专题07 一元二次方程易错必刷题型专训（63题21个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题07 一元二次方程易错必刷题型专训（63题21个考点） 【易错必刷一 一元二次方程的定义】 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）关于x的方程：①，②，③，④，其中一元二次方程的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·云南昭通·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 3．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）已知方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ． 【易错必刷二 一元二次方程的一般形式】 4．（24-25九年级上·四川凉山·期末）一元二次方程化为一般式后，二次项系数和一次项分别为（   ） A．1，4 B． C．1，4x D． 5．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）将方程化为的形式后， ， ， ． 6．（23-24九年级上·全国·单元测试）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) (2) (3) (4) 【易错必刷三 一元二次方程的解】 7．（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2023 B．24-25 C．24-25 D．2019 8．（24-25九年级下·北京·开学考试）已知为方程的根，那么的值为 ． 9．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【易错必刷四 一元二次方程的解的估算】 10．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（   ） 0 1 2 3 4 5 13 23 A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 11．（23-24九年级上·辽宁锦州·阶段练习）根据所给的表格，估计一元二次方程的解的近似范围（   ） x A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·全国·课后作业）根据表格估计方程x2+2x=6其中一个解的近似值． x 1.63 1.64 1.65 1.66 … x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 … 根据表格，求方程x2+2x=6的一个解大约是 （精确到0．01） 【易错必刷五 直接开平方法】 13．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）若关于x的方程（h，k均为常数）的解是，，则关于y的方程的解是 ． 14．（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 15．（23-24八年级下·吉林·期末）解方程：． 【易错必刷六 配方法】 16．（24-25九年级上·山东德州·期末）将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是 ． 17．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如果一元二次方程经配方后，得，那么k的值为 ． 18．（24-25九年级上·江苏南京·期末）解方程． 【易错必刷七 配方法的应用】 19．（24-25九年级上·辽宁丹东·期中）把关于x的一元二次方程配方，得，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．10 20．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）若关于的一元二次方程，通过配方法可以化成的形式，则 ． 21．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式的最小值？解答过程如下： 解：， ，当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值为1． 仿照上述方法，求解代数式的最大值． 【易错必刷八 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 22．（24-25九年级下·北京·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根小于，求的取值范围． 23．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为3，求m的值； (2)求证：方程总有两个不相等的实数根． 24．（24-25九年级上·北京·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； (2)若是该方程的根，求代数式的值． 【易错必刷九 根据一元二次方程根的情况求参数】 25．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 26．（24-25九年级上·山东济宁·期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为 ． 27．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知关于x的一元二次方程无实数根．求m的取值范围． 【易错必刷十 公式法】 28．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）求方程的根时，由求根公式得，则m的值为（   ） A． B． C． D．7 29．（24-25八年级上·上海·期中）若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为 ． 30．（24-25九年级上·河北保定·期末）嘉嘉解一元二次方程的过程如下． 解：整理得，① ，② ，③ 方程有两个不相等的实数根， ，④ ．⑤ (1)嘉嘉解方程的方法是_________，他的求解过程从第________步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 【易错必刷十一 因式分解法】 31．（24-25九年级上·河南南阳·期末）方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 32．（24-25九年级上·福建漳州·期中）若实数a满足，则 ． 33．（24-25九年级上·陕西西安·期末）解方程：． 【易错必刷十二 换元法】 34．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）若关于的一元二次方程有一个根为24-25，则方程必有根为（   ） A．24-25 B．24-25 C．2019 D．24-25 35．（2024·四川广元·一模）若，则的值为 ． 36．（23-24九年级上·山西长治·阶段练习）阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， ∴原方程可化为． 解得，． 当时，，； 当时，，． ∴原方程有四个根是，，，． 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)解方程：，得该方程的解为______ (2)运用上述方法解方程：． 【易错必刷十三 一元二次方程根与系数的关系】 37．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知，是方程的两根，则的值为（　　） A． B． C． D． 38．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若，满足，则 ． 39．（24-25九年级上·山东临沂·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为，，且满足，求的值． 【易错必刷十四 构造一元二次方程解决问题】 40．（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知，，，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 41．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）非零实数a，b满足，，则的值是 ． 42．（24-25九年级上·广东清远·期末）【阅读材料】若关于x的一元二次方程的两根为、，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】 一元二次方程的两根为、，则________，________； (2)【类比运用】已知关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为、，满足，求k的值． (3)【思维拓展】已知实数m，n，满足，，且，求的值． 【易错必刷十五 传播问题】 43．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 44．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有121个人患了流感． (1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人； (2)按此速度传染下去，第三轮患流感人数会不会突破1300人？ 45．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，每个支干长出多少小分支？ 【易错必刷十六 增长率问题】 46．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商．其中，某药品原价为每盒元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒元，求每次降价的百分率 47．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品的售价为元时，每月可售出件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件． (1)要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ (2)该商场1月份的销售量为件，月份和月份的平均增长率为．若前三个月的总销售量为件，求值． 48．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）石家庄西柏坡作为革命圣地．拥有丰富的历史文化资源，近年来，景区的知名度和吸引力不断提升，吸引了大量游客前来参观和体验，据了解2024年7月份该基地接待参观人数为10万，9月份接待参观人数增加到12.1万． (1)求这两个月参观人数的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计该景区10月份的参观人数． 【易错必刷十七 营销问题】 49．（24-25九年级下·广东广州·开学考试）《广州市电动自行车管理规定》自2024年12月30日起正式实施．该规定强调了驾驶电动自行车时，驾驶人及乘坐人均要规范佩戴安全头盔．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个． (1)求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，则每月可卖出500个，若在此基础上每个头盔涨价1元，则每月要少卖出20个．为使每月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔每个应涨价多少元？ 50．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销量，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若降价5元，则平均每天销售数量为________件； (2)为尽快减少库存，要使该商店每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？ 51．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）“秋风起，蟹脚痒”，某学校九年级利用星期天开展社会实践活动，调查某种规格的螃蟹价格．如表是“数一数二”小组的记录表，请你根据相关信息解答表中的问题1和问题2． ××学校社会实践记录表 团队名称 数一数二 活动时间 2024.10.26 班级人员 第三小组10名同学 地点 农贸市场 实践内容 调查螃蟹行情，帮市场解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 螃蟹的进价为40元/kg． 螃蟹售价为50元/kg时，每天可销售螃蟹的总重量为100km．（当天售价确定后，一天的售价均不变） 售价每涨价1元/kg，每天销售螃蟹的总重量会少2kg． 解决问题 问题1 某天螃蟹的市场销售总重量为90kg时，当天能获利多少元？ 问题2 若市场想一天销售螃蟹的总利润为1750元，则“数一数二”小组会建议将螃蟹的售价定为多少元/kg？ 【易错必刷十八 与图形有关的问题】 52．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园内开辟一块劳动教育基地．一面利用学校的墙（墙的长度为），用长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地，供同学们进行劳动实践．若围成的菜地面积为，求此时的长． 53．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为米和米，该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用总长米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门，设长米． (1)求的长度（用含的代数式表示，并求出的取值范围）． (2)若饲养场的面积为平方米，求的值． 54．（24-25九年级上·河北唐山·期中）阅读下列材料，并完成相应学习任务： 古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数．所有的三角形数都具有如图2所示的规律． 学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题： (1)根据此规律可知第个三角形数是____________；（用含的代数式表示） (2)请判断是第几个三角形数？写出解答过程； (3)若相邻两个三角形数的和是，则这两个三角形数分别是多少？请直接写出结果． 【易错必刷十九 动态几何问题】 55．（23-24九年级上·四川眉山·期末）如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P，Q两点同时出发，任意一点先到达终点时，两点同时停止，当的面积等于4时，则P，Q两点同时移动的时间是（    ） A．1秒或4秒 B．1秒 C．2秒或4秒 D．4秒 56．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图， cm，OC是一条射线，，一只蚂蚁由A点以1cm/s速度向B点爬行，同时另一只蚂蚁由O点以2cm/s的速度沿OC方向爬行，则 秒钟后，两只蚂蚁所处位置与O点组成的三角形面积为100． 57．（24-25九年级·福建龙岩·期末）如图，已知在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以1的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2的速度移动．    (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【易错必刷二十 一元二次方程多结论问题】 58．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）对于一元二次方程（），下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的是（   ） A．只有① B．只有①② C．只有②③ D．①②③ 59．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列说法： ①方程是关于的一元二次方程； ②方程的常数项是4； ③当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解； ④若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根．其中正确的是 ． 60．（23-24九年级上·河北沧州·期中）对于一元二次方程，有下列说法： ①若，则； ②若方程两根为1和2，根据根与系数的关系可得：； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ④若c是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的是 ．（填写序号） 【易错必刷二十一 一元二次方程新定义问题】 61．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，例：，若关于的方程，则此方程 （填“有两个不相等”“有两个相等”“没有”）实数根． 62．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有 ．（填序号即可） 63．（23-24八年级下·北京·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一元二次方程易错必刷题型专训（63题21个考点） 【易错必刷一 一元二次方程的定义】 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）关于x的方程：①，②，③，④，其中一元二次方程的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的概念是解题的关键．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（）．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：①，当时，该方程不是一元二次方程； ②属于分式方程； ③符合一元二次方程的定义； ④的次数是3次，不是一元二次方程， 综上所述，其中一元二次方程的个数是1个． 故选：A． 2．（24-25九年级上·云南昭通·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出且，再求出m即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）已知方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义得到未知数x的最高次数为2，即且，再结合绝对值的性质解得m的值，最后根据一元二次方程二次项系数不为0解题即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为：． 【易错必刷二 一元二次方程的一般形式】 4．（24-25九年级上·四川凉山·期末）一元二次方程化为一般式后，二次项系数和一次项分别为（   ） A．1，4 B． C．1，4x D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是(a、b、c是常数且)，叫二次项、叫一次项，是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此解答即可． 根据一元二次方程的一般形式即可解答． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 二次项系数和一次项分别为，． 故选：B． 5．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）将方程化为的形式后， ， ， ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是，本题中首先根据多项式乘以多项式的法则把方程左边展开，然后再移项合并同类项，把一元二次方程化为一般形式，再确定各项系数． 【详解】解：， 整理得：， 移项合并同类项得： 化为的形式后，，，． 故答案为： ，，． 6．（23-24九年级上·全国·单元测试）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：是常数且），其中a 、b、c分别为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，解题的关键是化为一般形式． （1）化简为标准形式，根据一元二次方程的定义进行解答即可． （2）化简为标准形式，根据一元二次方程的定义进行解答即可． （3）化简为标准形式，根据一元二次方程的定义进行解答即可． （4）化简为标准形式，根据一元二次方程的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：化简得：， 故它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为：； （2）解：化简得：， 故它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为：； （3）解：化简得：， 故它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为：； （4）解：化简得：， 故它的二次项系数、一次项系数和常数项分别为：． 【易错必刷三 一元二次方程的解】 7．（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2023 B．24-25 C．24-25 D．2019 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入方程得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入方程得， 所以， 所以． 故选：B． 8．（24-25九年级下·北京·开学考试）已知为方程的根，那么的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解，先利用一元二次方程根的定义得到，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵m为方程的根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2024． 9．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，理解一元二次方程的解的定义是解题关键．把代入，得，再把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的根， ∴把代入， 得， ∴， ∵． 【易错必刷四 一元二次方程的解的估算】 10．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（   ） 0 1 2 3 4 5 13 23 A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】C 【分析】本题考查估计一元二次方程根的方法，根据和时的代数式的值，即可得到答案． 【详解】解：根据表格得： 当时，， 当时，， ∴的一个解x的取值范围为， 故选C． 11．（23-24九年级上·辽宁锦州·阶段练习）根据所给的表格，估计一元二次方程的解的近似范围（   ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格确定相邻两个未知数的值使的值为一正一负，即可确定的解的取值范围． 【详解】解：由表格可知，当时，存在一个x的值，使， 故关于x的方程的一个解x的范围是， 故选：． 12．（24-25九年级上·全国·课后作业）根据表格估计方程x2+2x=6其中一个解的近似值． x 1.63 1.64 1.65 1.66 … x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 … 根据表格，求方程x2+2x=6的一个解大约是 （精确到0．01） 【答案】1.65 【分析】先根据表中所给的数，再与6相减，然后所得的值进行比较，差值越小的越接近方程的解． 【详解】解：6-5.9696=0.0304， 6.0225-6=0.0225， ∵0.0304＞0.0225， ∴6.0225比5.9696更逼近6， ∴ 方程x2+2x=6的一个解大约是1.65， 故答案为：1.65． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是找出表中与6最接近的数，算出差额，再比较，相差越小的数越比较接近． 【易错必刷五 直接开平方法】 13．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）若关于x的方程（h，k均为常数）的解是，，则关于y的方程的解是 ． 【答案】， 【分析】此题考查了方程的解，解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键． 仿照已知方程的解确定出所求方程的解即可． 【详解】解：关于的方程，均为常数）的解是，， 的解是或，即，． 故答案为：，． 14．（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，运用直接开方法求解即可． 【详解】解：开方得：， 即或， 解得：，． 15．（23-24八年级下·吉林·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键；先求出，再直接开平方求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 【易错必刷六 配方法】 16．（24-25九年级上·山东德州·期末）将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键． 运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：将一个关于x的一元二次方程配方为， ∴， ∴， 故答案为：3． 17．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如果一元二次方程经配方后，得，那么k的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．将方程移项得到，两边同时加上4整理得到，从而得到，求出k的值即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得：． 故答案为：3． 18．（24-25九年级上·江苏南京·期末）解方程． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程．配方法解一元二次方程，把左边配成完全平方式，右边化为常数． 【详解】解：移项，得， 配方，得，即，. 开平方，得， 移项，得，． 【易错必刷七 配方法的应用】 19．（24-25九年级上·辽宁丹东·期中）把关于x的一元二次方程配方，得，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】A 【分析】依题意，把展开得，结合，得出，解得，即可作答．此题考查了解一元二次方程配方法，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． 【详解】解：由得， ∵把关于x的一元二次方程配方，得， 则， 解得， ∴， 故选：A． 20．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）若关于的一元二次方程，通过配方法可以化成的形式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查解一元二次方程配方法，根据配方法的步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数项，由此可得出，的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ，， ． 故答案为：3． 21．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式的最小值？解答过程如下： 解：， ，当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值为1． 仿照上述方法，求解代数式的最大值． 【答案】代数式的最大值是21． 【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最大值是21． 【易错必刷八 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 22．（24-25九年级下·北京·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根小于，求的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及求根公式： （1）根据根与系数的关系判断即可； （2）利用求根公式判断即可． 【详解】（1）证明： 该方程总有两个实数根 （2）解：根据求根公式得 该方程有一个根小于 23．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为3，求m的值； (2)求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了方程的根及根的判别式，解题的关键是理解并掌握根的定义及根的判别式． （1）根据方程根的定义，将代入方程中，即可解得m的值； （2）根据一元二次方程根的判别式进行计算，得出，即可得证； 【详解】（1）∵方程的一个根为3， ∴将代入方程中，得到： 解得： （2）∵关于x的一元二次方程中， ， ， ∴该方程总有两个不相等的实数根； 24．（24-25九年级上·北京·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； (2)若是该方程的根，求代数式的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． （1）利用一元二次方程根的判别式求解即可． （2）先根据一元二次方程根的定义得到，再把展开得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）解：把代入方程得， 即， ∴原式 【易错必刷九 根据一元二次方程根的情况求参数】 25．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后解不等式得到它们的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：C． 26．（24-25九年级上·山东济宁·期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得，进行计算即可得． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：1． 27．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知关于x的一元二次方程无实数根．求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意得出，计算即可得解． 【详解】解：由题意得， ， 解得， ∴m的取值范围为． 【易错必刷十 公式法】 28．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）求方程的根时，由求根公式得，则m的值为（   ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】该题主要考查了一元二次方程求根公式，解题的关键是掌握求根公式．对照一元二次方程的一般式（为常数），根据求根公式，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：，而求根公式得， 故， 故选：C． 29．（24-25八年级上·上海·期中）若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，对于一元二次方程，若其有实数根，那么其实数根为，据此结合题意得到，，，即可得到答案． 【详解】解：设关于的一元二次方程为， 一元二次方程的根为， ，，， 该一元二次方程可以为， 故答案为：． 30．（24-25九年级上·河北保定·期末）嘉嘉解一元二次方程的过程如下． 解：整理得，① ，② ，③ 方程有两个不相等的实数根， ，④ ．⑤ (1)嘉嘉解方程的方法是_________，他的求解过程从第________步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 【答案】(1)公式法，② (2)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解法是关键； （1）根据题意可得解方程的方法是公式法，根据一次项的系数与常数项错误可得答案； （2）先求解，再利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：嘉嘉解方程的方法是公式法，他的求解过程从第②步开始出现错误 （2）解：整理得， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ． 【易错必刷十一 因式分解法】 31．（24-25九年级上·河南南阳·期末）方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 或 解得，． 故选：D． 32．（24-25九年级上·福建漳州·期中）若实数a满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法．将原方程化为，利用十字相乘法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 无论a取何实数，都有， ∴， ∴， 故答案为：． 33．（24-25九年级上·陕西西安·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 【详解】解： ∴， 即， ∴， ∴， 解得：． 【易错必刷十二 换元法】 34．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）若关于的一元二次方程有一个根为24-25，则方程必有根为（   ） A．24-25 B．24-25 C．2019 D．24-25 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．设，即可改写为，由题意关于x的一元二次方程有一根为，即有一个根为，所以，即可求出结论． 【详解】解：由得到， 设， 所以， 而关于x的一元二次方程有一根为， 所以有一个根为， 则， 解得， 所以一元二次方程有一根为． 故选：B． 35．（2024·四川广元·一模）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，设，则，再利用因式分解法解一元二次方程即可得解． 【详解】解：设，则， 整理可得：， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 36．（23-24九年级上·山西长治·阶段练习）阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， ∴原方程可化为． 解得，． 当时，，； 当时，，． ∴原方程有四个根是，，，． 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)解方程：，得该方程的解为______ (2)运用上述方法解方程：． 【答案】(1)，，， (2)， 【分析】（1）原方程可化为，解一元二次方程即可求解． （2）设，则，原方程可化为，解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：原方程可化为， 解得：，， 当时，，； 当时，，， ∴原方程有四个根是，，，， 故答案为：，，，． （2）设，则． ∴原方程可化为， 解得，． 当时，，该方程无实数根， 当时，，，， ∴原方程有两个根，． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键． 【易错必刷十三 一元二次方程根与系数的关系】 37．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知，是方程的两根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式． 利用一元二次方程根与系数的关系式得，，就可以算出结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 故选：C． 38．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系得出关系式可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 经检验当时，符合题意， 故答案为：． 39．（24-25九年级上·山东临沂·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等实数根； (2)若方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2)或1 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式与根与系数的关系． （1）计算判别式的值，再利用配方法得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系得到，，而，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， ， ， ， ， ， 无论为何值时，方程总有两个不相等实数根． （2）由，得， ， ， ， ， 解得：  ， 或1． 【易错必刷十四 构造一元二次方程解决问题】 40．（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知，，，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，配方法的应用，利用根与系数的关系找出是解题的关键．由题意可知、关于的方程的两根，根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：由已知得：、是关于的方程的两根， 由韦达定理得：，， ， 又， 当时，取得最小值，最小值为：， 故选：A． 41．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）非零实数a，b满足，，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，分两种情况：当时，实数a，b是方程的两个不同的根；当时，实数a，b是方程的同一个根，分别计算即可得解． 【详解】解：∵非零实数a，b满足，， ∴当时，实数a，b是方程的两个不同的根，由根与系数的关系可得，，此时； 当时，实数a，b是方程的同一个根，此时； 综上所述，的值是或， 故答案为：或． 42．（24-25九年级上·广东清远·期末）【阅读材料】若关于x的一元二次方程的两根为、，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)【材料理解】 一元二次方程的两根为、，则________，________； (2)【类比运用】已知关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为、，满足，求k的值． (3)【思维拓展】已知实数m，n，满足，，且，求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系直接计算即可； （2）根据根与系数的关系求出，，再代入，解一元二次方程即可得到答案； （3）由题意：可看成方程的两个根，利用根与系数的关系，并把式子变形后即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由题意可得：，， ， ， 解得； （3）解：由题意：可看成方程的两个根， ， ． 【易错必刷十五 传播问题】 43．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】第四轮传染后共有7056人患流感 【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有144人患了流感，可求出x，进而求出第四轮过后，又被感染的人数． 本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意有：， 故， ∴或， ∴，（不合题意，舍去）， （人）． 答：第四轮传染后共有7056人患流感． 44．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有121个人患了流感． (1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人； (2)按此速度传染下去，第三轮患流感人数会不会突破1300人？ 【答案】(1)10人 (2)第三轮患流感人数会突破1300人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，代数式求值，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设每轮传染中，平均一个人传染了个人，根据两轮传染后共有121人患了流感，列出方程，即可求解； （2）根据题意，列式求出三轮之后患流感的人数． 【详解】（1）设每轮传染中，平均一个人传染了个人， 根据题意得：， 解得或（不合题意舍去） 所以，每轮传染中，平均一个人传染了10个人； （2）按此速度传染下去，第三轮患流感人数为人， 把代入得． 所以，第三轮患流感人数会突破1300人． 45．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，每个支干长出多少小分支？ 【答案】每个支干长出8个小分支 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． 由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个,每个小分支又长出x个分支,则又长出个分支,则共有个分支,即可列方程求得x的值． 【详解】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个， 根据题意列方程得：， 解得：或（不合题意，应舍去）， ∴ 答：每支支干长出8个小分支． 【易错必刷十六 增长率问题】 46．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商．其中，某药品原价为每盒元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒元，求每次降价的百分率 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每次降价的百分率为x，根据两次降价后每盒元，可列方程，解方程即可求出降价的百分率． 【详解】解：设每次降价的百分率为x． 由题意，得． 解得，（舍去）． 答：每次降价的百分率为． 47．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品的售价为元时，每月可售出件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每月就可以多售出件． (1)要使商场每月销售这种商品的利润达到元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ (2)该商场1月份的销售量为件，月份和月份的平均增长率为．若前三个月的总销售量为件，求值． 【答案】(1)每件商品应降价元 (2)值为 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握一元二次方程解决实际问题的方法是解题的关键． （1）设每件商品应降价元，则每件利润为（元），降价后的销售量为件，由此列式求解即可； （2）根据题意，分别算出月份月份的销售量，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：设每件商品应降价元，则每件利润为（元）， ∵售价为元时，每月可售出件，每件商品降价元，商场每月就可以多售出件， ∴降价后的销售量为（件）， ∴，整理得，， 解得，，， ∴当降价元时，每月销售量为（件），当降价元时，每月销售量为（件）， ∵有利于减少库存， ∴每件商品应降价元； （2）解：根据题意，月份的销售量为件，月份的销售量为， ∵前三个月的总销售量为件， ∴， 令，整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴， 解得，， ∴值为． 48．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）石家庄西柏坡作为革命圣地．拥有丰富的历史文化资源，近年来，景区的知名度和吸引力不断提升，吸引了大量游客前来参观和体验，据了解2024年7月份该基地接待参观人数为10万，9月份接待参观人数增加到12.1万． (1)求这两个月参观人数的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计该景区10月份的参观人数． 【答案】(1) (2)万 【分析】本题考查了一元二次方程的应用增长率的问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据题意，解之取其正值即可得出结论； （2）根据题意10月份的参观人数，即可求出结论． 【详解】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这两个月参观人数的月平均增长率为． （2）（万人）． 答：预计10月份的参观人数为万人． 【易错必刷十七 营销问题】 49．（24-25九年级下·广东广州·开学考试）《广州市电动自行车管理规定》自2024年12月30日起正式实施．该规定强调了驾驶电动自行车时，驾驶人及乘坐人均要规范佩戴安全头盔．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个． (1)求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，则每月可卖出500个，若在此基础上每个头盔涨价1元，则每月要少卖出20个．为使每月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔10月份及12月份的月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该品牌头盔每个涨价元，则每个盈利元，每月可售出个，根据总利润=每个的利润月销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）设该品牌头盔每个涨价y元，则每个盈利元，每月可售出个， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． 答：该品牌头盔每个应涨价5元． 50．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销量，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若降价5元，则平均每天销售数量为________件； (2)为尽快减少库存，要使该商店每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？ 【答案】(1)30 (2)20元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用； （1）根据在每天销售20件的基础上销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件进行求解即可； （2）设每件商品应降价元，则每天的销售量为件，再根据总利润=单件利润×销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，若降价5元，则平均每天销售数量为（件）， 故答案为：30； （2）解：设每件商品应降价元， 由题意得，． 整理得：， 解得或． ∵要尽快减少库存， ∴． ∴每件商品应降价20元． 51．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）“秋风起，蟹脚痒”，某学校九年级利用星期天开展社会实践活动，调查某种规格的螃蟹价格．如表是“数一数二”小组的记录表，请你根据相关信息解答表中的问题1和问题2． ××学校社会实践记录表 团队名称 数一数二 活动时间 2024.10.26 班级人员 第三小组10名同学 地点 农贸市场 实践内容 调查螃蟹行情，帮市场解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 螃蟹的进价为40元/kg． 螃蟹售价为50元/kg时，每天可销售螃蟹的总重量为100km．（当天售价确定后，一天的售价均不变） 售价每涨价1元/kg，每天销售螃蟹的总重量会少2kg． 解决问题 问题1 某天螃蟹的市场销售总重量为90kg时，当天能获利多少元？ 问题2 若市场想一天销售螃蟹的总利润为1750元，则“数一数二”小组会建议将螃蟹的售价定为多少元/kg？ 【答案】问题1：某天螃蟹的市场销售总重量为90kg时，当天能获利1350元 问题2：螃蟹的售价为65元 【分析】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的应用， 对于问题1，先设螃蟹的售价为元/kg，再根据总重量相等列出方程，求出解即可； 对于问题2，设螃蟹的售价为元，再根据1kg的利润乘以总重量等于总利润列出方程，求出解，即可得出符合题意的解． 【详解】解：问题1：设螃蟹的售价为元/kg，由题意得： ， 解得：， （元）． 答：某天螃蟹的市场销售总重量为90kg时，当天能获利1350元； 问题2：设螃蟹的售价为元， 由题意得：， 解得：． 要帮市场解决销售问题的同时为顾客谋实惠， 舍去， 答：螃蟹的售价为65元． 【易错必刷十八 与图形有关的问题】 52．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园内开辟一块劳动教育基地．一面利用学校的墙（墙的长度为），用长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地，供同学们进行劳动实践．若围成的菜地面积为，求此时的长． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先设的长为，则的长为，结合面积公式列式，解得，即可作答． 【详解】解：依题意，设的长为， 则的长为， 根据题意得：， 解得或， 当时，， ∴的长为5米，不合题意舍去； 当时，，符合题意． 答：的长为； 53．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为米和米，该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用总长米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门，设长米． (1)求的长度（用含的代数式表示，并求出的取值范围）． (2)若饲养场的面积为平方米，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用、一元一次不等组的求解，根据实际情境确定变量的取值范围，对方程解合理取舍是解题的关键． （1）由得，即可得出答案； （2）根据矩形的面积等于长宽建立方程，求解并检验即可． 【详解】（1）解：由图可知，, 长米， 米， ， ，且， ． （2）解：饲养场的面积为平方米， 则， 即， 解得， ， 舍去， ． 54．（24-25九年级上·河北唐山·期中）阅读下列材料，并完成相应学习任务： 古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数．所有的三角形数都具有如图2所示的规律． 学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题： (1)根据此规律可知第个三角形数是____________；（用含的代数式表示） (2)请判断是第几个三角形数？写出解答过程； (3)若相邻两个三角形数的和是，则这两个三角形数分别是多少？请直接写出结果． 【答案】(1)； (2)78是第12个三角形数，见解析； (3)55和66． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，图形规律，根据图形找出规律是解答关键． （1）根据图形找出规律求解； （2）根据（1）的规律来求解； （3）设较小的三角形数是，则较大三角形数是，根据题意列出方程求解． 【详解】（1）解：因为第一个图三角形的个数为：， 第二个图三角形的个数为：， 第三个图三角形的个数为：， ， 第一个图三角形的个数为：． 故答案为：． （2）解：根据题意得：， 整理得， 解得，． 因为是正整数， 所以舍去， 是第12个三角形数． （3）解：设较小的三角形数是， 则较大三角形数是， 由题意得：， 解得，（舍去）， 当时，， ， 所以这两个三角形数是和． 【易错必刷十九 动态几何问题】 55．（23-24九年级上·四川眉山·期末）如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P，Q两点同时出发，任意一点先到达终点时，两点同时停止，当的面积等于4时，则P，Q两点同时移动的时间是（    ） A．1秒或4秒 B．1秒 C．2秒或4秒 D．4秒 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设t秒后，的面积等于4，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设t秒后，的面积等于4， 由题意得：，则 ∵， ∴， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 即1秒后，的面积等于4． 故选：B． 56．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图， cm，OC是一条射线，，一只蚂蚁由A点以1cm/s速度向B点爬行，同时另一只蚂蚁由O点以2cm/s的速度沿OC方向爬行，则 秒钟后，两只蚂蚁所处位置与O点组成的三角形面积为100． 【答案】10或 【分析】可以分两种情况进行讨论：（1）当蚂蚁在上运动；（2）当蚂蚁在上运动．根据三角形的面积公式即可列方程求解． 【详解】解：有两种情况： （1）如图1，当蚂蚁在上运动时， 设x s后两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为100， 由题意，得， 整理，得， 解得； （2）如图2，当蚂蚁在上运动时， 设x秒钟后，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为100， 由题意，得， 整理，得， 解得，（舍去）． 答：10s或s后，两蚂蚁与O点组成的三角形的面积均为100． 故答案为：10或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．分两种情况进行讨论是难点． 57．（24-25九年级·福建龙岩·期末）如图，已知在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以1的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2的速度移动．    (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)2或3 (2)不能，理由见解析 【分析】本题通过动点的形式考查一元二次方程求解及利用判别式判定是否存在实数根， （1）根据题意可以求得对应运动时经过的路程，利用三角形面积公式即可求的时间； （2）根据题意列出一元二次方程，用判别式求解方程根的情况，即可说明是否存在． 【详解】（1）解：（1）设经过x秒以后的面积等于， 则， 整理得：， 解得：或． 答：2秒或3秒后的面积等于． （2）设经过x秒以后的面积能否等于，则 ， 整理得：， ， 所以，方程没有实数根，故的面积不能等于． 【易错必刷二十 一元二次方程多结论问题】 58．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）对于一元二次方程（），下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的是（   ） A．只有① B．只有①② C．只有②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．①根据，可用，表示，进而得出的正负，②利用根的判别式即可解决问题，③将代入讨论即可． 【详解】解：， ， ， ， ，故①正确． 方程有两个不相等的实根， ， 即． 又，且， ， 则方程有两个不相等的实根，故②正确． 是方程的一个根， ， 即， 或，故③错误． 综上分析可知：正确的只有①②． 故选：B． 59．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列说法： ①方程是关于的一元二次方程； ②方程的常数项是4； ③当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解； ④若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根．其中正确的是 ． 【答案】④ 【分析】本题主要考查了一元二次方程的有关概念，解题的关键是理解一元二次方程的有关概念．根据一元二次方程的有关概念进行分析即可． 【详解】解：对于方程，若，则该方程不是关于的一元二次方程，故说法①错误； 方程整理为一般形式为，其常数项是，故说法②错误； 当一次项系数为0时，该方程不一定有解，故说法③错误； 若一元二次方程的常数项为，则必是它的一个根，说法④正确． 故答案为：④． 60．（23-24九年级上·河北沧州·期中）对于一元二次方程，有下列说法： ①若，则； ②若方程两根为1和2，根据根与系数的关系可得：； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ④若c是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程解的定义，①，即系数和为0，说明原方程有一根是1，，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，就有两个，；②已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论；③判断方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．④若c是方程的一个根，则，当时，不成立． 【详解】解：①若，方程有一根为1，又由于，则，正确； ②由两根关系可知，，整理得：，正确； ③若方程有两个不相等的实根，则，可知，故方程必有两个不相等的实根，正确． ④若c是方程的一个根，则，当时，不成立，错误； 正确的说法有①②③， 故答案为：①②③． 【易错必刷二十一 一元二次方程新定义问题】 61．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，例：，若关于的方程，则此方程 （填“有两个不相等”“有两个相等”“没有”）实数根． 【答案】没有 【分析】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根．根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， ∴此方程没有实数根， 故答案为：没有． 62．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有 ．（填序号即可） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及根的判别式．根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；一元二次方程与它的倒方程有公共解，可以判定②正确；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对③④进行判断． 【详解】解：①的倒方程为， 把代入方程得， 解得，所以原说法错误； ②一元二次方程与它的倒方程有公共解，公共解是， 原说法正确； ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解，原说法正确，因为倒方程的判别式的值也小于0，方程没有实数根； ④当时，一元二次方程的根的判别式， 也为一元二次方程，此方程的根的判别式， 所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意； 故答案为：②③④． 63．（23-24八年级下·北京·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 【答案】(1)①② (2)或， (3) 【分析】（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得，根据新定义列出方程即可求解． 本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①， 即， 解得：， ， 是差积方程； ②， 即， 解得， ， 是差积方程； ③， 即， 解得：，，故③不是差积方程； 故答案为：①②； （2）解：， 即， 解得：，， 是差积方程， ， 即或． 解得：或， （3）解：， 解得：， ， 是差积方程， ， 即， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $$