第十七章 一元二次方程 重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

第十七章 一元二次方程 重难点检测卷 （满分150分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元二次方程全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1．（24-25九年级上·河南南阳·期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）解一元二次方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）今年“十一”长假某湿地公园迎来旅游高峰，第一天的游客人数是0.8万人，第三天的游客人数为3.2万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广西柳州·期末）已知一元二次方程的两根分别为和，则的值等于（   ） A．2 B． C． D． 5．（24-25九年级上·安徽六安·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则(    ) A． B．且 C． D．且 6．（2024·安徽六安·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为，令，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知方程的两根分别为、，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2024 8．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来求形如的方程的正数解．如图，将四个长为，宽为x的矩形（面积均为10）拼成一个大正方形，小正方形的边长为3，于是大正方形的面积为，边长为7，故得的正数解为．小智按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形．已知大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则m和n的值分别是（   ） A．6，4 B．4，6 C．2，8 D．8，2 9．（23-24八年级下·安徽六安·期末）对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下三种表述： ①当时，方程一定没有实数根； ②当时，方程一定有实数根； ③当时，方程一定有两个不相等的实数根．其中表述正确的个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 10．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 第II卷（非选择题） 二、填空题（5小题，每小题4分，共20分） 11．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）方程的根是 ． 12．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）诺如病毒是一种传染性比较强的病毒，会引起病毒性胃肠疾病，具有发病急、传播速度快、涉及范围广等特点，在学校、游戏厅等聚集性场所易引起暴发．假设有一个人感染了该病毒，经过两轮传染后共有人感染该病毒，则每轮传染中平均一个人传染了 人． 13．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）已知是一元二次方程的两根，则的值为 ． 14．（24-25九年级上·四川眉山·期中）已知实数，且，，则 ． 15．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P，Q分别从点D，A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止移动．若点P移动的时间为t秒． （1）当点P在移动时，的长为 ．（用含t的式子表示） （2）当以A，P，Q为顶点的三角形的面积为时，t的值为 ． 三、解答题（8小题，共90分） 16．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）解一元二次方程： (1) (2) 17．（24-25九年级上·广东河源·期中）已知关于x的一元二次方程．求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根． 18．（24-25九年级上·天津河东·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若是该方程的一个实数根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 19．（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，中，，，． (1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (2)若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？ 20．（24-25九年级上·安徽亳州·自主招生）我国苏州园林中花窗的纹样有各种形状，有云纹、鱼鳞纹、蝙蝠纹、梅花纹、冰裂纹等，不仅具有装饰作用，还蕴含了丰富的文化内涵和象征意义，如下左图是海棠纹样，象征富贵、美丽和吉祥． 【探究规律】聪明的小明同学在综合实践课上，把大小相同的海棠纹样按如上图所示的规律摆放：第一个图形有5个纹样，第二个图形有9个纹样，第三个图形有15个纹样，……按此规律依次摆放． （1）第四个图形有_______个纹样，第五个图形有_______个纹样． 【总结规律】（2）第n个图形有_______个纹样（用含n的代数式表示）． 【应用规律】（3）是否存在相邻的两个图形的纹样个数和为248？若存在，求出是哪两个图形？若不存在，请说明理由． 21．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为配方法．利用以上配方法解决下列问题： (1)利用配方法分解因式：． (2)求二次三项式的最小值． (3)已知是实数，试比较与的大小，请说明理由． 22．（24-25八年级下·广西崇左·期中）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系． (1)求出y与x的函数关系式； (2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？ (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由． 23．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 一元二次方程 重难点检测卷 （满分150分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：一元二次方程全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1．（24-25九年级上·河南南阳·期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式是，并据此对各选项进行判断． 根据一元二次方程的定义，对每个选项逐一分析，判断其是否符合一元二次方程的形式． 【详解】A、对进行化简，即，进一步整理得，符合一元二次方程的定义； B、，方程中含有和，属于分式方程，不是整式方程，故不是一元二次方程； C、，当时，方程就变为，不是一元二次方程，只有当时才是一元二次方程； D、，方程中含有，是分式方程，不是整式方程，故不是一元二次方程． 故选：A． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）解一元二次方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把常数项移到右边，两边都加上一次项系数一半的平方即可得到答案． 【详解】解： ∴ 则 ∴ 故选：A． 3．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）今年“十一”长假某湿地公园迎来旅游高峰，第一天的游客人数是0.8万人，第三天的游客人数为3.2万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 设每天游客增加的百分率相同且设为x，则第二天的游客为人，第三天的人数为人，则可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设每天游客增加的百分率相同且设为x， 列方程为：， 故选B． 4．（24-25九年级上·广西柳州·期末）已知一元二次方程的两根分别为和，则的值等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．直接根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为和， ∴． 故选：D． 5．（24-25九年级上·安徽六安·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则(    ) A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的意义；利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出的取值范围． 【详解】∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 又， ， 且， 故选：D． 6．（2024·安徽六安·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为，令，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式及一元二次方程的解，解答本题的关键是掌握一元二次方程判别式与方程根的关系．先根据得出的取值范围，根据是方程的一个实数根，可得，整体代入，可得的取值范围． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 是方程的一个实数根， ， ， ， ， ， 故选：A． 7．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知方程的两根分别为、，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，最后代入求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为、， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 8．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来求形如的方程的正数解．如图，将四个长为，宽为x的矩形（面积均为10）拼成一个大正方形，小正方形的边长为3，于是大正方形的面积为，边长为7，故得的正数解为．小智按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形．已知大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则m和n的值分别是（   ） A．6，4 B．4，6 C．2，8 D．8，2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把及图形按照样例那样去分析即可． 【详解】解∶把方程变形得到， 如图，将四个长为，宽为的长方形纸片（面积均为）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，解得， 小正方形边长为， 故得的正数解为， 即，， 故选：C． 9．（23-24八年级下·安徽六安·期末）对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下三种表述： ①当时，方程一定没有实数根； ②当时，方程一定有实数根； ③当时，方程一定有两个不相等的实数根．其中表述正确的个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是根的判别式和一元二次方程的解，关于x的一元二次方程的判别式为，若，则方程有两个不相等的实数根；，则方程有两个相等的实数根；，则方程无实数根，据此逐一判断即可． 【详解】解：①当时，满足， 此时，即方程有两个不相等的实数根， 故①错误； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③∵， ∴ ∴，即方程有两个相等的实数根， 故③错误； 综上，正确的是②，共1个 故选：B． 10．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，分为等腰三角形的底和腰两种情形，讨论求解即可得到答案，应用分类讨论解答是解题的关键． 【详解】解：当为底时，由题意得， 解得， 此时一元二次方程为， 解得， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去； 当为腰时，将代入方程得， ， 解得或， 当时，一元二次方程为， 解得，， 三边长为，可以构成三角形； 当时，一元二次方程为， 解得，， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去， 综上，， 故选：． 第II卷（非选择题） 二、填空题（5小题，每小题4分，共20分） 11．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点，灵活选取适当的方法是解题的关键；利用因式分解法求解即可． 【详解】解：分解因式得：， 即， 解得：，． 12．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）诺如病毒是一种传染性比较强的病毒，会引起病毒性胃肠疾病，具有发病急、传播速度快、涉及范围广等特点，在学校、游戏厅等聚集性场所易引起暴发．假设有一个人感染了该病毒，经过两轮传染后共有人感染该病毒，则每轮传染中平均一个人传染了 人． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设每轮传染中平均一人传染人，根据题意列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染人，则第一轮有人感染，第二轮有人感染， 根据题意可得： 解得：或（不符题意，舍去）， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）已知是一元二次方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，程的两根分别为和，则根据根与系数的关系直接计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴ ∴ 故答案为：． 14．（24-25九年级上·四川眉山·期中）已知实数，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握其计算方法是解题的关键． 根据题意，设，，可得，将原式变形得，由此代入计算即可求解． 【详解】解：已知实数，且，， ∴设，， ∴，即， ∵， ∴原式， 故答案为： ． 15．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P，Q分别从点D，A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止移动．若点P移动的时间为t秒． （1）当点P在移动时，的长为 ．（用含t的式子表示） （2）当以A，P，Q为顶点的三角形的面积为时，t的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式． （1）利用的长的长−点的运动速度运动时间求解即可； （2）分Q在和上讨论，根据三角形的面积构建方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，得， ∴， 故答案为：； （2）当Q在上时，此时， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）； 当Q在上时，此时， 根据题意，得， （不符合题意，舍去）， 综上，， 故答案为：． 三、解答题（8小题，共90分） 16．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）解一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适的求解方法． （1）用配方法求解，将方程转化为完全平方式来求解； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 或， ． 17．（24-25九年级上·广东河源·期中）已知关于x的一元二次方程．求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根． 【答案】见解析 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．求出该一元二次方程根的判别式，即可得解． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴无论k取何值，该方程总有两个实数根． 18．（24-25九年级上·天津河东·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若是该方程的一个实数根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查根的判别式，解题的关键是对根的判别式的掌握与灵活运用． （1）将代入原方程可求出m的值； （2）根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）解：将代入原方程得： ， 解得：， 的值为； （2）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， 是关于的一元二次方程， ， 的取值范围为：且． 19．（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，中，，，． (1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (2)若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？ 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)秒、5秒或秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 对于（1），设经过秒，线段能否将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； 对于（2），分三种情况：①点在线段上，点在线段上；②点在线段上，点在线段上；③点在射线上，点在射线上；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分 由题意知：，，则， ， ， ， 此方程无解， 线段不能将分成面积相等的两部分； （2）设秒后，的面积为， ①当点在线段上，点在线段上时 此时 由题意知：， 整理得：， 解得：（不合题意，应舍去），； ②当点在线段上，点在线段的延长线上时 此时， 由题意知：， 整理得：， 解得：； ③当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时， 由题意知：， 整理得：， 解得：，，（不合题意，应舍去）， 综上所述，经过秒、5秒或秒后，的面积为. 20．（24-25九年级上·安徽亳州·自主招生）我国苏州园林中花窗的纹样有各种形状，有云纹、鱼鳞纹、蝙蝠纹、梅花纹、冰裂纹等，不仅具有装饰作用，还蕴含了丰富的文化内涵和象征意义，如下左图是海棠纹样，象征富贵、美丽和吉祥． 【探究规律】聪明的小明同学在综合实践课上，把大小相同的海棠纹样按如上图所示的规律摆放：第一个图形有5个纹样，第二个图形有9个纹样，第三个图形有15个纹样，……按此规律依次摆放． （1）第四个图形有_______个纹样，第五个图形有_______个纹样． 【总结规律】（2）第n个图形有_______个纹样（用含n的代数式表示）． 【应用规律】（3）是否存在相邻的两个图形的纹样个数和为248？若存在，求出是哪两个图形？若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，是第个和第个图形 【分析】本题考查了图形类规律探索，一元二次方程的应用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据前三个图形中纹样的个数即可得解； （2）根据（1）即可得出规律； （3）根据（2）中的规律，列出方程，解方程即可得解． 【详解】解：（1）由图形可得： 第一个图形有个纹样， 第二个图形有个纹样， 第三个图形有个纹样， 故第四个图形有个纹样， 第五个图形有个纹样； （2）由（1）可得：第n个图形有个纹样； （3）由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴存在相邻的两个图形的纹样个数和为，是第个和第个图形． 21．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为配方法．利用以上配方法解决下列问题： (1)利用配方法分解因式：． (2)求二次三项式的最小值． (3)已知是实数，试比较与的大小，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，详见解析 【分析】本题主要考查配方法及整式的加减运算，掌握因式分解，完全平方公式是解题的关键， （1）利用配方法先对原式，然后再，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法求出二次三项式的最小值即可； （3）将两式作差，通过跟0进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2） ， 当时，二次三项式的最小值为； （3） ， ． 22．（24-25八年级下·广西崇左·期中）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系． (1)求出y与x的函数关系式； (2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？ (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)y与x的函数关系式为y=10x＋200； (2)当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大. (3)降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%. 【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案； （2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解； （3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为y＝kx＋b (k≠0)， 由图可知其函数图象经过点（0 , 200）和（10 , 300）， 将其代入y=kx+b 得 解得 ∴ y与x的函数关系式为y=10x＋200； （2）解：由题意得 （10x＋200)(100－x－60)＝8910， 整理得 x2－20x＋91＝0， 解得：x1＝7, x2＝13； 当x＝7时，售价为100－7＝93（元）， 当x＝13时，售价为100－13＝87（元）， ∵优惠力度最大， ∴取x＝13， 答：当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大； （3）解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下： ∵要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的50%， ∴100－60－x ≥ 60×50%, 解得：x≤10； 依题意，得 (100－60－x)(10x＋200)＝9000， 整理得 x2－20x＋100＝0， 解得：x1＝x2＝10； ∴降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%. 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题． 23．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 【答案】(1) (2) (3)这四个连续正整数为1，2，3，4 【分析】（1）设，则，解得：，由，得，即可求解， （2）设，则，或，由，得，即可求解， （3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，即可求解， 本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （2）解：设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （3）解：设最小正整数为x，则，即：， 设，则， 解得：，， ∵x为正整数， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4． 学科网（北京）股份有限公司 $$