广东省湛江市2025年普通高考测试(一)数学试题

湛江市2025年普通高考测试（一） 数学 2025.3 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ）． A. B. 2 C. D. 5 3. 在等比数列中，，，则（ ）． A. B. 567 C. 451 D. 699 4. 一组数据1，3，7，9，的中位数不小于平均数，则m的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 5. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上存在唯一个极大值点，则m的最大值为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知，，点P满足，当取到最大值时，的面积为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数为奇函数，且当时，，若，不等式恒成立，则的值不可能是（ ）． A. B. C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，，，5个数据的散点图如图所示，采用一元线性回归模型建立经验回归方程．经分析确定为“离群点”，故将其去掉，将数据去掉后，下列说法正确的有（ ）． A. 样本相关系数r变大 B. 残差平方和变小 C. 决定系数变大 D. 若经验回归直线过点，则其经验回归方程为 10. 复数，满足，，则（ ）． A. B. C. D. 11. 设定义在R上的函数和，记的导函数为，且满足，，若为奇函数，则下列结论一定成立的有（ ）． A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前n项和为，且满足，，则数列的通项公式为__________． 13. 已知，则__________． 14. 已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，D为边上的点，且平分． （1）求的大小； （2）若，，求的周长． 16. 已知函数，其中． （1）若，求函数的单调区间； （2）当时，试判断的零点个数并证明． 17. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱上的点，且平面． （1）求证：． （2）求直线到平面的距离． （3）请判断在平面上是否存在一点E，使得是以为底边，为顶角的等腰三角形．若存在，请求出点E的轨迹；若不存在，请说明理由． 18. 已知抛物线的焦点为F，A，B分别为C上的点（点A在点B上方）．过点A，B分别作C的切线，，交于点P．点O为坐标原点，当为正三角形时，其面积为． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线经过点F，求动点P的轨迹以及点P到直线的距离的最小值． 19. 甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的类问题以及难度系数较高的类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题．甲遇到每类问题的概率均为，甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记1分，否则记0分；甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记2分，否则记0分，总得分记为X分，甲回答每个问题相互独立． （1）当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望． （2）设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为． （ⅰ）证明：为等比数列． （ⅱ）求的最大值以及对应n的值． 湛江市2025年普通高考测试（一） 数学 2025.3 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】##0.8 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）15 【16题答案】 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2）两个零点，证明：证法一：因为，故有一个零点是2． 令，解得（舍去），． 当时，，故单调递减． 当时，，故单调递增． 当时，，． ． 下面先证明当时，． 令，， 故在上单调递增， 所以． 因为，所以． 易知，所以在上存在唯一的零点， 所以当时，有两个零点，为2和． 证法二：当时，，故2是的一个零点． 令，又，所以． 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是的极小值点． 当时，，所以． 下证． 令，则． 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 从而， 所以当时，， 所以， 即． 令，则有，则． 易得当时，，所以在上有唯一解． 综上，当时，有两个零点． 证法三：令， 当时，，故2是的一个零点． 当时，． 令， 易得在和上均单调递减． 因为（洛必达法则）， 所以当时，且单调递减， 故当时，在上有唯一解． 而当时，， 故当时，无解． 综上可知，当时，有两个零点. 【17题答案】 【答案】（1）证明：如图，连接， 设交于点O，连接，由得． 在正方形中，． 又，平面,所以平面． 又因为平面，所以． （2） （3）不存在．理由如下：根据第（2）问可得直线到平面的距离为． 又因为平面，设点Q为的中点，所以点Q到平面的距离为． 假设在平面上存在点E，使得是以为底边，为顶角的等腰三角形， 则有． 因为，所以不存在满足条件的点E 【18题答案】 【答案】（1） （2）轨迹为直线，最小值为2． 【19题答案】 【答案】（1）分布列： X 0 1 2 3 4 P 数学期望为1 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）当时，取到最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $