,半径分别为1和2的圆弧围成,则阴影部分的面积为 . 8.如图,正方形ABCD的边长为6,分别以点D为圆心,4为半径作弧;以点C为圆心,6为半径张弧. 若图中阴影部分的面积分别为时,则= .(结果保留 ) 9.如图是一个长方形花圃的平面图,其中阴影部分种植牡丹,空白部分种植芍药,已知长方形的宽是2米,那么种植牡丹的面积是 平方米. 10.如图,半圆中长方形的宽是长的一半,半径为3厘米,则阴影部分的面积是 平方厘米. 11.如图,正方形的边长为,则阴影部分面积为_.(结果保留) 12.如图,边长为4的正方形,两个半径为4的圆弧相交于点O,正方形内部空白部分与阴影部分的面积差为_ 13.一个圆环的内直径是,圆环的宽度是,这个圆环的面积是 . 三、解答题 14.如图所示,正方形的边长为2,求阴影部分的周长与面积. 15.计算下面图形中阴影部分的面积,( AB = 6cm ,FA = BC = 3cm )(用表示) ( B C D F A ) 16.求下列各图中阴影部分的面积 17.如图:扇形OAB的半径为10cm,∠AOB=90 分别以OA、OB为直径作半圆,两半 圆相交于点C.求图中阴影部分面积是多少? 18.如图,是正方形,且,求阴影部分的面积.(取) 19.某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号,如图中阴影部分所示,已知图中的大圆半径为4,两个小圆的半径均为2,请计算图中阴影部分的周长和面积. 20.正方形的边长为4厘米. (1)分别以点A、C为圆心,4厘米为半径的弧、弧与边、所形成的阴影部分如图1,求图1阴影部分的面积. (2)以点B为圆心,4厘米为半径的弧与以、为直径的两个半圆所形成的阴影部分如图2,求图2阴影部分的面积. (3)若以为直径的半圆与三角形的边、所形成的阴影部分如图3,请试求图3阴影部分的面积. 2 / 2 学科网(北京)股份有限公司 $$