2.4 一元二次方程根与系数的关系 同步分层作业 2024—2025学年浙教版数学八年级下册

2.4 一元二次方程根与系数的关系 同步分层作业 ( 基础过关 ) 1．已知方程2x2+3x﹣4＝0的两根分别为x1和x2，则x1+x2的值等于（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 2．已知方程x2+5x﹣2＝0的两根分别是x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．﹣7 B．﹣3 C．7 D．3 3．已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则的值为（　　） A． B．2 C． D．﹣2 4．一元二次方程2x2﹣mx+3＝0的两根分别为x1、x2，若x1+x2＝4，则+＝（　　） A．16 B．19 C．13 D．8 5．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为﹣2和3，则（　　） A．b＝1，c＝﹣6 B．b＝﹣1，c＝﹣6 C．b＝5，c＝﹣6 D．b＝﹣1，c＝6 6．关于一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0，下列说法错误的是（　　） A．方程有两个不相等的实数根B．方程的两根之和为2 C．方程的两根异号 D．方程的两根互为倒数 7．关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0中，k＜0．则该方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为﹣6 D．两根之和为1 8．已知方程x2+3x﹣1＝0的两个根是x1，x2，则（1﹣x1）（1﹣x2）＝ 　　． 9．关于x的方程x2+kx﹣8＝0的一个根是2，则另一个根是 　　． 10．已知方程x2+x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则的值为 　　． 11．关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0． （1）判断方程根的情况，并说明理由； （2）若方程有一个根是2，求它的另一个根． 12．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，在不解方程的前提下，求下列各式的值． （1） （2）x1﹣x2 13．已知关于x的一元二次方程3x2+5x+m＝0． （1）当m为何值时，方程有实数解； （2）当该方程的一个根为﹣2时，求m的值及方程的另一根． 14．已知关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个实数根x1、x2． （1）若x1＝x2，求m的值； （2）若x1＝2x2，求m的值； （3）若△ABC有一边长为2，另两边长恰好为x1、x2，求m的取值范围． ( 能力提升 ) 15．若a，b为方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根，则a2﹣3a+2ab的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 16．小州与小冬在解方程x2+bx+c＝0时，小州写错了常数项，得到方程的两个根是2和﹣4，小冬写错了一次项系数，得到方程的两个根是﹣1和3，则b与c的值分别是（　　） A．b＝2，c＝﹣8 B．b＝2，c＝﹣3 C．b＝﹣2，c＝8 D．b＝2，c＝3 17．已知m，n是方程x2﹣2x﹣6＝0的两个实数根，则代数式m2﹣3mn+n2的值为 　　． 18．已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （3）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 19．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”． （1）通过计算，判断x2﹣3x+2＝0是否是“倍根方程”； （2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值； （3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+32＝0（m是常数）是“倍根方程”，请直接写出m的值． ( 培优拔尖 ) 20．已知实数a，b，c，m，n，其中a≠0，满足，.则以下说法：①b2﹣12ac≥0；②若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数；③关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3c＝0的两根为3m，n．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 21．已知α，β是方程x2+2023x+1＝0的两个根，则代数式（1+2024α+α2）（1+2025β+β2）的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 22．若x1＝2025，x2＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则方程的解为　 　． 23．阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 通过解一元二次方程分成某些二次三项式，我们把形如ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的多项式叫做关于x的二次三项式．通过初中学习可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反过来，是否可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式分解因式呢？根据下面代数推理，可以得出结果，设一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个实数根为，，直接计算：a（x﹣x1）（x﹣x2）．下面是代数推理过程： 解： ＝ ＝ax2+bx+c． 即ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 这就是说，在因式分解二次三项式ax2+bx+c（a≠0）时，可先求一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，然后写成ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式分解因式． 任务： （1）已知p，q是两个常数，一元二次方程x2+px+q＝0的两个实数根为x1＝﹣5，x2＝2，则二次三项式x2+px+q分解因式的结果是 　 　； （2）因式分解：x2﹣x﹣12的结果是 　 　； （3）请用阅读内容中的方法，因式分解：x2+4x﹣6． 24．利用韦达定理，解决下列问题： （1）已知a、b是方程x2+10x+5＝0的二根，求的值． （2）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y2﹣＝2？若存在，求出的k的值，若不存在，请说明理由． 25．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么由求根公式可推出x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q，请根据这一结论，解决下列问题： （1）若α，β是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则α+β＝ 　　，α•β＝ 　 　； （2）已知a，b满足a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，求的值； （3）已知a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝5，求正整数c的最小值． 答案与解析 ( 基础过关 ) 1．已知方程2x2+3x﹣4＝0的两根分别为x1和x2，则x1+x2的值等于（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【点拨】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解析】解：因为方程2x2+3x﹣4＝0的两根分别为x1和x2， 所以根据一元二次方程根与系数的关系可知：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 2．已知方程x2+5x﹣2＝0的两根分别是x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．﹣7 B．﹣3 C．7 D．3 【点拨】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣5，x1•x2＝﹣2，然后把它们代入x1+x2﹣x1x2中计算即可． 【解析】解：根据题意得x1+x2＝﹣5，x1•x2＝﹣2， 所以x1+x2﹣x1x2＝﹣5﹣（﹣2）＝﹣3． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝． 3．已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则的值为（　　） A． B．2 C． D．﹣2 【点拨】根据x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，得出x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1，再把变形为，然后代入计算即可． 【解析】解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1． ∴＝＝﹣2 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝． 4．一元二次方程2x2﹣mx+3＝0的两根分别为x1、x2，若x1+x2＝4，则+＝（　　） A．16 B．19 C．13 D．8 【点拨】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，再由＝进行求解即可． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣mx+3＝0的两根分别为x1，x2， ∴， ∵x1+x2＝4， ∴ ＝ ＝ ＝13， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确得到＝是解题的关键． 5．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为﹣2和3，则（　　） A．b＝1，c＝﹣6 B．b＝﹣1，c＝﹣6 C．b＝5，c＝﹣6 D．b＝﹣1，c＝6 【点拨】根据根与系数的关系得到﹣2+3＝﹣b，﹣2×3＝c，然后解一次方程即可得到b与c的值． 【解析】解：根据题意得﹣2+3＝﹣b，﹣2×3＝c， 所以b＝﹣1，c＝﹣6． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝． 6．关于一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0，下列说法错误的是（　　） A．方程有两个不相等的实数根B．方程的两根之和为2 C．方程的两根异号 D．方程的两根互为倒数 【点拨】求出判别式的值再结合根与系数的关系可得结论． 【解析】解：∵x2﹣2x﹣1＝0， ∴Δ＝4+4＝8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，且两根之和为2，两根之积为﹣1， ∴选项A，B，C正确． 故选：D． 【点睛】本题考查根与系数关系，根的判别式，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 7．关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0中，k＜0．则该方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为﹣6 D．两根之和为1 【点拨】先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，得出两根之积和两根之和． 【解析】解：∵Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（﹣6）＝（k+1）2+24＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故A错误，该选项不符合题意； 设x1、x2是一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝k+1，x1•x2＝﹣6， 故C正确，该选项不符合题意；D错误，该选项不符合题意； ∴两根的符号相反， 故B错误，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解答本题的关键要明确：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝． 8．已知方程x2+3x﹣1＝0的两个根是x1，x2，则（1﹣x1）（1﹣x2）＝ 　3　． 【点拨】先根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝﹣3，x1•x2＝﹣1，再将（1﹣x1）（1﹣x2）根据多项式乘多项式的运算法则展开，然后将值代入计算即可得出答案． 【解析】解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣3，x1•x2＝﹣1， （1﹣x1）（1﹣x2） ＝1﹣x1﹣x2+x1•x2 ＝1﹣（﹣3）+（﹣1） ＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根，则，． 9．关于x的方程x2+kx﹣8＝0的一个根是2，则另一个根是 　﹣4　． 【点拨】利用两根之积求解即可． 【解析】解：设另一个根为m． 则有2m＝﹣8， ∴m＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点睛】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝． 10．已知方程x2+x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则的值为 　　． 【点拨】先利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算． 【解析】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2， 所以＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝． 11．关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0． （1）判断方程根的情况，并说明理由； （2）若方程有一个根是2，求它的另一个根． 【点拨】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解析】解：（1）方程有两个不相等的实数根，理由如下： 因为Δ＝m2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4＞0， 所以方程有两个不相等的实数根． （2）由题知， 方程的两根之积为﹣1， 因为方程有一个根是2， 所以方程的另一个根为． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 12．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，在不解方程的前提下，求下列各式的值． （1） （2）x1﹣x2 【点拨】（1）将所求式子变形为，然后整体代入上面两个式子计算即可； （2）先求得，再根据平方根的定义计算即可． 【解析】解：（1）由条件可知：x1+x2＝3，x1•x2＝﹣4． ∴＝＝﹣； （2）由条件可知：x1+x2＝3，x1•x2＝﹣4． ∴ ＝32﹣4×（﹣4） ＝25， ∴x1﹣x2＝±5． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．由一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2＝3，x1•x2＝﹣4是关键． 13．已知关于x的一元二次方程3x2+5x+m＝0． （1）当m为何值时，方程有实数解； （2）当该方程的一个根为﹣2时，求m的值及方程的另一根． 【点拨】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）将x＝﹣2代入方程，可求出m的值，再利用一元二次方程根与系数的关系即可求出方程的另一个根． 【解析】解：（1）由题知， Δ＝52﹣4×3×m≥0， 解得m≤， 所以当m≤时，方程有实数解． （2）将x＝﹣2代入方程得， 12﹣10+m＝0， 解得m＝﹣2． 由一元二次方程根与系数的关系可知， 方程的两根之和为， 所以方程的另一个根为：． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及跟的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 14．已知关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个实数根x1、x2． （1）若x1＝x2，求m的值； （2）若x1＝2x2，求m的值； （3）若△ABC有一边长为2，另两边长恰好为x1、x2，求m的取值范围． 【点拨】（1）根据Δ＝0即可求解； （2）利用根和系数的关系解答即可求解； （3）求出方程的解，再根据三角形的三边关系和根的判别式解答即可求解． 【解析】解：（1）∵已知关于x的方程x2﹣4x+m＝0， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×m＝16﹣4m＝0， 解得m＝4； （2）∵已知关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个实数根x1、x2， ∴x1+x2＝4，x1x2＝m， ∵x1＝2x2， ∴2x2+x2＝4， ∴， ∴， ∴； （3）解方程x2﹣4x+m＝0得，，， ∵△ABC有一边长为2，另两边长恰好为x1、x2， ∴， 即， 解得3＜m≤4， 又∵Δ＝16﹣4m≥0， ∴m≤4， ∴m的取值范围为3＜m≤4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根和系数的关系，掌握以上知识点是解题的关键． ( 能力提升 ) 15．若a，b为方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根，则a2﹣3a+2ab的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 【点拨】根据题意可得a2﹣3a＝﹣2，ab＝2，代入计算即可求解． 【解析】解：∵a，b为方程的两个实数根， ∴a2﹣3a+2ab＝﹣2+2×2＝2， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代入求值，理解一元二次方程解的概念，掌握根与系数的关系是解题的关键． 16．小州与小冬在解方程x2+bx+c＝0时，小州写错了常数项，得到方程的两个根是2和﹣4，小冬写错了一次项系数，得到方程的两个根是﹣1和3，则b与c的值分别是（　　） A．b＝2，c＝﹣8 B．b＝2，c＝﹣3 C．b＝﹣2，c＝8 D．b＝2，c＝3 【点拨】利用根与系数关系构建方程组求解． 【解析】解：由题意， ∴b＝2，c＝﹣3． 故选：B． 【点睛】本题考查根与系数关系，根的判别式，解题的关键是理解题意，学会构建方程或不等式解决问题． 17．已知m，n是方程x2﹣2x﹣6＝0的两个实数根，则代数式m2﹣3mn+n2的值为 　34　． 【点拨】先根据根与系数的关系得m+n＝2，mn＝﹣6，然后利用整体代入的方法计算． 【解析】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣6＝0的两个实数根， ∴m+n＝2，mn＝﹣6， ∴m2﹣3mn+n2 ＝（m+n）2﹣5mn ＝4+30 ＝34． 故答案为：34． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝． 18．已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （3）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 【点拨】（1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可； （3）分BC为腰和BC为底边两种情况进行求解即可． 【解析】解：（1）∵x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0， ∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×3（m﹣2） ＝m2+2m+1﹣12m+24 ＝m2﹣10m+25 ＝（m﹣5）2≥0； ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）由题意，得：AC+AB＝m+1，AC•AB＝3（m﹣2）， ∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AC•AB ＝（m+1）2﹣2×3（m﹣2） ＝m2﹣4m+13＝25， 解得：m＝6或m＝﹣2（不合题意，舍去）； ∴m＝6； （3）①当BC为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得： 25﹣5（m+1）+3（m﹣2）＝0， ∴m＝7， ∴方程为：x2﹣8x+15＝0， 解得：x1＝3，x2＝5， ∴等腰三角形的三边为：5，5，3， ∴周长为：5+5+3＝13； ②当BC为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴Δ＝（m﹣5）2＝0， ∴m＝5， ∴方程为：x2﹣6x+9＝0， 解得：x1＝x2＝3， ∴等腰三角形的周长为：3+3+5＝11； 综上：周长为11或13． 【点睛】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理及等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 19．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”． （1）通过计算，判断x2﹣3x+2＝0是否是“倍根方程”； （2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值； （3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+32＝0（m是常数）是“倍根方程”，请直接写出m的值． 【点拨】（1）利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝1，然后根据新定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝m，再根据新定义m＝4或m＝1，然后把m＝4或m＝1代入所求的代数式中进行分式的运算即可； （3）设方程的根的两根分别为α、2α，根据根与系数的关系得α+2α＝m﹣1，α⋅2α＝32，然后求出α，再计算对应的m的值． 【解析】解：（1）x2﹣3x+2＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝2，x2＝1， 则方程x2﹣3x+2＝0是“倍根方程”； （2）（x﹣2）（x﹣m）＝0，x﹣2＝0或x﹣m＝0， 解得x1＝2，x2＝m， ∵（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”， ∴m＝4或m＝1， 当m＝4时，m2+2m+2＝16+8+2＝26； 当m＝1时，m2+2m+2＝1+2+2＝5， 综上所述，代数式m2+2m+2的值为26或5； （3）根据题意，设方程的根的两根分别为α、2α， 根据根与系数的关系得α+2α＝m﹣1，α⋅2α＝32， 解得α＝4，m＝13或α＝﹣4，m＝﹣11， ∴m的值为13或﹣11． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．也考查了阅读理解能力． ( 培优拔尖 ) 20．已知实数a，b，c，m，n，其中a≠0，满足，.则以下说法：①b2﹣12ac≥0；②若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数；③关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3c＝0的两根为3m，n．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【点拨】①根据题意，可得 b＝a（3m+n），c＝amn，将其代入原式中，再利用公式法与提公因式法进行因式分解，可得原式＝a2（3m﹣n）2，根据a，m，n是实数，可知a2（3m﹣n）2≥0． ②若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，分别进行论证讨论即可． ③利用根与系数的关系进行判断即可． 【解析】解：①∵，， ∴b＝a（3m+n），c＝amn， 则b2﹣12ac＝[a（3m+n）]2﹣12a2mn ＝a2（9m2+6mn+n2）﹣12a2mn ＝a2（9m2﹣6mn+n2） ＝a2（3m﹣n）2， ∵a，m，n是实数， ∴a2（3m﹣n）2≥0， ∴b2﹣12ac≥0． 故①正确； ②若m，n都为整数，其可能情况有：m，n都为奇数；m，n为整数，且其中至少有一个为偶数， 当m，n都为奇数时，则3m+n必为偶数， 又∵， ∴b＝a（3m+n）， ∵a为奇数， ∴a（3m+n） 必为偶数，这与b为奇数矛盾； 当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数， 又∵， ∴c＝amn， ∵a为奇数， ∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾； 综上所述，m，n不可能都为整数； 故②正确； ③∵，， ∴，3mn＝， ∴3m和n是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3c＝0的两根， 故③正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，因式分解的应用和整式的混合运算，熟练掌握因式分解的方法以及根与系数的关系是解题的关键． 21．已知α，β是方程x2+2023x+1＝0的两个根，则代数式（1+2024α+α2）（1+2025β+β2）的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【点拨】根据根与系数的关系得到αβ＝1，通过根的定义得到α2+2023α+1＝0，β2+2023β+1＝0，即可得到1+2024α+α2＝α，1+2025β+β2＝2β，进一步即可求出答案． 【解析】解：∵α，β是方程x2+2023x+1＝0的两个根， ∴αβ＝1，α2+2023α+1＝0，β2+2023β+1＝0， （1+2024α+α2）（1+2025β+β2） ＝a•2β ＝2αβ ＝2×1 ＝2． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把所求代数式合理变形后再利用根与系数的关系解题． 22．若x1＝2025，x2＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则方程的解为　x1＝2027，x2＝﹣1　． 【点拨】利用根与系数的关系求得＝﹣2026，＝2025，即可得到方程x2﹣2026x﹣2027＝0，然后利用因式分解法求解即可． 【解析】解：∵x1＝2025，x2＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根， ∴﹣＝x1+x2＝2025+1＝2026，＝x1•x2＝2025， ∴＝﹣2026， ∵， ∴x2+x﹣＝0， ∴x2﹣2026x﹣2027＝0， ∴（x﹣2027）（x+1）＝0， ∴x1＝2027，x2＝﹣1． 故答案为：x1＝2027，x2＝﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，掌握根与系数的关系与解一元二次方程的方法是解题的关键． 23．阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 通过解一元二次方程分成某些二次三项式，我们把形如ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的多项式叫做关于x的二次三项式．通过初中学习可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反过来，是否可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式分解因式呢？根据下面代数推理，可以得出结果，设一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个实数根为，，直接计算：a（x﹣x1）（x﹣x2）．下面是代数推理过程： 解： ＝ ＝ax2+bx+c． 即ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 这就是说，在因式分解二次三项式ax2+bx+c（a≠0）时，可先求一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，然后写成ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式分解因式． 任务： （1）已知p，q是两个常数，一元二次方程x2+px+q＝0的两个实数根为x1＝﹣5，x2＝2，则二次三项式x2+px+q分解因式的结果是 　（x+5）（x﹣2）　； （2）因式分解：x2﹣x﹣12的结果是 　（x﹣4）（x+3）　； （3）请用阅读内容中的方法，因式分解：x2+4x﹣6． 【点拨】（1）读懂题目根据题意并进行因式分解即可得到答案； （2）读懂题目根据题意先解一元二次方程，在结合题意分解因式即可得到答案； （3）读懂题目根据题意进行因式分解即可得到答案． 【解析】解：（1）由题意可得：x2+px+q＝（x+5）（x﹣2）， 故答案为：（x+5）（x﹣2）； （2）由条件可得： ， ∴x1＝4，x2＝﹣3 ∴x2﹣x﹣12＝（x﹣4）（x+3）， 故答案为：（x﹣4）（x+3）； （3）解方程得， ， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查因式分解，一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 24．利用韦达定理，解决下列问题： （1）已知a、b是方程x2+10x+5＝0的二根，求的值． （2）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y2﹣＝2？若存在，求出的k的值，若不存在，请说明理由． 【点拨】（1）根据a，b是x2+10x+5＝0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值； （2）运用根与系数的关系求出x1+x2＝1，x1•x2＝k+1，再解y1y2﹣﹣＝2，即可求出k的值． 【解析】解：（1）∵a、b是方程x2+10x+5＝0的二根， ∴a+b＝﹣10，ab＝5， ∴＝＝＝18； （2）存在，当k＝﹣2时，y1y2﹣＝2， 由x2﹣y+k＝0变形得：y＝x2+k， 由x﹣y＝1变形得：y＝x﹣1， ∴y1y2＝（x1﹣1）（x2﹣1）， 把y＝x﹣1代入y＝x2+k，并整理得：x2﹣x+k+1＝0， 由题意思可知，x1，x2是方程x2﹣x+k+1＝0的两个不相等的实数根，故有：Δ＝（﹣1）﹣4（k+1）＞0，x1+x2＝1， x1x2＝k+1， ∴y1y2﹣ ＝（x1﹣1）（x1﹣1）﹣ ＝x1x2﹣（x1+x2）+1﹣ ＝k+1﹣1+1﹣， ∴k+1﹣1+1﹣＝2， 解得：k＝﹣2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 25．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么由求根公式可推出x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q，请根据这一结论，解决下列问题： （1）若α，β是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则α+β＝ 　3　，α•β＝ 　1　； （2）已知a，b满足a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，求的值； （3）已知a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝5，求正整数c的最小值． 【点拨】（1）根据题中所给结论进行计算即可． （2）将a，b看成方程x2﹣5x+3＝0的两个根，再利用根与系数的关系即可解决问题． （3）根据所给等式，用c分别表示出a+b和ab，再将a，b看成某一元二次方程的两个根即可解决问题． 【解析】解：（1）由题知， 因为α，β是方程x2﹣3x+1＝0的两根， 所以α+β＝3，αβ＝1． 故答案为：3，1． （2）因为a，b满足a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0， 所以a和b可看成是方程x2﹣5x+3＝0的两个根． 因为Δ＝（﹣5）2﹣4×3＝13＞0， 所以a≠b， 所以a+b＝5，ab＝3， 所以＝． （3）由a+b+c＝0，abc＝5得， a+b＝﹣c，ab＝， 所以a和b可看成方程x2+cx+＝0的两个根， 则Δ＝c2﹣≥0， 解得． 又因为c为正整数， 所以c的最小值为3． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及解一元二次方程﹣公式法，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$