专题06 一元二次方程50道压轴题型专训（10大题型）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题06 一元二次方程50道压轴题型专训（10大题型） 题型一 配方法的应用压轴 题型二 根的判别式压轴 题型三 根据一元二次方程根的情况求参数 题型四 换元法解一元二次方程 题型五 一元二次方程根与系数的关系压轴 题型六 营销问题 题型七 与图形有关的问题 题型八 动态几何问题 题型九 一元二次方程与函数的联系 题型十 一元二次方程的新定义问题 【经典例题一 配方法的应用压轴】 1．（24-25七年级上·上海·期中）多项式的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）已知，则的最小值是 ； 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知a、b、c满足，，，则 ． 4．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，则的最小值为______； (2)）若，求y的最小值． (3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．    5．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：，或 ③选取一次项和常数项配方： 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，求的值 (3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【经典例题二 根的判别式压轴】 6．（24-25九年级上·重庆·期中）定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求，对于这两个结论判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 7．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根，则下列选项成立的是（    ） A．若﹣1＜a＜0，则 B．若，则0＜a＜1 C．若0＜a＜1，则 D．若，则-1＜a＜0 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）（1）一元二次方程在范围内有 个根； （2）关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为 ． 9．（23-24八年级下·北京·期中）已知关于的方程有整数根，求自然数的值． 10．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 【经典例题三 根据一元二次方程根的情况求参数】 11．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 12．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）对实数，，定义运算“”为：．已知关于的方程，若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ：若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是 ． 13．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为 ． 14．（24-25八年级下·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“整根点”，若一元二次方程的两个实数根都是整数，我们就称这个一元二次方程为“整根方程”． (1)求函数的图象上所有“整根点”的坐标； (2)若一元二次方程为“整根方程”，求整数k的值； (3)若一元二次方程有两个不相等的实数根且为“整根方程”，求k的值． 15．（2019·福建泉州·一模）已知关于的方程． (1)求证：不论为何值，方程必有实数根； (2)当为整数时，方程是否有有理根？若有求出的值，若没有请说明理由． 【经典例题四 换元法解一元二次方程】 16．（24-25九年级下·浙江·自主招生）设，若，满足且则 ， ． 17．（23-24九年级上·四川南充·期中）若实数x满足，则的值是 ． 18．（24-25八年级下·全国·课后作业）解方程． 19．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解下列方程： （1）； （2）． 20．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即，∴． ∵，∴． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x，y满足，求的值． （2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 【经典例题五 一元二次方程根与系数的关系压轴】 21．（24-25九年级上·四川巴中·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则；②若方程的两根符号相同，那么方程的两根符号也相同；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若的一个实数根为4，则方程定有一个实数根为．其中正确的是 ．（填序号） 22．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是 ． 23．（24-25九年级上·重庆黔江·期末）已知实数， 满足等式，，则的值是 ． 24．（24-25九年级上·四川内江·期中）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则________，________；若2，3是方程的两根，则________，________； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，且，求的值． (3)已知a，b，c，满足，，则正整数c的最小值为________． 25．（24-25八年级上·上海·期中）若一元二次方程有两个实数根为、，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如的两个根分别为、．则，． (1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和．不解方程，请求一元二次方程的两个根的倒数和． (2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，、、，，． 设，，则，即，解得，所以原方程的解为、．请利用小明的方法解方程． (3)小睿同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以可得．若该方程的三个根分别为、、，则，将其展开后为，于是、、．若三次方程的三个根分别为、、，且．请先说明、再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为、、． 【经典例题六 营销问题】 26．（24-25·重庆·二模）某汽车租赁公司用650万元资金购进A、B两种型号小轿车共30辆，已知A型车每辆25万元，比每辆B型车贵10万元． (1)求该公司购进A、B两种型号的轿车数量分别是多少； (2)据统计，每辆A型车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加300元，未租出的车将增加1辆．B型车的月租金为每辆3000元，因价格相对较低，每月均能全部租出．租出的车每辆每月的平均维护费为500元，未租出的车辆每月平均维护费为100元．规定每辆车月租金不能超过5000元，当每辆A型车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到9.95万元？ 27．（24-25九年级下·重庆渝中·自主招生）广阳岛原称广阳坝、广阳洲，位于重庆市南岸区明月山、铜锣山之间，距离市中心11公里，面积6.44平方公里，是长江上游最大的江心绿岛，市政府邀请国内一流的智库力量和设计团队，开展各项规划和城市设计，着力将广阳岛建设成“回归五百年前的生态，引领五十年后的生活”的智创生态城．24-25年8月经历重新打造的广阳岛景区重新面对游客开放．游客可以选择从朝天门码头乘轮渡登岛游览或者在岛外乘坐摆渡车进入岛内游玩．据了解，9月试营业期间轮渡票价和摆渡车票价之比为，预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，摆渡车票销售总额20万元，轮渡票销售总额是摆渡车票销售总额的两倍． (1)求轮渡票价格和摆渡车票价格每张多少元？ (2)为了庆祝国庆佳节，提升市民生活品质，景区管理处决定，十月份降低轮渡票价和摆渡车票价．轮渡票价在试运行单价的基础上降低（），摆渡车票价比试运行单价降低元，这样轮渡票销售量和九月一样，摆渡车票的销售量比九月减少了，轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元．求a的值． 28．（24-25九年级上·江西赣州·期末）返校复学之际，育才学校为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设学校共买了瓶免洗抑菌洗手液． （1）当时，每瓶洗手液的价格是______元；当时，每瓶洗手液的价格是______元；当时，每瓶洗衣手液的价格为______元（用含的式子表示）； （2）若学校一次性购买洗手液共花费1250元，问一共购买了多少瓶洗手液？ 29．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）健康食品越来越受到人们的青睐，某公司在2016年推出两种健康食品套餐，到年底共卖出万份，其中套餐卖出万份，两种套餐共获利润万元、已知销售一份套餐可获利润元，销售一份套餐可获利润元． （1）用含的代数式表示； （2）随着市场需求不断变化，经营策略也随之调整．2017年，该公司将每份套餐的利润增加到元，每份套餐的利润不变．经核算，两种套餐在这一年的销售总量与2016年相同，其中套餐的销售量增加，两种套餐的总利润增加万元． ①求2017年每种套餐的销售量； ②由于套餐的需求量逐年上涨，而原材料供应不足，因此，2018年该公司将每份套餐的利润在2017年的基础上增加，2019年在2018年的基础上又增加、若套餐在近三年销售量不变的情况下，仅2019年一年就获利万元，求的值． 30．（24-25九年级·重庆·阶段练习）24-25年5月24日上午10点，巴南区何区长通过网络平台直播，化身带货达人，为巴南优质特色产品宣传推广.已知黑蜂土蜂蜜每盒60元，巴南银针绿茶每盒100元．统计显示，本次直播，共卖出黑蜂土蜂蜜和巴南银针绿茶共计1000盒，黑蜂土蜂蜜和巴南银针绿茶的总销售额为76000元. （1）24-25年5月24日何区长的直播，共卖出巴南银针绿茶多少盒？ （2）国庆节间，巴南茶厂为了回馈顾客，举行了线上半小时秒杀促销活动，巴南银针绿茶每盒降价，销量比5月24日区长直播时巴南银针绿茶的销量增加了，最终，该次秒杀活动巴南银针绿茶的销售额比5月24日区长直播时巴南银针绿茶的销售额多80a元，求a的值. 【经典例题七 与图形有关的问题】 31．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场，如图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？ 32．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．    一分为二 （1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______． （2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______． 一分为多 （3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例． 一分为三 （4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值． 33．（23-24九年级上·福建三明·期中）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；    ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．      (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________．    34．（23-24九年级上·四川内江·期中）阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想――转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． (1)问题：方程的解是______； (2)拓展：用“转化”思想求方程的解； (3)应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿走到点P处，把长绳段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求的长．    35．（24-25七年级下·广东深圳·期末）在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知，，可以在不求、的值的情况下，求出的值．具体做法如下： ． (1)若，则______； (2)若满足，求的值，同样可以应用上述方法解决问题．具体操作如下： 解：设，， 则，， 所以． 请参照上述方法解决下列问题：若，求的值； (3)如图，某校“园艺”社团在三面靠墙的空地上，用长12米的篱笆（不含墙）围成一个长方形花圃ABCD，花圃ABCD的面积为20平方米，其中墙AD足够长，墙墙AD，墙墙AD，米．随着学校“园艺”社团成员的增加，学校在花圃旁分别以边向外各扩建两个正方形花圃，以边向外扩建一个正方形花圃（如图所示虚线区域部分），请问新扩建花圃的总面积为______平方米．    【经典例题八 动态几何问题】 36．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止．若点P移动的时间为t秒． (1)当点P在移动时，的长为 （用含t的式子表示），t的取值范围是 ． (2)当以A、P、Q为顶点的三角形的面积为时，求t的值． 37．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图所示，中，，，． (1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，问几秒后，的面积为？ 38．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果、两点同时出发． (1)________，________，________（用含的代数式表示）； (2)经过几秒后的面积等于； (3)四边形的面积能否等于，请说明理由． 39．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动．与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，点P、Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动，设移动时间为：． (1)填空：______，______；（用含t的代数式表示） (2)是否存在t的值，使得的面积为？若存在请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)连接，是否存在t的值．使得的面积等于，若存在请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (4)是否存在t的值，使得的面积与四边形的面积之比等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 40．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与实践 如图1，在矩形中，，动点分别以的速度从点同时出发，点沿着运动到点时停止，点沿着运动到点时停止．设运动时间为．    (1)当点在上运动时，________________________．（用含的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求的值． (3)如图2、图3，点沿着运动到点的过程中，当的面积为时，求的值． 【经典例题九 一元二次方程与函数的联系】 41．（23-24九年级上·全国·课后作业）一次函数的图象如图所示，在第一象限内的图象上是否存在一点P，使过点P所作的两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的四边形的面积为2？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 42．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）【学习新知】如果关于x的一元二次方程的两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为，因此，所以有，我们记“”，即时，方程为倍根方程：【问题解决】 (1)方程①；②；③；④，这几个方程中，是倍根方程的是 　 　（填序号即可）； (2)若是倍根方程，求的值； (3)关于x的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求此倍根方程的表达式并求出方程的解． 43．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交与于点P（点P在线段AB上，且不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为点C，D．    (1)当矩形OCPD的面积为1时，试求点P的坐标； (2)在（1）成立的条件下，试求函数的解析式； (3)请直接写出不等式的解集． 44．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标恰好是横坐标的倍，那么我们就把这个点定义为“萌点”． (1)若一次函数的图象上有一个“萌点”的横坐标是，求值； (2)若二次函数的图象上没有“萌点”，求的取值范围． 45．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点、重合），过点分别作和的垂线，垂足分别为、．    (1)点坐标为__________，线段__________； (2)当矩形的面积为时，求点的坐标． 【经典例题十 一元二次方程的新定义问题】 46．（23-24九年级上·福建三明·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”． 例如，一元二次方程的两个根是和，则一元二次方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”；若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (2)如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则之间满足什么样的关系？说明理由． 47．（24-25九年级上·江西吉安·期中）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 48．（23-24八年级下·山东淄博·期末）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 49．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_______，_______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； (3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 50．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以为横坐标和纵坐标得到的点，称为该一元二次方程的“友好点”． (1)若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为 ． (2)若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元二次方程50道压轴题型专训（10大题型） 题型一 配方法的应用压轴 题型二 根的判别式压轴 题型三 根据一元二次方程根的情况求参数 题型四 换元法解一元二次方程 题型五 一元二次方程根与系数的关系压轴 题型六 营销问题 题型七 与图形有关的问题 题型八 动态几何问题 题型九 一元二次方程与函数的联系 题型十 一元二次方程的新定义问题 【经典例题一 配方法的应用压轴】 1．（24-25七年级上·上海·期中）多项式的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将多项式2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51分组配方，根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51 =x2﹣4xy+4y2+12x﹣24y+36+x2+2xy+y2+15 =(x﹣2y)2+12(x﹣2y)+36+(x+y)2+15 =(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15 ∵(x﹣2y+6)2≥0，(x+y)2≥0， ∴(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15≥15． 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法在多项式最值中的应用，熟练掌握配方法并灵活运用及恰当分组，是解答本题的关键． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）已知，则的最小值是 ； 【答案】4 【分析】本题主要考查了配方法的应用，先根据题意得到，再利用配方法得到，当时，根据，推出，则，当时，根据，推出，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，，当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：4． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知a、b、c满足，，，则 ． 【答案】3 【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a、b、c的值，从而求得a+b+c的值． 【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得： ， 即， ∴， ∴a=3,b=-1,c=1， ∴a+b+c=3-1+1=3， 故答案为3． 【点睛】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键． 4．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，则的最小值为______； (2)）若，求y的最小值． (3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．    【答案】(1)2； (2)y最小值为4； (3)25． 【分析】（1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可； （2）将的分子分别除以分母，展开，将含的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可； （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出，四边形的面积用含的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】（1）当时，，当且仅当时取等号， 当时，的最小值为2． 故答案为：2； （2）由， ， ， 当且仅当，即当时取等号， 当时，y最小值为4； （3）设，已知， 则由等高三角形可知： ， 四边形面积， 当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为25． 【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大，属于中档题． 5．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：； ②选取二次项和常数项配方：，或 ③选取一次项和常数项配方： 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，求的值 (3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)当，时，取得最小值，最小值为 【分析】（1）根据配方的定义，分别选取二次项、一次项、常数项中的两项，进行配方即可得出三种形式； （2）首先根据配方法把变形为，再根据偶次方的非负性，得出，，解出、的值，然后将、的值代入代数式，计算即可得出结果； （3）首先根据配方法把代数式变形为，再根据偶次方的非负性，得出，进而得出当，时，取得最小值，再进行计算即可得出结果． 【详解】（1）解：第一种形式：选取二次项和一次项配方， ； 第二种形式：选取二次项和常数项配方， ； 或 ； 第三种形式：选取一次项和常数项配方， ； （2）解：， 配方，得：， 即， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， 当，时，取得最小值， 即当，时，取得最小值，最小值为． 【点睛】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式进行配方是解本题的关键． 【经典例题二 根的判别式压轴】 6．（24-25九年级上·重庆·期中）定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求，对于这两个结论判断正确的是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】本题考查了新定义方程，解一元二次方程，根的判别式，把代入方程，求出方程的根，再根据“友好方程”的定义即可判断①；利用因式分解法解方程得，或，，分两种情况，根据“友好方程”的定义求出的取值范围，进而可判断②；理解新定义方程是解题的关键． 【详解】解：①当时，方程为， 解得，， ∴， ∵，且， ∴该方程是“友好方程”，故①正确； ②∵， ∴， ∴或， ∴，或，， ∵该方程是“友好方程”， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 当，时， ∵， ∴， 解得， ∵有且仅有个整数满足要求， ∴此时的值不存在； 当，时，， 解得， 又∵， ∴此时满足要求的整数的值只有，两个，故②错误； 综上，结论①正确，②错误， 故选：． 7．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根，则下列选项成立的是（    ） A．若﹣1＜a＜0，则 B．若，则0＜a＜1 C．若0＜a＜1，则 D．若，则-1＜a＜0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，再代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根k， ∴ ， ， 又∵， ∴a-b-1=0，即a=b+1， ∴ax2-2ax+a=0， 解得：x1=x2=1， ∴k=1， 当时，即， 即， ∴a（a-1）<0， 即或 解得0<a<1 当时，即， 即， ∴a（a-1）>0， 即或 解得：a>1或a<0． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）（1）一元二次方程在范围内有 个根； （2）关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为 ． 【答案】 1 或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解．熟练掌握是解决本题的关键． （1）先解一元二次方程，然后通过根判断在范围内的个数即可； （2）分两种情况进行讨论，当方程只有一个解时，当方程有2个不相同的解时，分别列出判别式以及不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）， ， ∴， 在范围内有1个根， 故答案为：1； （2）当方程只一个解且在范围时， ，即， 解得， ∵此时， ∴， ∴， 当方程有两个不相等的实数根，且只有一个在的范围内时， ， 解得或， ∵方程在的范围内有实数根， ∴，不等式组无解， 或 ，解得， ∴m取值范围或． 故答案为：或． 9．（23-24八年级下·北京·期中）已知关于的方程有整数根，求自然数的值． 【答案】1或13 【分析】本题考查了一元二次方程的整数根，解不等式等知识，当时，求出方程的解并判断是否符合题意；当即时，将原方程转化为，进而得出，根据，求出x的取值范围，把范围内的整数解依次代入检验，即可得出结论． 【详解】解：当时，原方程为， 解得，不符合题意，舍去； 当即时，原方程变形为， 当时，此时不成立， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∵方程有整数根， ∴x的整数解可能为，，0，1，2，3，4，5，6， 又， ∴， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上，自然数的值为1或13． 10．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识． （1）计算一元二次方程根的判别式，即可得到无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）利用公式法求出方程的解为或，根据得到，把变形为，根据为整数， m为整数即可得到或，即可求出m的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：， ∵， ∴方程都有两个不相等的实数根， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴也为整数， ∵m为整数， ∴或， ∴整数m所有可能的值为，，，． 【经典例题三 根据一元二次方程根的情况求参数】 11．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，分为等腰三角形的底和腰两种情形，讨论求解即可得到答案，应用分类讨论解答是解题的关键． 【详解】解：当为底时，由题意得， 解得， 此时一元二次方程为， 解得， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去； 当为腰时，将代入方程得， ， 解得或， 当时，一元二次方程为， 解得，， 三边长为，可以构成三角形； 当时，一元二次方程为， 解得，， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去， 综上，， 故选：． 12．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）对实数，，定义运算“”为：．已知关于的方程，若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ：若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新运算、一元二次方程根的判别式．解决本题的关键是根据新运算规定的运算规律把等式转化为一般的一元二次方程，然后再利用一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】解：， ， 又， ， 即， 若该方程有两个相等的实数根，则， 由得：， 由得：或， ； 若该方程有两个不等负根，则， 解得：． 故答案为：，． 13．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解．熟练掌握是解决本题的关键． 当，解得；当，有或，分别解不等式组即可得出答案． 【详解】解：当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时， 则， 解得：， 此时， ∴， 解得：， ∴， 当一元二次方程有两个不相等的实数根，且只有一个在的范围内时， ， 解得：，或， 当时，， ∵， 设，则不在的范围内， ∴， 解得， 当时，原方程为：，解得，，，两个根都在的范围内，不符合题意； 当时，原方程为：，解得，，，不在的范围内，符合题意； 因此， 当时，， ∵， ∴不在的范围内， ∴， 解得无解， ∴的取值范围为或， 故答案为：或． 14．（24-25八年级下·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“整根点”，若一元二次方程的两个实数根都是整数，我们就称这个一元二次方程为“整根方程”． (1)求函数的图象上所有“整根点”的坐标； (2)若一元二次方程为“整根方程”，求整数k的值； (3)若一元二次方程有两个不相等的实数根且为“整根方程”，求k的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由x是整数，当时，是一个无理数，可得，从而可得答案； （2）先利用根的判别式得到，结合题意可得，或1，2，3，4，再利用求根公式进行分析判断即可； （3）把原方程化为，可得，，则，整理，可得，即，结合、都是整数，或，再分情况求解即可． 【详解】（1）解：∵x是整数，当时，是一个无理数， ∴时，不是整数， ∴，， 即函数的图象上的“整根点”的只有1个，坐标为． （2）∵有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵为整数， ∴或1，2，3，4， ∵原方程有两个整数根， ∴为整数， 而也为整数， ∴当时，，符合题意， 当，或2，或3时不是整数，不符合题意； 当时，，，符合题意； 综上：或． （3）∵， 则， ∴或 ∴，， ∴， 整理，可得， ∴， ∵、都是整数， ∴或， ∴或， ①当时， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴此时方程无解； 综上，可得． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一元二次方程的整数根问题，熟练的利用根的判别式，因式分解的方法，公式法解方程，清晰的分类讨论是解本题的关键． 15．（2019·福建泉州·一模）已知关于的方程． (1)求证：不论为何值，方程必有实数根； (2)当为整数时，方程是否有有理根？若有求出的值，若没有请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)没有有理根，理由见详解 【分析】（1）①当时，方程为一元一次方程，即可求解；②当时，方程为二元一次方程，由一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根；据此进行求解即可． （2）①当时，即：，即可求解；②当时，当为整数时，假设方程有有理根，则需满足：是完全平方数，设(为整数)，则有，即可求解． 或或或， 【详解】（1）解：由题意得 ①当时，即：， 方程为一元一次方程：， 此时方程必有实数根； ②当时，即：， 此时方程为一元二次方程， ，，， ， ， ， ， 故不论为何值，方程必有实数根； 综上所述：不论为何值，方程必有实数根． （2）解：当为整数时，方程没有有理根，理由如下： ①当时，即：， 方程为一元一次方程，方程有有理根， 为整数， 此情况不存在； ②当时， 当为整数时，假设方程有有理根， 则需满足：是完全平方数， 设(为整数)，则有 ， 或或或， 解得：或， 此时与为整数矛盾， 当为整数时，方程没有有理根； 综上所述：当为整数时，方程没有有理根． 【点睛】本题考查了根的判别式，含有参数方程的特殊解法，掌握解法是解题的关键． 【经典例题四 换元法解一元二次方程】 16．（24-25九年级下·浙江·自主招生）设，若，满足且则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组的求解问题，解题的关键是把二元方程转化为一元方程求解．由题意得：，，进而得到，再根据公式法解出值，把值代入，即可求出． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， ，（舍去）， ， ， 故答案为：，． 17．（23-24九年级上·四川南充·期中）若实数x满足，则的值是 ． 【答案】5 【分析】根据方程特点设，则原方程可化为，接下来解一元二次方程求y，即为的值，最后验根即可解答．本题属于换元法解方程的问题，关键是掌握这类问题的求解方法． 【详解】解：方程整理得：， 设， 则原方程变形为：， ， ，， 当时，， ， ， 则， 故答案为：5 18．（24-25八年级下·全国·课后作业）解方程． 【答案】 【分析】把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得，然后设，解得y的值，最后解得x的值． 【详解】解：把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得 （x2+5x-14）（x2+5x+4）=19． 设，① 则（y-9）（y+9）=19， 即y2-81=19． 解得，将y1、y2的值代入①式得， 或， 解得． 【点睛】本题主要考查高次方程求解的问题，解决此类问题的关键是仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法降次解之，此类题具有一定的难度，同学们解决时需要细心． 19．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），，，；（2），． 【分析】（1）根据阅读材料利用换元法降次，令，即原方程=，求解即可． （2）同理，令，即原方程=，求解即可． 【详解】（1）设， 得：， 解得：，． 当时，，解得：， 当时，，解得：，． ∴原方程的解为，，，． （2）设，则方程可变成， ∴， ，． 当时，，所以无解． 当时，， ∴， ∴，． 经检验，是原方程的解． 【点睛】本题考查利用换元法解一元二次方程．利用整体换元把一些形式复杂的方程变成一元二次方程，从而达到降次的目的是解答本题的关键． 20．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即，∴． ∵，∴． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x，y满足，求的值． （2）若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 【答案】（1）；（2）这四个整数为2，3，4，5 【分析】（1）设2x2+2y2=m，则原方程变为（m+3）（m-3）=27，解方程求得m=±6，根据非负数的性质即可求得x2+y2=3； （2）设最小的正整数为x，则另三个分别为x+1、x+2、x+3，根据题意可得方程x（x+1）（x+2）（x+3）=120，整理为（x2+3x）（x2+3x+2）=120，设x2+3x=y，则原方程变为y（y+2）=120，解方程求得y=-12或10，由于y是正整数，可得y=10，所以x2+3x=10，再解方程求得x的值即可. 【详解】解：（1）设，则， ∴，即，∴， ∵，∴， ∴． （2）设最小数为x，则， 即：， 设，则， ∴，， ∵，∴， ∴，（舍去）， ∴这四个整数为2，3，4，5． 【点睛】本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 【经典例题五 一元二次方程根与系数的关系压轴】 21．（24-25九年级上·四川巴中·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则；②若方程的两根符号相同，那么方程的两根符号也相同；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若的一个实数根为4，则方程定有一个实数根为．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由，可知是方程的解，利用判别式可判断①；由方程的两根符号相同，由根与系数的关系可得，，对于方程，则有和，可判断②；由是方程的一个根，则有，可判断③；由题意得，利用公式法解方程，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：若，则是方程的解，即方程有实数根， ，故①正确； 若方程的两根符号相同，设两根为、， ，， 符号相同， 对于方程，则， 方程有实数根，设两根为、， ， 、符号相同，故②正确； 若是方程的一个根，则有， ， 或， 当时，不一定有成立，故③错误； 若的一个实数根为4，则有， 对于方程，则， ， ， ，， 方程定有一个实数根为，故④正确； 综上所述，其中正确的是①②④． 故答案为：①②④． 22．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是 ． 【答案】2029 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键．先根据根与系数的关系得出，，再利用一元二次方程解的定义得到，，从而得到，，则原式化简为，最后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根 ，，， ， ，即 故答案为：2029． 23．（24-25九年级上·重庆黔江·期末）已知实数， 满足等式，，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解． 【详解】解：∵实数， 满足等式，， ∴m，n是方程的两实数根， ∴，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根是解题的关键． 24．（24-25九年级上·四川内江·期中）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则________，________；若2，3是方程的两根，则________，________； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，且，求的值． (3)已知a，b，c，满足，，则正整数c的最小值为________． 【答案】(1)，，，6 (2)； (3)3 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点：若一元二次方程的两个根是，那么，． （1）直接利用根与系数的关系可得和的值，根据根与系数的关系得到，即可得到p、q的值； （2）等式变形为，m、可看作方程的两根，利用根与系数的关系即可解答； （3）利用已知条件变形得到，，根据根与系数的关系，则a、b为一元二次方程的两根，再根据根的判别式的意义得到，然后确定c的最小整数值． 【详解】（1）解：∵，是方程的两根， ∴，； ∵2，3是方程的两根， ∴，解得． 故答案为：，，，6； （2）解：∵， ∴，即， ∵两个不相等的实数m，n满足，， ∴m、可看作方程的两根， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴a、b为一元二次方程的两根， ∵，而， ∴，即． ∴c的最小整数为3． 故答案为：3． 25．（24-25八年级上·上海·期中）若一元二次方程有两个实数根为、，那么，，这就是一元二次方程的根与系数的关系．利用该结论，不解方程便可以求二次方程的两根之和与积，例如的两个根分别为、．则，． (1)小聪同学喜爱思考，他发现利用根与系数的关系不仅可以求解两根之和与两根之积，还可求解方程两根的倒数和．不解方程，请求一元二次方程的两个根的倒数和． (2)小明同学酷爱数学，他进一步研究根与系数的关系，发现了一种解一元二次方程的新方法．例如方程，、、，，． 设，，则，即，解得，所以原方程的解为、．请利用小明的方法解方程． (3)小睿同学善于发现，他对三次方程的根与系数关系作了探究，将该方程两边同时除以可得．若该方程的三个根分别为、、，则，将其展开后为，于是、、．若三次方程的三个根分别为、、，且．请先说明、再直接（不必书写过程）写一个三次方程且使得该三次方程的三个根分别为、、． 【答案】(1) (2)、 (3)，详见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系的综合应用等知识点， （1）把两根倒数和通分后代入计算即可； （2）仿照小明同学的求解即可； （3）由根与系数的关系，可得，，，代入即可证出，可设新方程为，由题意和根与系数的关系化简即可得出m，n，p的值，进而即可得解； 熟练掌握其性质并灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）， 、、， ，． 设，， ∴，即， 解得， ∴原方程的解为、； （3）∵三次方程的三个根分别为、、，且， ∴由根与系数的关系，可得，，， ∴， 由题意得，可设新方程为， ∵新的三次方程，其三个根分别为、、， 又∵， ∴新的三次方程，其三个根分别可化为、、， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴新方程为． 【经典例题六 营销问题】 26．（24-25·重庆·二模）某汽车租赁公司用650万元资金购进A、B两种型号小轿车共30辆，已知A型车每辆25万元，比每辆B型车贵10万元． (1)求该公司购进A、B两种型号的轿车数量分别是多少； (2)据统计，每辆A型车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加300元，未租出的车将增加1辆．B型车的月租金为每辆3000元，因价格相对较低，每月均能全部租出．租出的车每辆每月的平均维护费为500元，未租出的车辆每月平均维护费为100元．规定每辆车月租金不能超过5000元，当每辆A型车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到9.95万元？ 【答案】(1)购进A种型号的轿车20辆，B种型号的轿车10辆； (2)4900 【分析】（1）设该公司购进A种型号的轿车x辆，B种型号的轿车y辆，根据“用650万元资金购进A、B两种型号小轿车共30辆，已知A型车每辆25万元，比每辆B型车贵10万元．”列出方程组，即可求解； （2）设每辆A型车的月租金定为m元，则可租出辆，根据题意，列出方程，即可求解 【详解】（1）解：设该公司购进A种型号的轿车x辆，B种型号的轿车y辆，根据题意得： ，解得：， 答：该公司购进A种型号的轿车20辆，B种型号的轿车10辆； （2）解：设每辆A型车的月租金定为m元，则可租出辆，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵规定每辆车月租金不能超过5000元， ∴m=4900， 答：当每辆A型车的月租金定为4900元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到9.95万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 27．（24-25九年级下·重庆渝中·自主招生）广阳岛原称广阳坝、广阳洲，位于重庆市南岸区明月山、铜锣山之间，距离市中心11公里，面积6.44平方公里，是长江上游最大的江心绿岛，市政府邀请国内一流的智库力量和设计团队，开展各项规划和城市设计，着力将广阳岛建设成“回归五百年前的生态，引领五十年后的生活”的智创生态城．24-25年8月经历重新打造的广阳岛景区重新面对游客开放．游客可以选择从朝天门码头乘轮渡登岛游览或者在岛外乘坐摆渡车进入岛内游玩．据了解，9月试营业期间轮渡票价和摆渡车票价之比为，预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，摆渡车票销售总额20万元，轮渡票销售总额是摆渡车票销售总额的两倍． (1)求轮渡票价格和摆渡车票价格每张多少元？ (2)为了庆祝国庆佳节，提升市民生活品质，景区管理处决定，十月份降低轮渡票价和摆渡车票价．轮渡票价在试运行单价的基础上降低（），摆渡车票价比试运行单价降低元，这样轮渡票销售量和九月一样，摆渡车票的销售量比九月减少了，轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元．求a的值． 【答案】(1)9月试营业期间轮渡票价格为50元/张，摆渡车票价格为20元/张 (2)a的值为30 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设9月试营业期间轮渡票价格为元张，摆渡车票价格为元张，利用数量总价单价，结合预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，可列出关于的分式方程，解之经检验后可得出的值，再将其代入，中，即可求出结论； （2）利用销售总额销售单价销售数量，结合十月份轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设9月试营业期间轮渡票价格为元张，摆渡车票价格为元张， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ，． 答：9月试营业期间轮渡票价格为50元张，摆渡车票价格为20元张； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），． 答：的值为30． 28．（24-25九年级上·江西赣州·期末）返校复学之际，育才学校为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设学校共买了瓶免洗抑菌洗手液． （1）当时，每瓶洗手液的价格是______元；当时，每瓶洗手液的价格是______元；当时，每瓶洗衣手液的价格为______元（用含的式子表示）； （2）若学校一次性购买洗手液共花费1250元，问一共购买了多少瓶洗手液？ 【答案】（1）8，7，；（2）一共购买了250瓶洗手液． 【分析】（1）根据购买的瓶数，分别计算或列式即可； （2）根据题意确定x的取值范围，再列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵80＜100， ∴每瓶洗手液的价格是8元； 当x＝150时，每瓶洗手液的价格是：8﹣1＝7（元）， 当时，每瓶洗手液的价格是：（元）， 故答案为：8，7，； （2）①0≤x≤100时，8×100＝800＜1250（舍去）； ②∵最低价格不能低于每瓶5元， ∴， 解得，x≤250， ∴当100＜x≤250时，． 解得，x1＝x2＝250， 答：一共购买了250瓶洗手液． 【点睛】本题主要考查了列方程解应用题，能够熟练找出题中的等量关系是解答此题的关键，注意分类讨论． 29．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）健康食品越来越受到人们的青睐，某公司在2016年推出两种健康食品套餐，到年底共卖出万份，其中套餐卖出万份，两种套餐共获利润万元、已知销售一份套餐可获利润元，销售一份套餐可获利润元． （1）用含的代数式表示； （2）随着市场需求不断变化，经营策略也随之调整．2017年，该公司将每份套餐的利润增加到元，每份套餐的利润不变．经核算，两种套餐在这一年的销售总量与2016年相同，其中套餐的销售量增加，两种套餐的总利润增加万元． ①求2017年每种套餐的销售量； ②由于套餐的需求量逐年上涨，而原材料供应不足，因此，2018年该公司将每份套餐的利润在2017年的基础上增加，2019年在2018年的基础上又增加、若套餐在近三年销售量不变的情况下，仅2019年一年就获利万元，求的值． 【答案】（1）（或）；（2）①2017年项套餐销售量为万份，2017年项套餐销售量为万份；② . 【分析】（1）根据题意，找出题目的等量关系，列出方程，解方程即可得到答案； （2）①根据题意，先确定A和B套餐的销售量，然后列出方程组，解方程组即可得到答案； ②分别求出B套餐2017年、2018年、2019年的盈利，然后列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）根据题意，B套餐卖出份，则 ， ∴（或）； 依题意得，2017年项套餐销售量为：万份， 项套餐销售量为：万份， 根据题意得： 解得： 所以2017年项套餐销售量为（万份） 2017年项套餐销售量为(万份）    依题意可知，   2017年项套餐每份盈利元， 2018年项套餐每份盈利元， 2019年项套餐每份盈利元， 所以根据题意得：     设，则   解得： (不符合题意，舍去） ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，以及列代数式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确理解题意，列出方程进行解题． 30．（24-25九年级·重庆·阶段练习）24-25年5月24日上午10点，巴南区何区长通过网络平台直播，化身带货达人，为巴南优质特色产品宣传推广.已知黑蜂土蜂蜜每盒60元，巴南银针绿茶每盒100元．统计显示，本次直播，共卖出黑蜂土蜂蜜和巴南银针绿茶共计1000盒，黑蜂土蜂蜜和巴南银针绿茶的总销售额为76000元. （1）24-25年5月24日何区长的直播，共卖出巴南银针绿茶多少盒？ （2）国庆节间，巴南茶厂为了回馈顾客，举行了线上半小时秒杀促销活动，巴南银针绿茶每盒降价，销量比5月24日区长直播时巴南银针绿茶的销量增加了，最终，该次秒杀活动巴南银针绿茶的销售额比5月24日区长直播时巴南银针绿茶的销售额多80a元，求a的值. 【答案】（1）400盒；（2）a的值7.5． 【分析】（1）据“卖出黑蜂土蜂蜜和巴南银针绿茶共计1000盒；黑蜂土蜂蜜和巴南银针绿茶的总销售额为76000元”两个等量关系，列二元一次方程组求解； （2）在（1）的基础上依题意据“销售额=单价×销售量”，列方程求解． 【详解】（1）设直播当日，共卖出巴南银针绿茶x盒，黑蜂土蜂蜜y盒，由题意得 解之得 答：直播当日共卖出巴南银针绿茶400盒． （2）依题意得方程 化简得 解之得（舍去），． 答：a的值7.5． 【点睛】此题考查列方程（组）解决实际问题．此类问题除了找相等关系外，一定要注意检验方程（组）的解符合应用题描述的实际情况． 【经典例题七 与图形有关的问题】 31．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场，如图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？ 【答案】预留的上、下通道的宽度为米，左、中、右通道的宽度为1米． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设预留的上、下通道的宽度为米，则矩形冰场的宽为米，矩形冰场的长为米，根据冰场的面积是原空地面积的，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出预留的上、下通道的宽度，再将其代入中即可求出预留的左、中、右通道的宽度． 【详解】解：设预留的上、下通道的宽度为米，则矩形冰场的宽为米，矩形冰场的长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：预留的上、下通道的宽度为米，左、中、右通道的宽度为1米． 32．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．    一分为二 （1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______． （2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______． 一分为多 （3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例． 一分为三 （4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值． 【答案】（1）；（2）；（3）同意，见解析；（4）见详解 【分析】（1）先求得小长方形的长和宽，再根据小矩形与原矩形长宽比相等列方程求解即可； （2）由小矩形的长以及长宽比求得小矩形的宽，再根据两个小矩形的宽之和为a列方程求解即可； （3）通过连接矩形的四条边的中点可将矩形分为4个一样的小矩形，再求小矩形的长宽比便可验证； （4）分四种情况：①沿原矩形的长3等分为三个矩形，②先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为，③先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为，④先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1；根据相似矩形的长宽比，利用原矩形的长和宽建立方程求解即可； 【详解】解：（1）由图可知阴影正方形的边长为1， ∴小长方形的宽为，长为1， ∵小矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 解得：或（边长不能为负舍去）， ∴； （2）∵两小矩形的长都为1，且与原矩形的长宽比相同， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； （3）同意，如下图连接矩形的四条边的中点，将矩形分为4个小矩形，    四个小矩形的长和宽都为和，长宽比为与原矩形长宽比相同； （4）共有四种情况： ①如下图沿原矩形的长3等分，    小矩形和原矩形的长宽比都为a， 小矩形的长为1，则宽为， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ②如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为，    根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为，右边矩形的长为， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ③如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为，    根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为，右边矩形的宽为， ∴∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ④如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1，    根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为， ∴右边两矩形的宽和长为， ∴右上矩形的长为，右下矩形的宽为， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了相似矩形，一元二次方程，分情况要按照先一分为二，再将其中一个一分为二的思路来讨论． 33．（23-24九年级上·福建三明·期中）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；    ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．      (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________．    【答案】(1)； (2)，图形见详解； (3)，． 【分析】（1）运用直接开平方法解方程，即可得到方程的另一个根． （2）将方程变形为，画四个长为，宽为的矩形，构造一个“空心”大正方形；仿照例题求解即可； （3）由中间围成的正方形面积为4，可得中间正方形的边长为2．设长方形的宽为x，则长为，由题意得，整理得，即可求得a和b的值．仿照例题构造大正方形，即可求出x的值． 本题主要考查学生的阅读理解能力，综合运用知识的能力．读懂例题，正确的构造出大正方形是解题的关键． 【详解】（1）由得 ∴ ∴原方程的另一个根是． 故答案为： （2）将方程变形为， 画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，    则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． （3）∵中间围成的正方形面积为4， ∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为， 由题意得， 整理得， ，． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． ∴方程的一个正根为． 故答案为：，．．        34．（23-24九年级上·四川内江·期中）阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想――转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． (1)问题：方程的解是______； (2)拓展：用“转化”思想求方程的解； (3)应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿走到点P处，把长绳段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求的长．    【答案】(1)，， (2)； (3)AP的长为4m 【分析】（1）先将该方程转化成，然后再求解即可； （2）由可得且，然后解出x即可； （3）设，则，然后根据勾股定理求得和，然后再根据列方程求出x即可． 【详解】（1）解：， ， ， 所以或或， ，，； （2）解：， 方程的两边平方，得， 即， ， 或， ，， 当时，， 所以不是原方程的解． 所以方程的解是； （3）解：因为四边形是矩形， 所以， 设，则， 因为， ，， ∴， ∴， 两边平方，得， 整理，得， 两边平方并整理，得；即， 所以． 经检验，是方程的解． 答：AP的长为4m． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及转换法的应用，掌握转换法是解答本题的关键． 35．（24-25七年级下·广东深圳·期末）在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知，，可以在不求、的值的情况下，求出的值．具体做法如下： ． (1)若，则______； (2)若满足，求的值，同样可以应用上述方法解决问题．具体操作如下： 解：设，， 则，， 所以． 请参照上述方法解决下列问题：若，求的值； (3)如图，某校“园艺”社团在三面靠墙的空地上，用长12米的篱笆（不含墙）围成一个长方形花圃ABCD，花圃ABCD的面积为20平方米，其中墙AD足够长，墙墙AD，墙墙AD，米．随着学校“园艺”社团成员的增加，学校在花圃旁分别以边向外各扩建两个正方形花圃，以边向外扩建一个正方形花圃（如图所示虚线区域部分），请问新扩建花圃的总面积为______平方米．    【答案】(1)37 (2)52 (3)116 【分析】（1）根据材料介绍方法解答即可； （2）仿照操作方法解答即可； （3）先说明，设米，则米，然后根据“花圃ABCD的面积为20平方米”列方程求得x，然后再列式求得扩建花圃的面积即可． 【详解】（1）解：． （2）解：设，， 则，， 所以． （3）解：∵四边形长方形， ∴， ∵， ∴， 设米，则米 由题意知，解得或，经检验，均符合题意 ①当时， ∴新扩建花圃的总面积为:(平方米)； ②当时，， 新扩建花圃的总面积为:(平方米) ． 综上，新扩建花圃的总面积为116平方米． 故答案为116． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、灵活利用完全平方公式成为解答本题的关键． 【经典例题八 动态几何问题】 36．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止．若点P移动的时间为t秒． (1)当点P在移动时，的长为 （用含t的式子表示），t的取值范围是 ． (2)当以A、P、Q为顶点的三角形的面积为时，求t的值． 【答案】(1)； (2)经过秒时，以、、为顶点的三角形面积为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式． （1）利用的长的长点的运动速度运动时间，可用含的代数式表示出的长； （2）当时，，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值；当时，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值．再取符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：动点从点出发，沿向终点以的速度移动， 经过秒，， ． ，，， ； 故答案为：；； （2）解：， 当时，，， ，即， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， ， 解得：（不符合题意，舍去）． 经过秒时，以、、为顶点的三角形面积为． 37．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图所示，中，，，． (1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，问几秒后，的面积为？ 【答案】(1)经过秒或秒，使的面积等于 (2)经过秒或秒或秒后的面积为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，数形结合，分类讨论以及找准等量关系是解题的关键． （1）设经过秒，使的面积等于，则，，推出，再根据三角形面积公式列式求解即可； （2）分三种情况根据三角形面积公式列出方程：①点在线段上，点在线段上；②点在线段上，点在延长线上；③点在射延长线上，点在延长线上． 【详解】（1）解：设经过秒，使的面积等于， 则，， ， ， ，即， 解得：或， 经过秒或秒，使的面积等于； （2）解：①点在线段上，点在线段中， 设经过秒，的面积为，， 依题意得：，， ，， ，， 由题意得：，即， ， 解得：（舍去）或， 故符合题意； ②点在线段上，点在的延长线上， 设经过秒，的面积为，， 依题意得：，， ，， ，， 由题意得：，即， ， 解得：，符合题意； ③点在延长线上，点在的延长线上， 设经过秒，的面积为，， 依题意得：，， ，， ，， 由题意得：，即， 解得：或（舍去）， 故符合题意； 综上所述，经过秒或秒或秒后的面积为． 38．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果、两点同时出发． (1)________，________，________（用含的代数式表示）； (2)经过几秒后的面积等于； (3)四边形的面积能否等于，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)2秒 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，含30度角的直角三角形，利用面积公式正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）过点作，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，利用面积公式，列出一元二次方程，进行求解即可； （3）利用分割法求面积，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，； 故答案为： （2）过点作， ∵，， ∴， ∴的面积为， 解得：或（不合题意，舍去）； 故经过2秒后的面积等于； （3）不能，理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴四边形的面积为， 当四边形的面积等于时， ，整理，得：， ∵， ∴方程无实数根， 故四边形的面积不能等于． 39．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动．与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，点P、Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动，设移动时间为：． (1)填空：______，______；（用含t的代数式表示） (2)是否存在t的值，使得的面积为？若存在请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)连接，是否存在t的值．使得的面积等于，若存在请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (4)是否存在t的值，使得的面积与四边形的面积之比等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用、列代数式等知识． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据的面积为列方程并解方程即可； （3）根据的面积等于列方程并解方程即可； （4）分别求出的面积和四边形的面积，的面积与四边形的面积之比等于，据此列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动．与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴，， 故答案为：， （2）∵点P、Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动，且， ∴， 由题意可得，， 解得（不合题意，舍去） ∴当时，的面积为； （3）由题意可得，，，， ∵的面积等于， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴， ∴当时，的面积等于； （4）由题意可得，的面积， 四边形的面积， ∵的面积与四边形的面积之比等于， ∴， 整理得， 解得（不合题意，舍去） ∴当时，的面积与四边形的面积之比等于． 40．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与实践 如图1，在矩形中，，动点分别以的速度从点同时出发，点沿着运动到点时停止，点沿着运动到点时停止．设运动时间为．    (1)当点在上运动时，________________________．（用含的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求的值． (3)如图2、图3，点沿着运动到点的过程中，当的面积为时，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用： （1）根据路程等于速度乘以时间得到，，则； （2）根据矩形的性质得到，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点P在和点P在上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； （3）解：当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得，， ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，． 【经典例题九 一元二次方程与函数的联系】 41．（23-24九年级上·全国·课后作业）一次函数的图象如图所示，在第一象限内的图象上是否存在一点P，使过点P所作的两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的四边形的面积为2？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，矩形的判定与性质，一元二次方程的应用，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 过点P作轴于点E，轴于点F，则四边形是矩形．用待定系数法求出直线的表达式为，设点P的坐标为，根据矩形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：不存在，理由如下： 如图，设直线交x轴于点A，交y轴于点B， 过点P作轴于点E，轴于点F，则四边形是矩形． ∵一次函数的图象过点， ∴ 解得 ∴直线的表达式为． 假设存在满足题意的点P， 设点P的坐标为， 则， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根， ∴在第一象限内的图象上不存在点P，使过点P所作的两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的四边形的面积为2． 42．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）【学习新知】如果关于x的一元二次方程的两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为，因此，所以有，我们记“”，即时，方程为倍根方程：【问题解决】 (1)方程①；②；③；④，这几个方程中，是倍根方程的是 　 　（填序号即可）； (2)若是倍根方程，求的值； (3)关于x的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求此倍根方程的表达式并求出方程的解． 【答案】(1)①④ (2)0 (3)；， 【分析】（1）依据题意，由“倍根方程”的定义，找出方程①、②、③中K的值，由此即可得出结论； （2）依据题意，将方程整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出，整理后即可得出，即可得解； （3）依据题意，由方程是倍根方程即可得出m、n之间的关系，再由一次函数图象上点的坐标特征即可得出m、n之间的关系，进而即可求出m、n的值，得出方程的表达式，最后求出方程的解即可． 【详解】（1）解：在方程①中，； 在方程②中，； 在方程③中，； 在方程④中，； 是倍根方程的是①④． （2）解：整理得：， ∵是倍根方程， ， ∴； （3）解：是倍根方程， ， ， 在一次函数的图象上， ， ，， 此方程的表达式为， ∴， ∴， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、根与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，新定义运算，解题时要熟练掌握题目中提供的信息，是解题的关键． 43．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交与于点P（点P在线段AB上，且不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为点C，D．    (1)当矩形OCPD的面积为1时，试求点P的坐标； (2)在（1）成立的条件下，试求函数的解析式； (3)请直接写出不等式的解集． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】（1）设，则利用矩形的性质列出关于的方程，通过解方程求得值，继而求得点的坐标； （2）将点坐标代入正比例函数，即可求得正比例函数的解析式； （3）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象上， 可设，， 由题意得， 整理得， 解得，， 或． 或，时，矩形的面积为1． （2）当时，则， 解得， 正比例函数解析式为； 当，时，则， 解得， 正比例函数解析式为； 故函数的解析式为或； （3）或，， 不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，解答本题的关键是进行数形结合进行解题． 44．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标恰好是横坐标的倍，那么我们就把这个点定义为“萌点”． (1)若一次函数的图象上有一个“萌点”的横坐标是，求值； (2)若二次函数的图象上没有“萌点”，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由“萌点”的定义可知，该“萌点”坐标为，代入，即可求出的值； （2）设点是二次函数的图象上任意一点，由于点满足“萌点”条件，因此根据题意可知，它不是该二次函数图象上的点，于是利用即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的图象上有一个“萌点”的横坐标是， 该“萌点”坐标为， ， 解得：； （2）解：设点是二次函数的图象上任意一点， ， 即：， 根据题意可知，点不是二次函数图象上的点， 一元二次方程没有实数解， ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，解一元一次方程，根据一元二次方程根的情况求参数，解一元一次不等式等知识点，准确理解题中给出的“萌点”定义，正确运用点与函数的关系是解题的关键． 45．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点、重合），过点分别作和的垂线，垂足分别为、．    (1)点坐标为__________，线段__________； (2)当矩形的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出点、的坐标，再根据两点间的距离公式即可求出线段的长度； （2）由点在线段上可设出点的坐标，再利用矩形的面积公式找出矩形的面积与之间的关系式，代入求出值，将其代入点坐标中即可得出结论； 【详解】（1）解：当时，， ； 当时，， ． ； （2）解：设，， ， 依题意，， 解得：， 当时，， 当时，， ∴或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【经典例题十 一元二次方程的新定义问题】 46．（23-24九年级上·福建三明·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”． 例如，一元二次方程的两个根是和，则一元二次方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”；若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (2)如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则之间满足什么样的关系？说明理由． 【答案】(1)不是， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程的求解，根与系数关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）解方程后，对比两根与 “倍根方程”的定义即可，再将和分别代入，联立两式可解值． （2）十字相乘法解出方程的两个根，再根据倍根方程的定义可得或，求解即可． （3）由根与系数关系得，，消掉，即可求出答案． 【详解】（1）解：解方程， 解得：， ∵和不是二倍关系， ∴不是“倍根方程”， ∵是“倍根方程”， ∴将和分别代入上式可得，，， 解得：， 故答案为：不是，． （2）解：原方程可化为， ∴， ∴或， ∴或． （3）解：之间满足的关系． 理由：设一个根为，则另一个根为，由根与系数关系得，， ∴，， ∴，即． ∴之间满足的关系． 47．（24-25九年级上·江西吉安·期中）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【答案】(1)； (2)，，互为倒数； (3)， 【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和换元法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）先写出的友好方程，然后再解得其友好方程的答案，通过观察，可猜想出原方程与友好方程两根之间的关系； （3）由（2）可知，的两个根分别是，，将整理为：，那么有或，从而解得答案． 【详解】（1）解：一元二次方程与称为一对“友好方程”， 一元二次方程的“友好方程”为； 故答案为：； （2）解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为， 解，得到， 解得，， 观察可知，，； 所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数． 故答案为：，，互为倒数； （3）解：已知关于的方程的两根是，， 那么的两个根分别是，， 将整理为：， 那么有或， 即，； 故答案为：，． 48．（23-24八年级下·山东淄博·期末）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②；③ 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程． （1）解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标； （2）①根据判别式即可判断方程的根的情况；②解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标；③将变形，可得过定点，根据题意方程的两个根为，根据根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴该方程的衍生点M的坐标为 （2）①∵方程为， ∴ ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ② ∴， ∴该方程的衍生点M的坐标为； ③解∶直线，过定点， ∴两个根为， ∴， ∴． 49．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_______，_______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； (3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键： （1）根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，进而得到，代入，求出的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可； （3）构造一元二次方程，得到是它的两个实数根，得到，将进行配方，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得a，b是方程的两个根， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：，， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； （3）∵， ∴， 又∵， ∴是一元二次方程的两个实数根，， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 50．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以为横坐标和纵坐标得到的点，称为该一元二次方程的“友好点”． (1)若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为 ． (2)若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，点P为该一元二次方程的“友好点”的定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会用分类讨论的思想解决问题． （1）解方程后，根据定义即可求P点坐标； （2）求出方程的解为或，再分情况讨论：当时，此时；当时，此时，当时，；再由题意分别求出m的值即可； （3）由直线经过定点，则方程的友好点P为，即可求． 【详解】（1）解：解方程得，， ∴该方程的“友好点”P的坐标为， 故答案为：； （2）的解为或， 当时，， 此时， 由题意可得， 解得； 当时，， 此时， ∴， ∴； 当时，， 此时， 解得；综上所述：m的值为或； （3）存在b，c满足条件，理由如下： ∵， ∴直线经过定点， ∴方程的友好点为， ∴方程为 ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$