专题05 一元二次方程100道计算题专项训练（10大题型）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

第05讲 一元二次方程100道计算题专项训练（10大题型） 【经典计算题一 直接开方法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·天津河西·期末）运用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 4．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 7．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）解方程． 8．（24-25八年级上·上海青浦·期中）解方程：． 9．（24-25九年级上·广东汕头·期末）解方程：． 10．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）解方程：． 【经典计算题二 配方法解一元二次方程】 11．（24-25九年级下·北京·开学考试）解方程：． 12．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）配方法解方程：． 13．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）解方程：． 14．（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程： 15．（24-25九年级上·广西桂林·期末）解方程：． 16．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）用配方法解方程：． 17．（24-25八年级上·上海·阶段练习）解方程：． 18．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）用配方法解方程：． 19．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）用配方法解关于的方程：（）． 20．（24-25八年级上·上海·阶段练习）用配方法解方程：． 【经典计算题三 公式法解一元二次方程】21．（24-25九年级上·吉林松原·期末）解方程：． 22．（24-25九年级上·四川眉山·期末）解一元二次方程：． 23．（24-25九年级上·广东梅州·期末）用适当的方法解方程：． 24．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）用公式法解方程：. 25．（23-24九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 26．（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 27．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）用公式法解方程：． 28．（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 29．（24-25九年级下·北京·开学考试）用公式法解方程：． 30．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 【经典计算题四 因式分解法解一元二次方程】 31．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）解方程：． 32．（24-25九年级上·陕西延安·期末）解方程：． 33．（24-25九年级上·黑龙江鸡西·期末）用适当的方法解下列方程． (1)； (2)． 34．（24-25九年级下·重庆·开学考试）解方程： (1) (2) 35．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）解方程：． 36．（24-25九年级上·广东茂名·阶段练习）解下列方程： (1) (2) 37．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 38．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）解下列方程 (1)； (2)． 39．（24-25九年级上·新疆伊犁·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 40．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）解方程： (1) (2) 【经典计算题五 选择合适的方法解一元二次方程】 41．（24-25九年级上·全国·单元测试）用指定方法解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法）； (3)（公式法）． 42．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 43．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程 (1)配方法 (2)公式法 44．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 45．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； 46．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）请用指定方法解下列方程： (1)公式法：； (2)因式分解法：． 47．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）请用指定方法解下列方程： (1) （用配方法） (2)（用公式法） 48．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 49．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)（用配方法） (3)（用求根公式法） (4)（用因式分解法） 50．（24-25九年级上·广东佛山·期末）用指定方法解方程： (1)（公式法） (2)（配方法） 【经典计算题六 配方法的应用】 51．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）“” 这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，，．．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：因为（，所以当___________时，代数式有最__________）（填“大”或“小”）值，这个最值为_________． (2)比较代数式与的大小． 52．（24-25九年级上·甘肃·期中）用配方法求证：代数式的值恒为正数． 53．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）选取二次三项式中的两项，配成完全平方公式的过程叫配方．例如：． (1)对进行配方， ） ； (2)已知，求的值． 54．（24-25九年级上·新疆昌吉·期中）阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下：，由，得；代数式的最小值是4． 请仿照上述方法求代数式的最小值． 55．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）阅读材料：我们知道，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式的最小值时，我们可以这样处理： ． 因为，所以，当时，取得最小值． (1)求多项式的最小值，并写出对应的x的取值． (2)求多项式的最小值． 56．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）求二次三项式的最大值或最小值． 57．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题 例题：求代数式的最小值 解： ∵        ∴不代数式的最小值为4． (1)代数式的最小值为 (2)已知实数a，b满足，求代数式的最小值． 58．（24-25九年级上·重庆丰都·阶段练习）【项目学习】“我们把多项式及叫做完全平方式”． 如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当取何值，代数式有最小值？最小值是多少？ 解： 因为，所以， 因此，当时，代数式有最小值，最小值是． 【问题解决】 利用配方法解决下列问题： （1）当___________时，代数式有最小值，最小值为___________． （2）当取何值时，代数式有最小值？最小值是多少？ 【拓展提高】 （3）当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 59．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ∵ ∴ 当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出；的最小值为______． (2)求出代数式的最小值______． 60．（24-25八年级上·山西晋中·阶段练习）阅读与思考 请认真阅读所给材料，并完成相应任务． 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得：． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或 所以． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：， ， ，即有最小值1． 任务： (1)解一元二次方程，配方后可变形为______． A．    B．    C．    D． (2)利用配方法求的最值． 【经典计算题七 换元法解一元二次方程】 61．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得，当时，即，解得，所以原方程的解为．，，请利用这种方法解方程： (1)； (2)． 62．（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）【先阅读，再解题】：解方程， 解：设，则原方程化为， 解得；， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 所以原方程的解为，， 上述解法法称为“整体换元法” 请利用“整体换元法”解方程：． 63．（24-25九年级上·湖北荆州·阶段练习）阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，；这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用换元法解方程． 64．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①， 解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． (1)解方程． (2)解方程 65．（24-25九年级上·山西晋中·阶段练习）阅读材料，解答问题： 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 66．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为，解此方程得，．当时，，∴．当时，，∴．∴原方程的解为，，，．以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想． 用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 67．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）为解方程，我们将视为一个整体． 解：设，则，原方程可化为，解得． 当时，； 当时，， 原方程的解为或． 请依据以上方法，解答以下问题． (1)解方程：． (2)已知，求的值． 68．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题： 已知，求的值． 解：设，则原方程变形为，即 得或 解答问题： (1)已知，求的值． (2)解方程： 69．（24-25九年级上·河南信阳·期中）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为 ①，解得． 当时，，∴； 当时，，∴x=±2； ∴原方程有四个根：． (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到________的目的，体现了数学的转化思想． (2)解方程． 70．（24-25九年级上·吉林松原·阶段练习）一般解方程的方法是消元或降次，请同学们认真阅读下面的材料，然后回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为． 解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，．我们把这种方法叫做换元法． 请同学们仿照上面阅读材料中的方法解方程 【经典计算题八 根据一元二次方程的解求参数】 71．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若和原方程的两个实数根都是整数，且，求的值． 72．（24-25九年级上·河南周口·期末）关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，且，求满足条件的n的范围； (2)若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n． 73．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知：关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值（），方程总有一个固定的根． 74．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若为最小正整数，求此时方程的根． 75．（24-25九年级上·广西防城港·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)给一个合适的整数值，并求出此时方程的根． 76．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 (1)当a为何值时，方程有两个相等的实数根． (2)在（1）的条件下，求方程的两个相等的实数根． 77．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)当方程无实数根时，求的取值范围． 78．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）当m取什么值时，关于x的方程 (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 79．（24-25九年级上·湖北荆州·阶段练习）已知关于的方程有两个实数根，，其中，求另一个根和的值． 80．（2024·江西九江·一模）已知关于x的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值． 【经典计算题九 一元二次方程根与系数的关系计算】 81．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 82．（24-25·北京大兴·一模）已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 83．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．若，求及m的值． 84．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 85．（24-25九年级上·湖北随州·期末）若关于的一元二次方程有一根为1． (1)求的值； (2)求上述一元二次方程的另一个根． 86．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）设，是一元二次方程的两个根．利用根与系数的关系求下列各式的值： (1) (2) 87．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，是这个方程的两个根，且，求的值． 88．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，且，求的值． 89．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）对于任意实数，，定义，已知，求实数的值． 90．（24-25九年级上·海南海口·阶段练习）定义一种新的运算法则：，如 (1)根据这个运算规则，计算的值． (2)求关于x的方程的解． 【经典计算题十 一元二次方程新定义计算】 91．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如： ．根据以上知识解决问题： (1)求的值； (2)若， 求x的值． 92．（24-25九年级·湖南株洲·阶段练习）定义：如果关于的方程（，、、是常数）与（，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是，请根据上述内容，解决以下问题： (1)写出方程的“对称方程”：____________________． (2)若关于的方程与互为“对称方程”， ①__________、__________． ②求方程的解． 93．（24-25九年级上·江苏南京·期中）定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 ． ①；②；③． (2)若方程是“和谐方程”，求m的值． (3)若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 94．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、；那么两个根的关系为：，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求m与n的关系； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明， 95．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的10倍，那么我们把这样的方程定义为“十美方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“十美方程”．根据上述定义，请判断一元二次方程是否为“十美方程”，并说明理由． 96．（23-24八年级下·北京·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 97．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由． 98．（23-24九年级上·福建泉州·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”． 例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程 是否是“邻根方程” (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一元二次方程100道计算题专项训练（10大题型） 【经典计算题一 直接开方法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·天津河西·期末）运用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）运用直接开平方法解方程即可； （）运用直接开平方法解方程即可； 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤及方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）解：， ∴或， ∴，． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据直接开平方法可进行求解方程 【详解】（1）解：移项，得， 根据平方根的意义，得， 即． （2）解：移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； （2）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． 【点睛】本题考查开平方法求解一元二次方程；掌握求平方根的方法是解题的关键． 4．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程．若，则． （1）移项，得． 两边同除以9，得． 两边同时开平方，得或， ∴，． （2）直接开平方，得 或， ∴，． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)． 【详解】解：（1）两边同除以9，得． 直接开平方，得，即，． （2）原方程可化为， 直接开平方，得，解得． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 【答案】， 【分析】将方程的两边同时开方即可求解． 【详解】解：两边直接开平方，得， 即或， 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． 7．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）解方程． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，方程移项后，运用运用直接开平方法求解即可 【详解】解： 方程变形得：， 开方得：， 解得． 8．（24-25八年级上·上海青浦·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：由题意可得：或. ∴或 解得：或. ∴.原方程的解是：， 9．（24-25九年级上·广东汕头·期末）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法求解即可，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】解： 或 ∴，． 10．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，考查学生的理解能力和计算能力，难度不是很大．其解法是先将一元二次方程整理成，然后系数化为1，再两边开平方即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴，． 【经典计算题二 配方法解一元二次方程】 11．（24-25九年级下·北京·开学考试）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法．根据配方法得出，进而直接开平方即可求解． 【详解】解：， 移项，得， ∴， ∴， 解得， 即， ∴，． 12．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解决此题的关键．利用配方法解方程即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 或， ，． 13．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用配方法解一元二次方程是解题的关键． 运用配方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 14．（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是理解并掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤．原方程变形为，利用开平方即可得到答案． 【详解】解：， 移项得，， ∴， ∴， 则， ∴或， 解得，． 15．（24-25九年级上·广西桂林·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键熟练掌握配方法，利用配方法解方程即可． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即， 开平方，得， 解得，． 16．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行配方，求解即可． 【详解】解： ， ∴， ∴． 17．（24-25八年级上·上海·阶段练习）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把方程左边配方成完全平方式，右边化为常数，解方程即可求解． 把方程整理得，进而得到，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 18．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查配方法求解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元一次方程是解题的关键； 根据配方法解一元一次方程的方法即可求解； 【详解】解：两边都除以，得 配方，得 ∴， 19．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）用配方法解关于的方程：（）． 【答案】当时，该方程无解；当时，；当时，． 【分析】本题主要考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．利用配方法得到，再对的取值分情况讨论求解，即可解题． 【详解】解： 当时，该方程无解； 当时， 有， 整理得， 解得； 当时， 有， ． 20．（24-25八年级上·上海·阶段练习）用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先化为，再根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： 即 ∴ ∴ ∴ 解得： 【经典计算题三 公式法解一元二次方程】 21．（24-25九年级上·吉林松原·期末）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 利用公式法的求根公式来求解即可． 【详解】解：方程，其中，，． ∴， ∴ 解得：，． 22．（24-25九年级上·四川眉山·期末）解一元二次方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（24-25九年级上·广东梅州·期末）用适当的方法解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法解方程．利用公式法解方程即可． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 24．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）用公式法解方程：. 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用公式法解一元二次方程成为解题的关键. 先运用根的判别式判定根的情况，然后运用求根公式求解即可. 【详解】解：， ∴，即该方程有两个不等的实数根， ∴， ∴. 25．（23-24九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)方程无解 (3)， (4)， 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式，，先确定 的值，判断方程是否有根，最后求得根即可． （1）运用公式法解一元二次方程即可； （2）运用公式法解一元二次方程即可； （3）先整理为一般式，再运用公式法解一元二次方程即可； （4）先整理为一般式，再运用公式法解一元二次方程即可； 【详解】（1）解： ， ， ∴， 解得，； （2） ， ， 方程无解； （3） ， ， ∴， 解得，； （4） ， ， ∴， 解得，． 26．（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)原方程没有实数根 (3)， 【分析】本题考查公式解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握，． （1）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （2）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案； （3）根据一化，二定，三判，四代直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将方程化为一般形式，得． ∵， ∴， ； （2）解：∵， ∴， ∴原方程没有实数根； （3）解：将方程化为一般形式，得． ∵， ∴． ∴， ∴， ． 27．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，运用公式法求解即可． 【详解】解：， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 28．（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了公式法求解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用公式法求解一元二次方程即可； （2）利用公式法求解一元二次方程即可； （3）利用公式法求解一元二次方程即可； （4）利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）， 原方程整理，得， ， ， ， ，； （3）， ， ， ， ，； （4）， 原方程整理，得． ， ， ， ，． 29．（24-25九年级下·北京·开学考试）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题关键．先将方程化成一般式，再利用公式法解一元二次方程即可得． 【详解】解：化成一般式为， 这个方程中的， 所以这个方程根的判别式为， 所以， 所以，． 30．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2) (3)， 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴， 即，． （2）将原方程进行整理，得． ∵，，， ∴， ∴， 即． （3）将原方程进行整理，得． ∵，，， ∴， ∴， 即， 【经典计算题四 因式分解法解一元二次方程】 31．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．首先利用提公因式法分解因式可得：，根据两数乘积为这两个数至少有一个数为，可得： 或，解两个一元一次方程即可． 【详解】解： 移项得：， 把方程左边因式分解得：， 或， 解得：，． 32．（24-25九年级上·陕西延安·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程，整理得到，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 整理得，， ∴， 则或， 解得：，． 33．（24-25九年级上·黑龙江鸡西·期末）用适当的方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． （2）解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 34．（24-25九年级下·重庆·开学考试）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键在于正确掌握解一元二次方程的方法． （1）利用因式分解法求解，即可解题； （2）利用因式分解法求解，即可解题． 【详解】（1）解： 或， 解得，； （2）解： 则或， 解得，． 35．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 移项后，利用因式分解法求解． 【详解】解： ∴，． 36．（24-25九年级上·广东茂名·阶段练习）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． （1）先移项，然后运用因式分解法求解即可； （2）直接运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴或 ∴． （2）解：， ， ∴或， ∴． 37．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， 或， ，； （2）解： ， ， 或， ，． 38．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（）利用因式分解法解答即可； （）先把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：方程整理得，， ∴， ∴或， ∴，． 39．（24-25九年级上·新疆伊犁·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 40．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ， 即或， 解得：，； （2）解： ， ， 即或， 解得：，． 【经典计算题五 选择合适的方法解一元二次方程】 41．（24-25九年级上·全国·单元测试）用指定方法解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法）； (3)（公式法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1） 解得，； （2） ∴ 解得，； （3） ，， ∴ 解得，． 42．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元二次方程， （1）先移项，再直接开方即可求解； （2）等式两边同时乘以2，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开方即可求解； （3）移项，提取公因式即可求解； （4）确定的值，再运用判定根的情况，若，则，否则无解，由此即可求解． 【详解】（1）解：（直接开平方法） 移项得，， 直接开方得，， ∴， ∴； （2）解：（配方法） 等式两边同时乘以2得，， 等式两边同时加4得，， ∴， 直接开方得，， ∴， ∴； （3）解：（因式分解法） 等式右边提取公因式2得，， 移项得，， 提取公因式得，， ∴或， 解得，； （4）解：（公式法） ，， ∴， ∴． 43．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程 (1)配方法 (2)公式法 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方，即可得出结果； （2）先求解，再利用求根公式计算即可． 【详解】（1）解： 移项，化“1”得：， 配方，得：， 即， 由此可得：， ，； （2）解： ，，， ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次． 44．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据直接开平方法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程； （3）根据公式法解一元二次方程； （4）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得：； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：， ∵， ， ∴， 解得：； （4）解：， ∴， ∴或， 解得：． 45．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1） 解得，； （2） ，， ∴ 解得，． 46．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）请用指定方法解下列方程： (1)公式法：； (2)因式分解法：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据公式法求解即可； （2）先提取公因式4，再利用平方差公式求解． 【详解】（1）方程中，， ∴， ∴； （2）方程可变形为：， 即， ∴或， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，熟练掌握公式法和因式分解法解方程的方法是解题的关键． 47．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）请用指定方法解下列方程： (1) （用配方法） (2)（用公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）配方法解方程即可； （2）公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）， ， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，正确的计算，是解题的关键． 48．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可； （4）方程利用因式分解法求出解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 两边都除以3，得， 两边开平方，得， 移项，得， 解得：，； （2）解：， 两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得，即， 解得：， 即，； （3）解：， 这里，，， ， ， 解得：，； （4）解：， 方程左边因式分解，得，即， 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 49．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)（用配方法） (3)（用求根公式法） (4)（用因式分解法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）开平方得到，即可求出方程的解； （2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可； （3）写出，求出，代入即可得到方程的解； （4）移项后因式分解得到，则或，即可得到方程的解． 【详解】（1）解： 开平方得，， ∴或， 解得； （2） 解：原方程整理得． 二次项系数化1，得：， 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴． （3） ∵， ∴， ∴， ∴； （4） 移项得，， 因式分解得，， ∴或， 解得 【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． 50．（24-25九年级上·广东佛山·期末）用指定方法解方程： (1)（公式法） (2)（配方法） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程； （2）先将二次项系数化为1，然后根据配方法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ∵，， ∴， 解得：， （2）解：， ∴， 两边加上，， 即， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【经典计算题六 配方法的应用】 51．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）“” 这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，，．．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：因为（，所以当___________时，代数式有最__________）（填“大”或“小”）值，这个最值为_________． (2)比较代数式与的大小． 【答案】(1)，，，小， (2) 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是利用作差法比较大小． （1）把原式利用平方法化为完全平方算与一个常数的和的形式，利用偶次方的非负性解答； （2）利用求差法和配方法解答即可． 【详解】（1）解： 时，代数式有最小值，这个最小值为； 故答案为：，，，小， （2）解： ， 52．（24-25九年级上·甘肃·期中）用配方法求证：代数式的值恒为正数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法得到，再根据偶次方的非负性得到，据此可证明结论． 【详解】证明： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值恒为正数． 53．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）选取二次三项式中的两项，配成完全平方公式的过程叫配方．例如：． (1)对进行配方， ） ； (2)已知，求的值． 【答案】(1)4，5 (2) 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）利用配方法即可填空； （2）利用配方法把原式写成两个完全平方式的和的形式，再利用非负数的性质可求得的值，即可求出的值． 【详解】（1） ， 故答案为：，； （2）∵， ∴， 即， ∴，， ∴，， ∴． 54．（24-25九年级上·新疆昌吉·期中）阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下：，由，得；代数式的最小值是4． 请仿照上述方法求代数式的最小值． 【答案】代数式的最小值是． 【分析】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答． 【详解】解：∵， 由，得 ； ∴代数式的最小值是． 55．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）阅读材料：我们知道，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式的最小值时，我们可以这样处理： ． 因为，所以，当时，取得最小值． (1)求多项式的最小值，并写出对应的x的取值． (2)求多项式的最小值． 【答案】(1)，最小值； (2)2 【分析】此题考查的是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式． （1）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案； （2）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴当时，取得最小值； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴当，时，有最小值2． 56．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）求二次三项式的最大值或最小值． 【答案】最小值为 【分析】本题考查了配方法的应用，根据配方法将二次三项式化为，即可求解． 【详解】解： ∵ ∴当，即时，取得最小值，最小值为 57．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题 例题：求代数式的最小值 解： ∵        ∴不代数式的最小值为4． (1)代数式的最小值为 (2)已知实数a，b满足，求代数式的最小值． 【答案】(1)2 (2)5 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法． （1）先将原式变形，进行配方后即可得答案； （2）由可得，再代入后，进行配方，利用配方法即可得答案． 【详解】（1）， ， ， 的最小值是2， 故答案为：2； （2）， ， ， ， 代数式的最小值是5． 58．（24-25九年级上·重庆丰都·阶段练习）【项目学习】“我们把多项式及叫做完全平方式”． 如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当取何值，代数式有最小值？最小值是多少？ 解： 因为，所以， 因此，当时，代数式有最小值，最小值是． 【问题解决】 利用配方法解决下列问题： （1）当___________时，代数式有最小值，最小值为___________． （2）当取何值时，代数式有最小值？最小值是多少？ 【拓展提高】 （3）当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】（1）1；；（2）当时，代数式有最小值，最小值是4；（3）当，时，代数式有最小值，最小值是16 【分析】本题考查完全平方公式的应用，将各小题中的多项式配方是求解本题的关键． （1）仿照文中所给的配方法的思路解答即可； （2）先提取公因数2，再利用文中所给的配方法的思路解答即可； （3）将配方成，即可解答． 【详解】解：（1） 因为， 所以， 因此，当时，代数式有最小值，最小值是． 故答案为：1；； （2）， 因为， 所以， 因此，当时，代数式有最小值，最小值是4； （3） 因为，， 所以， 因此，当，，即，时，代数式有最小值，最小值是16． 59．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ∵ ∴ 当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出；的最小值为______． (2)求出代数式的最小值______． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了配方法的应用： （1）根据偶次方的非负性得到，则，据此可得答案； （2）利用配方法得到，再仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为， 故答案为：； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为8， ∴的最小值值为8， 故答案为：8． 60．（24-25八年级上·山西晋中·阶段练习）阅读与思考 请认真阅读所给材料，并完成相应任务． 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得：． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或 所以． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：， ， ，即有最小值1． 任务： (1)解一元二次方程，配方后可变形为______． A．    B．    C．    D． (2)利用配方法求的最值． 【答案】(1)D (2)14 【分析】本题考查了配方法的应用，最值问题，解一元二次方程配方法，偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答； （2）利用材料二的思路进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：D； （2）解： ， ， ，即有最大值14． 【经典计算题七 换元法解一元二次方程】 61．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得，当时，即，解得，所以原方程的解为．，，请利用这种方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了换元法求解一元二次方程的方法，换元法就是把多项式看作一个整体把原式化简成一个一元二次方程，然后再求解看作整体的多项式即可解题． （1）阅读题干中给出方程的求解方法，我们可以把当作一个整体，设，则原方程可化简为，即可求得y的值，根据即可求得x的值，即可解题； （2）可以把当作一个整体，设，则，原方程可化简为，即可求得y的值，根据即可求得x的值，即可解题． 【详解】（1）解：设，则原方程变形为： 所以 解得，， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 所以，． （2）解：设，则原方程变形为： 所以，解得，， 当时，即，不合题意，舍去， 当时，即，解得， 所以， 62．（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）【先阅读，再解题】：解方程， 解：设，则原方程化为， 解得；， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 所以原方程的解为，， 上述解法法称为“整体换元法” 请利用“整体换元法”解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程，设，先把原方程化为关于的一元二次方程，求出它的根，再代入设中求出掌握一元二次方程的因式分解法和换元法的一般步骤是解决本题的关键． 【详解】解：， 设， 则原方程可化为， ． 解得，． 当时，即，解得； 当时，即，解得． 所以原方程的解为：，． 63．（24-25九年级上·湖北荆州·阶段练习）阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，；这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用换元法解方程． 【答案】， 【分析】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，设，于是原方程化为，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：设，于是原方程化为， ∴， 解得，； 当时，， ∴， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 此时，方程无解， 故原方程的解为，． 64．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①， 解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． (1)解方程． (2)解方程 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了绝对值的意义，换元法解一元二次方程，当所给方程的指数较大，又有倍数关系时，可考虑用换元法降次求解，掌握相关知识是解题的关键． （1）设，则原方程可化为，求出方程的解，再求出即可； （2）原方程可化为，设，原方程可化为，求出方程的解，再求出即可． 【详解】（1）解：设，原方程可化为， 解得：，． 由，得，． 由，得方程， ，此时方程无解． ∴原方程的解为：，． （2）解：原方程可化为， 设，原方程可化为， 解得，， 由，得，， 由，此时方程无解， ∴原方程的解为，． 65．（24-25九年级上·山西晋中·阶段练习）阅读材料，解答问题： 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，关键是构造元和设元． 设，则原方程可化为．然后利用因式分解法解该方程，进而求得的值；然后再利用直接开平方法求得的值． 【详解】解：设，则原分式方程可化为， 整理，得， 解得，， 当时，即， 解得， 当时，即， 解得． 综上所述，原方程的解为，． 66．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为，解此方程得，．当时，，∴．当时，，∴．∴原方程的解为，，，．以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想． 用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，，， 【分析】本题考查换元法解一元二次方程： （1）设，将原方程变形为，利用因式分解法解方程求出y值，进而即可求解； （2）设，将原方程变形为，求出y值，进而利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 解此方程得，， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴原方程的解为，． （2）解：设，则原方程化为， 解此方程得，， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴原方程的解为，，，． 67．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）为解方程，我们将视为一个整体． 解：设，则，原方程可化为，解得． 当时，； 当时，， 原方程的解为或． 请依据以上方法，解答以下问题． (1)解方程：． (2)已知，求的值． 【答案】(1)或 (2)6 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程．找出整体是解题的关键． （1）设，则原方程可化为，解得的值，再代入求得即可． （2）设，则原式可化为，解得，由，可得，即可得出结论． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ， ， 解得． 当时，； 当时，， 原方程的解为或． （2）解：设，则原式可化为， ， ， 解得， ， ， 当时，． 68．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题： 已知，求的值． 解：设，则原方程变形为，即 得或 解答问题： (1)已知，求的值． (2)解方程： 【答案】(1) (2)，，， 【分析】本题考查的是利用换元法解高次方程，一元二次方程的解法； （1）设，把方程化为，再进一步解方程即可； （2）设，则原方程化为，再进一步解方程即可． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， 即， ∴ ； （2）解：， 设，则原方程化为， 解得：或3， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 所以原方程的解为，，，． 69．（24-25九年级上·河南信阳·期中）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为 ①，解得． 当时，，∴； 当时，，∴x=±2； ∴原方程有四个根：． (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到________的目的，体现了数学的转化思想． (2)解方程． 【答案】(1)换元，降次 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用换元、因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想； （2）经分析：设,则，再运用因式分解法求出y的值，再代入得关于x的方程求解即可． 【详解】（1）解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想 故答案为：换元，降次 （2）解：设，则， ∴，解得． 当时，即，解得：． 当时，即，则， 由，此时方程无解． 所以原方程的解为． 70．（24-25九年级上·吉林松原·阶段练习）一般解方程的方法是消元或降次，请同学们认真阅读下面的材料，然后回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为． 解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，．我们把这种方法叫做换元法． 请同学们仿照上面阅读材料中的方法解方程 【答案】方程的根为， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，根据题目中的例子和换元法解方程的方法即可解答，解答本题的关键是理解题意，熟练掌握换元法． 【详解】解：设，原方程可变为， 解得：，， 当时，，解得，， 当时，，即， ∵， ∴此时方程无实根， ∴方程的根为，． 【经典计算题八 根据一元二次方程的解求参数】 71．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若和原方程的两个实数根都是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根. （1）根据列式求解即可； （2）先由（1）的结论求出k的值，再代入方程验证即可. 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ . （2）∵和原方程的两个实数根都是整数，且， ∴ ∴或或 当时，原方程为 ，解得，，符合题意， 当时，原方程为 ，解得，，不符合题意， 当时，原方程为 ，解得，，不符合题意， 所以k的值为2． 72．（24-25九年级上·河南周口·期末）关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，且，求满足条件的n的范围； (2)若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与一元二次方程根的情况关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式大于零，列出不等式，即可求解； （2）根据一元二次方程根的判别式等于零，列出方程，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ 由题意得，， 解得：； （2）解：由题意得，， 化简得：． 73．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知：关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值（），方程总有一个固定的根． 【答案】(1)且 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握相关知识并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）由方程有两个不相等的根，可得，由一元二次方程的定义可得，由此即可求得m的取值范围； （2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证． 【详解】（1）解：， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴的取值范围是且； （2）证明：∵， ∴由求根公式得 ， ∴， ， ∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1 ． 74．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若为最小正整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当方程有两个不相等的实数根，则”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根． （1）根据方程根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）由（1）的结论结合为正整数，即可得出，将其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可求出原方程的解． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有两个实数根, ， 解得：， 的取值范围为． （2）解：∵，且为最小正整数， ∴， 原方程为，即， 解得：，， 若为最小正整数时，方程的根为，． 75．（24-25九年级上·广西防城港·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)给一个合适的整数值，并求出此时方程的根． 【答案】(1)，且 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，掌握与一元二次方程根的情况是解题的关键． （1）根据方程根的情况可得，结合一元二次方程的定义可得，求解即可； （2）将代入，利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是，且； （2）解：当时，原方程为， ∴， 解得， ∴当时，方程的根为（答案不唯一）． 76．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 (1)当a为何值时，方程有两个相等的实数根． (2)在（1）的条件下，求方程的两个相等的实数根． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查一元二次方程根的判别式及解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式与根的个数之间的关系． （1）求出根的判别式，令根的判别式等于0，解出即可； （2）将a值代入，再解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个相等的实数根， ， 解得， ∴当时，方程有两个相等的实数根． （2）解：∵， ∴方程为， ∴， 解得． 77．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)当方程无实数根时，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)的取值范围是． 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）根据一元二次方程跟的判别式，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为， 因式分解得， 解得，； （2）解：∵该方程无实数根， ∴， 解得， 即若该方程有无数根，的取值范围是． 78．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）当m取什么值时，关于x的方程 (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：△时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的情况与判别式的关系确定的取值． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当时，方程有两个相等的实数根； （3）当时，方程没有实数根． 【详解】（1）解：， ， ． 当时，解得， ∴当时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：当时，解得， ∴当时，方程有两个相等的实数根； （3）解：当时，解得， ∴当时，方程没有实数根． 79．（24-25九年级上·湖北荆州·阶段练习）已知关于的方程有两个实数根，，其中，求另一个根和的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程的两根，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 80．（2024·江西九江·一模）已知关于x的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，． 【详解】解：方程的两个实数根分别为，， 由根与系数的关系可知，，. ， ，即， 解得， ， . 【经典计算题九 一元二次方程根与系数的关系计算】 81．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 【答案】(1)1，； (2)3． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及运用完全平方公式求值，熟知这些知识点是正确解题的关键． （1）设，是一元二次方程的两个实数根，则，． （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：方程中，， ，． 故答案为：1，． （2）解：， 故答案为：3． 82．（24-25·北京大兴·一模）已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据根的判别式即可验证； （2）利用根与系数的关系可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意可知：， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得： ∴， 解得 【点睛】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟记相关结论是解题关键． 83．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．若，求及m的值． 【答案】， 【分析】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系，可得出，结合，即可求出的值，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有，两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为5， ∴， 解得：． 84．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记两根之和等于，两根之积等于是解题的关键； （1）由题意可得，再求解即可； （2）当时，一元二次方程为，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根． ， 解得：； （2）解：∵ ∴当时，一元二次方程为， ， ． 85．（24-25九年级上·湖北随州·期末）若关于的一元二次方程有一根为1． (1)求的值； (2)求上述一元二次方程的另一个根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解以及根与系数的关系． （1）将已知的方程的根代入原方程，通过解方程求出的值． （2）把求得的值代入原方程，确定完整的一元二次方程，再利用韦达定理，根据已知根求出方程的另一个根． 【详解】（1）把代入方程， 得到． 解得； （2）将代入原方程， 方程变为， 即，这里， 设方程的另一个根为，已知一个根， ，则， 可得， 则一元二次方程的另一个根． 86．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）设，是一元二次方程的两个根．利用根与系数的关系求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式和分式的求值， （1）根据一元二次方程的根与系数的关系得到，，然后根据完全平方公式变形，即可求解； （2）将通分得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）∵，是一元二次方程的两个根 ∴， ∴ ； （2） ． 87．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， （1）根据题意可知，再解不等式可得出结论； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系得，，再将原式整理为，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ， 故的取值范围为； （2）解：方程的两个根分别为， ，， ， ， 解得， 故的值为． 88．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根和系数的关系，完全平方公式，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可求解； （2）根据一元二次方程根和系数的关系可得，由完全平方公式可得，求出k的值即可． 【详解】（1）关于的一元二次方程有实数根 即，解得：； （2）方程的两个实数根分别为 ，． 整理得： 解得：， 又， 89．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）对于任意实数，，定义，已知，求实数的值． 【答案】实数的值为或． 【分析】本题考查一元二次方程是知识，解题的关键是根据新定义运算，得，解出，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 得或者， 解得：，， ∴实数的值为或． 90．（24-25九年级上·海南海口·阶段练习）定义一种新的运算法则：，如 (1)根据这个运算规则，计算的值． (2)求关于x的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程： （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，据此解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 【经典计算题十 一元二次方程新定义计算】 91．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如： ．根据以上知识解决问题： (1)求的值； (2)若， 求x的值． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题主要查了解一元二次方程： （1）直接根据新运算解答，即可求解； （2）根据新运算可得，再解出方程，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 即， 解得：． 92．（24-25九年级·湖南株洲·阶段练习）定义：如果关于的方程（，、、是常数）与（，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是，请根据上述内容，解决以下问题： (1)写出方程的“对称方程”：____________________． (2)若关于的方程与互为“对称方程”， ①__________、__________． ②求方程的解． 【答案】(1) (2)①0；1；②， 【分析】此题主要考查的是解一元二次方程，公式法解一元二次方程，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义． （1）根据对称方程的定义可得答案； （2）由题意得，，即可求得，，然后利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：的“对称方程”是； （2）解：由，移项可得：， 由互为“对称方程”的定义可得， ，， 解得：，， 化为， ， ，． 93．（24-25九年级上·江苏南京·期中）定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 ． ①；②；③． (2)若方程是“和谐方程”，求m的值． (3)若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 【答案】(1)②③ (2) (3)（或） 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）根据根与系数的关系结合新定义建立方程，再解方程即可； （3）根据根与系数的关系结合新定义求解即可． 【详解】（1）解：①，则 ∴， ∴不满足，故不是“和谐方程”； ②， ∴ 满足，故是“和谐方程”； ③ 解得：， ∴， ∴满足，故是“和谐方程”； 故答案为：②③； （2）解：∵， ∴． ∵方程是“和谐方程”， ∴ ∴． 即． 解得：； （3）解：对于， 则 ∵方程为“和谐方程”， ∴， ∵， ∴，即（或）． 94．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、；那么两个根的关系为：，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求m与n的关系； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明， 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”的意义，理解“倍根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键． （1）设方程的两个根为，，由倍根方程的定义可知，利用根与系数的关系即可求得的值； （2）根据倍根方程的定义即可找出，之间的关系； （3）设与是方程的解，根据根与系数之间的关系消去即可得出答案． 【详解】（1）解：设方程的两个根为，， ∵一元二次方程是“倍根方程”， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵方程的一个根为2， 则另一个根为1或4， 当另一个根为1时，则， ∴，即：， 当另一个根为4时，则， ∴，即：； （3）解：设与是方程的解， ，， 消去得：． 95．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的10倍，那么我们把这样的方程定义为“十美方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“十美方程”．根据上述定义，请判断一元二次方程是否为“十美方程”，并说明理由． 【答案】不是“十美方程”，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法求出原方程的两个实数根是解题的关键，再结合“十美方程”的定义，即可得出一元二次方程不是“十美方程”． 【详解】解：一元二次方程不是“十美方程”，理由如下： ， ， 或， 解得：，， ，，，， 一元二次方程不是“十美方程”． 96．（23-24八年级下·北京·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)下列方程是“差积方程”的是 ； ① ② ③ (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 【答案】(1)①② (2)或， (3) 【分析】（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得，根据新定义列出方程即可求解． 本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①， 即， 解得：， ， 是差积方程； ②， 即， 解得， ， 是差积方程； ③， 即， 解得：，，故③不是差积方程； 故答案为：①②； （2）解：， 即， 解得：，， 是差积方程， ， 即或． 解得：或， （3）解：， 解得：， ， 是差积方程， ， 即， 即． 97．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义进行判断即可； （2）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义得其中一个根是另一个根的2倍，即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 2是1的2倍， 方程是倍根方程； （2）解： 解得：， ， 当时，， 当时，． 【点睛】本题考查了倍根方程的定义，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 98．（23-24九年级上·福建泉州·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”． 例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程 是否是“邻根方程” (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)或． 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解． （1）求解方程，即可进行判断． （2）利用因式分解求解方程，根据该方程是“邻根方程”即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵，， 故该方程不是“邻根方程”． （2） ∴． ∴． 由题意得：或， 解得：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$