第8章 整式乘法（思维导图+知识梳理+20大考点讲练+优选真题难度分层练 共60题）-2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材）

2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第8章 整式乘法 （思维导图+知识梳理+20大考点讲练+优选真题难度分层练 共60题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 3 知识梳理精讲 3 知识点梳理01：整式的乘法 3 知识点梳理02：乘法公式 4 知识点梳理03：因式分解 4 重点知识考点讲练 4 考向一：单项式乘单项式 4 考点讲练01：单项式乘单项式 4 考点讲练02：利用单项式乘法求字母或代数式的值 6 考向二：单项式乘多项式 6 考点讲练03：计算单项式乘多项式及求值 6 考点讲练04：单项式乘多项式的应用 7 考点讲练05：利用单项式乘多项式求字母的值 9 考向三：多项式乘多项式 11 考点讲练06：计算多项式乘多项式 11 考点讲练07：(x+p)(x+q）型多项式乘法 12 考点讲练08：多项式乘多项式-化简求值 13 考点讲练09：已知多项式乘积不含某项求字母的值 14 考点讲练10：多项式乘多项式与图形面积 14 考点讲练11：多项式乘法中的规律性问题 15 考点讲练12：整式乘法混合运算 16 考向四：乘法公式 17 考点讲练13：运用平方差公式进行运算 17 考点讲练14：平方差公式与几何图形 18 考点讲练15：运用完全平方公式进行运算 19 考点讲练16：通过对完全平方公式变形求值 21 考点讲练17：完全平方公式在几何图形中的应用 22 考点讲练18：求完全平方式中的字母系数 24 考点讲练19：完全平方式在几何图形中的应用 26 考点讲练20：整式的混合运算 27 优选真题难度分层练 28 基础夯实真题练 28 培优拔尖真题练 32 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：整式的乘法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点剖析】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 知识点梳理02：乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点剖析】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 知识点梳理03：因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 【易错点剖析】落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 考向一：单项式乘单项式 考点讲练01：单项式乘单项式 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (2) ； (3) （把作为整体看作一个因式的底数）． 【变式训练】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）小李家住房结构如图所示，他打算把卧室和客厅铺上木制地板． (1)列式计算说明小李需要买多少平方米的木制地板．（x、y单位：米） (2)若米，米时，并且每平方米木地板的价格是190元，则他需要花费多少元钱？ 考点讲练02：利用单项式乘法求字母或代数式的值 【典例精讲】（22-23七年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米． 【变式训练】（21-22八年级上·四川遂宁·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 考向二：单项式乘多项式 考点讲练03：计算单项式乘多项式及求值 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式训练】（24-25七年级上·广西贵港·期中）如图，边长分别为的两个正方形并排放置， (1)求出图中阴影部分的面积（用含的式子表示）； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 考点讲练04：单项式乘多项式的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·重庆万州·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (2)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，请求出的值． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏南通·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白），再类似于数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例如：计算，可用如图的竖式进行计算．因此商式是，余式是1． (1)计算，商式是________，余式是________； (2)计算，结果为________； (3)已知M是一个整式，m是常数，，，求m的值． 考点讲练05：利用单项式乘多项式求字母的值 【典例精讲】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【变式训练】（21-22八年级上·河南南阳·期末）我阅读：类比于两数相除可以用竖式运算，多项式除以多项式也可以用竖式运算，其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母的降幂排列（若有缺项用零补齐）． （2）用竖式进行运算． （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．我会做：请把下面解答部分中的填空内容补充完整．求的商式和余式． 解： 答：商式是，余式是（    ） 我挑战：已知能被整除，请直接写出a、b的值． 考向三：多项式乘多项式 考点讲练06：计算多项式乘多项式 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）图、图是两个长和宽分别相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据图、图的特征用不同的方法表示长方形的面积： 图的面积______， 图的面积____________． 由此可以发现关于字母的两个一次多项式（一次项系数为）相乘的计算规律，用数学式子表示是_________； (2)利用你所得的规律进行多项式乘法计算： ； ； ． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如，．若，求的值． 考点讲练07：(x+p)(x+q）型多项式乘法 【典例精讲】（23-24七年级下·广东清远·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 【变式训练】22-23八年级下·四川达州·期中）已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为 ． 考点讲练08：多项式乘多项式-化简求值 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【变式训练】（24-25七年级上·四川成都·期末）先化简，再求值：，且单项式与是同类项． 考点讲练09：已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例精讲】．（2025七年级下·全国·专题练习）已知的积中不含有x项和项，求代数式的值． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）若的积中不含x和项，则 ． 考点讲练10：多项式乘多项式与图形面积 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）【数学实验】如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为a、宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）．利用若干个图①中的图形可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如：图②可以解释为． 【初步运用】 （1）图③可以解释为_______； （2）取图①中的若干个图形拼成一个长方形，使它的长和宽分别为和．不画图形，试通过计算说明需要多少个C类图形； 【拓展运用】 （3） 若取图①中的若干个图形拼成一个长方形，使它的面积为，通过操作发现拼成的长方形的长为_______，宽为_______． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示，面积分别为和：    (1)①用含m的代数式表示：__________，__________； ②用“<”“=”或“>”填空：__________； (2)若一个正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为． ①该正方形纸片的边长是__________（用含m的代数式表示）； ②小方同学发现与的差是定值，请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 考点讲练11：多项式乘法中的规律性问题 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）探究应用： (1)计算： __________；_________． (2)上面的乘法计算结果很简洁，用含a，b的式子表示你发现的规律，并说明理由； (3)下列各式能用（2）中的式子计算的是__________（填选项）． A．    B． C．     D． 【变式训练】（24-25八年级上·山东日照·期末）“杨辉三角”是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处）的计算结果中的各项系数，杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都由数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两数之和．观察下列各式及其展开式： 根据规律，的展开式中含项的系数为 ． 