精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市克东县第三中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

九年级数学试题 一、单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 2. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件， 故选：A． 3. 如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图和俯视图都不发生变化，则应取走（ ）   A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，上面看得到的图形是俯视图．可得答案． 【详解】解：若取走标有④的小正方体，则新几何体的左视图和俯视图都不发生变化，故选项D符合题意． 故选：D． 4. 下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（ ） A. 其图象经过点 B. 其图象分别位于第一、三象限 C. y随x的增大而减小 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：∵反比例函数， ∴其图象经过点，故选项A正确，不符合题意； 其图象分别位于第一、三象限，故选项B正确，不符合题意； 在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项C错误，符合题意； 当时，，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 5. 在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如果再往盒中放进3颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子（ ） A. 2颗 B. 3颗 C. 4颗 D. 5颗 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率，关键是得到两个关于概率的方程．先根据白色棋子的概率是，得到一个方程，再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，再得到一个方程，求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴原来盒里有白色棋子2颗． 故选：A． 6. 若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， 即m的范围为且． 故选：C． 7. 如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，连接．则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形及等边三角形的性质，根据题意，得出，再令正三角形的边长为，用k分别表示出及即可解决问题． 【详解】解：因为图中的三角形都是正三角形， 所以四边形为菱形， 则， 所以． 令正三角形的边长为， 则． 在中，， 所以． 在中，． 故选：C． 8. 如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交于点，为线段的中点，按下列步骤作图：①以为圆心，适当长为半径画弧交，于点，点；②分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部交于点；③作射线．若射线经过点，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．先利用勾股定理计算出，利用基本作图得到平分，再证明得到，设，则，，接着证明，利用相似比得到，然后解方程即可． 【详解】解：，，， ， 由作法得平分， ， ∵， ， ， ， 点为的中点， ， 设，则，， ∵， ， ，即，解得， 即的长为． 故选：B． 9. 如图，在中，，将沿翻折得到，点O为的中点，点E在上，且，连接并延长，将线段绕点D顺时针旋转一定的角度得到线段，点F恰好在的延长线上时，点C运动到点F的路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明 ，再利用弧长公式求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C运动到点F的路径长． 故选：D． 【点睛】本题考查轨迹，含30度角的直角三角形，翻折变换，旋转的性质，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若方程的两根为和，且，则满足；⑤不等式的解集为．其中正确结论的个数为（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与x轴的交点坐标与方程的解之间的关系，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，利用二次函数的对称性得出函数为，由抛物线与直线的交点可知，即可得出，，即可判断④，求得抛物线与直线的交点坐标根据图象即可判断． 【详解】解：①∵函数图象开口方向向上， ∴； ∵对称轴在y轴右侧， ∴a、b异号， ∴， 又抛物线与轴负半轴相交， ∴， ∴，故①错误； ②∵二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线， ∴1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③由对称轴和开口方向可知最小值， ， ∴， 故③正确； ④∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为， ∴， 由图象可知抛物线与直线交点在x轴的上方， ∴若方程的两根为和，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故④正确； ∵，， ∴， ∴抛物线为，则直线， 令， 整理得，解得，， ∴抛物线为与直线的交点的横坐标为， 由图象可知，不等式的解集为， 故⑤正确； 综上所述，正确的有4个． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 已知反比例函数的图象上两点，，当时，有则的取值范围是 _________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意判断出函数图象所在的象限是解答本题的关键． 根据反比例函数图象上点的特征得到图象位于一、三象限，所以，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵时，， ∴反比例函数图象位于一、三象限， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算．用到的知识点为：圆锥的侧面展开图弧长等于底面周长． 根据题意得圆锥的母线长为，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， 故答案为：5． 13. 如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子顶端到地面的距离米，，则梯子长_________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，在中，，可以假设，则米，求出k即可解决问题． 【详解】解：在中，， ∴可以假设，则米， ∴， ∴（米）． 故答案为：． 14. 3月14日是国际数学节，某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”、“玩转幻方”、“益智九连环”和“巧解鲁班锁”四个挑战活动，如果小芳和小圆每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及她们恰好选到同一个活动的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将“竞速华容道”、“玩转幻方”、“益智九连环”和“巧解鲁班锁”四个挑战活动分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中她们恰好选到同一个活动的结果有4种， ∴她们恰好选到同一个活动的概率为． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形的面积是5，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设交y轴于点C，根据平行四边形的性质可得，，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解． 【详解】如图，连接，设交y轴于点C， ∵四边形是平行四边形，平行四边形的面积是5， ∴，， ∴轴， ∵点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 16. 矩形中，对角线、交于点O，于E，若，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质和余弦的定义是解决问题的关键．如图1，先利用矩形的性质得到，设，则，所以，根据余弦的定义得到；如图2，利用同样方法可求出． 【详解】解：如图1， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵于E， ∴， 设，则， ∴， ∴； 如图2， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵于E， ∴， 设，则， ∴， ∴； 综上所述， 或． 故答案为：或． 17. 如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，过点A作直线的垂线，交x轴于点C，以为直角边向右作等腰直角三角形，，过点作的平行线，交直线于点，交x轴于点，再以为直角边向右作等腰直角三角形，……按照此方式作下去，点的坐标为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出点的坐标为是解决本题的关键．根据等腰直角三角形的性质得到点A、的坐标，通过相应规律得到点的坐标即可． 【详解】解：∵直线的解析式为， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 同理， … 点的坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本题共6道大题，共69分） 18. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）6（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解一元二次方程： （1）先进行零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）利用因式分解法进行因式分解即可． 【详解】解：（1）原式； （2） ， ∴或， ∴． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点． （1）求反比例函数和一次函数的函数解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点，使，点的坐标为 ． 【答案】（1）反比例函数为：，一次函数的函数解析式为：； （2）或； （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据函数与不等式的关系，由图像求解即可； （3）设点，由题意求得，，根据三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴，即， ∴反比例函数为：， ∴， ∴，，代入得：， 解得：， ∴一次函数的函数解析式为：． 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， 由图象可得不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：设点， ∵一次函数与轴，轴分别交于点， 当时，，解得：， 当时，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 20. 如图，等腰三角形中，，D为的延长线上一点，E为的延长线上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；利用相似三角形的性质解决角或线段之间的关系问题．也考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质． （1）先利用等腰三角形的性质得到，则根据等角的补角相等得到，接着利用等量代换和比例的性质得到，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，再利用相似三角形的性质得到，则根据三角形外角性质可证明，然后计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F，连接并延长交射线于点M． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可； （2）根据垂直的定义得到，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的半径为． 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 22. 上数学综合实践课上，在学习了图形的相似后，老师组织同学们以“探究相似基本模型”为主题的数学活动．对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图①，在中，，，垂足为D．这是我们比较熟悉的一个相似基本模型． （1）易知：在和中，由，∠ ，证得，可得出 ；进而得到． （2）如图②，F为线段上一点，作射线，并在射线上取点E，连接，使． ①此时可证，进而得出 ； ②猜想是 三角形，直接利用（1）和（2）的①问中所得结论证明你的猜想． （二）探索应用 如图③，是直角三角形，，线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接并延长至点E，且使． （3）线段绕点A顺时针旋转一周的过程中，若，线段长度的最小值为 ． 【答案】（1），或（，）；；（2）①；②直角，见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、三角形三边关系等内容，熟练掌握相关知是解题的关键． （1）由题易得，再根据，得到，所以，进而得到； （2）①根据相似三角形的性质直接得解即可； ②由前述两问可得到，进而可证出，从而得解； （3）证，得到，当最大时，最小，而，当且仅当三点共线时取等，进而得解． 【详解】解：（1）由题易知，或， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，或（，）；； （2）①∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②为直角三角形，证明如下， 证明：由（1）得， 由（2）①得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 故答案为：直角； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最小， 由题可知，点D在以A为圆心，2为半径的圆上运动， ∴，当且仅当三点共线时取等， 此时， 故答案为：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C．点P是抛物线上第四象限内的一点，过P作轴，交直线于点D． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标； （3）当时，点P的横坐标为 ； （4）当点D在抛物线的对称轴上，Q为x轴上的一点，的最小值为 ． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）点P是抛物线上第四象限内的一点，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，则，设点，则点，得到 即可求解； （3）由 ，即可求解； （4）过点O作直线，即直线l和x轴正半轴的夹角为，过点D作交于点H，交x轴于点Q，则，则此时最小，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点、， ∴， 解得，， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵点P是抛物线上第四象限内的一点，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得， ， 解得， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则 ， 解得：， 即点； 【小问3详解】 解：设直线交y轴于点H， 设点， 设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得， ∴直线的表达式为： ， 则点， 则， 则， 解得：（不合题意的值已舍去）， 故答案为：； 【小问4详解】 解：当点D在抛物线的对称轴上，则点， 过点O作直线，即直线l和x轴正半轴的夹角为， 过点D作交于点H，交x轴于点Q，则，则此时最小， 理由：，则为最小， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一、单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 3. 如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图和俯视图都不发生变化，则应取走（ ）   A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（ ） A. 其图象经过点 B. 其图象分别位于第一、三象限 C. y随x的增大而减小 D. 当时， 5. 在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如果再往盒中放进3颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子（ ） A. 2颗 B. 3颗 C. 4颗 D. 5颗 6. 若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，连接．则的值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交于点，为线段的中点，按下列步骤作图：①以为圆心，适当长为半径画弧交，于点，点；②分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部交于点；③作射线．若射线经过点，则的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，将沿翻折得到，点O为的中点，点E在上，且，连接并延长，将线段绕点D顺时针旋转一定的角度得到线段，点F恰好在的延长线上时，点C运动到点F的路径长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若方程的两根为和，且，则满足；⑤不等式的解集为．其中正确结论的个数为（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 已知反比例函数的图象上两点，，当时，有则的取值范围是 _________． 12. 若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____． 13. 如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子顶端到地面的距离米，，则梯子长_________米． 14. 3月14日是国际数学节，某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”、“玩转幻方”、“益智九连环”和“巧解鲁班锁”四个挑战活动，如果小芳和小圆每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是 ______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形的面积是5，则k的值是______． 16. 矩形中，对角线、交于点O，于E，若，则_______． 17. 如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，过点A作直线的垂线，交x轴于点C，以为直角边向右作等腰直角三角形，，过点作的平行线，交直线于点，交x轴于点，再以为直角边向右作等腰直角三角形，……按照此方式作下去，点的坐标为 ______． 三、解答题（本题共6道大题，共69分） 18. （1）计算：； （2）解方程：． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点． （1）求反比例函数和一次函数的函数解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点，使，点的坐标为 ． 20. 如图，等腰三角形中，，D为的延长线上一点，E为的延长线上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F，连接并延长交射线于点M． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的半径． 22. 上数学综合实践课上，在学习了图形的相似后，老师组织同学们以“探究相似基本模型”为主题的数学活动．对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图①，在中，，，垂足为D．这是我们比较熟悉的一个相似基本模型． （1）易知：在和中，由，∠ ，证得，可得出 ；进而得到． （2）如图②，F为线段上一点，作射线，并在射线上取点E，连接，使． ①此时可证，进而得出 ； ②猜想是 三角形，直接利用（1）和（2）的①问中所得结论证明你的猜想． （二）探索应用 如图③，是直角三角形，，线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接并延长至点E，且使． （3）线段绕点A顺时针旋转一周的过程中，若，线段长度的最小值为 ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C．点P是抛物线上第四象限内的一点，过P作轴，交直线于点D． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标； （3）当时，点P的横坐标为 ； （4）当点D在抛物线的对称轴上，Q为x轴上的一点，的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $