精品解析：山东省临沂市莒南县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024—2025学年度上学期期末教学质量检测 九年级数学试题 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示是一个水平放置的木陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体）玩具，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 4. 如图，在中，D，E，F分别是边，，上的点，，且，则的长为（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 6. 如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是用计算机模拟随机投掷一枚图钉某次实验的结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（） A. 当投掷次数是时，“钉尖向上”的次数是 B. 当投掷第次时，“钉尖向上”的概率是 C. 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于，故可以估计其概率是 D. 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的频率一定是 8. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是（ ） A B. C. D. 9. 如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷（选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在中，，，，则的值为________． 12. 如图，在中，，⊙过点A、C，与交于点D，与相切于点C，若，则__________ 13. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则______． 14. 如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为__________． 15. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，在的延长线上取一点，连接交于点，延长交于点．若，，，则的值为______． 16. 如图1，在中，，动点从点A出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，与的函数图象如图2所示，当恰好平分时的值为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）若关于的方程有两个相等的实数根，求的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）与是位似图形，位似中心是点E，请在图中标出点E位置，并写出点E的坐标； （2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍得到（其中与A，与B，与C是对应点，并且每对对应点分别在点D的同侧）． 19. 我县某中学开展“了解家乡，热爱家乡”研学活动，七年级准备从红色庄园、厉家寨展览馆两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级准备从红色庄园、厉家寨展览馆、金龙河湿地公园三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选红色庄园为，选择厉家寨展览馆为，选择金龙河湿地公园为，记七年级的选择为，八年级的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求该校七年级、八年级选择的研学基地互不相同的概率． 20. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位；参考数据：，，，） 21. 如图，是的直径，内接于，平分交于点，交于点，延长至，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 已知反比例函数，点，都在该反比例函数图象上． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点，都在该反比例函数图象上； ①当，且点和点关于原点成中心对称，求点的坐标； ②当，时，求的取值范围． 23. 如图，在中，点为的中点，连接，． （1）如图1，若是边的中点，连接，对角线分别与，相交于点，．求； （2）如图2，延长线与的延长线相交于点，连接，的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． 24. 某校科技活动小组利用信息技术模拟火箭运行过程如图所示：在以发射点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴的平面直角坐标系内，火箭的运行路径包括一、二两级运行路线：火箭第一级运行路径形为抛物线，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级，火箭第二级沿直线运行． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①求两段路径所在函数解析式； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）当火箭落地点与发射点的水平距离超过时，求出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期期末教学质量检测 九年级数学试题 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据代入即可求解. 【详解】， 故选：A. 2. 如图所示是一个水平放置的木陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体）玩具，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从上面看看到的图形是一个圆，并且圆的最中间还有一个小圆，即看到的图形如下： ， 故选：D． 3. 已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3， ∴， ∴， ∴， 故选：A 4. 如图，在中，D，E，F分别是边，，上的点，，且，则的长为（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，先得出，求出长，再利用平行四边形的判定和性质可得出答案． 详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是平行四边形， ∴, 故选D． 5. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 6. 如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质可得内错角相等，即可得出和，在根据相似三角形的性质及等量代换即可得出答案． 【详解】解：， ，，， ， ， 由， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，考查学生对相似三角形对应边成比例知识点及等量代换技巧的掌握情况． 7. 如图是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（） A. 当投掷次数是时，“钉尖向上”的次数是 B. 当投掷第次时，“钉尖向上”的概率是 C. 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于，故可以估计其概率是 D. 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的频率一定是 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据图形和各个选项的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：当投掷次数是时，此次计算机记录“钉尖向上”的频率是，故此次次数约是，选项A符合题意； 当投掷次数是时，此时“钉尖向上”的频率是，但“钉尖向上”的概率不一定是，选项B不合题意； 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是．选项C符合题意； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的频率可能是，但不一定是，选项D不符合题意． 故选：AC． 8. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算及旋转的性质，熟知旋转的性质及扇形面积的计算公式是解题的关键． 先用扇形的面积减去的面积，再用扇形的面积减去上面的计算结果即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵， ∴． 在中， ． 故选：D． 9. 如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定；根据相似三角形的性质与判定即可判断A，根据题意可得四边形是的角平分线，进而判断四边形是菱形，证明可得则垂直平分，即可判断B选项，证明四边形是菱形，即可判断C选项，D选项给的条件，若加上，则成立，据此，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ A. 若，即，又， ∴ ∴ ∴，故A选项正确， B. 若，，， ∴是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴ 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，故B选项正确， C. ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴， 又∵ ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴ ∴，故C选项正确； D. 若，则四边形是菱形， 由，且时， 可得垂直平分， ∵ ∴，故D选项不正确 故选：D． 10. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． ①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断； ②利用抛物线的对称轴求出根据图象可得当时，即可判断； ③利用抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断； ④根据根的判别式即可判断． 【详解】解：①∵抛物线的顶点的坐标为 即 由图可知，抛物线开口方向向下，即 当时， 故①正确，符合题意； ②∵直线是抛物线的对称轴， 由图象可得：当时， 故②错误，不符合题意； ③∵直线是抛物线的对称轴， 设两点横坐标与对称轴的距离为， 则 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，故③错误，不符合题意； ④∵关于的一元二次方程无实数根， 故④正确，符合题意， 综上，符合题意的有2个， 故选：B． 第II卷（选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在中，，，，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键是先根据勾股定理求出直角边的长度，再根据正切函数的定义计算． 先利用勾股定理求出直角边AB的长度，再根据正切函数的定义计算的值． 【详解】在中，，根据勾股定理， 已知， 则 根据正切函数的定义，（的对边是，邻边是）， 把代入可得． 故答案为：． 12. 如图，在中，，⊙过点A、C，与交于点D，与相切于点C，若，则__________ 【答案】##64度 【解析】 【分析】根据同弧对应的圆心角是圆周角的2倍计算出，再根据，内错角得到答案． 【详解】如下图所示，连接OC 从图中可以看出，是圆弧对应的圆周角，是圆弧对应的圆心角 得． ∵BC是圆O的切线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的切线的性质，圆周角定理、平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握圆和平行线的相关知识． 13. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则______． 【答案】108 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：108 14. 如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 先证可得从而得到，求得，再运用勾股定理可得，再根据圆周角定理以及角的和差可得，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，在的延长线上取一点，连接交于点，延长交于点．若，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过证明，可得，通过，可得，可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键． 16. 如图1，在中，，动点从点A出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，与的函数图象如图2所示，当恰好平分时的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形与函数图象间的关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点，正确理解两种图形间的关联信息是解题的关键．根据函数图象可得，作的平分线，可得，进而得到，由相似求出的长即可． 【详解】如图，当恰好平分时，连接， 由图2可得， ，， ， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， 解得（负值舍去）， ， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）若关于的方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和根的判别式． （1）首先代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的运算即可； （2）由方程有两个相等的实数根可得，解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）与是位似图形，位似中心是点E，请在图中标出点E的位置，并写出点E的坐标； （2）以点为位似中心，将放大为原来2倍得到（其中与A，与B，与C是对应点，并且每对对应点分别在点D的同侧）． 【答案】（1）图见解析，点E的坐标为． （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查根据位似图形找位似中心，位似作图，掌握位似图形的特征是解题的关键． （1）由位似中心是对应点连线交点作图即可，再根据点的位置直接写出点的坐标即可解题； （2）根据位似比确定、、的位置，再连线即可得到． 【小问1详解】 解：点E的位置如下图所示： 由图知，点E的坐标为． 【小问2详解】 解：得到如图所示： 19. 我县某中学开展“了解家乡，热爱家乡”研学活动，七年级准备从红色庄园、厉家寨展览馆两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级准备从红色庄园、厉家寨展览馆、金龙河湿地公园三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选红色庄园为，选择厉家寨展览馆为，选择金龙河湿地公园为，记七年级的选择为，八年级的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求该校七年级、八年级选择的研学基地互不相同的概率． 【答案】（1）6种 （2） 【解析】 【分析】本题考查利用列表法或画树状图求概率，解题的关键在于根据题意列表或画树状图． （1）根据题意列出表格（或画出树状图）即可解题； （2）根据概率所求情况数与总情况数之比．由表格（或树状图），得到共有6个等可能的结果，该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可列表如下： 由表格可知，所有可能出现的结果总数为以上种； 【小问2详解】 解：由表格可知，该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有种， （七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同）． 20. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位；参考数据：，，，） 【答案】32m 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过点作于点，作于点，先求解，，再证明，再利用锐角的正切可得，从而可得答案. 【详解】解：过点作于点，作于点 由题意得：， 在中， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， 在中. ， 答：该风力发电机塔杆的高度为. 21. 如图，是的直径，内接于，平分交于点，交于点，延长至，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定，三角函数等知识，数量掌握切线的判定定理，作出辅助线是求解的关键； （1）根据是平分线可证，有，有，可证，，证得，证得，即可证明是的切线； （2）连接，，，可得，，，可求出，，可证得，，可求出的长，进而求出的长． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵是的直径 ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ 22. 已知反比例函数，点，都在该反比例函数图象上． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点，都在该反比例函数图象上； ①当，且点和点关于原点成中心对称，求点的坐标； ②当，时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数图象与性质，利用待定系数法列方程求解即可得到答案； （2）①利用反比例函数图象与性质，结合题意求出，利用待定系数法列方程求解即可得到答案； ②利用反比例函数图象与性质，利用待定系数法求出，列不等式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数，点，都在该反比例函数图象上， ∴，解得， ∴； ∴反比例函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：点，都在该反比例函数图象上，点和点关于原点中心对称， ∴， ∵，则，解得， ∴， 将代入得解得， ∴； ②∵，则， ∵， ∴，点在第三象限， ∴， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，涉及待定系数法确定k、点的对称性质、解不等式等知识，熟练掌握反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 23. 如图，在中，点为的中点，连接，． （1）如图1，若是边的中点，连接，对角线分别与，相交于点，．求； （2）如图2，的延长线与的延长线相交于点，连接，的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识． （1）先证，再推出四边形为平行四边形，得，再根据平行线的性质得，进而得，，即可得出结论； （2）连接交于点，先证明得，推出四边形为平行四边形，得，，再得，，再证明得，进而得，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：线段与线段之间的数量关系为：， 理由如下： 连接交于点，如下图： ∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 某校科技活动小组利用信息技术模拟火箭运行过程如图所示：在以发射点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴的平面直角坐标系内，火箭的运行路径包括一、二两级运行路线：火箭第一级运行路径形为抛物线，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级，火箭第二级沿直线运行． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①求两段路径所在函数解析式； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）当火箭落地点与发射点的水平距离超过时，求出的取值范围． 【答案】（1）①，；②两个位置之间的距离 （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用． （1）①利用待定系数法求出函数解析式；②根据二次函数的性质进行解答即可； （2）将，代入，解得，，即可得到答案． 【小问1详解】 解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，， ∴函数解析式分别为：，， ② ∴最大值 当时，则 解得， 又∵时， ∴当时，则． 解得 ∴这两个位置之间的距离． 【小问2详解】 解：当水平距离超过时，火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $