第2章 二次函数 自我检测-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

一、 选择题 （每小题 2 分， 共 16 分） 1. 下列 y 关于 x 的函数中， 属于二次函数的是 （ ） A. y＝2x 2 -x B. y＝2x+1 C. y= 1 x D. y= 3 4 x 2. 抛物线 y＝ （ x+2 ） 2 -1 的顶点坐标是 （ ） A. （ 2 ， 1 ） B. （ -2 ， -1 ） C. （ -2 ， 1 ） D. （ 2 ， -1 ） 3. 将抛物线 y＝ （ x-1 ） 2 +2 向上平移 2 个单位长度， 再向右平移 3 个单位长度， 得到的 抛物线为 （ ） A. y＝ （ x-1 ） 2 +4 B. y＝ （ x-4 ） 2 +4 C. y＝ （ x+2 ） 2 +6 D. y＝ （ x-4 ） 2 +6 4. 已知二次函数 y＝-x 2 +2x+4 ， 则下列关于这个函数图象和性质的说法， 正确的是 （ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 （ 1 ， 3 ） C. 当 x＜1 时， y 随 x 的增大而增大 D. 图象与 x 轴有唯一交点 5. 已知二次函数 y=ax 2 +bx+c 中， 函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表， 则方程 ax 2 + bx+c=0 的一个解的范围是 （ ） A. －0.01＜x＜0.02 B. 6.17＜x＜6.18 C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.19＜x＜6.20 6. 如图是抛物线 y＝ax 2 +bx+c （ a≠0 ） 的部分图象， 其顶点 坐标为 （ 1 ， n ）， 且与 x 轴的一个交点在点 （ 3 ， 0 ） 和 （ 4 ， 0 ） 之间， 则下列结论： ①abc＜0 ； ②3a+b＞0 ； ③4a-2b+c＞0 ； ④b 2 ＝ 4a （ c-n ）； ⑤ 一元二次方程 ax 2 +bx+c＝n+1 有两个互异实根 . 其中 正确结论的个数是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第二章自我检测 第二章自我检测 数学九年级下册 （北师大版） （考试时间： 90 分钟 满分： 100 分） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y -0.03 -0.01 0.02 0.04 1 2 3 4 5-2 -1 x O y （ 1 ， n ） x=1 第 6 题图 173 九年级下册 （北师大版）数学 7. 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠C=90° ， AC=6 cm ， BC= 2 cm ， 点 P 在边 AC 上， 从点 A 向点 C 移动， 点 Q 在边 CB 上， 从点 C 向点 B 移动， 若点 P ， Q 均以 1 cm/s 的速度同 时出发， 且当一点移动到终点时， 另一点也随之停止， 连 接 PQ ， 则线段 PQ 的最小值是 （ ） A. 20 cm B. 18 cm C. 2 5 姨 cm D. 3 2 姨 cm 8. 直线 y＝ax+b 与抛物线 y＝ax 2 +bx+b 在同一坐标系内的大致图象正确的是 （ ） 二、 填空题 （每小题 2 分， 共 12 分） 9. 已知抛物线 y＝x 2 -x-1 与 x 轴的一个交点为 （ m ， 0 ）， 则代数式 m 2 -m+2 024 的值为 . 10. 将抛物线 y=x 2 -6x+5 化成 y=a （ x-h ） 2 -k 的形式， 则 hk= . 11. 已知抛物线 y=x 2 +bx+c ， 若 b+c=0 ， 则它的图象一定过点 . 12. 用 “描点法” 画二次函数 y＝ax 2 +bx+c 的图象时， 列了如下表格： 根据表格上的信息， 当 x＝5 时， y＝ . 13. 要建一个圆形喷水池， 在池中心竖直安装一根水管， 在水管的顶端安装一个喷水 头， 使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高， 高度为 3 m ， 水柱 落地处离池中心 3 m ， 水管长应为 m. 14. 已知二次函数 y＝-x 2 +x+6 及一次函数 y＝-x+m ， 将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方， 图象的其余部分不变， 得到一个新函数 （如图所示）， 当直线 y＝-x+ m 与新图象有 4 个交点时， m 的取值范围是 . A B Q C P 第 7 题图 y O x y O x y O x y O x A B C D x … -1 … y … -6.5 … 2 -2 3 -2.5 0 -4 1 -2.5 O y x 3 m 3 m 1 m 第 13 题图 第 14 题图 174 三、 解答题 15. 如图， 抛物线 y＝x 2 +bx+c 与 x 轴交于点 A （ -1 ， 0 ）， B （ 4 ， 0 ）， 与 y 轴交于点 C. （ 1 ） 求抛物线对应的函数表达式， 并直接写出顶点 P 的坐标 . （ 2 ） 求 △BCP 的面积 . 16. 已知抛物线 y＝ax 2 -2ax-8 （ a≠0 ） 经过点 （ -2 ， 0 ） . （ 1 ） 求抛物线的函数表达式和顶点坐标 . （ 2 ） 直线 l 交抛物线于点 A （ -4 ， m ）， B （ n ， 7 ）， n 为正数 . 若点 P 在抛物线上且在直 线 l 下方 （不与点 A ， B 重合）， 分别求出点 P 横坐标与纵坐标的取值范围 . 第二章自我检测 B y x P C OA 第 15 题图 175 九年级下册 （北师大版）数学 17. 在直角坐标系中， 设函数 y＝ax 2 +bx+1 （ a ， b 是常数， a≠0 ） . （ 1 ） 若该函数的图象经过 （ 1 ， 0 ） 和 （ 2 ， 1 ） 两点， 求函数的表达式， 并写出函数图 象的顶点坐标 . （ 2 ） 写出一组 a ， b 的值， 使函数 y＝ax 2 +bx+1 的图象与 x 轴有两个不同的交点， 并说 明理由 . （ 3 ） 已知 a＝b＝1 ， 当 x＝p ， q （ p ， q 是实数， p≠q ） 时， 该函数对应的函数值分别为 P ， Q. 若 p+q＝2 ， 求证： P+Q＞6. 176 18. 如图， 某小区有一块靠墙 （墙的长度不限） 的矩形空地 ABCD ， 为美化环境， 用 总长为 100 m 的篱笆围成四块矩形花圃 （靠墙一侧不用篱笆， 篱笆的厚度不计） . （ 1 ） 若四块矩形花圃的面积相等， 求证： AE＝3BE. （ 2 ） 在 （ 1 ） 的条件下， 设 BC 的长度为 x m ， 矩形区域 ABCD 的面积为 y m 2 ， 求 y 与 x 之间的函数关系式， 并写出自变量 x 的取值范围 . 第二章自我检测 G H A M E B D N F C 第 18 题图 177 九年级下册 （北师大版）数学 19. 为鼓励更多的农民工返乡创业， 某市政府出台了相关政策： 由政府协调， 本市企 业按成本价提供产品给农民工自主销售， 成本价与出厂价之间的差价由政府承担 . 小王按 照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯， 已知这种节能灯的成本价为每件 10 元， 出厂价为每件 12 元， 每月销售量 y （件） 与销售单价 x （元） 之间的关系满足一次函 数 y=-5x+400. （ 1 ） 小王在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元， 那么政府这个月为他承担的 总差价为多少元？ （ 2 ） 设小王获得的利润为 w （元）， 当销售单价定为多少元时， 每月可获得最大利润？ 最大利润为多少？ 178 20. 如图 1 所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器 . 将发石车置于山坡底部 O 处， 以点 O 为原点， 水平方向为 x 轴方向， 建立如图 2 所示的平面直角坐标系， 将发射 出去的石块当作一个点看， 其飞行路线可以近似看作抛物线 y＝a （ x-20 ） 2 +k 的一部分， 山 坡 OA 上有一堵防御墙， 其竖直截面为 ABCD ， 墙宽 BC＝2 m ， BC 与 x 轴平行， 点 B 与点 O 的水平距离为 28 m 、 垂直距离为 6 m. （ 1 ） 若发射石块在空中飞行的最大高度为 10 m ： ① 求抛物线对应的函数表达式； ② 试通过计算说明石块能否飞越防御墙 . （ 2 ） 若要使石块恰好落在防御墙顶部 BC 上 （包括端点 B ， C ）， 求 a 的取值范围 . B C D A E x O y 图 1 图 2 第 20 题图 第二章自我检测 179 九年级下册 （北师大版）数学 21. 某超市销售一种商品， 成本价为 30 元 /kg ， 经市场调查， 每天销售量 y （ kg ） 与销 售单价 x （元 /kg ） 之间的关系如图所示， 规定每千克售价不能低于 30 元， 且不高于 80 元 . （ 1 ） 求 y 与 x 之间的函数关系式 . （ 2 ） 如果该超市销售这种商品每天获得 3 600 元的利润， 那么该商品的销售单价为多 少元？ （ 3 ） 设每天的总利润为 w 元， 当销售单价定为多少元时， 该超市每天的利润最大？ 最大利润是多少元？ 150 100 O 30 80 y/kg x/ （元 /kg ） 第 21 题图 180 参考答案与提示 11. 解： （ 1 ） ① （ 2 ） 令 y＝0 ， 得 x+c＝0 ， 解得 x＝-c. ∴A （ -c ， 0 ） . 令 x＝0 ， 得 y＝c. ∴ 函数 y＝x+c （ c 为常数， c＞0 ） 的图象与 y 轴交于点 （ 0 ， c ） . ∵ 其轴点函数 y＝ax 2 +bx+c 经过点 A （ -c ， 0 ）， ∴ac 2 -bc+c＝0 ， 且 c＞0. ∴ac-b+1＝ 0 ， 即 b＝ac+1. ∴y＝ax 2 + （ ac+1 ） x+c. 设 B （ x′ ， 0 ）， 解得 x′ 1 ＝-c ， x′ 2 ＝- 1 a . ∴B - 1 a ， ， " 0 . ∴OB＝ 1 a ， OA＝c. ∵OB＝ 1 4 OA ， ∴ 1 a ＝ 1 4 c. ∴ac＝±4. ∴b＝5 或 b=-3. （ 3 ） 由题意， 得 M （ -2t ， 0 ）， C （ 0 ， t ）， N （ t ， 0 ） . ∵ 四边形 MNDE 是 矩形， ME＝OM＝2t ， ∴D （ t ， 2t ）， E （ -2t ， 2t ） . 当 m＞0 时， 轴点函数 y＝mx 2 +nx+t 的顶点 P 与点 M 重合， 即 P （ -2t ， 0 ） . 如图 1 ， ∴ n 2 -4mt=0 ， - n 2m =-2t t . ∴n 2 -n＝0 ， 且 n≠0. ∴n＝1. 当 m＜0 时 ， 轴点函数 y＝mx 2 +nx+t 的顶点 P 在 DE 边上 ， 即 P （ x ， 2t ） . 如图 2 ， ∴ 4mt 2 -2nt+t=0 ， 4mt-n 2 4m =2t t . 消去 m ， t ， 得 n 2 +2n-1＝0. 解得 n 1 ＝ 2 姨 -1 ， n 2 ＝- 2 姨 -1. ∵ 函数 y＝mx 2 +nx+t 的对称轴在 y 轴左侧， ∴n 与 m 同号， 即 n＜0. ∴n＝- 2 姨 -1. 综上所述， n 的值为 1 或 - 2 姨 -1. 12. 解： （ 1 ） 答案不唯一， y＝x 或 y＝-x+1. （ 2 ） 该函数是正方形 OABC 的 “ LS 函数” . 理由： 把点 D （ 1 ， 3 ） 代入 y＝ m x 中， 得 3＝ m 1 ， 解得 m＝3. ∴y＝ 3 x . 把 x＝3 代入 y＝ 3 x 中， 得 y＝1. ∴ 点 E 的坐标为 （ 3 ， 1 ） . ∵ 点 D ， E 坐标 均是整数， 且函数 y＝ 3 x 的图象与正方形 OABC 只有两个交点 D ， E ， ∴ 函数 y＝ 3 x （ x＞0 ） 是正方形 OABC 的 “ LS 函数” . （ 3 ） 当 n＝4 时， 点 B 的坐标为 （ 4 ， 4 ）， 点 C 的坐标为 （ 0 ， 4 ） . 把点 B （ 4 ， 4 ） 代入二次函数 y＝ax 2 +bx+4 中 ， 得 4＝16a+4b+4. ∴b＝-4a. ∴y＝ax 2 -4ax+4=a （ x-2 ） 2 +4-4a. ∴ 该函数图象的顶点坐标为 （ 2 ， -4a+4 ） . 在 y＝ax 2 - 4ax+4 中， 令 x＝0 得 y＝4 ， ∴ 点 C （ 0 ， 4 ） 在函数 y＝ax 2 +bx+4 的图象上 . ∵ 函数 y＝ax 2 +bx+4 是正方形 OABC 的 “ LS 函 数”， 由二次函数对称性得， 其函数图象经过点 B ， C. ① 当 a＞0 时， 抛物线顶点在 x 轴上方， ∴-4a+4＞0. 解得 a＜1. ∴0＜a＜1. ② 当 a＜0 时， 函数 y＝ax 2 +bx+4 图象经过点 B ， C ， ∴-4a+4＞4. ∴ 函数 y＝ax 2 +bx+4 一定是正方形 OABC 的 “ LS 函数” . 综上所述， a 的取值范围为 0＜a＜1 或 a＜0. （ 4 ） 由 （ 3 ） 知， 该函数图象的对称轴是直线 x＝2 ， 顶点坐 标为 （ 2 ， -4a+4 ） . 当 0＜a＜1 时 ， 有 -1＜a-1＜0 ， 3＜a+3＜4 ， 抛物线开口向上 ， ∴2＜2- （ a-1 ） ＜3 ， 1＜a+3-2＜2 ， ∴2- （ a-1 ） ＞a+3-2. ∴ 点 P 与对称轴的距离大于点 Q 与对称轴的距离 . ∴ 点 P ， Q 之间的图象的最高点是点 P ， 最低点 是顶点 . ∴a （ a-1 ） 2 -4a （ a-1 ） +4- （ -4a+4 ） ＝10a 2 . 整理得 a 2 -16a+9＝0. 解得 a 1 =8- 55 姨 ， a 2 =8+ 55 姨 （舍去） . 当 a＜0 时， 抛物线开口向下 . ① 当 a+3≥2 ， 即 -1≤a＜0 时， 有 -2≤a-1＜-1 ， 2≤a+3＜3 ， ∴3＜2- （ a-1 ） ≤4 ， 0≤a+3-2＜1. ∴2- （ a- 1 ） ＞a+3-2. ∴ 点 P 与对称轴的距离大于点 Q 与对称轴的距离 . ∴ 点 P ， Q 之间的图象的最高点是顶点， 最低点是点 P. ∴ （ -4a+4 ） - ［ a （ a-1 ） 2 -4a （ a-1 ） +4 ］ ＝10a 2 . 整理得 a 2 +4a+9＝0. 此方程无实数根， a 的值不存在 . ② 当 a+3＜2 ， 即 a＜-1 时， 有 a-1＜a+3＜2 ， ∴ 点 P ， Q 之间的图象的最高点是点 Q ， 最低点是点 P ， ∴ ［ a （ a+3 ） 2 -4a （ a+3 ） +4 ］ - ［ a （ a-1 ） 2 - 4a （ a-1 ） +4 ］ ＝10a 2 . 整理得 a+4＝0 ， 解得 a＝-4. 综上所述， a 的值是 8- 55 姨 或 -4. 第二章自我检测 1. A 2. B 3. B 4. C 5. C 6. A 7. C 8. D 9. 2 025 10. 12 11. （ 1 ， 1 ） 12. -6.5 13. 9 4 14. -6＜m＜-2 提示： 当 y＝0 时， -x 2 +x+6＝0 ， 解得 x 1 ＝-2 ， x 2 ＝3 ， 则二次函数 y=-x 2 +x+6 与 x 轴的交点坐标为 （ -2 ， 0 ）， （ 3 ， 0 ） . 将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方的部分图象的表达式为 y＝ （ x+2 ）（ x-3 ）， 即 y＝x 2 -x-6 （ -2≤x≤3 ） . 当直线 y＝-x+m 经过点 （ -2 ， 0 ） 时， 2+m＝0 ， 解得 m＝-2 ； 当直线 y＝-x+m 与抛物线 y＝x 2 -x-6 （ -2≤x≤3 ） 有唯一公共点时， 方程 x 2 -x-6＝-x+m 有相等的实数 解， 解得 m＝-6. 综上所述， 当直线 y＝-x+m 与新图象有 4 个交点时， m 的取值范围为 -6＜ m＜-2. 15. 解： （ 1 ） ∵ 抛物线 y＝x 2 +bx+c 与 x 轴交于点 A （ -1 ， 0 ）， B （ 4 ， 0 ）， 则 1-b+c=0 ， 16+4b+c=0 t . 解得 b=-3 ， c=-4 t . ∴ 抛物线的表达式为 y＝x 2 -3x-4. ∴P 3 2 ， - 25 4 ， " . （ 2 ） 如图， 连接 OP ， ∵A （ -1 ， x y C D E M O N x y C D E M O N P 图 1 图 2 第 11 题答图 B y x P C OA 第 15 题答图 247 九年级下册 （北师大版）数学 0 ）， B （ 4 ， 0 ）， C （ 0 ， -4 ）， P 3 2 ， - 25 4 4 " ， ∴S △OPC ＝ 1 2 ×4× 3 2 ＝3 ， S △BOP ＝ 1 2 ×4× 25 4 ＝ 25 2 ， S △BOC ＝ 1 2 ×4×4＝8. ∴S △BPC ＝S △OPC + S △BOP -S △BOC ＝3+ 25 2 -8＝ 15 2 . 16. 解： （ 1 ） 把点 （ -2 ， 0 ） 代入 y＝ax 2 -2ax-8 ， 得 0＝4a+4a-8. 解得 a＝1. ∴ 抛物线的函数表达式为 y＝x 2 -2x-8. ∵y＝x 2 -2x-8＝ （ x-1 ） 2 -9 ， ∴ 抛物线的顶点坐标为 （ 1 ， -9 ） . （ 2 ） 把 （ -4 ， m ） 代入 y＝x 2 -2x-8 ， 得 y＝ （ -4 ） 2 -2× （ -4 ） -8＝ 16. ∴m＝16. 把 （ n ， 7 ） 代入函数表达式， 得 7＝n 2 -2n-8. 解得 n＝5 或 n＝-3. ∵n 为正数， ∴n＝5. ∴ 点 A 坐标为 （ -4 ， 16 ）， 点 B 坐标为 （ 5 ， 7 ） . ∵ 抛物线开口向上， 顶点坐标为 （ 1 ， -9 ）， ∴ 抛物线顶点在 AB 下方 . ∴-4＜x P ＜5 ， -9≤y P ＜16. 17. 解： （ 1 ） 由题意， 得 a+b+1=0 ， 4a+2b+1=1 1 ， 解得 a=1 ， b=-2 1 . ∴ 该函数表达式为 y＝x 2 -2x+1. ∴y＝x 2 -2x+1= （ x-1 ） 2 . ∴ 该函 数图象的顶点坐标为 （ 1 ， 0 ） . （ 2 ） 答案不唯一， 例如 a＝1 ， b＝3 ， 此时 y＝x 2 +3x+1. ∵b 2 -4ac＝5＞0 ， ∴ 函数 y＝x 2 + 3x+1 的图象与 x 轴有两个不同的交点 . （ 3 ） 由题意， 得 P＝p 2 +p+1 ， Q＝q 2 +q+1 ， ∴P+Q＝p 2 +p+1+q 2 +q+1＝p 2 +q 2 +4＝ （ 2-q ） 2 +q 2 +4=2 （ q-1 ） 2 +6≥6. ∵p≠q ， ∴q≠1. ∴P+Q＞6. 18. （ 1 ） 证明： ∵ 矩形 MEFN 与矩形 EBCF 面积相等， ∴ME＝BE ， AM＝GH. ∵ 四块矩形花圃的面积相等， 即 S 矩形 AMND ＝2S 矩形 MEFN ， ∴AM＝2ME. ∴AE＝3BE. （ 2 ） 解： ∵ 篱笆总长为 100 m ， ∴2AB+GH+3BC＝100 ， 即 2AB+ 1 2 AB+ 3BC=100. ∴AB=40- 6 5 BC. ∵BC 的长度为 x m ， 矩形区域 ABCD 的面积为 y m 2 ， ∴y=BC · AB=x 40- 6 5 " x =- 6 5 x 2 + 40x. ∵AB=40- 6 5 BC ， ∴BE＝10- 3 10 x＞0. 解得 x＜ 100 3 . ∴y=- 6 5 x 2 +40x 0<x< 100 3 4 " . 19. 解： （ 1 ） 当 x=20 时， y=-5x+400=-5×20+400=300. 300× （ 12-10 ） =300×2=600 （元） . 答： 政府这个月为他承 担的总差价为 600 元 . （ 2 ） 依题意得， w= （ x-10 ）（ -5x+400 ） =-5x 2 +450x-4 000=-5 （ x-45 ） 2 +6 125. ∵a=-5＜0 ， ∴ 当 x=45 时， w 有最大值 6 125 元 . 答： 当销售单价定为 45 元时， 每月可获得最大利润 6 125 元 . 20. 解： （ 1 ） ① 设抛物线对应的函数表达式为 y＝a （ x-20 ） 2 +10 ， 把 （ 0 ， 0 ） 坐标代入表达式中， 得 400a+10＝ 0. 解得 a＝- 1 40 . ∴ 抛物线对应的函数表达式为 y＝- 1 40 （ x-20 ） 2 +10 ， 即 y＝- 1 40 x 2 +x （ 0≤x≤40 ） . ② 石块能飞越防御 墙 AB. 理由如下： 把 x＝28+2=30 代入表达式 y＝- 1 40 x 2 +x ， 得 y＝- 1 40 ×900+30＝7.5. ∵7.5＞6 ， ∴ 石块能飞越防御墙 AB. （ 2 ） 由题可知 B （ 28 ， 6 ）， 抛物线 y＝a （ x-20 ） 2 +k ， ∴ 把 （ 0 ， 0 ）， B （ 28 ， 6 ） 代入表达式， 得 a （ 0-20 ） 2 +k=0 ， a （ 28-20 ） 2 +k=6 1 . 解 得 a＝- 1 56 . 把 （ 0 ， 0 ）， C （ 30 ， 6 ） 代入表达式， 得 a （ 0-20 ） 2 +k=0 ， a （ 30-20 ） 2 +k=6 1 . 解得 a＝- 1 50 . ∴a 的取值范围为 - 1 50 ≤a≤- 1 56 . 21. 解： （ 1 ） 设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx+b （ k≠0 ）， 将 （ 30 ， 150 ）， （ 80 ， 100 ） 坐标分别代入表达 式中， 得 30k+b=150 ， 80k+b=100 1 . 解得 k=-1 ， b=180 1 . ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝-x+180 （ 30≤x≤80 ） . （ 2 ） 设利润为 w 元， 由题意， 得 w＝ （ x-30 ）（ -x+180 ） ＝-x 2 +210x-5 400 （ 30≤x≤80 ） . 令 -x 2 +210x-5 400＝3 600 ， 解得 x＝60 或 x＝150 （舍 去） . 答： 如果该超市销售这种商品每天获得 3 600 元的利润， 那么该商品的销售单价为 60 元 . （ 3 ） 将函数 w＝ -x 2 +210x-5 400 配方， 得 w＝- （ x-105 ） 2 +5 625. ∵-1＜0 ， ∴ 抛物线开口向下， 对称轴为 x=105. ∴ 当 x≤105 时， w 随 x 的增大而增大 . ∵30≤x≤80 ， ∴ 当 x＝80 时， w 最大， 最大利润为 5 000 元 . 答： 当销售单价定为 80 元时， 该超市 每天的利润最大， 最大利润是 5 000 元 . 第三章自我检测 1. B 2. C 3. A 4. B 5. B 6. C 7. 30° 8. 2 3 姨 cm 9. 124° 10. 20 11. 70 12. 5 13. 5 2 ， - 4 " 2 14． 解： 连接 AE ， CF ， 则 ∠DFC=∠AEB=90°. ∵DF=BE ， AB=DC ， ∴△ABE≌△CDF. ∴∠B=∠D=50°． 15. 解： 连接 AO 并延长交 ⊙O 于点 D ， 连接 DC ， 则 ∠ACD=90° . ∵∠B=∠D ， ∠B=60° ， ∴∠D=60° . 在 Rt△ACD 中， AC=3 cm ， ∠D=60° ， ∴AD=2 3 姨 cm ， ∴⊙O 的直径为 2 3 姨 cm. 16． 解： AB∥CE． 理由： ∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠EDA=∠B． 又 ∵ AB AD = BC DE ， ∴△EDA∽△CBA． ∴∠DAE=∠CAB． ∵∠DAE=∠ACD ， ∴∠ACD=∠CAB． ∴AB∥CE． 17. 解： （ 1 ） 连接 AO 并延长交 ⊙O 于点 E ， 连接 EC ， EB ， 则 ∠ACE=∠ABE=90° . ∵AE=4 ， AB=2 3 姨 ， ∴∠BAE=30°. ∴∠BCE=∠BAE=30°. ∴∠ACB=∠ACE +∠BCE =120°. （ 2 ） 过点 D 作 DH⊥AB 于点 H. ∵S △ABD = 1 2 AB · DH ， AB=2 3 姨 ， ∴ 当 DH 最大时， S △ABD 最大 . ∵ 点 D 在优弧 ADB 上， ∴DH 过圆心 O 时最大 . ∴ 当 DH 最 大值 =2＋ 2 2 - （ 3 姨 ） 2 姨 =3 时， S △ABD 最大 =3 3 姨 . 18. （ 1 ） 证明： ∵AC 是 ⊙O 的直径， ∴∠ABC＝90°. ∴∠BAC+∠ACB＝90°. ∵CF 与 ⊙O 相切， AC 是 ⊙O 的直径， 248