考点讲练12：整式乘法混合运算 【典例精讲】（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长m、宽m的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长m、宽m的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． (1)求安装健身器材的区域面积； (2)当，时，求安装健身器材的区域面积． (3)在做施工预算时了解到铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，那么在第（2）问的条件下，建设居民健身区所需地面费用为多少？（仅篮球场需铺设塑胶地面，其余为水泥地面） 【变式训练】（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法： ①当时，； ②当为关于x的三次三项式时，则； ③当多项式M与N的乘积中不含项时，则； ④．其中正确的有 ． 考向四：乘法公式 考点讲练13：运用平方差公式进行运算 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）用简便方法计算： (1) ； (2)； (2) 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期末）如图，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，将图中阴影部分剪裁后拼成一个长方形，如图所示． (1)设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，请直接用含，的代数式表示，； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式； (3)试利用此公式计算：． 考点讲练14：平方差公式与几何图形 【典例精讲】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数时，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请解决以下问题． 构图一：（1）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证下列选项中的公式____________（填选项即可）； A. B. C. （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①若，求的值为____________； ②计算：____________； 构图二：如图3表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成的一个新长方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：____________． 构图三：某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，如图4，其中正方形与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为，正方形的边长为a，求八边形的面积． 考点讲练15：运用完全平方公式进行运算 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到． 【活动猜想】 （1）写出由图2所表示的数学等式： ； 【类比探究】 （2）①根据上面的等式，如果将看成，则　　　　　　　　　　（结果化简）； ②若，求的值． 【拓展运用】 （3）已知实数a、b、c满足以下条件：，，且，求k的值． 【变式训练】（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）王老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题． 例：若，求和的值． 解： ，，，． 聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程． (1)若，求证：； (2)若，求和的值． 考点讲练16：通过对完全平方公式变形求值 【典例精讲】（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，计算公式都是死记硬背．为了让学生们能更直观地理解公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为、宽为的小长方形（如图①），拼成了一个边长为的正方形（如图②）．观察图形，回答下列问题： (1)图②中，阴影部分的面积是______________； (2)观察图①②，请你写出三个代数式：，，之间的关系______________； (3)应用：已知，求值： ①； ②． 【变式训练】（24-25八年级上·福建福州·期中）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：，，求的值． 解：，，即 又，，得． 根据上面得接题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则______． (2)为推动学生劳动实践得有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地、，两个正方形面积和为，两个正方形边长和为，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积． 考点讲练17：完全平方公式在几何图形中的应用 【典例精讲】（23-24七年级下·湖南娄底·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图，可以得到，请解答下列问题： (1)写出图所表示的数学等式 ； (2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则 ； (3)用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长宽分别为、的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，则 ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期中）【发现问题】 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题. 例如，求图1中阴影部分的面积，可以得到乘法公式. 请解答下列问题: （1）请写出求图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式(直接写出乘法公式即可). （2）用4个全等的、长和宽分别为a、b的长方形摆成如图3所示的正方形，请你根据图3中阴影部分的面积写出三个代数式、、之间的等量关系式(直接写出等量关系式即可). 【自主探索】 （3）小明用图4中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽为a，长为b的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，计算的值. 【拓展迁移】 （4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图5是一个棱长为的正方体，请你根据图5求正方体的体积，写出一个代数恒等式　　　 考点讲练18：求完全平方式中的字母系数 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．例如：；．当时，有最小值，最小值是．根据材料用配方法解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)当为何值时，多项式有最大值？请求出这个最大值； (3)已知，求出的值． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期末）[新考法]对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：． (1)对于有理数x，y，若是一个完全平方式，则__________； (2)对于有理数x，y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点E在边上，连接，．若，图中阴影部分的面积为，求n的值． 考点讲练19：完全平方式在几何图形中的应用 【典例精讲】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形采用型绿化方案，对正中间的长方形采用型绿化方案． (1)用含的代数式表示采用型绿化方案的四个正方形的边长是_____米，采用型绿化方案的长方形的另一边长是______米； (2)已知采用型绿化方案比型绿化方案的面积大，求型绿化方案比型绿化方案的面积大了多少平方米？ 【变式训练】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）【提出问题】 利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容． 【自主探究】 用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．    （1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题． （ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为___________和___________，图②中长方形的面积为___________．（用含a，b的字母表示） （ⅱ）当时，比较大小：__________．（填“>”或“<”） （ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明． 【知识应用】 （2） 已知，，且，利用（1）发现的结论求的最小值． 考点讲练20：整式的混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·黑龙江大庆·开学考试）计算： (1) ； (2) (2) (4)（运用乘法公式） 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）以下是小明化简代数式的过程： 解：原式① ② ．③ (1)解答过程中哪几步错误？原因是什么？ (2)写出正确解答过程． 基础夯实真题练 1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则 ． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②．通过计算阴影部分的面积可以得到（   ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）某同学在计算乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是 ． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）根据整式与整式相乘，可以得到等式：．试利用这个等式解决以下问题：如图，中，，分别以、、为边向外侧作正方形．如果、、的长分别是、、，且，，那么这三个正方形的面积和是 ． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读理解：如果，我们可以先将等式两边同时平方得到，再根据完全平方公式计算得：，即，所以．请运用上面的方法解决下面问题：如果，则的值为 ． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图①，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为4和18，则图②所示的大正方形的面积为 ． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)运用乘法公式计算： ． (3) 计算：． (4) 计算：． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）（运算能力）小明遇到下面一个问题：计算．经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： (1) 计算：； (2) 计算：． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）袁老师要贝贝用一张纸片制作成一个如图②所示的形状的图案．贝贝的做法：先画一条线段，如图①，再以点O为圆心，为直径画圆，并剪下这个圆，然后在上找一点B，再分别以为直径画圆，然后用剪刀剪去这两个以为圆心的圆，再通过适当的拼接，就得到图②．如果被剪下的两个圆中，比短，请你比较图②中阴影部分的面积和被裁剪部分的面积的大小． 10．（24-25七年级下·全国·期中）图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形 (1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于　　 ，面积等于　 . (2)观察图，请你写出三个代数式，之间的等量关系为　 . (3)运用你所得到的公式，计算:若，为有理数，且，，试求的值. (4)如图所示，正方形和正方形边长分别为，，且，，求图中阴影部分的面积. 培优拔尖真题练 11．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，有三张正方形纸片，将三张纸片按照如图所示的方式放置于一个长方形中，已知中间重叠部分四边形恰好是一个正方形，记图中两块未被覆盖的阴影部分面积分别为和，已知，，若要知道和的面积差，只需要知道（   ） A．正方形的边长 B．正方形的边长 C．正方形的边长 D．正方形的边长 12．（22-23七年级下·重庆·期末）如果代数式（均为非0常数），（均为非0常数），且满足，则称这两个代数式A与B互为“相反式”，对于上述“相反式”A与B，下列结论正确的有（    ）个． ①若，则； ②若为常数，，则A的值为1； ③若关于x，y的代数式（k为正整数）不含一次项，则的最大值为2； ④若关于x、y的两个方程（k、t均为常数）有相同的解，则． A．1 B．2 C．3 D．4 13．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）一组有序排列的数：，，，…，，…（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（    ） A． B． C． D． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 16．（17-18七年级·四川成都·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，34…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）； 请依据上述规律，写出展开式中含x2015项的系数是 ． 17．（2024七年级下·全国·专题练习）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是 ． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)已知，求的值； (3) ，其中． 19．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (3) （把作为整体看作一个因式的底数）； (4) ． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如 (a、b为实数)的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：；．根据以上信息，完成下列问题： (1)计算：， ； (2)计算：； (3)计算： 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第8章 整式乘法 （思维导图+知识梳理+20大考点讲练+优选真题难度分层练 共60题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 3 知识梳理精讲 3 知识点梳理01：整式的乘法 3 知识点梳理02：乘法公式 4 知识点梳理03：因式分解 4 重点知识考点讲练 4 考向一：单项式乘单项式 4 考点讲练01：单项式乘单项式 4 考点讲练02：利用单项式乘法求字母或代数式的值 6 考向二：单项式乘多项式 8 考点讲练03：计算单项式乘多项式及求值 8 考点讲练04：单项式乘多项式的应用 9 考点讲练05：利用单项式乘多项式求字母的值 12 考向三：多项式乘多项式 16 考点讲练06：计算多项式乘多项式 16 考点讲练07：(x+p)(x+q）型多项式乘法 18 考点讲练08：多项式乘多项式-化简求值 20 考点讲练09：已知多项式乘积不含某项求字母的值 22 考点讲练10：多项式乘多项式与图形面积 24 考点讲练11：多项式乘法中的规律性问题 26 考点讲练12：整式乘法混合运算 28 考向四：乘法公式 31 考点讲练13：运用平方差公式进行运算 31 考点讲练14：平方差公式与几何图形 33 考点讲练15：运用完全平方公式进行运算 35 考点讲练16：通过对完全平方公式变形求值 38 考点讲练17：完全平方公式在几何图形中的应用 40 考点讲练18：求完全平方式中的字母系数 44 考点讲练19：完全平方式在几何图形中的应用 47 考点讲练20：整式的混合运算 50 优选真题难度分层练 52 基础夯实真题练 52 培优拔尖真题练 60 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：整式的乘法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点剖析】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 知识点梳理02：乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点剖析】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 知识点梳理03：因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 【易错点剖析】落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 考向一：单项式乘单项式 考点讲练01：单项式乘单项式 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（把作为整体看作一个因式的底数）． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【思路点拨】本题考查了整式的乘法运算，单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）先计算积的乘方，再利用单项式乘以单项式运算法则求解即可； （2）利用单项式乘以单项式运算法则求解即可； （3）先去括号，再合并同类项即可； （4）利用单项式的乘法法则计算即可． 【规范解答】（1）原式， ， ； （2）原式， ； （3）原式， ； （4）原式 ． 【变式训练】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）小李家住房结构如图所示，他打算把卧室和客厅铺上木制地板． (1)列式计算说明小李需要买多少平方米的木制地板．（x、y单位：米） (2)若米，米时，并且每平方米木地板的价格是190元，则他需要花费多少元钱？ 【答案】(1)小明至少需要买平方米的木制地板 (2)他至少需要准备11400元钱 【思路点拨】本题考查的是代数式的知识，根据长方形的面积公式正确的写出代数式是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式用字母列式即可得到答案； （2）由（1）可得需要木地板的代数式，将代入之后再乘以190计算即可． 【规范解答】（1）解：由图中可知，卧室的宽为，长为，客厅的长为，宽为， 所以小李至少需要买木地板：平方米， 答：小明至少需要买平方米的木制地板． （2）解：由（1）可知小李需要买平方米的地板， 当时，平方米， 元， 答：他至少需要准备11400元钱． 考点讲练02：利用单项式乘法求字母或代数式的值 【典例精讲】（22-23七年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米． 【答案】 4 【思路点拨】（1）根据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等可得②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，进而计算即可； （2）观察图形，②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，②号长方形纸片的长的3倍是①号长方形纸片的长，进而计算即可． 【规范解答】解：（1）由图知，②号长方形纸片的宽为（厘米）， 故答案为：4； （2）设①长方形纸片的长为a，宽为b，则， 由图知，②长方形纸片的长为，宽为， ∴②号长方形纸片的面积是（平方厘米）， 故答案为：． 【考点评析】本题考查整式的乘法运算的应用，利用图形，正确列出式子是解答的关键． 【变式训练】（21-22八年级上·四川遂宁·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【规范解答】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 考向二：单项式乘多项式 考点讲练03：计算单项式乘多项式及求值 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘以多项式以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案； （2）利用单项式乘以多项式运算法则以及单项式乘以单项式运算法则计算得出答案； （3）直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案； （4）利用单项式乘以多项式运算法则计算，再合并同类项得出答案． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式 ． 【变式训练】（24-25七年级上·广西贵港·期中）如图，边长分别为的两个正方形并排放置， (1)求出图中阴影部分的面积（用含的式子表示）； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项： （）根据进行计算即可； （）把代入求值即可． 【规范解答】（1） ； （2）解：当时， ． 考点讲练04：单项式乘多项式的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·重庆万州·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (2)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减，熟练掌握整式混合运算运算法则是解题关键． （1）先计算可得到，根据题意可知x项的系数为0，据此即可作答； （2）设，由图可知，，则，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可知的值与x的值无关，即有，即可得出答案． 【规范解答】（1）解： ， 的值与无关， ，即； （2）解：设，由图可知，， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与无关， ， ， ． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏南通·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白），再类似于数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例如：计算，可用如图的竖式进行计算．因此商式是，余式是1． (1)计算，商式是________，余式是________； (2)计算，结果为________； (3)已知M是一个整式，m是常数，，，求m的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了多项式除以多项式： （1）仿照题意利用短除法求解即可； （2）仿照题意利用短除法求解即可； （3）根据题意可得的余数为0，则有，据此可得答案． 【规范解答】（1）解： ∴商式是，余式是， 故答案为：；； （2）解： ∴； （3）解：∵M是一个整式，m是常数，，， ∴的余数为0， ∴ ∴， ∴． 考点讲练05：利用单项式乘多项式求字母的值 【典例精讲】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式是， (3) 【思路点拨】本题主要考查了整式的乘法； （1）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于p、n的方程，求解即可； （2）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于k、n的方程，求解即可； （3）设另一个因式为，根据整式乘法的法则进行计算，得出关于m、n、b的方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：设二次三项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， 解得， 答：p的值为6； （2）设关于x的多项式的另一个因式是， 则， 即， ∴， 解得， ∴关于x的多项式的另一个因式是，； （3）设关于x的多项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， ∴， 即． 【变式训练】（21-22八年级上·河南南阳·期末）我阅读：类比于两数相除可以用竖式运算，多项式除以多项式也可以用竖式运算，其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母的降幂排列（若有缺项用零补齐）． （2）用竖式进行运算． （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．我会做：请把下面解答部分中的填空内容补充完整．求的商式和余式． 解： 答：商式是，余式是（    ） 我挑战：已知能被整除，请直接写出a、b的值． 【答案】我会做：；， 我挑战： 【思路点拨】我会做：根据题意填空即可； 我挑战，根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，最后结果余0，即可求得的值． 【规范解答】解：我会做：补全如下， 答：商式是，余式是（） 故答案为：； 我挑战：能被整除，则余数为0，根据题意列竖式运算即可， 解得 【考点评析】本题考查了多项式除以多项式，掌握多项式的乘法是解题的关键． 考向三：多项式乘多项式 考点讲练06：计算多项式乘多项式 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）图、图是两个长和宽分别相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据图、图的特征用不同的方法表示长方形的面积： 图的面积______， 图的面积____________． 由此可以发现关于字母的两个一次多项式（一次项系数为）相乘的计算规律，用数学式子表示是_________； (2)利用你所得的规律进行多项式乘法计算： ； ； ． 【答案】(1)；；；； (2)；；． 【思路点拨】（）图的利用长宽即可求解，图的面积等于四个小长方形面积相加即可，两个面积相等即可得出等式； （）利用题（）的等式即可求解； 本题考查了多项式乘以多项式的应用，掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】（1）解：解：图的面积， 图的面积， 数学式子表示是， 故答案为：，，，； （2）解：原式 ； 原式 ； 原式 ． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如，．若，求的值． 【答案】的值为． 【思路点拨】本题考查多项式乘多项式和新定义问题，解题的关键是理解题意，对新定义的理解． 根据定义化简，可得出，，，， ，再化简，代入求值即可． 【规范解答】解：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 的值为． 考点讲练07：(x+p)(x+q）型多项式乘法 【典例精讲】（23-24七年级下·广东清远·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 【答案】(1)，，，， (2)①；② (3)19，11，9，，， 【思路点拨】（1）根据多项式乘以多项式的法则即可得，然后总结规律即可； （2）根据上面的结果，归纳类推出一般规律即可得； （3）运用（1）的规律即可得． 【规范解答】（1）；； ；； ∴； （2）①； ②； （3）∵ ∴， ∵均为整数， ∴当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 综上所述，满足条件的k的值可以是19，11，9，，，． 【变式训练】22-23八年级下·四川达州·期中）已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了多项式乘以多项式，多项式相等的条件，设另一个因式为，可得，即得，进而由多项式相等的条件得到，，据此即可求解，掌握多项式相等的条件是解题的关键． 【规范解答】解：设另一个因式为， 则， 即， ∴，， 解得，， 故答案为：． 考点讲练08：多项式乘多项式-化简求值 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【答案】(1) (2)0.2 (3) (4)24 【思路点拨】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式在几何中的应用，解决本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式在几何图形中的应用： （1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； （4）根据所给图形可得，根据推出，再根据新定义，进而一步步利用整体代入法降次求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，； （2）解：， ， ， ， ∵代数式中不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解：， ， ， ， ， ∵， ∴原式； （4）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ， ， ， ， ， ． 【变式训练】（24-25七年级上·四川成都·期末）先化简，再求值：，且单项式与是同类项． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了整式的乘法，求代数式的值，同类项的定义；先按照整式乘法法则展开，再合并同类项，得，结合单项式与是同类项，得出，即，代入进行计算，即可作答． 【规范解答】解： ； ∵与是同类项， ∴， 即， ∴． 考点讲练09：已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例精讲】．（2025七年级下·全国·专题练习）已知的积中不含有x项和项，求代数式的值． 【答案】 【思路点拨】此题考查了多项式乘多项式，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果不含x和项确定出m与n的值，原式化简后代入计算即可求出值． 【规范解答】解：． 因为的积中不含有x项和项，所以， 解得， 所以， 所以原式． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）若的积中不含x和项，则 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了多项式乘以多项式、不含无关类问题及代数式求值，熟练掌握运算法则及不含无关类做题方法是解决本题关键．利用多项式乘以多项式的法则计算，再根据不含和的项，即可求出m与n的值，将m与n的值代入求解即可． 【规范解答】解： ∵展开后的结果中不含和的项， ∴， ∴，； ∵， ∴ ． 故答案为：． 考点讲练10：多项式乘多项式与图形面积 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）【数学实验】如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为a、宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）．利用若干个图①中的图形可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如：图②可以解释为． 【初步运用】 （1）图③可以解释为_______； （2）取图①中的若干个图形拼成一个长方形，使它的长和宽分别为和．不画图形，试通过计算说明需要多少个C类图形； 【拓展运用】 （3）若取图①中的若干个图形拼成一个长方形，使它的面积为，通过操作发现拼成的长方形的长为_______，宽为_______． 【答案】（1）；（2）需要15个C类图形；（3）， 【思路点拨】本题考查了多项式乘以多项式的应用； （1）根据图③面积两种求法即可得到结论； （2）根据多项式乘多项式的法则即可得到结论； （3）根据已知条件可画出图形，于是得到长方形的两边． 【规范解答】解：（1）图③面积由面积公式可得，由四个图形拼成可得面积， ∴； 故答案为：； （2）∵，边长为b的大正方形（C类）面积为， ∴长方形的长和宽分别为和，需要15个C类图形； （3）图形如下： ∴长方形的面积为，它长是，宽是． 故答案为：，． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示，面积分别为和：    (1)①用含m的代数式表示：__________，__________； ②用“<”“=”或“>”填空：__________； (2)若一个正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为． ①该正方形纸片的边长是__________（用含m的代数式表示）； ②小方同学发现与的差是定值，请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 【答案】(1)①；②> (2)①；②正确，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了整式乘法的应用，比较基础，能够根据题意列出解题所需的代数式是解题关键． （1）①根据长方形面积公式列式计算； ②用作差法比较大小即可； （2）①求出乙长方形的周长，即可求出该正方形的边长；②列式计算与的差，可知与无关． 【规范解答】（1）解：①． ② ． 因为， 所以， 所以． 故答案为①；②>． （2）①长方形纸片乙的周长为． 因为正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等， 所以正方形纸片的边长为． 故答案为； ②正确．理由：， 所以与的差是定值，即小方同学的发现是正确的． 考点讲练11：多项式乘法中的规律性问题 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）探究应用： (1)计算： __________；_________． (2)上面的乘法计算结果很简洁，用含a，b的式子表示你发现的规律，并说明理由； (3)下列各式能用（2）中的式子计算的是__________（填选项）． A．    B． C．     D． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)C 【思路点拨】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是利用观察归纳能力来求解及掌握多项式乘多项式的运算法则． （1）根据多项式乘以多项式的法则即可计算出答案； （2）根据多项式乘以多项式的法则，从计算中找规律； （3）多项式乘以多项式特殊情况的总结． 【规范解答】（1）解： ， ， 故答案为：；； （2）解：； ∵ ， ∴； （3）解：由可知，选项C正确． 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级上·山东日照·期末）“杨辉三角”是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处）的计算结果中的各项系数，杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都由数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两数之和．观察下列各式及其展开式： 根据规律，的展开式中含项的系数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解答此题的关键． 观察图表寻找规律∶三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是由数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的数之和． 【规范解答】解：由杨辉三角形可得， ， 即的展开式中含项的系数为， 故答案为：． 考点讲练12：整式乘法混合运算 【典例精讲】（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长m、宽m的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长m、宽m的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． (1)求安装健身器材的区域面积； (2)当，时，求安装健身器材的区域面积． (3)在做施工预算时了解到铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，那么在第（2）问的条件下，建设居民健身区所需地面费用为多少？（仅篮球场需铺设塑胶地面，其余为水泥地面） 【答案】(1)m2 (2)m2 (3)元 【思路点拨】本题考查了代数式运算的应用，熟悉掌握运算法则是解题的关键； （1）利用长方形面积公式列式运算即可； （2）把，代入（1）中式子运算即可； （3）把费用代入运算即可； 【规范解答】（1）解：由题意得： 答：安装健身器材的区域面积为； （2）当，时， 安装健身器材的区域面积 ， 答：安装健身器材的区域面积为2780 m2； （3）根据题意，需要的总费用为： ， 当，时，总费用为：（元）； 答：建设该居民健身场所需181000元． 【变式训练】（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法： ①当时，； ②当为关于x的三次三项式时，则； ③当多项式M与N的乘积中不含项时，则； ④．其中正确的有 ． 【答案】①③④ 【思路点拨】本题考查代数式求值，整式的加减运算，多项式乘多项式中不含某一项的问题．将代入代数式求出的值，判断①，根据多项式的和为三次三项式，得到的常数项为0，求出的值，确定②，计算多项式乘多项式后，项的系数为，求出的值判断③，根据恒等式对应项的系数相等，求出的值，判断④．掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴当时，；故①正确； ∵，为关于x的三次三项式，且a，b均为非零常数， ∴， ∴；故②错误； ∵ ， 又多项式M与N的乘积中不含项， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴；故④正确； 综上：正确的有①③④． 故答案为：①③④． 考向四：乘法公式 考点讲练13：运用平方差公式进行运算 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)190 (2) (3) 【思路点拨】本题考查了平方差公式，完全平方公式，积的乘方的逆运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式为，再去括号，然后计算，即可作答． （2）先整理原式为，再去括号，然后计算，即可作答． （3）运用平方差公式进行简便运算，即可作答． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期末）如图，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，将图中阴影部分剪裁后拼成一个长方形，如图所示． (1)设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，请直接用含，的代数式表示，； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式； (3)试利用此公式计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路点拨】本题考查了平方差公式的几何意义，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据正方形、长方形的面积公式即可求解； （2）根据题目已知，两图形面积相等即可写出公式； （3）根据任何数（或式）乘以，仍得这个数（或式），即可将原式变形为，然后反复运用平方差公式，即可求出结果． 【规范解答】（1）解：依题意得，； （2）解：依据阴影部分的面积相等，可得； （3）解：原式， ， ， ， ， ． 考点讲练14：平方差公式与几何图形 【典例精讲】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查平方差公式与几何图形的面积，根据，得到，进行求解即可． 【规范解答】解：由图可知：， ∴， ∵，， ∴； ∴； 故答案为：6． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数时，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请解决以下问题． 构图一：（1）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证下列选项中的公式____________（填选项即可）； A. B. C. （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①若，求的值为____________； ②计算：____________； 构图二：如图3表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成的一个新长方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：____________． 构图三：某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，如图4，其中正方形与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为，正方形的边长为a，求八边形的面积． 【答案】构图一：（1）B；（2）①3；②1；构图二：；构图三： 【思路点拨】本题考查了根据几何图形列代数式，平方差公式的几何背景，数形结合，掌握列代数式准确表示题中几何图形关系是解题的关键． 构图一：（1）根据图1和图2中阴影部分的面积不变，数形结合列出代数式求解即可得到答案；（2）①②先把（1）中的公式变形，再整体代入求解； 构图二：根据体积不变求解； 构图三：先求出小长方形的短边，再求解． 【规范解答】解：构图一：（1）图1中阴影部分的面积为：，图2中阴影部分的面积为：，根据阴影部分面积不变得到， 故选：B； （2）①，即， ， 故答案为：3； ②， 故答案为：1； 构图二：根据体积不变得； 构图三：由题意知小长方形的短边为， 八边形的面积为， 故答案为：． 考点讲练15：运用完全平方公式进行运算 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到． 【活动猜想】 （1）写出由图2所表示的数学等式： ； 【类比探究】 （2）①根据上面的等式，如果将看成，则　　　　　　　　　　（结果化简）； ②若，求的值． 【拓展运用】 （3）已知实数a、b、c满足以下条件：，，且，求k的值． 【答案】（1）；（2）①；②1或9；（3） 【思路点拨】本题考查了灵活运用完全平方式，以及运算能力，转换变形是本题得关键． （1）把几何面积和完全平方式结合起来，便可求出相应关系式； （2）灵活运用公式，尤其是符号变换； （3）灵活运用公式，可得，，再结合，可求出k的值． 【规范解答】解：（1）大正方形面积，大正方形面积也等于各个小矩形面积之和，即：， ∴． 故答案为：； （2）①根据上面的等式，如果将看成， 则， ②由题意得：， ∵n26， ∴， ∴或2， ∴或9； （3）∵，， ∴运用公式可得：，， ∴， ∴等号两边同时乘2得：， 与相加得：， 即， 又∵， ∴， 解得： ． 【变式训练】（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）王老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题． 例：若，求和的值． 解： ，，，． 聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程． (1)若，求证：； (2)若，求和的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【思路点拨】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是通过对已知等式进行变形，使其符合完全平方公式的形式，进而求解． （1）通过对已知等式进行变形，凑出完全平方的形式，利用完全平方数的非负性来证明结论； （2）同样先对等式变形为完全平方形式，利用完全平方数的非负性求解． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ． （2）解：， ， 则， 所以 解得，． 考点讲练16：通过对完全平方公式变形求值 【典例精讲】（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，计算公式都是死记硬背．为了让学生们能更直观地理解公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为、宽为的小长方形（如图①），拼成了一个边长为的正方形（如图②）．观察图形，回答下列问题： (1)图②中，阴影部分的面积是______________； (2)观察图①②，请你写出三个代数式：，，之间的关系______________； (3)应用：已知，求值： ①； ②． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【思路点拨】（）表示出阴影部分的边长即可得答案； （）用两种方法表示四个长方形面积可得答案； （）①利用（）所得关系式计算即可求解；②根据①的结果即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵阴影部分是边长为的正方形， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：； （2）解：由图可得，， 故答案为：； （3）解：①∵， ∴； ②∵， ∴． 【变式训练】（24-25八年级上·福建福州·期中）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：，，求的值． 解：，，即 又，，得． 根据上面得接题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则______． (2)为推动学生劳动实践得有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地、，两个正方形面积和为，两个正方形边长和为，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式和变形式，是解题的关键： （1）利用完全平方公式变形式进行计算即可； （2）设两个正方形的边长分别为：，根据题意得到， 进而求出的长，再利用面积公式求出阴影部分的面积即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）设两个正方形的边长分别为：，由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴放花卉场地的面积为． 考点讲练17：完全平方公式在几何图形中的应用 【典例精讲】（23-24七年级下·湖南娄底·期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图，可以得到，请解答下列问题： (1)写出图所表示的数学等式 ； (2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则 ； (3)用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长宽分别为、的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，则 ． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了完全平方式的几何背景，灵活运用完全平方公式是解决本题的关键． （1）根据图形，可以写出相应的等式； （2）根据（1）中的结果和，，可以求得所求式子的值； （3）将展开，即可得到、、的值，再把三者相加即可解答． 【规范解答】（1）解：正方形的面积， 正方形的面积， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：由题可知，所拼图形的面积为：， ， ， ， ，，， ， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期中）【发现问题】 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题. 例如，求图1中阴影部分的面积，可以得到乘法公式. 请解答下列问题: （1）请写出求图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式(直接写出乘法公式即可). （2）用4个全等的、长和宽分别为a、b的长方形摆成如图3所示的正方形，请你根据图3中阴影部分的面积写出三个代数式、、之间的等量关系式(直接写出等量关系式即可). 【自主探索】 （3）小明用图4中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽为a，长为b的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，计算的值. 【拓展迁移】 （4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图5是一个棱长为的正方体，请你根据图5求正方体的体积，写出一个代数恒等式　　　 【答案】（1）；（2）；（3）17；（4） 【思路点拨】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式，立方公式的几何意义，学会画图是解题的关键． （1）阴影部分是边长为的正方形，这个正方形的面积等于以为边长的大正方形面积减去非阴影区域面积； （2）阴影部分面积大正方形面积长方形面积； （3）先画出大长方形，再按照和的比例进行分割即可画出图形，按照图形数出和的值，再进行计算； （4）大正方体体积各小长方体体积之和． 【规范解答】解：（1）阴影部分面积大正方形面积非阴影区域面积， 即：； （2）阴影部分面积， 大正方形面积， 长方形面积， 大正方形面积长方形面积阴影部分面积， 即：； （3）将面积为的长方形画出后，按比例分割，如下图所示： ， 看图即可得：，， ∴； （4）大正方体体积各小长方体体积之和， 即：， 故答案为：． 考点讲练18：求完全平方式中的字母系数 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．例如：；．当时，有最小值，最小值是．根据材料用配方法解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)当为何值时，多项式有最大值？请求出这个最大值； (3)已知，求出的值． 