精品解析：广东省湛江市2025年普通高考测试(一)数学试题

湛江市2025年普通高考测试（一） 数学 2025.3 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式确定集合，然后由交集定义计算． 【详解】因为，， 所以． 故选：A． 2. 已知向量，，若，则（ ）． A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直向量的数量积以及其坐标表示，建立方程，求得参数，利用模长公式，可得答案. 【详解】因为，所以，所以，所以． 故选：C． 3. 在等比数列中，，，则（ ）． A. B. 567 C. 451 D. 699 【答案】B 【解析】 【分析】由已知根据等比中项可得，分两种情况利用通项公式求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，，，舍去， 故，所以，即， 所以. 故选：. 4. 一组数据1，3，7，9，的中位数不小于平均数，则m的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算这组数据的平均数，由平均数可得这组数据的中位数只可能是m或7，分两种情况分别求解即可. 【详解】因为这组数据的平均数为， 所以这组数据的中位数只可能是m或7， 若这组数据的中位数是m，则，即， 若这组数据的中位数是7，则，即， 综上所述，m的取值范围为. 故选：B. 5. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 【详解】由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得， 所以， 所以该球的体积V的最大值是． 故选：D 6. 已知函数在区间上存在唯一个极大值点，则m的最大值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在指定区间内求出相位的范围，再结合极大值点的意义列出不等式求解. 【详解】当时，，由在区间上存在唯一个极大值点， 得，解得， 所以m的最大值为. 故选：A 7. 已知，，点P满足，当取到最大值时，的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得点P轨迹方程，然后由直线与圆D相切时，最大，可得答案. 【详解】设，由得， 即，则点P轨迹为的圆心为，半径为的圆. 当直线与圆D相切时，最大，则． 又，，所以． 又，所以． 故选：D． 8. 已知定义在上的函数为奇函数，且当时，，若，不等式恒成立，则的值不可能是（ ）． A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数的性质求出的解析式，再按的不同取值分类讨论在上的单调性即可求解. 【详解】因为定义在上的函数为奇函数，且当时，， 所以当时，，，当时，， 令，即， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 若，则函数在上单调递增， 又，所以， 即恒成立，故满足题意，排除选项A； 若，则，函数在上不单调，图象如图所示， 又，即， 可理解为函数的图象在函数的图象下方， 所以由图象可得，即， 令， 则，， . 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，，，5个数据的散点图如图所示，采用一元线性回归模型建立经验回归方程．经分析确定为“离群点”，故将其去掉，将数据去掉后，下列说法正确的有（ ）． A. 样本相关系数r变大 B. 残差平方和变小 C. 决定系数变大 D. 若经验回归直线过点，则其经验回归方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据散点图的性质可知去掉E后相关性变强判断A选项；残差平方和以及决定系数判断BC选项；根据回归直线的性质判断D. 【详解】对于选项A：由图可知，变量x与变量y是负相关， 且将数据去掉后，样本相关系数r的绝对值变大， 所以r变小，故选项A错误； 对于选项B：将数据去掉后，变量x与变量y的相关性变强， 所以残差平方和变小，决定系数变大，故选项B，C正确； 对于选项D：设经验回归方程为，经计算得， 且，，可得，， 所以经验回归方程是，所以选项D正确． 故选：BCD． 10. 复数，满足，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意根据韦达定理建立一元二次方程，求得复数，根据模长公式以及复数四则运算，可得答案. 【详解】依题意得，复数，是方程的两个根， 可得， 解得，则，， 所以，故选项A正确； ，故选项B正确； ，故选项C错误； ，故选项D正确． 故选：ABD． 11. 设定义在R上的函数和，记的导函数为，且满足，，若为奇函数，则下列结论一定成立的有（ ）． A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用已知得出的图象关于对称，又得出是偶函数，从而它的周期性，然后通过的值计算出相应的值，判断各选项． 【详解】由得． 又，所以，即， 所以关于对称，． 又因为是奇函数，故是偶函数，所以满足条件． 对于选项A，因为，所以， 所以，选项A正确； ，选项B正确； 因为，所以， 所以，选项C正确； 对于选项D，，但不一定为0，选项D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前n项和为，且满足，，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设出公差，根据，求出，得到公差，利用通项公式求出答案. 【详解】设的公差为， 因为， 所以， 又，故，解得，所以， 又，所以． 故答案为： 13. 已知，则__________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】利用同角关系式可求得，利用诱导公式可得，再利用倍角公式即可求解. 【详解】，即． 又，所以， 所以 ． 故答案为：. 14. 已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】法一：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆的定义、双曲线的定义与勾股定理，建立方程组，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案；法二：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆与双曲线焦点三角形面积的二级结论，建立方程，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案. 【详解】 法一：因为，所以． 设，（不妨设），， 依题意有，，， 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为． 法二：因为，所以． 对于焦点三角形，根据椭圆的性质可得其面积， 根据双曲线的性质可得，所以， 所以，整理可得． 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，D为边上的点，且平分． （1）求的大小； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】由正弦定理得，进而可得，根据辅助角公式可得的大小. 由题意可得，从而可得，由余弦定理求得，即可求的周长. 【小问1详解】 由正弦定理得． 又因为，所以， 所以， 或，， 或， 又，∴． 【小问2详解】 平分 ， ， 所以， 所以， 即．① 由余弦定理得， 即．② 将①代入②得， 所以，（舍去）， 所以的周长为． 16. 已知函数，其中． （1）若，求函数的单调区间； （2）当时，试判断的零点个数并证明． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2）两个零点，证明：证法一：因为，故有一个零点是2． 令，解得（舍去），． 当时，，故单调递减． 当时，，故单调递增． 当时，，． ． 下面先证明当时，． 令，， 故在上单调递增， 所以． 因为，所以． 易知，所以在上存在唯一的零点， 所以当时，有两个零点，为2和． 证法二：当时，，故2是的一个零点． 令，又，所以． 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是的极小值点． 当时，，所以． 下证． 令，则． 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 从而， 所以当时，， 所以， 即． 令，则有，则． 易得当时，，所以在上有唯一解． 综上，当时，有两个零点． 证法三：令， 当时，，故2是的一个零点． 当时，． 令， 易得在和上均单调递减． 因为（洛必达法则）， 所以当时，且单调递减， 故当时，在上有唯一解． 而当时，， 故当时，无解． 综上可知，当时，有两个零点. 【解析】 【分析】（1）利用导数求得的单调区间. （2）先判断是的一个零点，利用分类讨论法，对进行分类讨论，或利用分离参数法，结合导数来确定正确答案. 【小问1详解】 由题知，， 当时，． 令，得或（舍去）． 当时，，故的单调递减区间为． 当时，，故的单调递增区间为． 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛： 求函数单调区间时，先求函数的导数，令导数为求出关键点，再根据导数在不同区间的正负确定函数的单调区间，这是解决函数单调性问题的基本方法. 判断函数零点个数，先找出一个已知零点，再通过求导确定函数的单调性和极值，然后构造函数证明相关不等式，进而判断在其他区间是否存在零点，这种方法综合运用了函数的导数性质和不等式证明. 17. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱上的点，且平面． （1）求证：． （2）求直线到平面的距离． （3）请判断在平面上是否存在一点E，使得是以为底边，为顶角的等腰三角形．若存在，请求出点E的轨迹；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：如图，连接， 设交于点O，连接，由得． 在正方形中，． 又，平面,所以平面． 又因为平面，所以． （2） （3）不存在．理由如下：根据第（2）问可得直线到平面的距离为． 又因为平面，设点Q为的中点，所以点Q到平面的距离为． 假设在平面上存在点E，使得是以为底边，为顶角的等腰三角形， 则有． 因为，所以不存在满足条件的点E 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可利用线面垂直的性质求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用点面距离的向量法求解. （3）根据线面平行的性质，结合（2）可知Q到平面的距离为，而，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为平面，平面，平面平面， 所以． 在中，O为的中点，所以点P为的中点． 易知直线，，两两垂直，如图，以点O为原点建立空间直角坐标系． 因为正方形的边长为2， 所以，，，，． 设平面的一个法向量为，则可得， 所以，则， 令，可得． 因为平面，所以直线到平面的距离等于点B到平面的距离， 在法向量上的投影的模为， 所以直线到平面的距离为． 【小问3详解】 略 18. 已知抛物线的焦点为F，A，B分别为C上的点（点A在点B上方）．过点A，B分别作C的切线，，交于点P．点O为坐标原点，当为正三角形时，其面积为． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线经过点F，求动点P的轨迹以及点P到直线的距离的最小值． 【答案】（1） （2）轨迹为直线，最小值为2． 【解析】 【分析】（1）由题意作图，根据正三角形的性质与抛物线的性质，可得点的坐标，代入抛物线方程，可得答案； （2）设出直线方程，并联立抛物线方程，写出韦达定理，设出切线方程，联立抛物线方程，写出根的判别式为零，进而求得切线的交点的坐标，利用点到直线距离公式，可得答案. 【小问1详解】 因为为正三角形时，其面积为，可得的边长． 根据正三角形以及抛物线的对称性，可知此时点A，B关于x轴对称， 所以点A的坐标为． 将点A代入抛物线的方程可得，解得， 所以抛物线C的方程为． 【小问2详解】 易得．设直线的方程为， 联立直线与抛物线C的方程可得． ， 设点A，B的坐标分别为，， 根据韦达定理可得，． 设直线的方程为． 因为是抛物线C的切线，所以与C仅有一个交点． 联立两个方程可得， ，所以， 所以直线的方程为． 同理可得直线的方程为． 计算与的交点可得，即可得， 所以动点P的轨迹为直线． 将点P的横坐标代入直线及，可得其纵坐标为以及， 两者相加可得，代入上述韦达定理可得， 所以点P的坐标为， 所以点P到直线的距离， 当且仅当时等号成立， 所以点P到直线的距离的最小值为2． 19. 甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的类问题以及难度系数较高的类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题．甲遇到每类问题的概率均为，甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记1分，否则记0分；甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记2分，否则记0分，总得分记为X分，甲回答每个问题相互独立． （1）当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望． （2）设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为． （ⅰ）证明：为等比数列． （ⅱ）求的最大值以及对应n的值． 【答案】（1）分布列： X 0 1 2 3 4 P 数学期望为1 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）当时，取到最大值为 【解析】 【分析】（1）由已知可得X的可能取值，分别求解概率即可得分布列和期望； （2）（ⅰ）根据等比数列的定义证明即可；由（ⅰ）可证为等比数列，可得，结合不等式的性质和函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 X可以取0，1，2，3，4， 每次回答A类问题且回答正确的概率为， 回答A类问题且回答不正确的概率为， 每次回答B类问题且回答正确的概率为， 回答B类问题且回答不正确的概率为， ， ， ， ；， X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P ； 【小问2详解】 （ⅰ），， 由题意得甲累计得分为n分的前一轮得分只能为分或分， 故当时，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （ⅱ）根据（ⅰ）可知，①， 易得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以②， 令②－①可得， 所以， 经检验，时均满足上式，故， 所以， 而显然随着n的增大而减小， 故， 又因为，所以当时，取到最大值为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是深入理解游戏得分的规则，找出累计得分分与分，分之间的概率递推关系，从而得到与，的关系式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市2025年普通高考测试（一） 数学 2025.3 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ）． A. B. 2 C. D. 5 3. 在等比数列中，，，则（ ）． A. B. 567 C. 451 D. 699 4. 一组数据1，3，7，9，的中位数不小于平均数，则m的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 5. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上存在唯一个极大值点，则m的最大值为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知，，点P满足，当取到最大值时，的面积为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数为奇函数，且当时，，若，不等式恒成立，则的值不可能是（ ）． A. B. C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，，，5个数据的散点图如图所示，采用一元线性回归模型建立经验回归方程．经分析确定为“离群点”，故将其去掉，将数据去掉后，下列说法正确的有（ ）． A. 样本相关系数r变大 B. 残差平方和变小 C. 决定系数变大 D. 若经验回归直线过点，则其经验回归方程为 10. 复数，满足，，则（ ）． A. B. C. D. 11. 设定义在R上的函数和，记的导函数为，且满足，，若为奇函数，则下列结论一定成立的有（ ）． A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前n项和为，且满足，，则数列的通项公式为__________． 13. 已知，则__________． 14. 已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，D为边上的点，且平分． （1）求的大小； （2）若，，求的周长． 16. 已知函数，其中． （1）若，求函数的单调区间； （2）当时，试判断的零点个数并证明． 17. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱上的点，且平面． （1）求证：． （2）求直线到平面的距离． （3）请判断在平面上是否存在一点E，使得是以为底边，为顶角的等腰三角形．若存在，请求出点E的轨迹；若不存在，请说明理由． 18. 已知抛物线的焦点为F，A，B分别为C上的点（点A在点B上方）．过点A，B分别作C的切线，，交于点P．点O为坐标原点，当为正三角形时，其面积为． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线经过点F，求动点P的轨迹以及点P到直线的距离的最小值． 19. 甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的类问题以及难度系数较高的类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题．甲遇到每类问题的概率均为，甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记1分，否则记0分；甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记2分，否则记0分，总得分记为X分，甲回答每个问题相互独立． （1）当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望． （2）设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为． （ⅰ）证明：为等比数列． （ⅱ）求的最大值以及对应n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $