2.4一元二次方程根与系数的关系——课后练习2024-2025学年浙教版数学八年级下册

浙教版初中数学八年级下册第二章2.4一元二次方程根与系数的关系——课后练习 一、选择题 1.若,是方程的两个根,则( ) A. B. C. D. 2.若方程的两根为、,则的值为( ) A.-3 B.3 C. D. 3.关于 的一元二次方程 有两根, 其中一根为 , 则这两根之积为( ) A. B. C.1 D. 4.若关于的一元二次方程有两个实数根,且,则的值为( ) A.2 B.2或8 C.6 D.2或6 5.已知一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)的一个正根和方程x2+bx+a=0的一个正根相等,若ax2+bx+1=0的另一个根为4,则x2+bx+a=0的两个根分别为( ) A.﹣4,4 B.﹣4,1 C. D. 6.已知 是方程 的两个根,则 的值为( ) A. B. C. D. 7.已知一元二次方程2x2﹣3x﹣6=0有两个实数根a,b,直线经过点A(a+b,0)和点B(0,ab),则直线l的函数表达式为( ) A.y=2x﹣3 B.y=2x+3 C.y=﹣2x+3 D.y=﹣2x﹣3 8.已知两个关于x的一元二次方程 ,其中 .下列结论错误的是( ) A.若方程M有两个相等的实数根,则方程N也有两个相等的实数根 B.若方程M有一个正根和一个负根,则方程N也有一个正根和一个负根 C.若5是方程M的一个根,则 是方程N的一个根 D.若方程M和方程N有一个相同的根,则这个根一定是 9.已知关于x的方程mx2+x﹣m+1=0,给出以下结论,其中错误的是( ) A.当m=0时,方程只有一个实数根 B.若x 是方程的根,则方程的另一根为x=﹣1 C.无论m取何值,方程都有一个负数根 D.当m≠0时,方程有两个不相等的实数根 10.甲、乙两名同学解关于 的方程 , 甲看错了一次项系数, 解得两根为 5 和 3 ,乙看错了常数项, 解得两根为 3 和 4 , 则 的值分别为( ) A.7,15 B. C. D. 11.已知xy≠1,且3x2+2021x+6=0,6y2+2021y+3=0,则 =( ) A. B.2 C.3 D.9 12.关于x的方程x2-(m2-1)x+2m=0的两个根互为相反数,则m的值是( ) A.+1 B.-1 C.1 D.0 13. 小明发现一元二次方程的两根表示在数轴上关于点对称.若关于x的方程的两根在数轴上对应的点的距离为4,则( ) A. B. C. D. 14.欧几里得的《原本》记载,形如x2+bx=a2的方程的图解法是:画Rt ABC,使∠ACB=90 ,BC=a,AC= ,再在斜边AB上截取AD= .则该方程的一个正根是( ) A.AC的长 B.AD的长 C.BC的长 D.BD的长 15. 已知一元二次方程(a≠0,x1≠x2)与一元一次方程有一个公共解x=x1,若一元二次方程有两个相等的实数根,则( ) A. B. C. D. 16.若关于x的方程 的解中,仅有一个正数解,则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 17.已知m,n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根,则m2﹣mn+3m+n=( ) A.6 B.7 C.8 D.9 18.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0与cx2+bx+a=0,且ac≠0,a≠c.下列说法正确的是( ) A.若方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,则方程cx2+bx+a=0没有实数根 B.若方程ax2+bx+c=0的两根符号相同,则方程cx2+bx+a=0的两根符号也相同 C.若5是方程ax2+bx+c=0的一个根,则5也是方程cx2+bx+a=0的一个根 D.若方程ax2+bx+c=0和方程cx2+bx+a=0有一个相同的根,则这个根必是x=1. 19.设关于x的方程,有两个不相等的实数根,且,那么实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 20.已知关于x的一元二次方程 有实数根,设此方程得一个实数根为t,令 ,则( ) A. B. C. D. 21.对于一元二次方程,下列说法: 若,则方程必有一根为; 若方程有两个不相等的实根,则方程无实根; 若方程两根为,且满足,则方程,必有实根,; 若是一元二次方程的根,则. 其中正确的( ) A. B. C. D. 22.已知一元二次方程的两个实数根为,,则,,这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的,故把它称为“韦达定理”,请利用此定理解决问题:对于一切正整数,关于的一元二次方程的两个根记作,,则的值是( ) A. B. C. D. 二、填空题 23.已知,是一元二次方程的两个根,则的值等于 . 24.已知一个一元二次方程的二次项系数是 -2 , 它的两根之和为 , 两根之积为 2 , 请写出这个方程: 25.已知一元二次方程的两根分别为m、n,则的值为 . 26.若关于的一元一次方程的两个根分别比的两个根大10,则 . 27.若等腰 ABC的一边长6,另两边长恰好是关于x方程x2-10x+m=0的两个实数根,则 ABC的面积为 28.已知 , 且 , 则 . 29.若关于的一元二次方程有实数根,且,有下列结论: ① ②若,则; ③关于的方程的根为; ④关于的方程的根为2,3. 其中正确结论的有 。 三、解答题 30.已知关于x的一元二次方程x2﹣2(k﹣1)x+k2+3=0. (1)若该方程有一个根是﹣2,求k的值. (2)若该方程有两个实数根,求k的取值范围. (3)若该方程的两个实数根x1,x2满足(x1﹣1)(x2﹣1)=14,求k的值. 31.已知 的两边 的长是关于 的一元二次方程 的两个实数根, 第三边 的长为 5 . (1) 为何值时, 是以 为斜边的直角三角形? (2) 为何值时, 是等腰三角形? 求 的周长. 32. 已知 是关于 的一元二次方程 的两个实数根. (1) 是否存在实数 , 使 成立? 若存在, 求出 的值; 若不存在, 请说明理由. (2) 求使 为负整数的整数 的值. 33. 已知关于 的一元二次方程 有实数根. (1) 求 的取值范围. (2) 如果方程的两个实数根为 , 且 , 求 的取值范围. 34.设 是一元二次方程 的两个根, 求 的值. 35.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根 m,n. (1)求t的取值范围. (2)当t=3时,解这个方程. (3)若m,n是方程的两个实数根,设Q=(m-2)(n-2),试求Q的最小值. 36.阅读材料,根据上述材料解决以下问题: 材料1:若一元二次方程的两个根为,则,. 材料2:已知实数m,n满足,,且,则m,n是方程两个不相等的实数根. (1)材料理解:一元二次方程两个根为,则_,_. (2)应用探究:已知实数m,n满足,,且,求的值. 37.【综合与实践】 【问题情境】对于关于x的一元二次方程(a,b,c为常数,且),求方程的根的实质是找到一个x的具体的值,代入之后等式成立.一般情况下,如果有两个不同的x的具体值都满足,这就说明这个方程有两个根,且两根与a,b,c之间具有一定的关系. 【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论: (1)当时,则一元二次方程必有一根是1. (2)当时,则一元二次方程必有一根是-1. 请判断两个结论的真假,并说明原因. (3)【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题,请帮助解决: 方程的较大的根为p,方程的较小的根为q,求的值. 38.小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)》一节内容后,对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣,决定一探究竟.下面是他收集的素材,汇总如下,请根据素材帮助他完成相应任务: 探究一元三次方程根与系数的关系 素材 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程,它的一般形式为(为常数,且). 素材 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为(为实数),即原方程化为:,则得方程的根为. 素材 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根,则方程可化为,即,与原方程系数进行比较,可得根与系数的等量关系为:. 问题解决 任务 感受新知 若关于x的三次方程(为常数)的左边可分解为,则方程的三个根分别为_,_,_. 任务 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为,请探究与系数之间的等量关系. 任务 应用新知 利用上一任务的结论解决:若方程的三个根为,求的值. 答案解析部分 1.【答案】A 【解析】【解答】解:由题意可得: 故答案为:A 【分析】根据一元二次方程的根的关系(韦达定理)即可求出答案。 2.【答案】A 【解析】【解答】解:∵方程x2-3x-1=0的两根为x1,x2, ∴x1+x2=3,x1x2=-1, ∴=-3, 故答案为:A. 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系“x1+x2=,x1x2=”可得x1+x2=3,x1x2=-1,然后整体代换即可求解. 3.【答案】D 【解析】【解答】解:∵ 有两根, 其中一根为x=1, ∴代入x=1,得3-2+m=0,解得m=-1 ∴两根之积为:. 故答案为:D. 【分析】先代入x=1计算出m,然后根据根与系数的关系计算出两根之积即可. 4.【答案】D 【解析】【解答】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根, ∴, ∴ ∵是方程的两个实数根, ∵, 又 ∴ 把代入得, 解得, 故答案为:D. 【分析】根据一元二次方程有实数根 ≥0先确定m的取值范围,再根据根与系数的关系得出,最后将展开化简,代入求出值即可. 5.【答案】D 【解析】【解答】解:∵一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)的一个正根和方程x2+bx+a=0的一个正根相等, ∴ax2+bx+1=x2+bx+a, 解得x2=1, ∴正根为1, ∵ax2+bx+1=0的另一个根为4, ∴, ∴, ∵方程x2+bx+a=0有一个正根为1,设另一个根为m, ∴则1 m=a=, ∴m=, ∴另一个根为, ∴x2+bx+a=0的两个根分别为1,. 故选:D. 【分析】先根据“一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)的一个正根和方程x2+bx+a=0的一个正根相等”求出方程的正根,再求出,再结合“方程x2+bx+a=0有一个正根为1”设另一个根为m,利用根与系数的关系可得1 m=a=,求出m的值即可. 6.【答案】B 【解析】【解答】解:∵,是方程的两个根, ∴,, ∴ , 故答案为:B.【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和得出x1+x2及x1x2的值,再将待求式子利用提取公因式法分解因式后,将商式利用完全平方公式进行变形,最后整体代入即可计算即可. 7.【答案】A 【解析】【解答】∵a,b是一元二次方程2x2﹣3x﹣6=0的两个实数根, ∴由一元二次方程的根与系数的关系可得:a+b,ab=﹣3, ∴点A的坐标为(,0),点B的坐标为(0,﹣3). 设直线l的函数解析式为:y=mx+n(m≠0), 将A(,0),B(0,﹣3)代入y=mx+n得: , 解得:, ∴直线l的函数表达式为y=2x﹣3. 故答案为:A. 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得出a+b和ab的值,于是可得点A,B的坐标,然后由待定系数法即可求解. 8.【答案】D 【解析】【解答】解:A、如果方程M有两个相等的实数根,那么 =b2-4ac=0,所以方程N也有两个相等的实数根,结论正确,不符合题意; B、若方程M有一个正根和一个负根,那么 =b2-4ac>0, <0,所以a与c符号相反, <0,所以方程N也有一个正根和一个负根,结论正确,不符合题意; C、如果5是方程M的一个根,那么25a+5b+c=0,两边同时除以25,得 c+ b+a=0,所以 是方程N的一个根,结论正确,不符合题意; D、如果方程M和方程N有一个相同的根,那么ax2+bx+c=cx2+bx+a,(a-c)x2=a-c,由a≠c,得x2=1,x= 1,结论错误,符合题意. 故答案为:D. 【分析】 A、由题意计算方程M、N的b2-4ac的值,根据结论可知两个方程的根的判别式相同; B、由题意可知 =b2-4ac>0,两根之积()小于0,则a、c异号,所以方程N也有一个正根和一个负根; C、由题意把x=5代入方程M中可得25a+5b+c=0,两边同时除以25可得是方程N的一个根; D、根据方程M、N有一个相同的根可得ax2+bx+c=cx2+bx+a,解之可得x= 1. 9.【答案】D 【解析】【解答】解:A、当m=0时,方程化为x+1=0,解得x=-1,故A不符合题意; B、把x=代入方程,得,解得m=4, ∴+x=-,解得x=-1, ∴方程的另一根为x=-1,故B不符合题意; C、∵mx2+x﹣m+1=0, ∴(x+1)(x-m+1)=0, ∴x=-1或x=m-1,故C不符合题意; D、∵ =1-4m(-m+1)=(2m-1)2≥0, ∴当m≠0时,方程有两个实数根,故D符合题意. 故答案为:D. 【分析】A、把m=0代入方程,得出一元一次方程,即可判断A正确; B、把x=代入方程,得出m=4,再根据根与系数的关系得出+x=-,解得x=-1,即可判断B正确; C、利用因式分解法求出方程的解,即可判断C正确; D、先求出 =(2m-1)2≥0,得出方程有两个实数根,即可判断D错误. 10.【答案】B 【解析】【解答】解:∵甲因把一次项系数看错了,而解得方程两根为5和3, ∴5 3=c,即c=15, ∵乙把常数项看错了,解得两根为3和4, ∴3+4=−b,即b=7, ∴原方程为x2−7x+15=0, 故答案为 . 【分析】根据根与系数的方程,根据甲把一次项系数看错可得到常数项c,乙把常数项看错可得到一次项系数b,即可得出原一元二次方程,即可得出答案. 11.【答案】A 【解析】【解答】解:当x=0时,0≠6 ∴x≠0; ∵xy≠1 ∴ ∵ 3x2+2021x+6=0 ∴ ∴,y为一元二次方程6x2+2021x+3=0的两个不相等的实数根, ∴ y=. 故答案为:A. 【分析】观察方程可知当x=0时,0≠6,可知x≠0,可推出;由此可将方程组转化为,由此可得到,y为一元二次方程6x2+2021x+3=0的两个不相等的实数根,然后利用一元二次方程根与系数的关系,可得答案. 12.【答案】B 【解析】【解答】解:设方程的两根为 , , ∵ 方程x2-(m2-1)x+2m=0的两个根互为相反数, ∴ + =m2-1=0, 解得m=, 当m=1时,方程为x2+2=0,此方程无实数根, ∴m=-1. 故答案为:B. 【分析】根据根与系数的关系可得 + =m2-1=0,据此求出m值,再代入检验即可. 13.【答案】B 【解析】【解答】解:∵mx2+2mx=n, ∴mx2+2mx-n=0, 设方程的两根为x1,x2, ∴x1+x2=-2,x1 x2=, ∵ 两根在数轴上对应的点的距离为4, ∴=4, ∴(x1+x2)2-4x1x2=16, ∴(-2)2-4 ()=16, ∴n=3m. 故答案为:B. 【分析】设方程的两根为x1,x2,由根与系数的关系可得x1+x2=-2,x1 x2=,由题意得=4,变形得(x1+x2)2-4x1x2=16,再代入即可求出n与m的关系. 14.【答案】D 【解析】【解答】解:设BD=x, 在Rt ABC中,∠ACB=90 ,BC=a, AC= , 由勾股定理得(x+)2=a2+()2, 整理得 x2+bx-a2=0(a≠0,b≠0), ∵ =b2+4a2>0, ∴方程有两个不相等的实数根,因为两根之积等于-a2<0, ∴方程的根一正一负, ∴方程的正根是BD的长. 故答案为:D. 【分析】设BD=x,根据勾股定理建立出关于x的方程,由根的判别式判断出方程有两个不相等的实数根,由根与系数的关系判断出两根之积等于-a2<0,可得方程的根一正一负,从而即可得出方程的正根是BD的长. 15.【答案】B 【解析】【解答】解:∵(a≠0,x1≠x2)与有一个公共解x=x1, ∴x=x1是方程的一个解, , ∵一元二次方程有两个相等的实数根, ∴x1+x1=, ∴a(x2-x1)=d. 故答案为:B. 【分析】由x=x1是方程(a≠0,x1≠x2)与的一个公共解可得x=x1是方程的一个解,然后由根与系数的关系可得x1+x1=,进而可得答案. 16.【答案】B 【解析】【解答】解: 关于x的方程 的解中,仅有一个正数解, , 解得 . 故答案为:B. 【分析】根据根的判别式和根与系数的关系即可求解. 17.【答案】C 【解析】【解答】解:∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根, ∴mn=﹣5,m+n=﹣2,m2+2m﹣5=0, ∴m2=5﹣2m, ∴m2﹣mn+3m+n =(5﹣2m)﹣(﹣5)+3m+n =10+m+n =10﹣2 =8. 故选C. 【分析】利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义得出m+n=﹣2,m•n=﹣5,m2=5﹣2m,再将m2﹣mn+3m+n变形为两根之积或两根之和的形式,然后代入数值计算即可. 18.【答案】B 【解析】【解答】解:A、 ∵方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根, =b2-4ac=0,则方程cx2+bx+a=0, =b2-4ac=0,有两个相等的实数根,错误; B、 ∵方程ax2+bx+c=0的两根符号相同, ∴>0,∴>0,∴ 方程cx2+bx+a=0的两根符号也相同 ,正确; C、∵5是方程ax2 +bx +c=0的一个根,∴25a+5b+c= 0,若5是方程cx2 +bx+a= 0的一个根,∴ 25c+ 5b+a=0,∵a≠c,∴25a+5b+c≠25c+5b+a,错误; D、若方程ax2+bx+c=0和方程cx2 +bx+a=0有一个相同的根为m,则, 两式相减可得(a-c)(m2- 1)=0,∵a≠c,m2-1=0,∴m= 1,错误. 故答案为:B. 【分析】根据一元二次方程根的判别式判断A;根据一元二次方程根与系数的关系判断B;把5分别代入方程,结合a≠c,则可判断C;把x=m分别代入方程,联立求出m= 1,即可判断D. 19.【答案】D 【解析】【解答】解:根据题意得, ,解得 或,无解 综上, 故答案为:D. 【分析】根据题意得a≠0且 =b2-4ac>0,代入求解可得a的范围,根据x1<1<x2可得x1-1<0,x2-1>0,则(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1<0,根据根与系数的关系可得x1+x2=-,x1x2=9,代入求出a的范围,进而可得满足题意的a的范围. 20.【答案】B 【解析】【解答】解: 关于x的一元二次方程 有实数根, 解得: 设方程的两根分别为 解得: 即 故答案为:B. 【分析】根据方程有实数根可得 ≥0,代入求解可得m的范围,设方程的两根分别为t、t1,根据根与系数的关系可得t+t1=1,t t1=m,则y=4t2-4t-5m+4=-6m+4,接下来结合m的范围即可求出y的范围. 21.【答案】D 【解析】【解答】解:∵a+b+c=0, ∴当x=1时,ax2+bx+c=a+b+c=0, ∴x=1是方程的一根,故①正确; ∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根, ∴-4ac>0, ∴b2-4ac>0, ∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,故②错误; 若方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2,且x1≠x2≠0, ∴x1+x2=-,x1x2=, ∴-=,, ∴方程cx2+bx+a=0必有实根,故③正确; ∵x0是方程ax2+bx+c=0的根, ∴x0=, ∴ =2ax0+b, ∴b2-4ac=(2ax0+b)2,故④正确. 故答案为:D. 【分析】当x=1时,ax2+bx+c=a+b+c=0,据此判断①;由方程ax2+c=0有两个不相等的实数根可得-4ac>0,则b2-4ac>0,据此判断②;根据根与系数的关系可得x1+x2=-,x1x2=,则-=,,据此判断③;根据求根公式可得x0=,进而可判断④. 22.【答案】C 【解析】【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2-(n+2)x-2n2=0的两个根记作an,bn, ∴an+bn=n+2,an•bn=-2n2, ∴(an-2)(bn-2)=anbn-2(an+bn)+4=-2n2-2(n+2)+4=-2n(n+1), ∴=-(-), ∴++⋯+ =- [(-)+(-)+⋯+(-)] =- (1-) =-. 故答案为:C. 【分析】由根与系数的关系得an+bn=n+2,an•bn=-2n2,则an-2)(bn-2)=anbn-2(an+bn)+4=-2n2-2(n+2)+4=-2n(n+1),然后代入即可求解。 23.【答案】1 【解析】【解答】解:∵ 已知,是一元二次方程x2-2023x-2024=0的两个根 , ∴,, ∴ ∴. 故答案为:1. 【分析】根据方程根的定义可得,根据一元二次方程“ax2+bx+c=0(a≠0)”根与系数的关系可得,然后将待求式子拆项后整体代入计算可得答案. 24.【答案】-2x2+x-4=0 【解析】【解答】解:∵一元二次方程的两根之和为 , 两根之积为 2 , ∴当这个一元二次方程的二次项系数x为1时,此方程为x2-x+2=0, ∵且二次项系数为-2, 此方程为-2x2+x-4=0 故答案为:-2x2+x-4=0. 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系,由此方程的两根之和及两根之积,可得到关于x的一元二次方程,再根据二次项的系数为-2,将方程两边同时乘以-2,即可得到符合题意的方程. 25.【答案】 【解析】【解答】解:∵一元二次方程2x2-3x -1=0的两根分别为m、n, ∴m+n=,mn=, ∴. 故答案为: 【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系得到将所求式子变m+n=,mn=,将所求式子变形代入即可. 26.【答案】1874 【解析】【解答】解:设的两根分别为x1和x2,的两根分别为x3和x4,由韦达得x3+x4=5,x3x4=0=-2024,可x1+x2=-p=x3+10+x4+10=25,即p=-25; q=x1x2=(x3+10)(x4+10)=x3x4+10(x3+x4)+100=-2024+50+100=1874 故p+q=-25+1874=1849. 故答案为:1849. 【分析】结合韦达定理和两方程根之间的关系可得p与q的值. 27.【答案】12或8 【解析】【解答】解:当底边长为6时,则腰长为x, ∴b2-4ac=100-4m=0 解之:m=25, ∴ x2-10x+25=0 解之:x1=x2=5, ∵5 2=10>6, ∴腰长为5,则这个三角形底边上的高为, ∴这个三角形的面积为; 当腰长为6时,设底边长为n, ∴n+6=10, 解之:n=4, ∴这个等腰三角形底边上的高为, ∴这个等腰三角形的面积为. 故答案为:12或8 【分析】分情况讨论:当底边长为6时,则腰长为x,可得到b2-4ac=100-4m=0,解方程求出m的值,然后求出方程的解,可得到腰长为5,利用等腰三角形的性质和勾股定理求出这个三角形底边上的高,利用三角形的面积公式求出 ABC的面积;当腰长为6时,设底边长为n,利用一元二次方程根与系数,可求出n的值,再利用勾股定理求出这个等腰三角形底边上的高;然后利用三角形的面积公式求出这个三角形的面积. 28.【答案】 【解析】【解答】解:∵, ∴, ∵, ∴设m,为一元二次方程两个不相等的实数根, ∴, ∴. 故答案为:. 【分析】本题先将两边除以n2得到,进而确定m,为一元二次方程两个不相等的实数根,再由韦达定理确定两根和与两根积,代入求值. 29.【答案】②④ 【解析】【解答】解:①化为一般形式为, ∵原方程有实数根、,且, ∴ 解得:,故①错误; ∵关于的一元二次方程有实数根、, 当,则, ∴方程为, 解得:,,故②正确; ∵关于x的一元二次方程有实数根,,且, 而可化为:, ∴,, ∴或,故③错误; ∵化为一般形式为, ∵原方程有实数根、,且, ∴,, ∵ , ∴, 解得:或,故④正确, 故答案为:②④. 【分析】把方程化为一般形式结合判别式可判定①,把方程的解代入原方程可判定②,结合整体思想可判定③,利用根与系数的关系把变形,再解方程可判定④,从而可得答案. 30.【答案】(1)解:x=2时,4﹣2(k﹣1) (﹣2)+k2+3=0, 整理得k2+4k+3=0, 解得:k=﹣1或﹣3. (2)解:根据题意得 =(2k﹣2)2﹣4k2>0, 解得k<1; (3)解:根据题意得x1+x2=2k﹣2,x1x2=k2+3, ∵(x1﹣1)(x2﹣1)=14, ∴x1x2﹣(x1+x2)+1=14, 即k2+3﹣(2k﹣2)+1=14, 整理得k2﹣2k﹣8=0,解得k1=﹣2,k2=4, ∵k<1, ∴k=﹣2. 【解析】【分析】(1)把x=2时方程中可得关于k的方程,解之即可; (2)由该方程有两个实数根,可得 >0,据此解答即可; (3)利用根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣2,x1x2=k2+3,再代入已知等式可得关于k的方程,解之即可. 31.【答案】(1)解:∵ ABC是以BC为斜边直角三角形,BC=5, 的长是关于 的一元二次方程 的两个实数根, 即 解得k=2或-5(不合题意,舍去) (2)解:∵ ABC是等腰三角形, ∴当AB=AC时, 解得k不存在;当AB=BC时,即AB=5, 解得k=3或4; ∴AC=4或6, ∴ ABC的周长为14或16. 【解析】【分析】(1)本题由韦达定理确定方程的两根和与两根积,因为方程两根为直角三角形两直角边,斜边BC=5,以勾股定理为等量关系列方程求根. (2)本题分类讨论哪两条边为腰,如果AB与AC为腰,则方程有两个相等实数根,以 =0为等量关系列方程求得k值,如果以AB与BC为腰则AB=BC=5,故方程一个根为5,代入可求得k值. 32.【答案】(1)解:存在. 且 即 . (2)解: 且为负整数 且为整数 且是6的正约数 或3或2或1 或9或8或7. 【解析】【分析】(1)由题意可知 ≥0且a-6≠0,可得出a的范围,再结合方程的根与系数关系可得出x1+x2,x1x2.代入即可得出答案; (2)结合(1)可求 =x1+x2+x1x2+1,代入即可得出答案. 33.【答案】(1)解:根据题意得出: 解得:. (2)解:根据题意得出: 且 解得: 而 . 【解析】【分析】(1)根据判别式的意义得到 =(-6)2−4(2m+1)≥0,再解不等式即可得出答案; (2)根据根与系数的关系得到x1+x2=6,x1x2=2m+1,再利用2x1x2+x1+x2≥20,得到2(2m+1)+6≥20,再解不等式和利用(1)中的结论即可确定满足条件的m的取值范围. 34.【答案】解:∵a是一元二次方程的根, ∵ 是一元二次方程 的两个根, 【解析】【分析】本题先将a代入一元二次方程,将a3降幂为a2+a,又因为a,b为方程两根得出a+b=1,ab=-1,再代入原式化简求值. 35.【答案】(1)解:∵ 原方程有两个不相等的实数根, ∴b2-4ac>0即4t2-4(t2-2t+4)>0, 解之:t>2 (2)解:当t=3时,x2-6x+7=0 解之:x₁=3+ ,x₂=3- (3)解:∵m,n是方程的两个实数根, ∴m+n=2t,mn=t2-2t+4, ∴Q=(m-2)(n-2)=mn-2(m+n)+4=t2-2t+4-4t+4=(t-3)2-1, 当t=3时Q有最小值为-1. 【解析】【分析】(1)利用一元二次方程有两个不相等的实数根,可知b2-4ac>0,据此可得到关于t的不等式,然后求出不等式的解集. (2)将t=3代入方程,可得到关于x的方程,再利用公式法求出方程的解. (3)利用一元二次方程根与系数的关系,可得到m+n=2t,mn=t2-2t+4,再将Q化简和配方,可得到Q=(t-3)2-1,即可求出Q的最小值. 36.【答案】(1); (2)解:∵实数m,n满足,,且, ∴m,n是方程两个不相等的实数根. ∴,, ∴ 【解析】【解答】解:(1)∵一元二次方程两个根为, 则,. 故答案为:,. 【分析】(1)直接根据根与系数的关系可得答案; (2)由题意可得m,n是的两个根,则,,再把分解因式,再代入求值即可; (1)解:∵一元二次方程两个根为, 则,. (2)解:∵实数m,n满足,,且, ∴m,n是方程两个不相等的实数根. ∴,, ∴; 37.【答案】(1)结论正确 理由如下: 令代入得,符合题意. (2)解:结论正确 理由如下: 令代入得:即符合题意. (3)解:∵20232-2022 2024-1=20232-(2023-1) (2023+1)-1 =20232-(20232-1)-1 =0 是方程的根. 设方程的另外一个根是,则 又 是方程的一个根, 设方程的另外一个根为 则 【解析】【分析】(1)将代入,即可判断; (2)将代入,即可判断; (3)实践探究:推出是方程的一个根,设方程的另外一个根是,根据根与系数的关系可得:,进而得到;推出是方程的一个根,设方程的另外一个根为,根据根与系数的关系可得,进而得到,代入,计算求解即可. 38.【答案】解:任务1:,,; 任务:由题意可知,原方程可化为:, 展开整理得:, 与原方程比较可得,,; 任务:利用上题结论可知:,, . 【解析】【解答】解:任务:∵,且a≠0, ∴或或, , 故答案为:,,; 【分析】任务:根据几个因式的乘积等于零,则这几个因式中至少有一个为零,可将方程降次为三个一元一次方程,解三个一元一次方程即可求出原方程的解; 任务:将方程改写成几个一次因式积的形式,展开后进行对比即可解决问题; 任务:利用任务2的结论,将待求式子利用异分母分式加法法则计算后,整体代入计算可得答案. 试题分析部分 1、试卷总体分布分析 总分:97分 分值分布 客观题(占比) 75.0(77.3%) 主观题(占比) 22.0(22.7%) 题量分布 客观题(占比) 25(65.8%) 主观题(占比) 13(34.2%) 2、试卷题量分布分析 大题题型 题目量(占比) 分值(占比) 选择题 22(57.9%) 66.0(68.0%) 填空题 7(18.4%) 21.0(21.6%) 解答题 9(23.7%) 10.0(10.3%) 3、试卷难度结构分析 序号 难易度 占比 1 普通 (89.5%) 2 容易 (5.3%) 3 困难 (5.3%) 4、试卷知识点分析 序号 知识点(认知水平) 分值(占比) 对应题号 1 相反数的意义与性质 3.0(3.1%) 12 2 解一元一次不等式组 3.0(3.1%) 16 3 勾股定理 3.0(3.1%) 14 4 公式法解一元二次方程 3.0(3.1%) 21,35 5 分式的化简求值 5.0(5.2%) 34 6 一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理) 97.0(100.0%) 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38 7 因式分解的应用-化简求值 3.0(3.1%) 6 8 一元二次方程根的判别式及应用 33.0(34.0%) 4,8,9,14,16,18,19,20,21,27,29,30,31,32,33,35 9 分式的化简求值-拆项变形法 3.0(3.1%) 22 10 一元二次方程的根 29.0(29.9%) 5,8,15,17,18,21,23,28,34,37 11 三角形的面积 3.0(3.1%) 27 12 完全平方公式及运用 3.0(3.1%) 6 13 因式分解法解一元二次方程 11.0(11.3%) 9,29,38 14 等腰三角形的概念 0.0(0.0%) 31 15 数轴上两点之间的距离 3.0(3.1%) 13 16 一次函数的性质 3.0(3.1%) 20 17 待定系数法求一次函数解析式 3.0(3.1%) 7 18 一元一次方程的解 3.0(3.1%) 9 1 / 1 学科网(北京)股份有限公司 $$