精品解析：吉林省长春高新技术产业开发区慧谷学校2024-2025学年八年级下学期开学考试数学试题

2024～2025学年度下学期长春新区吉大慧谷学校期初大练习 八年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列运算中，计算正确的是（　　） A. a6+a2＝a8 B. a16﹣a2＝a8 C. a6•a2＝a8 D. （a6）2＝a8 3. 在日本核电站排放核废水期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘-131，其浓度为0.0000963贝克/立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是( ) A. 7，9，12 B. 5，12，13 C. 1，， D. 3，4，5 5. 某人将一枚质量分布均匀的硬币连续抛50次，落地后正面朝上30次，反面朝上20次，下列说法正确的是( ) A. 出现正面的频率是30． B. 出现正面的频率是20． C. 出现正面的频率是0.6． D. 出现正面的频率是0.4． 6. 如图，，，于点E，于点D，，，则的长（ ） A. 15 B. 17 C. 13 D. 12． 7. 在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ） A. B. C. D. 8. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形）的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 的相反数是__________． 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 11. 有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的总质量为a千克，再从中截出10米长的钢筋，称出这10米的质量为b千克，那么这捆钢筋的总长度为__________（用含有a、b的代数式表示）． 12. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的一条角平分线，若∠A =36°，则∠BDC的度数为_________． 13. 如图，在长方形纸片中，，，为边上一点，将长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则的长为__________． 14. 如图，在中，的平分线交于点，过点作，，垂足分别为，连接．有下列结论：①；②垂直平分；③；④．请写出一定正确的结论__________． 三、计算题（共78分） 15. 因式分解： （1）； （2）． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度． 19. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，以为腰画一个等腰直角三角形； （2）在图②中，画的高线； （3）在图③中，在边上找一点E，连结，使得平分的面积． 20. 长春新区教育局为了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查某校八年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）该校八年级学生总数为__________人； （2）分别求出活动时间为5天的学生人数和7天的学生人数，并补全图②； （3）求该校八年级学生一个学期参加综合实践活动天数在5天以上（含5天）的人数是多少？ 21. 如图，尺规作图痕迹与的边、分别交于点D、E，过点D分别作于点F，于点G，在边上取一点H，连结、，使． （1）求证：． （2）若的面积为27，的面积为19，则的面积为__________． 22. 【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题 （1）【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则______； （2）【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； （3）【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接，则的面积为______． 23. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 利用上面提到的数学思想方法解决下列问题： 【应用】（1）数61__________“完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究】（2）已知，则__________； （3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值； 【拓展】（4）已知x、y满足，求代数式的最小值． 24. 在等腰直角中，，点（不与点、重合）从点出发沿线段以每秒的速度向终点运动，在运动过程中，过点作交射线于点，以线段为直角边作等腰直角，使得，且点、位于两侧．将与重叠部分图形记为，点运动时间为（秒）． （1）长为__________； （2）当点与点重合时，求的值； （3）当点与的顶点连线平分面积时，求此时的值； （4）当图形为轴对称图形时，直接写出的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度下学期长春新区吉大慧谷学校期初大练习 八年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求算术平方根，熟练掌握实数平方根的定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 2. 在下列运算中，计算正确的是（　　） A. a6+a2＝a8 B. a16﹣a2＝a8 C. a6•a2＝a8 D. （a6）2＝a8 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类项所含字母相同相同字母的指数也相同，合并同类项法则只把系数相加减，字母和字母的指数不变可判断A、B、同底数幂乘法底数不变指数相加可判断C，和幂的乘方法则底数不变指数相乘可判断D即可． 【详解】解：A. 与 不是同类项不能合并，，故选项A计算不正确； B. 与不是同类项不能合并，，故选项B计算不正确； C. ，故选项C计算正确； D. ，故选项D计算不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂乘法和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 3. 在日本核电站排放核废水期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘-131，其浓度为0.0000963贝克/立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：数据“0.0000963”用科学记数法可表示为； 故选C 4. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是( ) A. 7，9，12 B. 5，12，13 C. 1，， D. 3，4，5 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理即可求解. 【详解】∵72+92≠122， 所以A组不能作为直角三角形三边长 故选A. 【点睛】此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的逆定理进行判断. 5. 某人将一枚质量分布均匀的硬币连续抛50次，落地后正面朝上30次，反面朝上20次，下列说法正确的是( ) A. 出现正面的频率是30． B. 出现正面的频率是20． C. 出现正面的频率是0.6． D. 出现正面的频率是0.4． 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率=频数÷数据总数，分别求出出现正面，反面的频率． 【详解】解：∵某人抛硬币抛50次，其中正面朝上30次，反面朝上20次， ∴出现正面的频数是30，出现反面的频数是20， 出现正面的频率为30÷50=60%；出现反面的频率为20÷50=40%． 故选：C． 【点睛】本题考查了频率、频数的概念及频率的求法．频数是指每个对象出现的次数． 6. 如图，，，于点E，于点D，，，则的长（ ） A. 15 B. 17 C. 13 D. 12． 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定，勾股定理的阴影；证明，得出，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：，，于点，于点， 又， 在中， 故选：B． 7. 在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形的外角的性质、全等三角形的判定等知识点，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． 根据全等三角形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：A．满足两边对应相等且夹角相等，所以剪下的两个三角形全等；不符合题意； B．满足两边对应相等且夹角相等，所以剪下的两个三角形全等；不符合题意； C．如图： ∵，， ∴， ∵，， ∴根据可知剪下的两个三角形全等；不符合题意； D．如图: 同理可得：，而， 但两三角形对应边不一定相等，则两个三角形不一定全等，符合题意． 故选∶D． 8. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形面积，熟练掌握勾股定理是解题关键. 根据题意得出，即可得到答案. 【详解】解：，， ， ， 即两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形）的面积为， 故选：C. 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 的相反数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数，相反数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数的定义，即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故答案为：． 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】x≥5 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴x−5⩾0，解得x⩾5． 故答案为：x≥5 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式． 11. 有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的总质量为a千克，再从中截出10米长的钢筋，称出这10米的质量为b千克，那么这捆钢筋的总长度为__________（用含有a、b的代数式表示）． 【答案】米 【解析】 【分析】先根据“这10米的质量为千克”可得1米长的钢筋的质量为千克，再利用这捆钢筋的总质量除以即可得． 【详解】解：由题意得：1米长的钢筋的质量为千克， 则这捆钢筋的总长度为（米）， 故答案为：米． 【点睛】本题考查了列代数式，正确求出1米长的钢筋的质量是解题关键． 12. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的一条角平分线，若∠A =36°，则∠BDC的度数为_________． 【答案】72° 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质和角平分线的定义以及三角形的外角的定义解答即可. 【详解】解:∵AB=AC，AB=AC ∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)=72° 又∵BD是△ABC的一条角平分线 ∴∠ABD=∠BDC=∠ABC=36° ∴∠BDC=∠A+∠ABD=72° 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和角平分线的定义以及三角形的外角的定义，灵活应用三角形的外角的定义进行解题是解答本题的关键. 13. 如图，在长方形纸片中，，，为边上一点，将长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键. 根据折叠的性质得到，，，，，根据勾股定理求出，得到，根据勾股定理计算即可得到答案. 【详解】解：在长方形纸片中， ，， 长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点， ，，，，， ， ， ，， ， ， 故答案为：. 14. 如图，在中，的平分线交于点，过点作，，垂足分别为，连接．有下列结论：①；②垂直平分；③；④．请写出一定正确的结论__________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形面积，平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的性质得到，可得到，利用证明，得到，即可得到，垂直平分；因为不一定等于，所以不一定平行. 【详解】解：平分，，， ， ， 故④正确； 在和中， ， ， ，垂直平分； 故①②正确； 不一定等于， 不一定平行， 故③不一定正确； 综上，一定正确的结论是①②④， 故答案为：①②④ ． 三、计算题（共78分） 15. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键. （1）用提公因式法因式分解即可； （2）用提公因式法和公式法因式分解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分式的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键. （1）先计算乘法，再化简二次根式，再计算即可， （2）先把异分母分式化为同分母分式，再计算加法即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： . 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法运算以及实数的混合运算，根据单项式乘以多项式，完全平方公式进行化简，然后将代入化简结果，即可求解． 【详解】解： 当时，原式 18. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度． 【答案】木马上升的高度为1米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．过点C作于点F，则米，在中，由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点F，则米， 由题意得：米， 在中，由勾股定理得： 米， 则米， 即木马上升的高度为1米． 19. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，以为腰画一个等腰直角三角形； （2）在图②中，画的高线； （3）在图③中，在边上找一点E，连结，使得平分的面积． 【答案】（1） 如图，或都是满足条件的等腰直角三角形． （2） 如图所示,即为所求； （3） 如图所示, 取中点，连接，则即为所求． 【解析】 【分析】本题考查基本作图，等腰三角形的性质、中线的定义、高线的定义，解题的关键是能综合运用这些知识点． （1）根据等腰三角形的定义，作图即可； （2）根据高线定义，作图即可； （3）根据长方形的性质结合三角形中线的性质作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则，即； 【小问3详解】 略 20. 长春新区教育局为了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查某校八年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）该校八年级学生总数为__________人； （2）分别求出活动时间为5天的学生人数和7天的学生人数，并补全图②； （3）求该校八年级学生一个学期参加综合实践活动天数在5天以上（含5天）的人数是多少？ 【答案】（1）200 （2）活动时间为5天的学生人数和7天的学生人数分别为50人、10人， 补全统计图，如图所示： （3）参加综合实践活动天数在5天以上（含5天）的人数是90人 【解析】 【分析】此题考查了频数（率）分布直方图，扇形统计图，弄清统计图之间的联系是解本题的关键． （1）由参加实践活动为2天的人数除以所占的百分比，即可求出八年级学生总数； （2）扇形统计图中，根据单位1减去其他的百分比即可求出a的值；由学生总数乘以活动实践是5天与7天的百分比求出各自的人数，补全统计图即可； （3）根据条形统计图中的数据，即可得到参加综合实践活动天数在5天以上（含5天）的人数． 【小问1详解】 根据题意得：八年级学生总数为（人）； 【小问2详解】 ， 活动时间为5天的人数为（人）， 活动时间为7天的人数为（人）， 【小问3详解】 根据题意得：（人）， ∴参加综合实践活动天数在5天以上（含5天）的人数是90人． 21. 如图，尺规作图痕迹与的边、分别交于点D、E，过点D分别作于点F，于点G，在边上取一点H，连结、，使． （1）求证：． （2）若的面积为27，的面积为19，则的面积为__________． 【答案】（1） 证明∶由作图痕迹可知，平分， ，， ，， ， ． （2）4 【解析】 【分析】本题考查作图——复杂作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． (1)根据角平分线的性质以及全等三角形的判定证明即可． (2)证明，可得，由，可得，进而可得，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，， ， ， ， ， ， 的面积为27， ， 的面积为19， ， 即的面积为4． 故答案为：4． 22. 【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题 （1）【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则______； （2）【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； （3）【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接，则的面积为______． 【答案】（1）9 （2） 解： 理由：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ． （3）10 【解析】 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）由，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点C作于P，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点C作于F，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：，，， ，， ； 故答案为：9． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长，过点C作于P，如图所示： ，， ， ，， ， ，， ， 延长，过点C作于F，如图所示： ，， ， ，， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ， 故答案为：10． 23. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 利用上面提到的数学思想方法解决下列问题： 【应用】（1）数61__________“完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究】（2）已知，则__________； （3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值； 【拓展】（4）已知x、y满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）是；（2）1；（3）9；（4） 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的特点是解题的关键． （1）根据新定义求解； （2）先把等式的左边进行配方，再根据非负数的性质求出、的值，再求； （3）先根据的前四项进行配方，再根据相等的条件求解； （4）根据条件求出的值，再进行配方求解． 【详解】（1）解：， 是“完美数”， 故答案为：是； （2）解：， ，， ， 故答案为：1； （3）解： ， 为“完美数”， ， ； （4）解：， ， ， ， 当时，的最小值为． 24. 在等腰直角中，，点（不与点、重合）从点出发沿线段以每秒的速度向终点运动，在运动过程中，过点作交射线于点，以线段为直角边作等腰直角，使得，且点、位于两侧．将与重叠部分图形记为，点运动时间为（秒）． （1）长为__________； （2）当点与点重合时，求的值； （3）当点与的顶点连线平分面积时，求此时的值； （4）当图形为轴对称图形时，直接写出的范围． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形中线的性质，轴对称图形的性质； （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意可得，进而求得的值； （3）当落在上时，连线平分面积，进而求得，即可求解； （4）分量种情况讨论，当在的延长线上时，当点落在上时，分别求得临界值，进而根据题意，求得的范围，即可求解． 【小问1详解】 解：∵等腰直角中，， ∴ 故答案为：． 【小问2详解】 如图，作于，则， 当点与重合时， ∴ ∴时，点与点重合． 【小问3详解】 解：如图所示， ∵是斜边上的中线， ∴平分面积， ∴当落在上时，连线平分面积， ∵， ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴平分， 又 ∴ ∵ ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ 【小问4详解】 解：当在的延长线上时，设与交于点，交于点， 则为， 同理可得， 则 ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴为轴对称图形， 由（1）可得重合时，， ∴时，为轴对称图形， 如图所示，当点落在上时，过点作， ∵， ∴ 又∵是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点继续运动，则在内部，始终为等腰直角三角形， ∵，则点运动到点的时间为， ∴， 综上所述，当图形为轴对称图形时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $