精品解析：安徽省合肥市瑶海区2024-2025学年八年级下学期月考数学试卷 (北师大版)

八年级数学（北师大版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 在下列式子中，属于不等式的是（ ） A. B. C. D. 2. 用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都大于等于 C. 有一个内角大于等于 D. 每一个内角都小于 3. 已知，则下列各式中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 在数轴上表示不等式的解集正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 等腰三角形的两底角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 角平分线上的点到角两边的距离相等 D. 三个角都是的三角形是等边三角形 7. 某校举行知识竞赛，共有30道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于80分，则至少应该答对几道题？若设答对x道题，可得式子为（ ） A. B. C. D. 8. 不等式的解集是，则的取值范围是（　 　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线交边于点G．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 如图，是的角平分线，，垂足为交的延长线于点，若恰好平分．下列四个结论中：①；②；③；④．其中正确的结论共有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. “的2倍与6的和比1小”用不等式表示为_____________． 12. 若等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长为_______． 13. 如图，中，平分，的中垂线交于点E，交于点F，连接、若，，则的度数为_____． 14. 如图，在中，，，，且，，，，，，，则的值为____________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 根据下列数量关系列不等式． （1）的倍减去是正数； （2）的与的和不大于． 16. 根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式． （1）． （2）． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知，如图，，，； （1）请在上作出点，使，并连接（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）求出的度数． 18. 如图，，，，、是垂足，，求证：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小．试比较代数式与的值之间的大小关系． 20. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D． 求证：AD=BC． 六、（本题满分12分） 21. 如图，是的角平分线，，交于点E． （1）求证：． （2）当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，是边的垂直平分线，分别交边，于点，，，且为线段的中点，延长与的垂直平分线交于点，连接． （1）若是的中点，求证：； （2）若，求证：为等边三角形． 八、（本题满分14分） 23. 阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． （1）深入探究 将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； （2）理解与应用 当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学（北师大版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 在下列式子中，属于不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的定义即可求出正确答案． 【详解】解：由题意可知： A. ，不是不等式，故不符合题意； B. ，是不等式，符合题意； C. ，不是不等式，故不符合题意； D. ，不是不等式，故不符合题意． 故选：B 【点睛】本题考查不等式的定义，解题的关键是掌握不等式的定义：用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式．如， 像这样x≠3用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 2. 用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都大于等于 C. 有一个内角大于等于 D. 每一个内角都小于 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了反证法，反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 【详解】解：用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于”时， 应先假设这个三角形中每一个内角都不小于，即每一个内角都大于或等于． 故选：． 3. 已知，则下列各式中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可． 本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】A、∵， ∴， 故A选项错误； B、当时，， 故B选项是错误； C、∵ ∴， ∴， 故C选项错误； D、∵， ∴， 故D选项正确； 故选：D． 4. 如图，中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边对等角求出∠C的度数，再利用三角形内角和定理求出∠A． 【详解】解：∵， ∴∠C=∠B=70°， ∴∠A=180°-∠B-∠C=40°， 故选：A． 【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和定理，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 5. 在数轴上表示不等式的解集正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式，熟记在数轴上表示不等式的方法是解题的关键．根据不等式在数轴上表示为一些区间，大于等于小于等于为实心点，大于和小于为空心点即可解答． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴方向向右，起点是实心点， 故选：C． 6. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 等腰三角形的两底角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 角平分线上的点到角两边的距离相等 D. 三个角都是的三角形是等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的判定、等腰三角形的判定、角平分线的性质和等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、等腰三角形的两底角相等的逆命题是两角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题； B、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，逆命题是假命题； C、角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，逆命题是真命题； D、三个角都是的三角形是等边三角形的逆命题是等边三角形的三个角都是，逆命题是真命题； 故选：B． 【点睛】本题考查的是真假命题的判断、逆命题的概念，掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定判定及性质、角平分线的判定及性质和等边三角形的判定及性质是解题的关键． 7. 某校举行知识竞赛，共有30道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于80分，则至少应该答对几道题？若设答对x道题，可得式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，理清等量关系、正确的列出不等式是解题的关键． 设答对x道题，根据总得分不少于80分列出一元一次不等式即可． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题共道， 由题意可得：． 故选D． 8. 不等式的解集是，则的取值范围是（　 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，解集与原式不等号的方向已改变，说明的系数为负数，列式计算从而求出结果． 【详解】解：∵不等式的解集是 ∴不等号的方向改变了， ， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了利用不等式的性质解含有字母系数的不等式，解题的关键是根据原不等式和给出的解集的情况确定字母系数的取值范围，需熟练掌握不等式的基本性质． 9. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线交边于点G．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．首先根据角平分线的性质得到，然后利用三角形的面积求解即可． 【详解】作于H，由基本尺规作图可知，是的角平分线． ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴． 故选C． 10. 如图，是的角平分线，，垂足为交的延长线于点，若恰好平分．下列四个结论中：①；②；③；④．其中正确的结论共有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】首先证明，根据等腰三角形的性质即可判断②③正确，由，推出，，故①正确；由，推出，即可判断④． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 是的角平分线， ，，故②③正确， 在与中， ， ， ，，故①正确； ， ，故④正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是正确使用等腰三角形的性质三线合一． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. “的2倍与6的和比1小”用不等式表示为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干的描述“的2倍与6的和”可表示为 再列不等式即可． 【详解】解：“的2倍与6的和比1小”用不等式表示为： 故答案为： 【点睛】本题考查的是列不等式，理解题意，注意运算的顺序，再列不等式是解本题的关键． 12. 若等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长为_______． 【答案】22 【解析】 【分析】因为已知等腰三角形的两边长，没明确是底边还是腰，所以分两种情况讨论：①当4为底时，②当9为底时，根据三角形三边之间的关系判断能否组成三角形，再求出周长．本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边之间的关系，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：若等腰三角形的两边长分别为4和9，分两种情况： ①当4为底时，其它两边都为9，而，可以构成三角形，周长为17； ②当9为底时，其它两边都为4，，所以不能构成三角形，故舍去． 所以等腰三角形的两边长分别为4和9 ，其周长为22． 故答案为：22 13. 如图，中，平分，的中垂线交于点E，交于点F，连接、若，，则的度数为_____． 【答案】##48度 【解析】 【分析】由角平分线的定义可得，由垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：平分， ， 垂直平分， ， ， ， ，，， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，且，，，，，，，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质．根据题意，由30°直角三角形的性质得到，，……，然后找出题目的规律，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可得：； …… ∴； 当时，有 ； 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 根据下列数量关系列不等式． （1）的倍减去是正数； （2）的与的和不大于． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）根据题意，列出不等式即可； （）根据题意，列出不等式即可； 本题考查了列不等式，读懂题意，找到不等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：由题意得：． 16. 根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式． （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的性质，两边都除以，可得答案； （2）根据不等式的性质，两边都减，整理后再两边都除以3，可得答案． 【详解】解：（1）将两边都除以， 得． （2）将两边都减， 得， 即， 两边都除以3， 得． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟记不等式的性质． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知，如图，，，； （1）请在上作出点，使，并连接（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）求出的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，故可得； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，结合题目条件可求出结论． 【小问1详解】 解：如图，为所作的图形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ 【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的作法以及性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答此题的关键． 18. 如图，，，，、是垂足，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】求出，根据定理推出即可 ． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的判定定理有，，，，． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小．试比较代数式与的值之间的大小关系． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是比较代数式的大小，掌握作差法比较两个代数式大小是解题的关键． 依据作差法列出代数式，然后去括号、合并同类项，最后与0比较大小即可． 【详解】解： ． 不论为何值，都有， 20. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D． 求证：AD=BC． 【答案】证明见解析． 【解析】 【详解】由等腰三角形性质及三角形内角和定理，可求出∠ABD=∠C=BDC. 再据等角对等边，及等量代换即可求解. 试题解析：∵AB=AC， ∠A=36°∴∠ABC=∠C= (180°-∠A)= ×(180°-36°)=72°，又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=×72°=36°， ∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°， ∴∠C=∠BDC， ∠A=AB， ∴AD=BD=BC. 六、（本题满分12分） 21. 如图，是的角平分线，，交于点E． （1）求证：． （2）当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）相等，见解析 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；  （2）利用平行线的性质可得， 则AD= AE，从而有CD = BE，由(1) 得，，可知BE = DE，等量代换即可． 【小问1详解】 证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 由（1）得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，是边的垂直平分线，分别交边，于点，，，且为线段的中点，延长与的垂直平分线交于点，连接． （1）若是的中点，求证：； （2）若，求证：为等边三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键． （1）连接，证明是等边三角形，进而得出，即可得出结论； （2）先证明为等边三角形，进而证明，再由等边三角形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵的垂直平分线为， ∴， ∴为等边三角形． 八、（本题满分14分） 23. 阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值． （1）深入探究 将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明； （2）理解与应用 当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积； （1）连接、、，利用计算即可； （2）连接、、，利用计算即可． 【小问1详解】 ，理由如下： 连接、、，则 ∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，理由如下： 连接、、，则 ∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $