第9章 图形的变换（知识梳理+27大考点讲练+优选真题难度分层练 共74题）-2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材）

2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第9章 图形的变换 （思维导图+知识梳理+27大考点讲练+优选真题难度分层练 共74题） 目 录 讲义编写说明 2 知识梳理精讲 2 知识点梳理01：平移 2 知识点梳理02：轴对称图形和轴对称 3 知识点梳理03：线段的垂直平分线 3 知识点梳理04：旋转的性质与作图 4 知识点梳理05：中心对称图形 4 重点难点考点讲练 4 考向一：平移 4 考点讲练01：生活中的平移现象 4 考点讲练02：图形的平移 5 考点讲练03：利用平移的性质求解 7 考点讲练04：利用平移解决实际问题 8 考点讲练05：平移（作图) 10 考点讲练06：平移综合题(几何变换) 11 考向二：轴对称 12 考点讲练07：轴对称图形的识别 12 考点讲练08：成轴对称的两个图形的识别 13 考点讲练09：根据成轴对称图形的特征进行判断 13 考点讲练10：根据成轴对称图形的特征进行求解 14 考点讲练11：台球桌面上的轴对称问题 15 考点讲练12：轴对称中的光线反射问题 16 考点讲练13：折叠问题 16 考点讲练14：画对称轴 17 考点讲练15：求对称轴条数 17 考向三：旋转 18 考点讲练16：判断生活中的旋转现象 18 考点讲练17：判断由一个图形旋转而成的图案 19 考点讲练18：找旋转中心、旋转角、对应点 19 考点讲练19：旋转中的规律性问题 21 考点讲练20：根据旋转的性质求解 21 考点讲练21：根据旋转的性质说明线段或角相等 22 考点讲练22：旋转的性质及辨析 23 考点讲练23：画旋转图形 24 考点讲练24：利用旋转设计图案 25 考点讲练25：旋转对称图形的识别 26 考点讲练26：求旋转对称图形的旋转角度 27 考点讲练27：线段角度问题(旋转综合题) 28 优选真题难度分层练 30 基础夯实真题练 30 培优拔尖真题练 33 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：平移 (一)平移的概念：把图形上所有点都按同一方向移动相同的距离叫作平移. △ABC向右平移相同距离得到△A’B’C’，其中A与A’是对应点，线段AB与线段A’B’是对应线段，∠A与∠A’是对应角. (二)平移的特征： 1.平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等，对应角相等，图形的形状、大小都没有发生改变，并且平移不改变直线的方向. 2.平移把直线变成与它平行的直线. 3.两条平行线中的一条可以通过平移与另一条重合 (三)平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为： 1.图形原来的位置；2、平移的方向；3、平移的距离 知识点梳理02：轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 知识点梳理03：线段的垂直平分线 1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 知识点梳理04：旋转的性质与作图 旋转的性质：一个图形和它所经过旋转所得的图形中： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角； （3）对应线段相等，对应角相等. 知识点梳理05：中心对称图形 1.中心对称图形的定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形.这个点叫做它的对称中心. 2.中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形. 考向一：平移 考点讲练01：生活中的平移现象 【典例精讲】（22-23八年级下·贵州铜仁·期中）在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是 ．    【变式训练】（21-22七年级下·河北承德·期中）如图所示第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么第4个图案中有白色六边形地面砖________块，第个图案中有白色地面砖________ 块，则下列选项中正确的是（      ） A． B． C． D． 考点讲练02：图形的平移 【典例精讲】（23-24七年级下·全国·单元测试）【探究】 （1）如图1，已知直线，点A在上，点C在上，点E在两平行线之间，则 ； 【应用】如图2，已知直线，点A、 B在上，点C、D在上，连接，，其中，分别是，的平分线，，． （2）求的度数： （3）将线段沿方向平移，如图3所示，其他条件不变，求的度数． 【变式训练】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为30，边长为5． (1)数轴上点A表示的数为__________； (2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S． ①当S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为__________； ②设移动距离． ⅰ）当时，__________； ⅱ）D为线段的中点，点E在线段上，且，当点D表示的数是点E表示的数的2倍时，求x的值． 考点讲练03：利用平移的性质求解 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，将三角形平移，使点沿的延长线移至点得到三角形，连接，交于点，平分． (1)猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，将三角形平移，使点沿移至点得到三角形．如果平分，那么平分吗？为什么？ 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图①所示的阴影部分是由线段向右平移1个单位长度扫过的区域，如图②所示的阴影部分是由折线AB向右平移1个单位长度扫过的区域．请在图③中画出由一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度扫过的区域（涂阴影）； （2）若长方形的长为a，宽为b，请分别写出图①②③中除去阴影部分后剩下部分的面积； （3）如图④，一块长、宽的长方形菜地上有一条弯曲的小路，小路的宽度为．求这块菜地的面积． 考点讲练04：利用平移解决实际问题 【典例精讲】（2024七年级上·上海·专题练习）探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【变式训练】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示． (1)如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； (2)如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． (3) 如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 考点讲练05：平移（作图) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，把向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到三角形． (1)画出； (2)连接，求四边形的面积． 【变式训练】（24-25八年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，三角形的顶点坐标分别为，，．若将三角形向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到三角形，其中点，，分别是点，，的对应点． (1)画出三角形； (2)若三角形内有一点，经过上述平移后的对应点为，则点的坐标为（__________，__________）（用含，的式子表示）； (3)求三角形的面积． 考点讲练06：平移综合题(几何变换) 【典例精讲】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，图形在方格（小正方形的边长为1个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿竖直方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．如图，已知，点按“平移量”可平移到点． (1)填空，点可看作点按“平移量” 平移得到； (2)若将依次按“平移量”平移得到，请在图（1）中画出； (3)将点按“平移量”平移得到点，使，写出所有满足条件的平移量． 【变式训练】（21-22七年级下·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点C（ 　 　），点D（ 　 　）． (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 考向二：轴对称 考点讲练07：轴对称图形的识别 【典例精讲】（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【变式训练】（22-23七年级下·重庆南岸·期末）图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点的个数是 个．    考点讲练08：成轴对称的两个图形的识别 【典例精讲】（24-25八年级上·北京·期中）如图所示的4组图形中，成轴对称的是（   ） A． B． B． C． D． 【变式训练】（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）下列关于轴对称的说法：①一个轴对称图形可以有多条对称轴；②成轴对称的两个图形一定全等；③若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧；④若点A，B关于直线对称，则且平分．其中正确的是 ．（填序号） 考点讲练09：根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图的树叶是一个轴对称图形，点，在对称轴上，点与点，点与点分别对称，则下列说法错误的是（   ） A． B．如果顺次连接点，，得到的是等腰三角形 C．如果直线与有交点，那么交点在直线上 D．如果，那么一定存在 【变式训练】（21-22八年级上·福建厦门·期末）定义：在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径，点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即或或等，则点P关于极轴对称的点Q的极坐标表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 考点讲练10：根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，点在的外部，作点关于的对称点，关于的对称点，连接并延长，交于点，交于点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若，，，为射线上的任意一点，求周长的最小值． 【变式训练】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求．（用含的代数式表达） 考点讲练11：台球桌面上的轴对称问题 【典例精讲】（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    【变式训练】（19-20八年级上·北京·期中）如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 考点讲练12：轴对称中的光线反射问题 【典例精讲】．（22-23八年级上·全国·课后作业）茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 【变式训练】（2022·浙江台州·一模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是 ． 考点讲练13：折叠问题 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）将一张长方形纸片按如图方式折叠，若，则 ． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）一次教学活动中，为检验两条纸带①②的边线是否平行（如图），小明和小华采用两种不同的方法：小明将纸带①沿折叠，量得；小华将纸带②沿折叠，发现与重合，与重合，则纸带①的边线 ，纸带②的边线 ．（填“平行”或“不平行”） 考点讲练14：画对称轴 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，给出的虚线是图形的对称轴的是（    ） A．①③⑤ B．②④⑥ C．①②④ D．②⑤⑥ 【变式训练】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（　　） A．角平分线是角的对称轴 B．将对折，边与边重合，折痕所在的直线是的对称轴 C．角可以看做是以它的平分线所在直线为对称轴的轴对称图形 D．线段、角、等腰三角形都是轴对称图形 考点讲练15：求对称轴条数 【典例精讲】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）下面图形都是轴对称图形，对称轴最多的是（　） A． B． C． D． B． 【变式训练】（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）在当地时间月日结束的巴黎奥运会米气步枪混合团体比赛中，中国选手黄雨婷/盛李豪夺得本届奥运会首枚金牌，右图是巴黎奥运会射击项目图标，这个图案的对称轴条数为（    ） A． B． C． D． 考向三：旋转 考点讲练16：判断生活中的旋转现象 【典例精讲】（2023·吉林长春·三模）以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转，再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转即可．其中能得到图（2）的是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①② 【变式训练】．（22-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． 考点讲练17：判断由一个图形旋转而成的图案 【典例精讲】（18-19七年级下·北京海淀·期末）综合性学习小组设计了四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（  ） A． B． C． D． 【变式训练】（2024·上海黄浦·二模）如图，一个3×5的网格，其中的12个单位正方形已经被2张“L”型和1张“田字”型纸片互不重叠地占据了．下列有4个均由4个单位正方形所组成的纸片，依次记为型号1、型号2、型号3和型号4．将这4个型号的纸片做平移、旋转，恰能将图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠的是（    ） A．型号1 B．型号2 C．型号3 D．型号4 考点讲练18：找旋转中心、旋转角、对应点 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的三个顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格的格点上，点O为外一点． (1)将先向右平移4个单位长度得到，作出平移后的图形； (2)将绕点O顺时针旋转得到，作出旋转后的图形； (3)可以看作是经过什么变换得到的？ 【变式训练】（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知直线，点A在直线上，点B、C在直线上，射线是的三等分线，即，平分，．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在上有一点F，满足，且平分交于点G，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，绕点A顺时针旋转，速度为每秒，记旋转中的为，的三等分线为，即，同时绕点B逆时针旋转至，速度始终为每秒，当与射线重合时，立即以原来速度的一半逆时针旋转，当运动到与射线重合时，整个运动停止，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当时，请直接写出t的值． 考点讲练19：旋转中的规律性问题 【典例精讲】（21-22八年级下·广东深圳·期末）依次观察三个图形：，并判断照此规律从左向右第四个图形是（    ） A． B． C． D． 59．（21-22七年级下·广西贵港·期末）下列说法中正确的是（    ） A．旋转一定会改变图形的形状和大小 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【变式训练】（24-25七年级上·上海静安·期末）俄罗斯方块游戏中出现的图案可进行向左、向右平移，也可以顺时针、逆时针旋转．小海在玩游戏时，想把正在下降的“L”型插入下方空缺部分，正确的是（　　） A．绕点P旋转，再向右平移 B．绕点P按逆时针方向旋转，再向右平移 C．绕点P按顺时针方向旋转，再向右平移 D．直接向右平移 考点讲练20：根据旋转的性质求解 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）将一副直角三角板按如图①所示的方式叠放，现将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转，使两块直角三角板至少有一组边互相平行．如图②，当时，，则其他所有符合条件的的度数为 ． 【变式训练】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，如果把钟表的指针看作四边形，它绕点O旋转得到四边形，在这个旋转过程中． (1)旋转角是什么？旋转中心是什么？ (2)经过旋转，分别转到什么位置？ (3)与的长有什么关系？与呢？ (4)与有什么关系？ 考点讲练21：根据旋转的性质说明线段或角相等 【典例精讲】（22-23八年级上·江苏·期末）如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】（20-21七年级下·河南开封·期末）如图，正方形中，点为边上的一点，将顺时针旋转后得到．    (1)指出旋转中心及旋转角的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为的面积为，求四边形的面积． 考点讲练22：旋转的性质及辨析 【典例精讲】（21-22七年级下·湖南怀化·期末）如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点 ，逆时针方向旋转了 度. 【变式训练】（24-25七年级下·全国·随堂练习）为了美化校园，学校决定在一块正方形的空地上种植花草，现向学生征集设计图案．图案只能用圆弧在正方形内加以设计，要求使正方形和所画的圆弧构成的图案是旋转对称图形，且旋转后能与自身重合，种植花草部分用阴影表示．请你在三个正方形中画出三种不同的设计图案． 考点讲练23：画旋转图形 【典例精讲】（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标为． (1)画出向左平移4个单位所得的； (2)画出将绕点按顺时针旋转所得的（点、分别对应点、）； (3)将（1）中所得的绕点顺时针旋转度可以得到（2）中的（点、、分别对应点、、），则旋转中心的坐标是 ，旋转角是 °． 【变式训练】（22-23七年级下·广西贵港·期末）冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，如图，通过旋转后得到的图形是（    ） A． B． C． D． 考点讲练24：利用旋转设计图案 【典例精讲】（22-23七年级上·江苏南京·期末）（1）如图①，所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上，用直尺画图： ①过点画 ②过点画，垂足为 （2）在图①中，线段______的长度表示点到的距离； （3）已知：，，利用直尺和圆规作图在图②中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹．） 【变式训练】（23-24七年级下·山东潍坊·期末）在下面方格纸（每个小正方形的边长为1个单位长度）中，由阴影部分构成了三个图案，每个图案分别由4个相同的基本图形构成，下列说法正确的是（   ） A．三个图案的面积都是4 B．三个图案都是轴对称图形 C．三个图案都可以通过旋转它的一个基本图形得到 D．三个图案都可以通过平移它的一个基本图形得到 考点讲练25：旋转对称图形的识别 【典例精讲】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆． (1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________； (2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）． 【变式训练】（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图是环岛行驶的交通标志，表示在环形交叉路口中，车辆按逆时针方向绕行．将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后能够与自身重合，则旋转的角度可以是（    ）    A． B． C． D． 考点讲练26：求旋转对称图形的旋转角度 【典例精讲】（23-24八年级下·广东茂名·期末）把题图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（21-22七年级下·河南南阳·期末）如图，延长的中线至，使，分别连接、. (1)依题意补全图形. (2)判断与是否成中心对称，如果是，请写出对称中心；如果不是，请说明理由. (3)请直接写出与的关系. 考点讲练27：线段角度问题(旋转综合题) 【典例精讲】（21-22七年级上·浙江丽水·期末）如图，，点在上，点在以为圆心，长为半径的圆上，且．点从点出发沿直线向点运动，速度为，同时线段绕点以的速度按顺时针旋转，点也同时从点出发沿折线运动，设运动时间为． (1)若点的运动速度为，当时，求的长． (2)在线段旋转一周的过程中，当时． ①求运动时间． ②若此时点恰好在中点处，求点的运动速度． (4) 若点在上运动时，速度是，在上运动时，速度是，当点到达点时，所有运动同时停止，求运动停止时的度数． 【变式训练】（2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 基础夯实真题练 1．（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）下面的左面图形平移后可以得到右面图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，是锐角，将沿着射线向右平移得到（平移后点，，的对应点分别是，，），连接．在整个平移过程中，和之间存在2倍关系，则的大小不可能为（   ） A． B． C． D． 3．（19-20八年级上·甘肃金昌·期中）如图，直线表示一条河．表示两个村庄，欲在上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如下图四种铺设管道的方案．图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，直线、表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（    ）．    方案一   ①将点A向上平移得到； ②连接交于点M； ③过点M作，交于点N，即桥的位置． 方案二   ①连接交于点M； ②过点M作，交于点N，即桥的位置． A．唯方案一可行 B．唯方案二可行 C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行 5．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为 ． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，在中，将与分别沿和折叠，使点，都与点重合，若，则的度数为 ． 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点旋转后可以和自身重合．若每个叶片的面积为，，则图中阴影部分的面积之和为 ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将沿方向平移，得到． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 9．（24-25七年级下·北京·开学考试）如图，长方形中，点在边上．将沿折叠，点恰好落在边上的点处．    (1)用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)设，求（用含的代数式表示）． 10．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）动手操作题 我们知道，借助直尺和方格纸，可以画出互相平行的线段，也可以画出互相垂直的线段． 图1              图2 (1)已知图中的线段的端点都是格点，图1中的线段和所在的直线互相垂直，请观察规律，借助直尺和方格纸过点画出一条与垂直的线段，要求点也是格点． (2)在图2中，借助直尺和方格纸过点画出与平行的线段，要求也是格点． 培优拔尖真题练 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，把长方形沿折叠，点A，B分别落在点，处，与交于点G．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，长方形中，，第①次平移长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，第②次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，……第次平移将长方形沿的方向平移5个单位，得到长方形，若的长度为2027，则的值为（   ） A．403 B．404 C．405 D．406 13．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，长方形中，沿折痕翻折得，已知被分成的两个角相差，则图中的度数为 ． 14．（24-25七年级上·广东汕尾·期末）如题图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若，则的度数是 ． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区，长，宽，为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为．小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 ． 16．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，已知长方形纸片，点E和F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿，折叠至点N，M，P，K，若与分别在长方形的两侧，且，则的度数为 ． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．有一个，它的三个顶点均与小正方形的顶点重合． (1)将先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到．请在方格纸中画出； (2)连接各组对应点，并指出相等的线段、互相平行的线段以及相等的角． 18．（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）小芳和小明在手工课上各自用铁丝制作楼梯模型（如下图），他们用的铁丝材料（   ） A．一样多 B．小明多 C．小芳多 D．不能确定 19．（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当α为 度时， ，并在图3中画出相应的图形； (2)在旋转过程中，试探究与之间的关系； (3)当旋转速度为秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 20．（22-23七年级下·山西长治·期末）如图，直线一副三角板（）按如图①放置，其中点在直线上，点均在直线上，且平分．    (1)求的度数． (2)如图②，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转的对应点分别为，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（的对应点为．当边与的一边互相平行时，请画出相应图形并写出对应的值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第9章 图形的变换 （思维导图+知识梳理+27大考点讲练+优选真题难度分层练 共74题） 目 录 讲义编写说明 2 知识梳理精讲 2 知识点梳理01：平移 2 知识点梳理02：轴对称图形和轴对称 3 知识点梳理03：线段的垂直平分线 3 知识点梳理04：旋转的性质与作图 4 知识点梳理05：中心对称图形 4 重点难点考点讲练 4 考向一：平移 4 考点讲练01：生活中的平移现象 4 考点讲练02：图形的平移 5 考点讲练03：利用平移的性质求解 10 考点讲练04：利用平移解决实际问题 12 考点讲练05：平移（作图) 15 考点讲练06：平移综合题(几何变换) 18 考向二：轴对称 22 考点讲练07：轴对称图形的识别 22 考点讲练08：成轴对称的两个图形的识别 24 考点讲练09：根据成轴对称图形的特征进行判断 24 考点讲练10：根据成轴对称图形的特征进行求解 26 考点讲练11：台球桌面上的轴对称问题 29 考点讲练12：轴对称中的光线反射问题 30 考点讲练13：折叠问题 32 考点讲练14：画对称轴 33 考点讲练15：求对称轴条数 34 考向三：旋转 35 考点讲练16：判断生活中的旋转现象 35 考点讲练17：判断由一个图形旋转而成的图案 37 考点讲练18：找旋转中心、旋转角、对应点 38 考点讲练19：旋转中的规律性问题 44 考点讲练20：根据旋转的性质求解 45 考点讲练21：根据旋转的性质说明线段或角相等 47 考点讲练22：旋转的性质及辨析 49 考点讲练23：画旋转图形 51 考点讲练24：利用旋转设计图案 52 考点讲练25：旋转对称图形的识别 55 考点讲练26：求旋转对称图形的旋转角度 56 考点讲练27：线段角度问题(旋转综合题) 58 优选真题难度分层练 61 基础夯实真题练 61 培优拔尖真题练 70 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：平移 (一)平移的概念：把图形上所有点都按同一方向移动相同的距离叫作平移. △ABC向右平移相同距离得到△A’B’C’，其中A与A’是对应点，线段AB与线段A’B’是对应线段，∠A与∠A’是对应角. (二)平移的特征： 1.平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等，对应角相等，图形的形状、大小都没有发生改变，并且平移不改变直线的方向. 2.平移把直线变成与它平行的直线. 3.两条平行线中的一条可以通过平移与另一条重合 (三)平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为： 1.图形原来的位置；2、平移的方向；3、平移的距离 知识点梳理02：轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 知识点梳理03：线段的垂直平分线 1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 知识点梳理04：旋转的性质与作图 旋转的性质：一个图形和它所经过旋转所得的图形中： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角； （3）对应线段相等，对应角相等. 知识点梳理05：中心对称图形 1.中心对称图形的定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形.这个点叫做它的对称中心. 2.中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形. 考向一：平移 考点讲练01：生活中的平移现象 【典例精讲】（22-23八年级下·贵州铜仁·期中）在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是 ．    【答案】 【思路点拨】设矩形花园的宽，根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积． 【规范解答】解：设矩形花园的宽， 根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了生活中的平移，根据平移确定绿化带的长和宽是解题的关键． 【变式训练】（21-22七年级下·河北承德·期中）如图所示第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么第4个图案中有白色六边形地面砖________块，第个图案中有白色地面砖________ 块，则下列选项中正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】由图可知，每一个图案比前一个图案多4个白色的六边形，1个黑色的六边形，根据规律解题即可． 【规范解答】解：由图可知，每一个图案比前一个图案多4个白色的六边形， ∴第n个图案白色六边形的个数为：， ∴第4个图案白色六边形的个数为：， 故选C． 【考点评析】本题考查图形的规律类问题，通过图形找到相应的数字规律是解题的关键． 考点讲练02：图形的平移 【典例精讲】（23-24七年级下·全国·单元测试）【探究】 （1）如图1，已知直线，点A在上，点C在上，点E在两平行线之间，则 ； 【应用】如图2，已知直线，点A、 B在上，点C、D在上，连接，，其中，分别是，的平分线，，． （2）求的度数： （3）将线段沿方向平移，如图3所示，其他条件不变，求的度数． 【答案】（1），；（2）；（3） 【思路点拨】本题主要考查了平移的性质以及角平分线的定义、平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键． （1）如图1中，作，利用平行线的性质求解即可． （2）利用平行线的定义结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案； （3）利用平行线的性质结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案． 【规范解答】解∶（1）如图1中，作， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为∶，； （2）如下图2，过点E作． ∵， ∴． ∵， ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵，， ∴，， ∴； （3）如下图3，过点E作， ∵， ∴． ∵， ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵，， ∴，， ∴． 【变式训练】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为30，边长为5． (1)数轴上点A表示的数为__________； (2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S． ①当S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为__________； ②设移动距离． ⅰ）当时，__________； ⅱ）D为线段的中点，点E在线段上，且，当点D表示的数是点E表示的数的2倍时，求x的值． 【答案】(1)6 (2)①：3或9；②ⅰ）20；ⅱ） 【思路点拨】本题考查矩形的性质，数轴上点的特点；能够将数轴上的点与矩形的边长之间的关系联系起来是解题的关键． （1）由矩形的面积即可表示点； （2）①分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，根据长方形面积公式求出，即可求解； ②ⅰ）分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，根据长方形面积公式求解即可； ⅱ）分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，分别表示出D、E表示的数，然后列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：长方形的面积为30，边长为5． ， 点表示6； 故答案为：6； （2）解：当向左移动时，如图， ， ， 移动后的表示3； 当向右移动时，如图， ， 又 ， 移动后表示9， 故答案为：3或9； ②ⅰ）当向左移动时，如图， ， ， 当向右移动时，如图， ， ， 综上，， 故答案为：20； ⅱ）由题意知： 为线段的中点，点E在线段上，且， ，， 当向左移动时，如图， ， 表示的数为，E表示的数为， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）； 当向右移动时，如图， ， 表示的数为，E表示的数为， 根据题意，得， 解得； 综上，． 考点讲练03：利用平移的性质求解 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，将三角形平移，使点沿的延长线移至点得到三角形，连接，交于点，平分． (1)猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，将三角形平移，使点沿移至点得到三角形．如果平分，那么平分吗？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)平分，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握并根据平移的性质得出对应角、对应边之间的关系是解题的关键． （1）由平移的性质，得，，根据角平分线，可知进而得出，进而得出答案； （2）由平移的性质，得，，从而知道，根据角平分线，可知，进而得出，即平分． 【规范解答】（1）解：．理由如下： 平分 由平移的性质，得， （2）解：平分．理由如下： 由平移的性质，得， 平分 ，即平分 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图①所示的阴影部分是由线段向右平移1个单位长度扫过的区域，如图②所示的阴影部分是由折线AB向右平移1个单位长度扫过的区域．请在图③中画出由一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度扫过的区域（涂阴影）； （2）若长方形的长为a，宽为b，请分别写出图①②③中除去阴影部分后剩下部分的面积； （3）如图④，一块长、宽的长方形菜地上有一条弯曲的小路，小路的宽度为．求这块菜地的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【思路点拨】 本题考查了生活中的平移现象，利用了平行四边形的面积公式，画图是解题关键． （1）根据两个折点，可得小路是三个平行四边形； （2）根据路的形状是矩形，可得路的面积，根据面积的和差，可得答案； （3）根据等底等高的面积相等，可得路的面积，根据面积的和差，可得答案． 【规范解答】解：（1）（答案不唯一）如图所示． （2）设三个图中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则． （3）由（2）可知，这块菜地的面积为． 考点讲练04：利用平移解决实际问题 【典例精讲】（2024七年级上·上海·专题练习）探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【答案】探究证明， 结论应用 联系拓展，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了平移的性质． 探究证明阴影部分的平行四边形的底是1，高是，即可得阴影面积，进而可答案； 结论应用可看成两个平行四边形，它们的底都是1，而两个平行四边形高的和为，故可得阴影面积，即得答案； 联系拓展考虑图形的拆分和拼凑，可利用平移把空白部分凑成长为，宽是的长方形，进而得到草地的面积． 【规范解答】解：探究证明平行四边形的面积底高， ，， 故答案为：，； 结论应用画图如下： ； 故答案为：； 联系拓展空白部分表示的草地面积是：，理由如下： 1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； 2、将左侧的草地向右平移一个单位； 3、得到一个新的长方形． 在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是．其水平方向的长变成了，所以草地的面积就是：． 【变式训练】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示． (1)如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； (2)如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． (3)如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 【答案】(1) (2)木木的方法正确，见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，两点之间线段最短，平移的性质； （1）根据平行线间的线段相等，进而得出答案； （2）分别用两种方法求处于从到的路程，进行比较即可； （3）作图，，可以看作平移的结果，则，若设另在处架桥，同理可得，则＞，所以在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短． 【规范解答】（1）解：∵桥与河岸垂直， 根据平行线间的线段相等，则 （2）木木的方法正确，理由如下：            由平移性质知， 亮亮的方法，从到的路程为 木木的方法，从到的路程为     ， ， 木木的方法正确． （3）如图b．①作交于，．②把 平移至，连结 ，交于． ③作于 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                             理由：由作图，，可以看做 平移的结果， ， 若设另在 处架桥，同理可得，则， 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                          考点讲练05：平移（作图) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，把向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到三角形． (1)画出； (2)连接，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查作图-平移变换、四边形的面积等知识点，灵活运用利用分割法求四边形的面积是解题的关键． （1）利用平移变换分别作出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可解答； （2）利用分割法求四边形面积即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图：连接． ． 【变式训练】（24-25八年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，三角形的顶点坐标分别为，，．若将三角形向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到三角形，其中点，，分别是点，，的对应点． (1)画出三角形； (2)若三角形内有一点，经过上述平移后的对应点为，则点的坐标为（__________，__________）（用含，的式子表示）； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【思路点拨】本题主要考查作图——平移变换，三角形的面积，平移的性质，熟练掌握平移变换是解题的关键． （1）利用平移变化的性质分别作出点，，的对应点，，，再依次连接即可； （2）利用平移变换的性质判断即可； （3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【规范解答】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）若三角形内有一点经过上述平移后的对应点为，则点的坐标为， 故答案为：，； （3） = =． 考点讲练06：平移综合题(几何变换) 【典例精讲】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，图形在方格（小正方形的边长为1个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿竖直方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．如图，已知，点按“平移量”可平移到点． (1)填空，点可看作点按“平移量” 平移得到； (2)若将依次按“平移量”平移得到，请在图（1）中画出； (3)将点按“平移量”平移得到点，使，写出所有满足条件的平移量． 【答案】(1)； (2)图见解析； (3)使，满足条件的平移量有、、、、． 【思路点拨】本题考查作图-平移变换，正数与负数，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据“平移量”的定义判断即可； （2）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （3）过点作的平行线，作点关于的对称点，再过点作的平行线，取格点，使，即可得出点平移量． 【规范解答】（1）解：依题意可知，点在点的左侧个单位，上方个单位， ∴点可看作点按“平移量”平移得到， 故答案为：． （2）解：点按“平移量”平移得到，点按“平移量”平移得到，点按“平移量”平移得到，依次连接、、，如图： ∴为所求的三角形． （3）解：要使，则点到的距离等于点到的距离，所以过点作的平行线，作点关于的对称点，再过点作的平行线，如图： 在网格上取格点，则， ∴由点按“平移量”平移得到， 由点按“平移量”平移得到， 由点按“平移量”平移得到， 由点按“平移量”平移得到， 由点按“平移量”平移得到， ∴使，满足条件的平移量有、、、、． 【变式训练】（21-22七年级下·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点C（ 　 　），点D（ 　 　）． (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】(1)，3；， (2)秒 (3)见解析 【思路点拨】 （1）利用平移变换的性质求解； （2）设秒后轴，构建方程求解； （3）分三种情形：①如图1中，当点在直线的左侧时，②如图2中，当点在直线的左侧或直线上且在直线的右侧时，③如图3中，当点在直线的右侧时，分别求解即可． 【规范解答】（1） 解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， 可得：，， 故答案为：，3；，； （2） 设秒后轴，则有， 解得，时，轴； （3） ①如图1中，当点在直线的左侧或上时，， ． ②如图2中，当点在直线的右侧且在直线的右侧时，， ③如图3中，当点在直线的右侧时，， ． 综上所述，与的关系为：或或． 【考点评析】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 考向二：轴对称 考点讲练07：轴对称图形的识别 【典例精讲】（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【思路点拨】根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【规范解答】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 【变式训练】（22-23七年级下·重庆南岸·期末）图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点的个数是 个．    【答案】2 【思路点拨】根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解． 【规范解答】解：如图所示，      即：满足条件的点的个数为2个， 故答案为：2． 【考点评析】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是解题的关键． 考点讲练08：成轴对称的两个图形的识别 【典例精讲】（24-25八年级上·北京·期中）如图所示的4组图形中，成轴对称的是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查了轴对称，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称可得答案． 【规范解答】解：根据轴对称图形的定义可得D答案中图形成轴对称，其他选项不成轴对称， 故选：D． 【变式训练】（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）下列关于轴对称的说法：①一个轴对称图形可以有多条对称轴；②成轴对称的两个图形一定全等；③若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧；④若点A，B关于直线对称，则且平分．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①② 【思路点拨】根据轴对称图形的性质逐项判断即可． 【规范解答】解：①一个轴对称图形可以有多条对称轴，正确； ②成轴对称的两个图形一定全等，正确； ③若两个图形关于某直线对称，它们的对应点可能都在对称轴上，原说法错误； ④若点A，B关于直线对称，则且平分，原说法错误； 故答案为：①②． 【考点评析】本题考查了轴对称图形的性质，熟练掌握基础知识是解题的关键． 考点讲练09：根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图的树叶是一个轴对称图形，点，在对称轴上，点与点，点与点分别对称，则下列说法错误的是（   ） A． B．如果顺次连接点，，得到的是等腰三角形 C．如果直线与有交点，那么交点在直线上 D．如果，那么一定存在 【答案】D 【思路点拨】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质逐项判断即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【规范解答】解：、∵直线为对称轴，点与点是对称点， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵点在对称轴上，点与点是对称点， ∴， ∴是等腰三角形，该选项正确，不合题意； 、∵点与点，点与点关于直线对称， ∴如果直线与有交点，那么交点在直线上，该选项正确，不合题意； 、∵点与点关于直线对称，点在对称轴上， 当点在同一条直线上时，，即；当点不在同一条直线上时，，该选项错误，符合题意； 故选：． 【变式训练】（21-22八年级上·福建厦门·期末）定义：在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径，点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即或或等，则点P关于极轴对称的点Q的极坐标表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据轴对称的定义以及给OP的角度关于Ox对称后的角度加上360°的整数倍即可． 【规范解答】解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）， 由点P关于极轴对称的点Q的极坐标表示点Q可得：点Q的极坐标为（3，-60°-360°=-420°）或（3， -60°）或（3，-60°+720°=660°）或（3，-60°+360°=300°）． 故选D． 【考点评析】本题考查轴对称的问题，掌握轴对称的定义成为解答本题的关键． 考点讲练10：根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，点在的外部，作点关于的对称点，关于的对称点，连接并延长，交于点，交于点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若，，，为射线上的任意一点，求周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等： （1）设与的交点为点，根据轴对称的性质得，由可得结论； （2）连接，，，根据轴对称的性质知，当，，三点共线时，有最小值，为的长，从而可求周长的最小值． 【规范解答】（1）解：设与的交点为点， ∵点，关于对称， ∴，， ∴， ∴． ∵点，关于对称， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，，，如图所示． ∵点，关于对称， ∴，， ∴． ∵为定值， ∴要使周长最小，即的值最小． ∵， ∴当，，三点共线时，有最小值，为的长， ∴此时点与点重合． ∵点，关于对称， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴周长的最小值为． 【变式训练】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求．（用含的代数式表达） 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，，再结合角的和差运算可得答案； 【规范解答】（1）解：∵M，N分别是点O关于、的对称点， ∴，， ∴的周长 ； （2）如图，连接，，， ∵M，N分别是点O关于、的对称点， ∴，， ∴． 考点讲练11：台球桌面上的轴对称问题 【典例精讲】（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数．利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【变式训练】（19-20八年级上·北京·期中）如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）作点P关于是对称点，连接′交于M，点M即为所求． （2）作点P关于是对称点，点Q关于的对称点，连接交于E，交于F，点E，点F即为所求． 【规范解答】（1）解：如图，运动路径：，点M即为所求．    （2）解：如图，运动路径：，点E，点F即为所求．    【考点评析】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 考点讲练12：轴对称中的光线反射问题 【典例精讲】．（22-23八年级上·全国·课后作业）茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 【答案】见解析 【思路点拨】本题意思是在上找一点D，在上找一点E，使的周长最小．如果设点C关于的对称点是M，关于的对称点是N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小． 【规范解答】.解：①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，②连接MN，分别交OA于D，OB于E． 则C→D→E→C为所求的行走路线． 【考点评析】本题考查了轴对称的性质，灵活运用对称性的基本性质是解题关键． 【变式训练】（2022·浙江台州·一模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是 ． 【答案】 【思路点拨】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得． 【规范解答】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数为， ∵是两面互相平行的平面镜， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数也为， 又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 考点讲练13：折叠问题 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）将一张长方形纸片按如图方式折叠，若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，如图，由平行线的性质得，即由折叠的性质，再根据平角的定义即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【规范解答】解：如图，∵， ∴， 由折叠得，， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）一次教学活动中，为检验两条纸带①②的边线是否平行（如图），小明和小华采用两种不同的方法：小明将纸带①沿折叠，量得；小华将纸带②沿折叠，发现与重合，与重合，则纸带①的边线 ，纸带②的边线 ．（填“平行”或“不平行”） 【答案】 不平行 平行 【思路点拨】本题考查平行线的判断，根据平行线的判定方法进行判断即可． 【规范解答】解：如图： 在图①中，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴纸带①的边线不平行； 在图②中， ∵将纸带②沿折叠，发现与重合，与重合， ∴， ∴， ∴纸带②的边线平行； 故答案为：不平行；平行 考点讲练14：画对称轴 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，给出的虚线是图形的对称轴的是（    ） A．①③⑤ B．②④⑥ C．①②④ D．②⑤⑥ 【答案】B 【思路点拨】本题考查了轴对称图形的的定义，如果把一个图形沿着一条直线折起来，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴，据此解答即可求解，掌握轴对称图形的的定义是解题的关键． 【规范解答】解：由图可得，图形的对称轴是②④⑥， 故选：． 【变式训练】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（　　） A．角平分线是角的对称轴 B．将对折，边与边重合，折痕所在的直线是的对称轴 C．角可以看做是以它的平分线所在直线为对称轴的轴对称图形 D．线段、角、等腰三角形都是轴对称图形 【答案】A 【思路点拨】本题考查了对称轴、轴对称图形，根据对称轴和轴对称图形的定义判断即可求解，掌握对称轴和轴对称图形的定义是解题的关键． 【规范解答】解：、角平分线所在的直线是角的对称轴，该选项错误，符合题意； 、将对折，边与边重合，折痕所在的直线是的对称轴，该选项正确，不合题意； 、角可以看做是以它的平分线所在直线为对称轴的轴对称图形，该选项正确，不合题意； 、线段、角、等腰三角形都是轴对称图形，该选项正确，不合题意； 故选：． 考点讲练15：求对称轴条数 【典例精讲】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）下面图形都是轴对称图形，对称轴最多的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查轴对称图形的概念及对称轴的数量，结合选项根据轴对称图形的概念寻找对称轴的数量，判断选择即可． 【规范解答】解：A、该图形的对称轴有条； B、该图形的对称轴有条； C、该图形的对称轴有条； D、该图形的对称轴有条． 故选：A． 【变式训练】（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）在当地时间月日结束的巴黎奥运会米气步枪混合团体比赛中，中国选手黄雨婷/盛李豪夺得本届奥运会首枚金牌，右图是巴黎奥运会射击项目图标，这个图案的对称轴条数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了轴对称图形对称轴，根据正方形有四条对称轴即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【规范解答】解：∵图标中间是一个正方形，而正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴， ∴这个图案的对称轴条数为， 故选：． 考向三：旋转 考点讲练16：判断生活中的旋转现象 【典例精讲】（2023·吉林长春·三模）以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转，再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转即可．其中能得到图（2）的是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①② 【答案】B 【思路点拨】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的特征结合图形解答即可． 【规范解答】解：由图可知，图（1）先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，即可得到图（2），故②符合题意 ； 图（1）先绕着点旋转，再向右平移一个单位，即可得到图（2），故③符合题意 ； 图（1）绕着的中点旋转即可得到图（2），故④符合题意 ； 图（1）只要向右平移1个单位不能得到图（2），故①不符合题意． 故选：B． 【考点评析】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换－平移、翻折、旋转的特征是解题的关键． 【变式训练】．（22-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． 【答案】 ○ △ 【思路点拨】根据方向盘是旋转，开此窗户是平移，即可解答． 【规范解答】解：方向盘是旋转，故后面画“○”； 开此窗户是平移，故后面画“△”， 故答案为：○，△． 【考点评析】本题考查了旋转与平移现象的识别，熟练掌握和运用旋转与平移现象的识别方法是解决本题的关键． 考点讲练17：判断由一个图形旋转而成的图案 【典例精讲】（18-19七年级下·北京海淀·期末）综合性学习小组设计了四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了图形中心的运动轨迹问题，正确理解图形中心的变化规律是解题的关键．根据车轮中心在运动过程中中心位置的变化情况判断即可． 【规范解答】解：圆的中心在运动过程中位置始终不变，正方形中心的变化每循环一次，五边形中心的变化每循环一次，六边形中心的变化每循环一次， 用量角器量得图2中一个弧所对的圆心角为， 所以，该轨迹对应的车轮为正方形的． 故选：B． 【变式训练】（2024·上海黄浦·二模）如图，一个3×5的网格，其中的12个单位正方形已经被2张“L”型和1张“田字”型纸片互不重叠地占据了．下列有4个均由4个单位正方形所组成的纸片，依次记为型号1、型号2、型号3和型号4．将这4个型号的纸片做平移、旋转，恰能将图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠的是（    ） A．型号1 B．型号2 C．型号3 D．型号4 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是平移，旋转，理解平移与旋转现象在生活中的应用是解本题的关键． 【规范解答】解：把型号4逆时针旋转，再通过平移可把图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠； 故选D 考点讲练18：找旋转中心、旋转角、对应点 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的三个顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格的格点上，点O为外一点． (1)将先向右平移4个单位长度得到，作出平移后的图形； (2)将绕点O顺时针旋转得到，作出旋转后的图形； (3)可以看作是经过什么变换得到的？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查了平移作图，画旋转图形，旋转的性质； （1）根据平移的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解； （2）根据旋转的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解； （3）连结交于一点，根据图形可得可以看作是绕点顺时针旋转得到，即可求解． 【规范解答】（1）解：平移后的图形如图所示． （2）旋转后的图形如图所示． （3）如图，连结交于一点， 可以看作是绕点顺时针旋转得到． 【变式训练】（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知直线，点A在直线上，点B、C在直线上，射线是的三等分线，即，平分，．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在上有一点F，满足，且平分交于点G，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，绕点A顺时针旋转，速度为每秒，记旋转中的为，的三等分线为，即，同时绕点B逆时针旋转至，速度始终为每秒，当与射线重合时，立即以原来速度的一半逆时针旋转，当运动到与射线重合时，整个运动停止，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为或 【思路点拨】（1）利用角平分线定义求出，进而求出，结合，则可求，，然后根据平行线的性质求解即可； （2）设，则，，，，由平行线的性质求出，，，，根据角平分线的定义求出，则，即可得出结论； （3）当与射线重合时，，返回时，当与重合，，当与射线重合时，，当在的延长线时，，分；；；讨论，根据平行线的性质列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵平分，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解： 理由：如图，    设，则 ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 当与射线重合时，，返回时，当与重合，，当与射线重合时，，当在的延长线时，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当时，    则 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时，    则 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时，    则 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 综上，t的值为或． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，一元一次方程方程的应用，角平分线的定义，平行线的性质等知识，明确题意，能用含t的代数式表示旋转角的度数是解题的关键． 考点讲练19：旋转中的规律性问题 【典例精讲】（21-22八年级下·广东深圳·期末）依次观察三个图形：，并判断照此规律从左向右第四个图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据图形规律可知，从左到右是依次顺时针旋转图形，据此即可求解． 【规范解答】解：由图形规律可得从左到右是依次顺时针旋转图形， ∴第四个图形是D． 故答案为：D 【考点评析】本题考查了旋转的性质，根据三个图形找出旋转的规律是解题关键． 59．（21-22七年级下·广西贵港·期末）下列说法中正确的是（    ） A．旋转一定会改变图形的形状和大小 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【思路点拨】根据旋转的性质，A不正确；根据平行线的性质，B不正确；根据垂直公理判断C正确，根据平行公理，D不正确． 【规范解答】A选项中，旋转只改变图形的位置，不改变形状和大小，所以A不正确； B选项中，两条直线被第三条直线所截，若两直线平行，则同位角相等；所以B不正确； C选项正确； D选项中，在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，D不正确； 故选C． 【考点评析】本题考查旋转的性质、平行线的性质、垂直公理、平行公理，熟练掌握相关性质和公理是解题的关键． 【变式训练】（24-25七年级上·上海静安·期末）俄罗斯方块游戏中出现的图案可进行向左、向右平移，也可以顺时针、逆时针旋转．小海在玩游戏时，想把正在下降的“L”型插入下方空缺部分，正确的是（　　） A．绕点P旋转，再向右平移 B．绕点P按逆时针方向旋转，再向右平移 C．绕点P按顺时针方向旋转，再向右平移 D．直接向右平移 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了生活中的旋转现象，将常见的游戏和旋转平移的知识相结合，有一定的趣味性，要根据平移和旋转的性质进行解答． 在俄罗斯方块游戏中，要使其自动消失，要把每行排满，需要旋转和平移，通过观察即可得到． 【规范解答】解：消除界面中的三行方块，需要绕点P按顺时针方向旋转，再向右平移． 故选C． 考点讲练20：根据旋转的性质求解 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）将一副直角三角板按如图①所示的方式叠放，现将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转，使两块直角三角板至少有一组边互相平行．如图②，当时，，则其他所有符合条件的的度数为 ． 【答案】或或或 【思路点拨】本题考查的是平行线的性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解即可． 【规范解答】解：由三角板可得，，，， 当时，如图， 此时在上，； 当时，如图， 此时； 当时，如图， ∴； 当时，如图， ∴， ∴， 综上所述，所有符合条件的的度数为或或或， 故答案为：或或或． 【变式训练】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，如果把钟表的指针看作四边形，它绕点O旋转得到四边形，在这个旋转过程中． (1)旋转角是什么？旋转中心是什么？ (2)经过旋转，分别转到什么位置？ (3)与的长有什么关系？与呢？ (4)与有什么关系？ 【答案】(1)或，旋转中心是点O (2) (3) (4) 【思路点拨】本题主要考查了旋转．熟练掌握旋转的定义和性质是解决问题的关键．旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角． （1）根据旋转角的定义和旋转中心的定义回答； （2）根据旋转的定义回答； （3）根据旋转的性质回答； （4）根据旋转的性质回答． 【规范解答】（1）旋转角是或，旋转中心是点O； （2）经过旋转，分别转到D、E、F的位置； （3）与长的关系，，与长的关系，； （4）与的关系：． 考点讲练21：根据旋转的性质说明线段或角相等 【典例精讲】（22-23八年级上·江苏·期末）如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据旋转的意义，三角形按逆时针方向旋转，可得，又有，，根据图形可得，；代入数据可得答案． 【规范解答】解：根据旋转的意义，三角形按逆时针方向旋转， 即， 又∵，， ∴， 则． 故选：C． 【考点评析】图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变． 【变式训练】（20-21七年级下·河南开封·期末）如图，正方形中，点为边上的一点，将顺时针旋转后得到．    (1)指出旋转中心及旋转角的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为的面积为，求四边形的面积． 【答案】(1)旋转中心是，旋转角是 (2) (3) 【思路点拨】（1）将旋转后得到，要确定旋转中心及旋转的角度，首先确定哪个点是对应点，即可确定； （2）根据旋转的性质可知，旋转前后两个图形一定全等，根据全等三角形的对应角相等，即可作出判断； （3）根据得出的面积，可得四边形的面积就是正方形的面积与的面积的差． 【规范解答】（1）解：旋转中心是，旋转角是； （2）延长交于点．    由旋转可知：， ，． 又，， ， ． （3）， 的面积是， 四边形的面积是． 【考点评析】本题主要考查了旋转的性质，旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，旋转前后的两个图形一定全等． 考点讲练22：旋转的性质及辨析 【典例精讲】（21-22七年级下·湖南怀化·期末）如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点 ，逆时针方向旋转了 度. 【答案】 N 90 【思路点拨】根据对应点到旋转中心的距离相等可确定旋转中心，对应点与旋转中心的连线所形成的角为旋转角进行解答即可． 【规范解答】解：如图，连接N与两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且对应点与N的连线所成的角是直角，故旋转中心是点N，逆时针方向旋转了90°， 故答案为：N，90． 【考点评析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·随堂练习）为了美化校园，学校决定在一块正方形的空地上种植花草，现向学生征集设计图案．图案只能用圆弧在正方形内加以设计，要求使正方形和所画的圆弧构成的图案是旋转对称图形，且旋转后能与自身重合，种植花草部分用阴影表示．请你在三个正方形中画出三种不同的设计图案． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了旋转对称图形，根据旋转对称图形的概念即可得到结果． 【规范解答】解：如答图．答案不唯一． 考点讲练23：画旋转图形 【典例精讲】（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标为． (1)画出向左平移4个单位所得的； (2)画出将绕点按顺时针旋转所得的（点、分别对应点、）； (3)将（1）中所得的绕点顺时针旋转度可以得到（2）中的（点、、分别对应点、、），则旋转中心的坐标是 ，旋转角是 °． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，90 【思路点拨】本题考查平移变换和旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，正确作出图形. （1）根据平移变换的性质分别作出的对应点即可； （2）根据旋转变换的性质分别作出A，C的对应点即可； （3）找出旋转中心点P即可解答问题． 【规范解答】（1）解：如图，即为所作， （2）解：如图，即为所作， （3）解：如图，点P即为旋转中心， 旋转中心的坐标是，旋转角是， 故答案为：，90． 【变式训练】（22-23七年级下·广西贵港·期末）冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，如图，通过旋转后得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据旋转的定义判断即可. 【规范解答】解：选项A是旋转吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形. 故选：A 【考点评析】本题考查利用旋转设计图案，解题的关键是掌握旋转的定义，属于中考常考题型. 考点讲练24：利用旋转设计图案 【典例精讲】（22-23七年级上·江苏南京·期末）（1）如图①，所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上，用直尺画图： ①过点画 ②过点画，垂足为 （2）在图①中，线段______的长度表示点到的距离； （3）已知：，，利用直尺和圆规作图在图②中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】（1）①作图见解析；②作图见解析；（2）；（3）作图见解析 【思路点拨】（1）①利用方格纸，取格点，连接即可，②利用方格纸，取格点，连接，与交于点，则即为所求； （2）根据点到直线的距离和线段的定义即可求解； （3）在射线的上方作即可． 【规范解答】解：（1）①如图，取格点，连接， ∵所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上， ∴点向上平移3格，再向右平移2格与点重合，同时点向上平移3格，再向右平移2格与点重合， 即线段向上平移3格，再向右平移2格与线段重合， ∴， 则即为所作； ②如图，取格点，连接，与交于点， 在和中， ，，， ，， 即绕点顺时针旋转与重合， ∴绕点顺时针旋转与重合， ∴， 由①知：， ∴，即， 则即为所作． （2）∵， ∴， ∴线段的长度表示点到的距离． 故答案为：． （3）如图，在射线的上方作， 又∵， ∴ ， ∴， 则射线即为所作． 【考点评析】本题考查作图—应用与设计作图，尺规作图，平移和旋转，点到直线的距离，角的计算，垂直的判定．解题的关键是掌握基本的作图方法和相关定义及性质． 【变式训练】（23-24七年级下·山东潍坊·期末）在下面方格纸（每个小正方形的边长为1个单位长度）中，由阴影部分构成了三个图案，每个图案分别由4个相同的基本图形构成，下列说法正确的是（   ） A．三个图案的面积都是4 B．三个图案都是轴对称图形 C．三个图案都可以通过旋转它的一个基本图形得到 D．三个图案都可以通过平移它的一个基本图形得到 【答案】AB 【思路点拨】本题考查了利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案，利用平移设计图案，熟练掌握平移、旋转、轴对称的性质是解题的关键．根据平移和旋转的性质即可得到结论． 【规范解答】解：A、三个图案的面积都是4，故符合题意； B、三个图案都是轴对称图形，故符合题意； C、只有图案②③通过旋转它的一个基本图形得到，故不符合题意； D、只有图案②通过平移它的一个基本图形得到，故不符合题意； 故选：AB． 考点讲练25：旋转对称图形的识别 【典例精讲】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆． (1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________； (2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）． 【答案】(1)是，O， (2)周长为，阴影部分的面积为 【思路点拨】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的概念以及最小旋转角的求法是解答此题的关键．旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心．根据定义可知，最小旋转角等于周角除以正多边形的边数． 【规范解答】（1）解：根据题意，可知这个图案是旋转对称图形，点是旋转对称中心， 这个图案的最小旋转角为； 故答案为：是，O， （2）由题意得，阴影部分的周长为， 阴影部分的面积为． 【变式训练】（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图是环岛行驶的交通标志，表示在环形交叉路口中，车辆按逆时针方向绕行．将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后能够与自身重合，则旋转的角度可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了旋转对称图形，根据图形的对称性，用除以计算即可得解，仔细观察图形求出旋转角是的整数倍是解题的关键． 【规范解答】解：， 旋转的角度是的整数倍， 旋转的角度至少是， 故选：B． 考点讲练26：求旋转对称图形的旋转角度 【典例精讲】（23-24八年级下·广东茂名·期末）把题图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了旋转对称图形的特征，仔细观察图形求出旋转角是的整数倍是解题的关键． 根据旋转对称图形的特征可得答案． 【规范解答】解：由图形知，该图形是旋转对称图形， 则旋转，，都可以与自身重合， 旋转不能与自身重合． 故选：B． 【变式训练】（21-22七年级下·河南南阳·期末）如图，延长的中线至，使，分别连接、. (1)依题意补全图形. (2)判断与是否成中心对称，如果是，请写出对称中心；如果不是，请说明理由. (3)请直接写出与的关系. 【答案】(1)见解析 (2)是，对称中心是点D，见解析 (3)AC=BE 【思路点拨】（1）根据题意补图即可； （2）根据旋转的性质即可得到与是成中心对称，对称中心为点D； （3）由（2）可得AC=BE． 【规范解答】（1）如图， （2）与成中心对称，理由如下： ∵AD为BC边上的中线， ∴BD=CD， ∵AD=DE，∠ADC=∠BDE， ∴将△ADC绕点D旋转180°后能与△BDE重合， ∴与成中心对称，对称中心为点D； （3）∵将△ADC绕点D旋转180°后能与△BDE重合，即点A与点E重合，点C与点B重合， ∴AC=BE． 【考点评析】此题考查了作图能力，熟练掌握作图方法及旋转的性质，中心对称的定义是解题的关键． 考点讲练27：线段角度问题(旋转综合题) 【典例精讲】（21-22七年级上·浙江丽水·期末）如图，，点在上，点在以为圆心，长为半径的圆上，且．点从点出发沿直线向点运动，速度为，同时线段绕点以的速度按顺时针旋转，点也同时从点出发沿折线运动，设运动时间为． (1)若点的运动速度为，当时，求的长． (2)在线段旋转一周的过程中，当时． ①求运动时间． ②若此时点恰好在中点处，求点的运动速度． (3)若点在上运动时，速度是，在上运动时，速度是，当点到达点时，所有运动同时停止，求运动停止时的度数． 【答案】(1) (2)①3或5；②或 (3) 【思路点拨】（1）分别表示出，再根据线段和差即可得； （2）①分点在上方和点在下方两种情况，分别求出旋转的角度，由此即可得； ②在①的两种情况的基础上，分别求出的长，再根据线段中点的定义求出的长，由此即可得； （3）先求出点在上的运动时间，再根据的长度随的变化建立方程，解方程可得点在上的运动时间，然后根据总运动时间求出旋转的角度数，由此即可得． 【规范解答】（1）解：由题意，当时，， ， ． （2）解：①由题意，分以下两种情况： 当点在上方时，旋转的角度为， 此时， 当点在下方时，旋转的角度为， 此时， 综上，运动时间的值为3或5； ②当时，， ， 点恰好在中点， ， 则此时点的运动速度为， 当时，， ， 点恰好在中点， ， 则此时点的运动速度为， 综上，点的运动速度为或． （3）解：当点与点重合时，运动时间为， 此时， 设点从点运动到点所用时间为， 则， 解得， 所以整个运动过程所用时间为， 线段绕点以的速度按顺时针旋转， 旋转的度数为， 运动开始时， 运动停止时． 【考点评析】本题考查了旋转、线段中点、一元一次方程的应用等知识点，较难的是题（3），正确求出总运动时间是解题关键． 【变式训练】（2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)①；；② (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查了旋转的性质，角度的计算； （1）①根据旋转的性质，角度的计算即可求解； ②根据旋转的性质，角度的计算，即可求解； （2）根据旋转的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：①∵，四边形是正方形， ∴， ； ②∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 基础夯实真题练 1．（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）下面的左面图形平移后可以得到右面图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查图形的平移变换．注意平移不改变图形的形状和大小，属于基础题，一定要熟记平移的性质及特点． 根据平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，即可判断出答案． 【规范解答】A、两个图形大小不一样，左面的图形不能通过平移得到右面图形，故本选项不符合题意； B、两个图形大小不一样，左面的图形不能通过平移得到右面图形，故本选项不符合题意； C、两个图形箭头方向不一样，左面的图形不能通过平移得到右面图形，故本选项不符合题意； D、左面的图形平移后可以得到右面图形，故本选项符合题意． 故选D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，是锐角，将沿着射线向右平移得到（平移后点，，的对应点分别是，，），连接．在整个平移过程中，和之间存在2倍关系，则的大小不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查图形变换，掌握平行线的判定和性质，平移的性质，角度的和差计算方法的综合是解题的关键． 分类讨论，第一种情况：如图，当点在上时，过点作，①当时；②当时；第二种情况：当点在外时，过点作，①当时；②当时；根据平行线的性质，图形结合即可求解． 【规范解答】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ； ②当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ； ②当时，由图可知，，故不存在这种情况； 综上所述，的大小可能为或或， 故选：C． 3．（19-20八年级上·甘肃金昌·期中）如图，直线表示一条河．表示两个村庄，欲在上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如下图四种铺设管道的方案．图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了对称性，最短路径的计算，掌握轴对称图形的性质，两点之间线段最短是解题的关键． 根据作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，由两点直线线段最短得到点即为所求点的位置，由此即可求解． 【规范解答】解：根据题意，点关于直线的对称点，连接，交直线于点， ∴点即为所求点的位置， ∴所需管道最短的方案是D， 故选：D ． 4．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，直线、表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（    ）．    方案一   ①将点A向上平移得到； ②连接交于点M； ③过点M作，交于点N，即桥的位置． 方案二   ①连接交于点M； ②过点M作，交于点N，即桥的位置． A．唯方案一可行 B．唯方案二可行 C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行 【答案】A 【思路点拨】本题考查两点之间线段最短，平移的性质，因为河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要最短即可，可利用平移解决问题． 【规范解答】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要最短即可． 垂直于河岸，， 连接，与另一条河岸相交于M，作直线， 由平移的性质，知，且， 根据“两点之间线段最短”，最短，即最短． 故方案一符合题意，方案二不是最短， 故选：A． 5．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为 ． 【答案】12 【思路点拨】本题考查的平移的性质，先利用平移的性质得到，，则，然后计算阴影部分的周长． 【规范解答】解：沿方向平移得到， ，， ， 阴影部分的周长为． 故本题答案为：12． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，在中，将与分别沿和折叠，使点，都与点重合，若，则的度数为 ． 【答案】/100度 【思路点拨】本题考查了折叠性质，三角形的内角和定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键． 由折叠性质可得，，则，最后由三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】解：因为将点与点分别沿和折叠使点，与点重合， 所以，， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点旋转后可以和自身重合．若每个叶片的面积为，，则图中阴影部分的面积之和为 ． 【答案】10 【思路点拨】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．注：旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据旋转的性质和图形的特点解答即可． 【规范解答】解：每个叶片的面积为，因而图形的面积是． ∵图案绕点O旋转后可以和自身重合，为， ∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的，因而图中阴影部分的面积之和为． 故答案为：10． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将沿方向平移，得到． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【思路点拨】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据平移的性质得出的度数，据此求出的度数即可． （2）根据平移的性质得出，再结合和的长度即可解决问题． 【规范解答】（1）解：因为由沿方向平移得到， 所以． 又因为， 所以； （2）解：由平移可知，， 所以， 即． 又因为， 所以， 所以． 9．（24-25七年级下·北京·开学考试）如图，长方形中，点在边上．将沿折叠，点恰好落在边上的点处．    (1)用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)设，求（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了翻折变换，长方形的性质，余角的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，结合，即可得到答案； （2）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，求得，再表示出，最后根据是的余角，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：，理由如下： 四边形是长方形， ， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ， ； （2）解：四边形是长方形， ， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ， ， ． 10．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）动手操作题 我们知道，借助直尺和方格纸，可以画出互相平行的线段，也可以画出互相垂直的线段． 图1              图2 (1)已知图中的线段的端点都是格点，图1中的线段和所在的直线互相垂直，请观察规律，借助直尺和方格纸过点画出一条与垂直的线段，要求点也是格点． (2)在图2中，借助直尺和方格纸过点画出与平行的线段，要求也是格点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了平移的性质，平行线的判定，垂直的定义； （1）根据平移的性质，垂线的定义作出图形即可； （2）根据平移的性质画出与平行的线段 【规范解答】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求； 培优拔尖真题练 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，把长方形沿折叠，点A，B分别落在点，处，与交于点G．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查平行线的性质，折叠的性质，根据折叠的性质，得到，利用平行线的性质求出的度数，再利用角的和差关系进行求解即可． 【规范解答】解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵长方形， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，长方形中，，第①次平移长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，第②次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，……第次平移将长方形沿的方向平移5个单位，得到长方形，若的长度为2027，则的值为（   ） A．403 B．404 C．405 D．406 【答案】B 【思路点拨】此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出平移间距离的规律是解题关键． 根据平移的性质得出，，，进而求出和的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出求出n即可． 【规范解答】解：，第1次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，第2次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形… ，，， ， 的长为：； ，， ， 解得：． 故选：B． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，长方形中，沿折痕翻折得，已知被分成的两个角相差，则图中的度数为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查了折叠问题，设，则或，分两种情况进行讨论：①当时，，②当时，，分别根据列式计算即可． 【规范解答】解：如图， 设，则或， ①当时，， ∵， ∴， 解得， ∴； ②当时，， ∵， ∴， 解得， ∴； 综上所述，图中的度数为或， 故答案为：或． 14．（24-25七年级上·广东汕尾·期末）如题图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若，则的度数是 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查了折叠性质，先由折叠得，再根据角的和差，即可作答． 【规范解答】解：∵把一张长方形纸片沿对角线折叠， ∴，， ∵， ∴， 则， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区，长，宽，为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为．小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 ． 【答案】196 【思路点拨】本题考查了平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．利用平移法可得横向距离等于的长，纵向距离等于，由此即可得． 【规范解答】解：由平移法得：小明所走的路线长为 ， 故答案为：196． 16．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，已知长方形纸片，点E和F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿，折叠至点N，M，P，K，若与分别在长方形的两侧，且，则的度数为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查平行线的性质，图形的折叠； 分两种情况讨论：当在上方时，延长交于点Q，证明，则；当在下方时，延长交于点T，证明，则． 【规范解答】当在上方时，延长交于点Q，如图1， 由折叠可得：， ∵ ； 当在下方时，延长交于点T，如图1， 由折叠可得：， ∵ ∴ 故答案为：或． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．有一个，它的三个顶点均与小正方形的顶点重合． (1)将先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到．请在方格纸中画出； (2)连接各组对应点，并指出相等的线段、互相平行的线段以及相等的角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，相等的线段：；互相平行的线段：，；相等的角：， 【思路点拨】此题考查平移作图及平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键： （1）根据平移的性质确定对应点，即可得到； （2）根据平移的性质即可解答． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：作图如图，根据题意可得相等的线段：． 互相平行的线段：，． 相等的角：，． 18．（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）小芳和小明在手工课上各自用铁丝制作楼梯模型（如下图），他们用的铁丝材料（   ） A．一样多 B．小明多 C．小芳多 D．不能确定 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查了平移的应用，考生通过观察、分析识别图形的能力，解决此题的关键是通过观察图形确定右侧与上侧各边的长相等．首先根据已知图形中两个图形中共同含有的边，再判断形状不同的边的长度即可． 【规范解答】解：两个图形右侧边与左侧相等，上侧与下侧相等， 即两个图形都可以利用平移的方法变为长为，宽为的长方形， 所以两个图形的周长都为， 所以他们用的周长一样长． 故选：A． 19．（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当α为 度时， ，并在图3中画出相应的图形； (2)在旋转过程中，试探究与之间的关系； (3)当旋转速度为秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 【答案】(1)15，作图见解析； (2)在旋转过程中，与之间的关系为或； (3)所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒． 【思路点拨】本题考查了图形的旋转、平行线的性质、三角尺中角的和差的计算，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后的位置，． （1）先根据平行线的性质可求出，再根据角的和差即可得出的度数，然后画图即可； （2）分、和三种情况，分别画出图形，根据角的和差即可得出结论； （3）分，，，，五种情况，分别利用平行线的性质、角的和差求出旋转角的度数，从而可求出时间t的值． 【规范解答】（1）若 则 故答案为：15； 画图结果如下所示： ， （2）解：依题意，分以下三种情况： 如图①，当时 则 如图②，当时 则 如图③，当时 则 综上，在旋转过程中，与之间的关系为或； ； （3）依题意，分以下五种情况： ①当时 由（1）知， 则（秒）， ②当时，此时，与重合 则（秒） ③当时，此时， 则（秒） ④当时，此时，与重合 则（秒） ⑤当时 则 （秒） 综上，所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒． 20．（22-23七年级下·山西长治·期末）如图，直线一副三角板（）按如图①放置，其中点在直线上，点均在直线上，且平分．    (1)求的度数． (2)如图②，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转的对应点分别为，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（的对应点为．当边与的一边互相平行时，请画出相应图形并写出对应的值． 【答案】(1) (2)①12.5秒  ②画图见解析； 【思路点拨】题目主要考查角平分线及平行线的判定和性质，理解题意，作出相应图形及辅助线进行分类讨论是解题关键． （1）根据邻补角得出，再由角平分线确定，利用平行线的性质即可求解； （2）①根据题意得出，再由平行线的性质得出，即可求解； ②分三种情况：当时，当，当，作出相应图形，添加辅助线，根据平行线的判定和性质及三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴秒    ②当时，分别延长和，交于点I，交于点J，交于点O，如图所示：    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得： 延长，交于点O，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 解得：； 当，    同理得 当    同理得       同理得 综上可得：t的值为． 21．（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图1，，，． (1)__________度； (2)与平行吗？与平行吗？请直接写出判断的结果． (3)将图1中的平移到，交射线于点，交于点，交于点，如图2所示．若，求的度数． 【答案】(1)180 (2)，不一定平行于 (3) 【思路点拨】本题考查了垂线的定义，平行线的判定与性质，以及平移的性质，手里掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）由垂直的定义得，进而可求出； （2）由可证；无法判断与是否平行． （3）由平移的性质得，然后证明可得． 【规范解答】（1）∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：180； （2），不一定平行于． ∵， ∴． 无法判断与是否平行． （3）， ． 又平移， ． ， ， ． ， ． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$