【答案】(1)4 (2)当时，有最大值，最大值是 (3) 【思路点拨】本题考查了完全平方公式、偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据完全平方公式可得，由此即可得； （2）利用完全平方公式进行配方可得，再根据是非负数求解即可得； （3）利用完全平方公式可得，再根据偶次方的非负性求解即可得． 【规范解答】（1）解：∵多项式是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． （2）解： ， ∵是非负数，即， ∴， ∴当，即时，有最大值，最大值为5． （3）解： ， ∵， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期末）[新考法]对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：． (1)对于有理数x，y，若是一个完全平方式，则__________； (2)对于有理数x，y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点E在边上，连接，．若，图中阴影部分的面积为，求n的值． 【答案】(1) (2)①130；② 【思路点拨】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，解方程，图形的面积表示，熟练掌握新定义，完全平方公式，分割法求面积是解题的关键． （1）根据完全平方式有和差两种形式，解答即可； （2）①根据新定义，得，然后根据完全平方公式进行变形，最后整体代入计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【规范解答】（1）解：根据，得， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：①． 因为， 所以， 即， 所以， 所以． ②由题图知， 所以， 化简，得． 因为， 所以． 因为由①知， 所以，解得． 考点讲练19：完全平方式在几何图形中的应用 【典例精讲】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形采用型绿化方案，对正中间的长方形采用型绿化方案． (1)用含的代数式表示采用型绿化方案的四个正方形的边长是_____米，采用型绿化方案的长方形的另一边长是______米； (2)已知采用型绿化方案比型绿化方案的面积大，求型绿化方案比型绿化方案的面积大了多少平方米？ 【答案】(1)，； (2)． 【思路点拨】（）根据题意表示出、绿化方案的边长或另一边长即可； （）设型绿化方案的面积为，型绿化方案的面积为，分别计算，然后作差值计算即可； 本题考查了整式的加减，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】（1）采用绿化方案的四个正方形边长， 采用型绿化方案的长方形的另一边长是， 故答案为：，； （2）设型绿化方案的面积为，型绿化方案的面积为， ∴，， 则， 答：B型绿化方案比A型绿化方案的面积大了平方米． 【变式训练】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）【提出问题】 利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容． 【自主探究】 用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．    （1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题． （ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为___________和___________，图②中长方形的面积为___________．（用含a，b的字母表示） （ⅱ）当时，比较大小：__________．（填“>”或“<”） （ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明． 【知识应用】 （2）已知，，且，利用（1）发现的结论求的最小值． 【答案】（1）（ⅰ），，；（ⅱ）（ⅲ）见详解（2） 【思路点拨】本题考查了利用图形面积证明不等式； （1）（ⅰ）根据图形即可求解； （ⅱ）由图②中的矩形面积及两个三角形的面积和即可求解； （ⅲ）甲同学：当时，分别计算即可求解；乙同学：画出图形即可求解； （2）由（1）得，即可求解； 理解图形面积与不等式之间的关系是解题的关键． 【规范解答】解：（1）（ⅰ）由题意得 ①中两个三角形的面积分别为和，图②中长方形ABCD的面积为， 故答案：，，； （ⅱ）由图②得 当时，， 故答案：； （ⅲ）当时，， 甲同学：当时， ， ， 当时，； 乙同学：   当时，； （2） ， 由（1）得： ， ， ， 的最小值为． 考点讲练20：整式的混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·黑龙江大庆·开学考试）计算： (1)； (2) (3) (4)（运用乘法公式） 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【思路点拨】本题考查了整式的乘除法运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）按照多项式乘多项式的法则、单项式乘多项式展开，再合并同类项即可； （2）分别利用完全平方公式、单项式乘多项式展开，再合并同类项即可； （3）按照多项式除以单项式的法则进行计算即可； （4）利用平方差公式简便计算． 【规范解答】（1）解： ； ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）以下是小明化简代数式的过程： 解：原式① ② ．③ (1)解答过程中哪几步错误？原因是什么？ (2)写出正确解答过程． 【答案】(1)解答过程中第①步错，完全平方公式运用出错；第②步错，去括号出错 (2)见解析 【思路点拨】此题考查了平方差公式，整式的加减，以及完全平方公式， （1）观察小明解答过程，找出出错的步骤即可； （2）写出正确的解答过程即可． 【规范解答】（1）解：解答过程中第①步错，完全平方公式运用出错； 第②步错，去括号出错； （2）解：原式 ． 基础夯实真题练 1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则 ． 【答案】80 【思路点拨】本题考查了完全平方公式变形运算，由完全平方公式得，即可求解；掌握、、三者之间的关系是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴ ， 故答案为：80． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②．通过计算阴影部分的面积可以得到（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论，这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论． 【规范解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为； 拼成的长方形的面积：， 所以得出：， 故选：C． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）某同学在计算乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是 ． 【答案】 【思路点拨】 本题考查的是单项式乘多项式、整式的加减混合运算，单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 根据整式的减法法则求出多项式，根据单项式与多项式相乘的运算法则计算，得到答案． 【规范解答】 解：， ， 故答案为：． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）根据整式与整式相乘，可以得到等式：．试利用这个等式解决以下问题：如图，中，，分别以、、为边向外侧作正方形．如果、、的长分别是、、，且，，那么这三个正方形的面积和是 ． 【答案】70 【思路点拨】本题考查了三项完全平方公式的应用，由三项完全平方公式得，即可求解；能熟练利用完全平方公式进行运算是解题的关键． 【规范解答】解：由公式得： ， ∴这三个正方形的面积和是， 故答案为∶． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读理解：如果，我们可以先将等式两边同时平方得到，再根据完全平方公式计算得：，即，所以．请运用上面的方法解决下面问题：如果，则的值为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了完全平方公式变形运算，可得，两边平方得，即可求解；掌握、、三者之间的关系是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：6． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图①，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为4和18，则图②所示的大正方形的面积为 ． 【答案】40 【思路点拨】本题考查了完全平方公式的应用，设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由面积得，，整理得，，即可求解；掌握、、三者之间的关系是解题的关键． 【规范解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 由图①得：， ， ， 由图②得：， ， ， ， ∴图②所示的大正方形的面积： ， 故答案为：40． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)运用乘法公式计算： ． (3)计算：． (4)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】 此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：平方差公式，完全平方公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式解答即可． （2）根据完全平方公式，平方差公式的运算即可求解． （3）原式利用平方差公式及完全平方公式计算即可得到结果． （4）利用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项即可得到结果． 【规范解答】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式； （3） 解：原式； （4） 解：原式 ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）（运算能力）小明遇到下面一个问题：计算．经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）将原式的相乘部分乘以，即可不断利用平方差公式进行计算，从而达到简化计算过程的目的； （2）将原式的相乘部分乘以，即可不断利用平方差公式进行计算，从而达到简化计算过程的目的． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）袁老师要贝贝用一张纸片制作成一个如图②所示的形状的图案．贝贝的做法：先画一条线段，如图①，再以点O为圆心，为直径画圆，并剪下这个圆，然后在上找一点B，再分别以为直径画圆，然后用剪刀剪去这两个以为圆心的圆，再通过适当的拼接，就得到图②．如果被剪下的两个圆中，比短，请你比较图②中阴影部分的面积和被裁剪部分的面积的大小． 【答案】题图②中阴影部分的面积<被裁剪部分的面积 【思路点拨】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．结合图形，设，则，利用作差法求解即可． 【规范解答】解：设，则， 则图②中阴影部分的面积被裁剪部分的面积 ， ∴图②中阴影部分的面积被裁剪部分的面积． 10．（24-25七年级下·全国·期中）图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形 (1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于　　 ，面积等于　 . (2)观察图，请你写出三个代数式，之间的等量关系为　 . (3)运用你所得到的公式，计算:若，为有理数，且，，试求的值. (4)如图所示，正方形和正方形边长分别为，，且，，求图中阴影部分的面积. 【答案】(1); (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了完全平方公式及应用，解题关键是用不同方法表示同一图形面积． （1）根据图中给出的数据即可求得图乙中阴影部分正方形边长，根据正方形的面积公式求得面积； （2）用两种不同方式求得阴影部分面积可得关于、、的等式； （3）根据（2）中结论即可解题； （4）利用，整理变形，代入，，得到结果． 【规范解答】（1）解：图中阴影部分边长为， 则阴影部分的面积为； 故答案为：；； （2）解：用两种不同的方法表示阴影的面积： 方法一：阴影部分为边长的正方形，故面积； 方法二：阴影部分面积； ∴； 即， 故答案为：； （3）解：由（）得，， ∵，， ∴， ∴； （4）解： ． 培优拔尖真题练 11．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，有三张正方形纸片，将三张纸片按照如图所示的方式放置于一个长方形中，已知中间重叠部分四边形恰好是一个正方形，记图中两块未被覆盖的阴影部分面积分别为和，已知，，若要知道和的面积差，只需要知道（   ） A．正方形的边长 B．正方形的边长 C．正方形的边长 D．正方形的边长 【答案】C 【思路点拨】本题考查了列代数式，整式的混合运算，延长交于点，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积，分别设正方形的边长分别为，正方形的边长为，表示出，，再作差即可得解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，延长交于点，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积， 设正方形的边长分别为，正方形的边长为， 则，，，，，， ∴，， ∴ 故要知道和的面积差，只需要知道的值即可，即要知道正方形的边长， 故选：． 12．（22-23七年级下·重庆·期末）如果代数式（均为非0常数），（均为非0常数），且满足，则称这两个代数式A与B互为“相反式”，对于上述“相反式”A与B，下列结论正确的有（    ）个． ①若，则； ②若为常数，，则A的值为1； ③若关于x，y的代数式（k为正整数）不含一次项，则的最大值为2； ④若关于x、y的两个方程（k、t均为常数）有相同的解，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】本题考查整式的运算，代数式求值，根据新定义，求出的值，判断①，根据新定义得到，判断②，将转化为，计算后，根据不含一次项，得到，判断③，根据新定义得到，判断④． 【规范解答】解：若， 则：， ∴， ∴；故①正确； ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵为常数， ∴；故②正确； ∵， ∴ ∵代数式（k为正整数）不含一次项， ∴， ∵均为非0常数， ∴， ∴， ∵k为正整数， ∴当时，最大为；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误； 故选C． 13．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了整式混合运算在面积中的应用，分别用含a，b，c的式子表示出，，，，代入进行运算，即可求解；能表示出各个量，正确进行整式运算是解题的关键． 【规范解答】解：由图可知，长方形的长为，宽为， ， ， ， ， ，， ， ， 解得，即， 故选：C． 14．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）一组有序排列的数：，，，…，，…（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了数的规律探究，完全平方公式．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 根据题意，计算可得，，，，，，，，，，……可推导一般性规律为每6个数为一个循环，则，，，由，可得，则，计算求解，然后作答即可． 【规范解答】解：由题意知，，，，， 同理，，，， ∴，，，，，，，，，…… ∴可推导一般性规律为每6个数为一个循环， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，则， 解得，， ∴， 故选：B． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了多项式乘法以及对新定义求和符号的理解与运用知识点，解题的关键是根据求和符号的运算规则将式子展开并化简，再通过对比系数求出m、n的值． 首先，我们需要理解题目中给出的求和符号＂＂以及如何展开求和表达式．接着，通过已知条件列出方程，求解出未知数和的值，最后计算的值． 【规范解答】由知， 即， 故答案为：． 16．（17-18七年级·四川成都·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，34…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）； 请依据上述规律，写出展开式中含x2015项的系数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查多项式乘法运算、杨辉三角，规律探究等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题，属于中考常考题型． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 【规范解答】解：展开式中含项的系数， 由 可知，展开式中第二项为， 展开式中含项的系数是， 故答案为：． 17．（2024七年级下·全国·专题练习）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是 ． 【答案】2697 【思路点拨】本题考查了平方差公式，利用平方差公式探究出规律是解题的关键． 从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数． 【规范解答】解：设是正整数， 由于， 所以，除1外，所有奇数都是智慧数； 又因为， 所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数； 被4除余2的正整数都不是智慧数． 从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数． ， 是第675组的第一个数， 即：． 故答案为：2697． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)已知，求的值； (2)，其中． 【答案】(1)，5 (2)， 【思路点拨】本题考查的是整式的乘法运算，化简求值， （1）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后把代入计算即可． （2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后把代入计算即可． 【规范解答】（1）解： ． 当时，原式． （2）解： ． 当时，原式． 19．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)（把作为整体看作一个因式的底数）； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键． （1）根据积的乘方和单项式乘单项运算法则进行计算即可； （2）把看作一个整体，结合单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （3）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如 (a、b为实数)的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：；．根据以上信息，完成下列问题： (1)计算：， ； (2)计算：； (3)计算： 【答案】(1)， (2) (3) 【思路点拨】本题考查了新定义，多项式乘多项式法则，数字类规律，解答本题的关键是明确题意，发现相邻几个数相加的和的规律． （1）根据定义即可分别求得结果； （2）首先根据多项式乘多项式法则去括号，再根据定义及有理数的加减进行运算，即可求得结果； （3）首先根据复数的定义计算，找到规律，再根据规律进行运算，即可求得结果． 【规范解答】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解：，，，，，，，，…， 每4个为一循环，且， ， ． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$