第7章 幂的运算（思维导图+知识梳理+10大考点讲练+优选真题难度分层练 共50题）-2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材）

2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第7章 幂的运算 （思维导图+知识梳理+10大考点讲练+优选真题难度分层练 共50题） 目 录 思维导图指引 2 知识梳理精讲 2 知识点梳理01：同底数幂的乘法性质 2 知识点梳理02：幂的乘方法则 3 知识点梳理03：积的乘方法则 3 知识点梳理04：同底数幂的除法法则 3 知识点梳理06：负整数指数幂 3 知识点梳理07：科学记数法的一般形式 4 重点知识考点讲练 4 考向一：同底数幂的乘法 4 考点讲练01：同底数幂相乘 4 考点讲练02：同底数幂乘法的逆用 5 考点讲练03：用科学记数法表示数的乘法 6 考向二：幂的乘方与积的乘方 6 考点讲练04：幂的乘方运算 6 考点讲练05：幂的乘方的逆用 7 考点讲练06：积的乘方运算 9 考点讲练07：积的乘方的逆用 9 考向三：同底数幂的除法 10 考点讲练08：同底数幂的除法运算 10 考点讲练09：同底数幂除法的逆用 11 考点讲练10：幂的混合运算 12 优选真题难度分层练 14 基础夯实真题练 14 培优拔尖真题练 16 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：同底数幂的乘法性质 (其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 【易错点剖析】（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 知识点梳理02：幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 【易错点剖析】（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 知识点梳理03：积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 【易错点剖析】（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 知识点梳理04：同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） 【易错点剖析】（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 知识点梳理05：零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0） 【易错点剖析】底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 知识点梳理06：负整数指数幂 任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立. （、为整数，）； （为整数，，） （、为整数，）. 【易错点剖析】是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）. 知识点梳理07：科学记数法的一般形式 （1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数， （2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，. 考向一：同底数幂的乘法 考点讲练01：同底数幂相乘 【典例精讲01】（2025七年级下·全国·专题练习）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2） 若，求的值． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 考点讲练02：同底数幂乘法的逆用 【典例精讲02】（2025七年级下·全国·专题练习）解方程： (1) ； (2) 【变式训练1】（24-25八年级上·全国·单元测试）若，则 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·河北张家口·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______；若，则______； (2)已知，，，若，求的值． 考点讲练03：用科学记数法表示数的乘法 【典例精讲03】（15-16八年级上·重庆万州·阶段练习）光在真空中的速度约为米秒，太阳光照射到地球上大约需要秒，地球与太阳的距离约为 米． 【变式训练1】（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （结果用科学记数法表示）． 【变式训练2】（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）数学课上老师与同学们一起利用球的体积公式πr3计算出地球的体积约是立方千米，接着老师介绍道：“科学家们寻找到一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的10000倍”．则这个星球它的体积约是 立方千米． 考向二：幂的乘方与积的乘方 考点讲练04：幂的乘方运算 【典例精讲04】（2025七年级下·全国·专题练习）请阅读下列材料：若，，比较，的大小关系； 解：，，且 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质______． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方 (2)已知，，试比较a，b的大小． 【变式训练1】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 考点讲练05：幂的乘方的逆用 【典例精讲05】（2025七年级下·全国·专题练习）若（且是正整数），则．请你利用上面的结论，回答下列问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【变式训练1】（2025七年级下·全国·专题练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【变式训练2】（24-25七年级下·陕西西安·开学考试）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，解：，∵，∴ (1)比较，的大小． (2)比较，，的大小． 考点讲练06：积的乘方运算 【典例精讲06】（2025七年级下·全国·专题练习）若成立，则 ， 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）计算 (1) ； (2)． 考点讲练07：积的乘方的逆用 【典例精讲07】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 考向三：同底数幂的除法 考点讲练08：同底数幂的除法运算 【典例精讲08】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）观察下列各式： ①； ②； ③； ④． 由此可猜想： ①___________； ②___________． （2）上面各式表明：在中，除了可以表示正整数外，还可以表示____________________； （3）利用上面的结论计算： ①； ②． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知． (1)求的值； (2)求m，n之间的关系； (3)求的值； (4)已知方程，求的值． 【变式训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)． 考点讲练09：同底数幂除法的逆用 【典例精讲09】（24-25七年级下·全国·课后作业）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．请正向运用或逆向运用幂的运算法则解决下列问题： (1)__________； (2)若，求的值． 【变式训练1】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）若，，且，则x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知 (1)求的值． (2)若用含x的代数式表示y值． (3)求 考点讲练10：幂的混合运算 【典例精讲10】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (2) ； 【变式训练1】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)． (2) ； (4)． 【变式训练2】（23-24七年级上·安徽蚌埠·开学考试）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． …… (1)展开式中所有项的系数和是___________ (2)求展开后的结果 基础夯实真题练 1．（2025七年级下·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南新乡·期中）已知，则a，b，c的大小关系为 （    ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）有下列代数式：①；②；③；④．其中同的计算结果相等的是（   ） A．②③ B．①④ C．①③ D．②④ 5．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则满足的关系式是 ． 6．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）若，，则的值为 ． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则 ；若，则 ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）一个正方体的棱长为，求它的体积． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2). 11．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)（为大于1的整数）； (3) ； (4)． 12． （24-25七年级下·黑龙江大庆·开学考试）已知，，求的值． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）用所学知识，完成下列题目： （1）若，，，直接说出a，b，c之间的数量关系：　　　　　　； （2）若，，，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）在比较幂的大小时，小宇同学发现：对于正整数，，，若，，则；若，则．请运用此规律解决下列问题： (1)比较大小：_______（填“>”“<”或“=”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 培优拔尖真题练 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列结论中，正确的个数是（   ） ①当m为正整数时，等式一定成立；②等式，无论m为何值，都不成立；③等式，，都不成立；④等式，都不一定成立． A．0 B．1 C．2 D．3 17．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设，则三者之间的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 19．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： ； ； ． 20．（21-22八年级下·福建厦门·阶段练习）已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25七年级下·全国·期中）新考法我们定义：三角形，五角星；若，则＝ ． 22．（22-23七年级上·四川眉山·期末）阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 即：． 材料二：等式成立 试求：（1） ． （2） ． 23．（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是 （填序号）． 24．（22-23七年级下·江苏镇江·阶段练习）现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为A，最小值记为B，则的值等于 ． 25．（24-25七年级下·全国·课后作业）以下是小明计算的过程． 解：原式 ． (1)小明的计算过程是从第_______步开始出现错误（填序号）； (2)请写出正确的过程． 26．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． (4) ； (4)． 27．（2024七年级下·全国·专题练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 28．（22-23七年级下·广西贵港·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 29．（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3 (1)根据上述规定，填空：（5，25）＝   ，（2，1）＝   ，（3，）＝       ． (2)小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n． 所以3x＝4，即（3，4）＝x， 所以（3n，4n）＝（3，4）． 试解决下列问题： ①计算（8，1000）﹣（32，100000）； ②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）． 30．（22-23八年级上·湖北荆州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第7章 幂的运算 （思维导图+知识梳理+10大考点讲练+优选真题难度分层练 共50题） 目 录 思维导图指引 2 知识梳理精讲 2 知识点梳理01：同底数幂的乘法性质 2 知识点梳理02：幂的乘方法则 3 知识点梳理03：积的乘方法则 3 知识点梳理04：同底数幂的除法法则 3 知识点梳理06：负整数指数幂 3 知识点梳理07：科学记数法的一般形式 4 重点知识考点讲练 4 考向一：同底数幂的乘法 4 考点讲练01：同底数幂相乘 4 考点讲练02：同底数幂乘法的逆用 6 考点讲练03：用科学记数法表示数的乘法 8 考向二：幂的乘方与积的乘方 9 考点讲练04：幂的乘方运算 9 考点讲练05：幂的乘方的逆用 12 考点讲练06：积的乘方运算 15 考点讲练07：积的乘方的逆用 16 考向三：同底数幂的除法 19 考点讲练08：同底数幂的除法运算 19 考点讲练09：同底数幂除法的逆用 22 考点讲练10：幂的混合运算 24 优选真题难度分层练 27 基础夯实真题练 27 培优拔尖真题练 35 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：同底数幂的乘法性质 (其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 【易错点剖析】（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 知识点梳理02：幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 【易错点剖析】（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 知识点梳理03：积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 【易错点剖析】（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 知识点梳理04：同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） 【易错点剖析】（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 知识点梳理05：零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0） 【易错点剖析】底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 知识点梳理06：负整数指数幂 任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立. （、为整数，）； （为整数，，） （、为整数，）. 【易错点剖析】是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）. 知识点梳理07：科学记数法的一般形式 （1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数， （2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，. 考向一：同底数幂的乘法 考点讲练01：同底数幂相乘 【典例精讲01】（2025七年级下·全国·专题练习）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】该题主要考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则． 根据互为相反数的偶次幂相等，可化为同底幂的乘法，根据同底数幂的乘法可得答案． 【规范解答】解：原式 ， 故选：C． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【思路点拨】本题主要考查了同底数幂相乘，熟练掌握同底数幂相乘的运算法则是解答本题的关键． （1）根据同底数幂相乘的运算法则化简即可解答； （2）根据同底数幂相乘的运算法则化简即可解答；． 【规范解答】解：（1）因为， 所以， 解得； （2）因为， 所以， 由，得， 所以， 所以， 所以． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）根据同底数幂的乘法法则进行求解即可； （2）根据同底数幂的乘法法则进行求解即可； （3）根据同底数幂的乘法法则进行求解即可； （4）根据同底数幂的乘法法则进行求解即可． 【规范解答】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 考点讲练02：同底数幂乘法的逆用 【典例精讲02】（2025七年级下·全国·专题练习）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查解方程，幂的相关运算： （1）逆用同底数幂的乘法，将等号左边式子变形为，再提取公因式后得，即可求解； （2）逆用同底数幂的乘法，将等号左边式子变形为，合并同类项后得，即可求解． 【规范解答】（1）解：原方程可化为， 即， ∴， 即， 解得：； （2）解：原方程可化为， 即， ∴， 即， ∴ ， ∴ ． 【变式训练1】（24-25八年级上·全国·单元测试）若，则 ． 【答案】72 【思路点拨】此题考查了同底数幂的乘法的逆运算，绝对值的非负性，解题的关键是掌握以上运算法则．首先得到，，然后根据同底数幂的乘法的逆运算求解即可． 【规范解答】∵， ∴，， ∴． 故答案为：72． 【变式训练2】（23-24七年级下·河北张家口·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______；若，则______； (2)已知，，，若，求的值． 【答案】(1)； (2) 【思路点拨】本题考查同底数幂的乘法逆用，幂的逆运算，解题的关键是根据新定义转换成乘方运算． （1）根据新定义运算的含义可得答案； （2）由新定义可得： ，，，再结合，进一步可得答案． 【规范解答】（1）解：由题意可得：， ∵， ∴； （2）∵如果，那么我们规定， ∴由，可得， ，可得， ，可得， ∵， ∴， ∵，， ∴． 考点讲练03：用科学记数法表示数的乘法 【典例精讲03】（15-16八年级上·重庆万州·阶段练习）光在真空中的速度约为米秒，太阳光照射到地球上大约需要秒，地球与太阳的距离约为 米． 【答案】 【思路点拨】此题考查了科学记数法的表示方法和同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则和科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值，熟练掌握运算法则． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【变式训练1】（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （结果用科学记数法表示）． 【答案】 【思路点拨】此题考查了科学记数法，单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可． 【规范解答】解：计算机工作秒运算的次数为： ． 故答案为：． 【变式训练2】（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）数学课上老师与同学们一起利用球的体积公式πr3计算出地球的体积约是立方千米，接着老师介绍道：“科学家们寻找到一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的10000倍”．则这个星球它的体积约是 立方千米． 【答案】 【思路点拨】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 考向二：幂的乘方与积的乘方 考点讲练04：幂的乘方运算 【典例精讲04】（2025七年级下·全国·专题练习）请阅读下列材料：若，，比较，的大小关系； 解：，，且 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质______． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方 (2)已知，，试比较a，b的大小． 【答案】(1)C (2) 【思路点拨】本题考查了幂的乘方与幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用求解即可得； （2）求出，，则，由此即可得． 【规范解答】（1）解：和利用的是幂的乘方的逆用， 故选：C． （2）解：∵，， ∴，，且， ∴， ∴． 【变式训练1】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方与积的乘方法则计算即可得； （2）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可得； （3）先计算积的乘方与幂的乘方，再计算整式的加减法即可得； （4）先将带分数化成假分数，再利用同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用计算即可得． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【变式训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法等知识，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题关键． （1）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可得； （2）先计算同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，再计算整式的加减法即可得； （3）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算同底数幂乘法即可得； （4）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算同底数幂的乘法，然后计算整式的减法即可得． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 考点讲练05：幂的乘方的逆用 【典例精讲05】（2025七年级下·全国·专题练习）若（且是正整数），则．请你利用上面的结论，回答下列问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方及其逆运算， （1）根据同底数幂乘法、幂的乘方及其逆运算即可求解； （2）根据幂的乘方及其逆运算即可求解． 【规范解答】（1）解：因为， 所以， 所以， 解得． （2）因为， 所以， 所以， 解得． 【变式训练1】（2025七年级下·全国·专题练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)2，0，3 (2)，见解析 (3)见解析 【思路点拨】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键： （1）根据题干规定计算即可得到结论； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设，于是得到，即根据“雅对”定义即可得到结论． 【规范解答】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：2，0，3； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，于是得到，即， ∴，即， ∴． 【变式训练2】（24-25七年级下·陕西西安·开学考试）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，解：，∵，∴ (1)比较，的大小． (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键． （1）转化为同底数幂，比较指数即可； （2）转化为同指数，比较底数即可． 【规范解答】（1）解：，， ∵， ∴， 即； （2）解：∵，，， 又∵，，， ∴， ∴． 考点讲练06：积的乘方运算 【典例精讲06】（2025七年级下·全国·专题练习）若成立，则 ， 【答案】 2 【思路点拨】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方法则是解题关键．先计算等式左边的幂的乘方与积的乘方，再与等式的右边进行比较即可得． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴， 将代入，得， ∴． 故答案为：2，． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方法则计算即可得； （2）根据幂的乘方法则计算即可得； （3）根据幂的乘方法则计算即可得； （4）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可得． 【规范解答】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【变式训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了同底数幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据幂的乘方与积的乘方法则计算，再合并同类项即可； （2）先根据幂的乘方法则运算，再根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 考点讲练07：积的乘方的逆用 【典例精讲07】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了积的乘方的逆用、同底数幂的乘法与逆用、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据积的乘方的逆用计算即可得； （2）根据积的乘方的逆用计算即可得； （3）先将带分数化成假分数，再利用同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用计算即可得； （4）先计算积的乘方的逆用，再计算同底数幂的乘法，然后计算积的乘方与幂的乘方即可得． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 ． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了积的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，含乘方的有理数混合运算等知识点，熟练掌握积的乘方的逆用及同底数幂乘法的逆用是解题的关键． 先利用同底数幂乘法的逆用将变形为，然后再利用积的乘方的逆用将算式变形为，由此即可得出答案． 【规范解答】解： ． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)15 (2)400 【思路点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用以及幂的乘方的逆用与积的乘方的逆用，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方运算法则可得，，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得，， 原式． （2） 解：原式． 考向三：同底数幂的除法 考点讲练08：同底数幂的除法运算 【典例精讲08】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）观察下列各式： ①； ②； ③； ④． 由此可猜想： ①___________； ②___________． （2）上面各式表明：在中，除了可以表示正整数外，还可以表示____________________； （3）利用上面的结论计算： ①； ②． 【答案】（1）；；（2）零和负整数；（3）①；② 【思路点拨】本题主要考查同底数幂除法运算，理解材料提示的计算方法，掌握同底数幂除法运算法则是解题的关键． （1）①根据材料提示方法“底数不变，指数相减”计算即可；②根据材料提示方法计算即可； （2）根据有理数的分类分析即可； （3）①根据材料提示方法“底数不变，指数相减”计算即可；②根据同底数幂的除法运算法则计算即可． 【规范解答】解：（1），， 故答案为：；； （2）根据有理数的分类可得，零和负整数， 故答案为：零和负整数； （3）①； ② ． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知． (1)求的值； (2)求m，n之间的关系； (3)求的值； (4)已知方程，求的值． 【答案】(1)27 (2) (3)27 (4)7 【思路点拨】本题考查了同底数幂的乘法和除法，积的乘方的运算，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则以及除法法则和逆运算法则． （1）根据同底数幂乘法的逆用的以及积的乘方逆用计算即可. （2）根据积的乘方逆用计算即可. （3）根据积的乘方逆用以及同底数幂的除法计算即可. （4）根据立方根的定义求出p的值，进而求出m,n的值，最后代入数值计算即可. 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 则； （2）解：，由（1）得， ∴， 则； （3）解：，由（1）得， ∴； （4）解：∵， ∴， ∴，解得， ∵， ∴， 由（1）得，即， ∴， 则． 【变式训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查幂的混合运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）根据题意利用幂的乘方以及同底数幂的除法进行运算即可； （2）根据题意利用幂的乘方以及同底数幂的除法进行运算即可； 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 考点讲练09：同底数幂除法的逆用 【典例精讲09】（24-25七年级下·全国·课后作业）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．请正向运用或逆向运用幂的运算法则解决下列问题： (1)__________； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（）利用同底数幂乘法的逆运算计算即可； （）利用同底数幂乘除法的逆运算和幂的乘方的逆运算计算即可； 本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【规范解答】（1）解：原式， 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 【变式训练1】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）若，，且，则x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了同底数幂的乘除法的逆用，幂的乘方的逆用等知识点，根据同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则进行计算即可得解，熟练掌握同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则是解决此题的关键． 【规范解答】解：∵， 又∵，， ∴， ∴， 化简得， ∴， 故选：C． 【变式训练2】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知 (1)求的值． (2)若用含x的代数式表示y值． (3)求 【答案】(1)1 (2) (3)2 【思路点拨】本题考查了同底数幂相除的逆运用，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相乘等运算法则，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再分别代入进行计算，即可作答． （2）运用幂的乘方得出，再代入，进行化简，即可作答． （3）先整理出，，然后得出，即，再结合，把代入求值，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵ ∴ ． （2）解：∵ ∴ （3）解：∵ ∴， 即， ∵ ∴ 即， ∴，得， 即， ∴， ． 考点讲练10：幂的混合运算 【典例精讲10】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)； (2)； (3) 【思路点拨】本题主要考查幂的混合运算： （1 ）先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （2 ）先计算积的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可； （3 ）先计算同底数幂除法，然后去括号，最后合并同类项即可； 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【变式训练1】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法； （2）先算幂的乘方，再合并同类项； （3）先算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项； （4）先算幂的乘方，再乘同底数幂的乘法，最后合并同类项． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式训练2】（23-24七年级上·安徽蚌埠·开学考试）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． …… (1)展开式中所有项的系数和是___________ (2)求展开后的结果 【答案】(1)1024 (2) 【思路点拨】本题主要考查了规律型：数字的变化类， （1）根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（n为非负整数）展开式的项系数和为，求出系数之和即可； （2）先求出，再把上式中的所有的b替换成即可． 【规范解答】（1）解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为 … 由此可知展开式的各项系数之和为， 则展开式中所有项的系数和是， 故答案为：1024． （2）由已知得 把上式中的所有的b替换成得， 故答案为：． 基础夯实真题练 1．（2025七年级下·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查的是积的乘方．根据积的乘方运算法则运算即可． 【规范解答】解：原式． 故选：D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是明确幂的乘方的计算法则．根据幂的乘方可以解答本题． 【规范解答】解：， 故选：A． 3．（24-25八年级上·河南新乡·期中）已知，则a，b，c的大小关系为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了幂的乘方．根据幂的乘方解答即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． 故选：C 4．（2025七年级下·全国·专题练习）有下列代数式：①；②；③；④．其中同的计算结果相等的是（   ） A．②③ B．①④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【思路点拨】该题主要考查了同底数幂的乘法，根据题意计算，即可求解． 【规范解答】解：， ①；②；③；④， 故同的计算结果相等的是①③， 故选：C． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则满足的关系式是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，先整理，结合，且，所以，即可作答． 【规范解答】解：∵ ∴， ∵，且， ∴， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）若，，则的值为 ． 【答案】45 【思路点拨】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法的逆运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算法则进行计算即可． 【规范解答】解：，， ， 故答案为：45． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则 ；若，则 ． 【答案】 3 【思路点拨】本题考查了同底数幂乘法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法的逆用法则是解题关键．根据同底数幂乘法的逆用法则计算即可得． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 故答案为：，3． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用幂的乘方的法则进行运算即可； （2）利用幂的乘方的法则进行运算即可； （3）利用幂的乘方的法则进行运算即可； （4）利用幂的乘方的法则进行运算即可； （5）利用幂的乘方的法则进行运算即可． 【规范解答】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：； （5）， 故答案为：． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）一个正方体的棱长为，求它的体积． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查幂的乘方、积的乘方，正方体的体积． 根据正方体的体积公式求出即可． 【规范解答】解：正方体的棱长为， 它的体积为． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键. （1）根据同底数幂的乘除法，积的乘方的运算法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则计算即可. 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)（为大于1的整数）； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)； (3)； (4)． 【思路点拨】本题考查了同底数幂的乘法，整式的加减计算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则计算； （2）根据同底数幂的乘法法则计算； （3）根据同底数幂的乘法法则计算； （4）根据同底数幂的乘法法则计算，再进行加减计算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（24-25七年级下·黑龙江大庆·开学考试）已知，，求的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方的运算法则及其逆运算是解题的关键，先利用同底数幂的乘法把变为，再利用幂的乘方把变为，代入即可得到答案． 【规范解答】解：∵，， ∴． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）用所学知识，完成下列题目： （1）若，，，直接说出a，b，c之间的数量关系：　　　　　　； （2）若，，，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【思路点拨】本题考查了幂的运算公式的逆用；掌握，，，及其逆用是解题的关键． （1）由同底数幂的乘法公式得，，即可求解； （2）由积的乘方公式得，，由同底数幂的除法公式得，即可求解； （3）由同底数幂的乘法公式及幂的乘方公式得，即可求解． 【规范解答】解：（1）因为， ， 所以， 即． 故答案为：． （2）a，b，c之间的数量关系为， 理由如下： 因为，， 所以， 所以， 所以． （3）a，b，c之间的数量关系为， 理由如下： 因为， 所以． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据积的乘方进行计算即可求解； （2）根据积的乘方进行计算即可求解； （3）先利用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则求解，再加减求解即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）在比较幂的大小时，小宇同学发现：对于正整数，，，若，，则；若，则．请运用此规律解决下列问题： (1)比较大小：_______（填“>”“<”或“=”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1)< (2) 【思路点拨】本题考查了幂的乘方，比较幂的大小，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意并将利用幂的乘法法则变形为，比较即可得解； （2）根据幂的乘方法则将，，进行变形，再结合若，则比较即可得解． 【规范解答】（1）解：∵若，，则，， ∴； （2）解：∵，，，且， ∴， ∴，即． 培优拔尖真题练 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列结论中，正确的个数是（   ） ①当m为正整数时，等式一定成立；②等式，无论m为何值，都不成立；③等式，，都不成立；④等式，都不一定成立． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路点拨】本题考查了积的乘方，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 分为正奇数、为正偶数两种情况进行讨论，即可判断结论①；分为奇数、为偶数两种情况进行讨论，即可判断结论②；当时，等式成立，无论取何值，等式，均成立，由此即可判断结论③；分别对为偶数、为奇数以及为偶数、为奇数两种情况进行讨论，即可判断结论④；综上，即可得出所有正确的结论． 【规范解答】解：①当为正奇数时，等式一定成立， 当为正偶数时，，等式不成立， 故结论①错误； ②当为奇数时，，等式不成立， 当为偶数时，等式成立， 故结论②错误； ③当时，等式成立， 无论取何值，等式，均成立， 故结论③错误； ④当为偶数时，， 当为奇数时，， 等式不一定成立， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 等式不一定成立， 故结论④正确； 综上，正确的结论为，共个， 故选：． 17．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题考查了幂的乘方，根据幂的乘方法则得到，根据同底数幂的大小即可得到答案． 【规范解答】解：， ∵， ∴． 故选C． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设，则三者之间的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法公式，本题属于中等题型． 根据同底数幂的乘法公式即可求出的关系． 【规范解答】解：∵， ， ， ， ，， 故选：C． 19．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： ； ； ． 【答案】 64 【思路点拨】本题考查了乘方运算、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方法则是解题关键．根据幂的乘方与积的乘方法则逐个计算即可得． 【规范解答】解：， ， ． 故答案为：64；；． 20．（21-22八年级下·福建厦门·阶段练习）已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【规范解答】因为，，，， 因为， 所以， 所以， 故即； 同理可证 所以， 故选A． 【考点评析】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键． 21．（24-25七年级下·全国·期中）新考法我们定义：三角形，五角星；若，则＝ ． 【答案】32 【思路点拨】此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根已知条件和规定的运算得到，再利用规定的运算得到算式利用同底数幂的乘法和幂的乘方变形为，整体代入即可得到答案． 【规范解答】 解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：32． 22．（22-23七年级上·四川眉山·期末）阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 即：． 材料二：等式成立 试求：（1） ． （2） ． 【答案】 220 333300 【思路点拨】（1）根据将变形为，再利用进行计算即可得到答案； （2）先利用将变形为，再利用进行计算即可得到答案． 【规范解答】解：（1）， ， 原式 ， 故答案为：220； （2）， ， 原式 ， 故答案为：333300． 【考点评析】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握的积的乘方的运算法则，能准确利用题中所给的公式是解题的关键． 23．（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是 （填序号）． 【答案】①②③ 【思路点拨】根据同底数幂的乘法法则即可求出a、b、c的关系，代入各式验证即可． 【规范解答】解：∵，，． ∴，，， ∴a+2＝b+1＝c， 即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2， 于是有：①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2， 所以a+c＝2b，因此①正确； ②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1， 所以a+b＝2c﹣3，因此②正确； ③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正确； ④b＝a+1，因此④不正确； 综上所述，正确的结论有：①②③三个， 故选：C． 【考点评析】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法法则，得出a、b、c的关系． 24．（22-23七年级下·江苏镇江·阶段练习）现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为A，最小值记为B，则的值等于 ． 【答案】 【思路点拨】由题意知，卡片数字为，，，，，，……，则使三数之和最大的三个数为，，，即，使三数之和最小的三个数为，，，即，然后代入计算求解即可． 【规范解答】解：由题意知，卡片数字为，，，，，，…… ∵三张卡片上的数字乘积为， ∴使三数之和最大的三个数为，，， ∴， ∴使三数之和最小的三个数为，，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的加减运算．解题的关键在于确定使三数之和最大的三个数于使三数之和最小的三个数． 25．（24-25七年级下·全国·课后作业）以下是小明计算的过程． 解：原式 ． (1)小明的计算过程是从第_______步开始出现错误（填序号）； (2)请写出正确的过程． 【答案】(1)； (2)过程见解析． 【思路点拨】（）根据幂的乘方即可求解； （）根据同底数幂的乘法，幂的乘方和合并同类项法则进行求解即可； 本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】（1）解：小明的计算过程是从第步开始出现错误， 故答案为：； （2）解：原式 ． 26．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键 （1 ）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法； （2 ）先算幂的乘方，再合并同类项； （3 ）先算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项； （4 ）先算幂的乘方，再乘同底数幂的乘法，最后合并同类项． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 27．（2024七年级下·全国·专题练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 【答案】(1) 1 (2)3； (3)， 【思路点拨】本题考查新定义，有理数的运算，理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键： （1）根据新定义将，转换成幂的运算求解即可得到答案； （2）根据性质将用表示出来，代入求解即可得到答案； （3）根据，代入求解即可得到答案 【规范解答】（1）解：∵如果，那么b为n的“劳格数”，记为， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 28．（22-23七年级下·广西贵港·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 【答案】(1)指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大 (2)① ；② 【思路点拨】本题考查了幂的大小比较，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键． （1）根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大解答即可． （2）①化成，，根据底数相同，指数大的幂大解答即可； ②，根据指数相同，底数大的幂大解答即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大， 故答案为：指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大． （2）解：①∵，， 根据底数相同，指数大的幂大 ∴， ∴． ②解：∵， 根据指数相同，底数大的幂大， ∴， ∴． 29．（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3 (1)根据上述规定，填空：（5，25）＝                 ，（2，1）＝              ，（3，）＝                 ． (2)小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n． 所以3x＝4，即（3，4）＝x， 所以（3n，4n）＝（3，4）． 试解决下列问题： ①计算（8，1000）﹣（32，100000）； ②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）． 【答案】(1)2，0，-2 (2)①0；②见解析 【思路点拨】（1）根据题中规定及幂的乘方运算进行计算即可； （2）根据题中规定及幂的乘方运算进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵ 52=25， ∴（5，25）=2； ∵20=1， ∴（2，1）=0； ∵ ∴ 故答案为：2，0，-2； （2）①（8，1000）-（32，100000） =（23，103）-（25，105） =（2，10）-（2，10） =0； ②设3x=2，3y=5，则3x·3y=3x+y=2×5=10， 所以（3，2）=x，（3，5）=y，（3，10）=x+y， 所以（3，2）+（3，5）=（3，10）． 【考点评析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解题的关键． 30．（22-23八年级上·湖北荆州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)4，64 (2) (3)①；② 【思路点拨】（1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 【规范解答】（1）解：， ； ，且， ． 故答案为：，； （2）解：，，，若， ，，． ， ，即， ； （3）解：①，， ，， ，， ； ②， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$