专题04 一元二次方程的应用重难点题型专训（10大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题04 一元二次方程的应用重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 传播问题 题型二 增长率问题 题型三 与图形有关的问题 题型四 数字问题 题型五 营销问题 题型六 动态几何问题 题型七 工程问题 题型八 行程问题 题型九 图表信息题 题型十 其他问题 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x； ③依据等量关系式和未知数x建立方程； ④解方程并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 知识点02 一元二次方程应用题常见类型： 1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）数字问题。 知识点03 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础 1.增长率问题 a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 2.降低率问题 a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 总结：有关增长率和降低率的有关数量关系 增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”). 知识点04 传播问题实例探索 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 知识点05 碰面问题（循环问题） （1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m= （2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m= 【经典例题一 传播问题】 【例1】（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）有一个人患流感，经过两轮感染后共有64人患流感，则第三轮传染后共有（    ）个人患流感 A．7 B．8 C．448 D．512 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践中，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·广东阳江·一模）鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同． (1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？ (2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？ 3．（24-25九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 【经典例题二 增长率问题】 【例2】（24-25九年级上·江西赣州·期末）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，24-25年利润为2亿元，2024年利润为亿元． (1)求该企业从24-25年到2024年利润的年平均增长率； (2)若2025年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2025年的利润能否超过亿元？ 1．（24-25九年级上·重庆巫山·期末）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率x连续两次降价，已知5月份礼盒的售价为486元，根据题意可列方程为 2．（24-25九年级上·云南昆明·期末）随着新能源汽车技术的提高，电能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店新能源汽车销售量自2023年起逐月增加，据统计，该店1月份销售新能源汽车25辆，3月份销售了36辆． (1)求该店这两个月的月平均增长率； (2)若月平均增长率保持不变，求该店4月份卖出多少辆新能源汽车．（结果保留整数） 3．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）2024年是农历甲辰龙年．网店老板小王近期购进一批进价89元的“龙年大吉”保温杯，以每个100元的价格销售．由于销售火爆，保温杯的销售单价经过两次调整后，上涨到每个121元，此时每天可售出66个． (1)若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； (2)调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加3个．为了尽快减少库存，小王决定降价促销．若使每天所获销售利润为1512元，则销售单价应降低多少元？ 【经典例题三 与图形有关的问题】 【例3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）泾阳茯茶是中国传统的黑茶之一，具有消食健胃、降脂减肥、补充维生素和矿物质等功效． (1)如图，某茶庄种植茯茶，由于规模不断扩大，现计划开阔一块面积为平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多米，求采茶基地的长和宽； (2)如图，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与（）中的采茶基地大小、形状均相同，后计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光，若鲜花的种植面积为平方米，求小路的宽度． 1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）矩形种植区域如图所示，米，米．现计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜，其余区域种植胡萝卜，已知，胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半，设米． (1)______米（用含的代数式表示），______米； (2)求的长． 2．（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． (1)要使无盖长方体盒子的底面积为，那么剪去的正方形的边长为多少？ (2)你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于吗？请说明理由 (3)当把长方形硬纸板的四周分别剪去个同样大小的正方形和个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为时请直接写出结果并画出平面示意图 3．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形苗圃，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当苗圃的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的苗圃？ (2)苗圃的面积能达到：吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【经典例题四 数字问题】 【例4】（2024·云南昆明·一模）如图三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点第行有个点，已知前行共有个点，则的值为 ． 1．（24-25九年级上·辽宁·阶段练习）已知一个两位数的十位数字比个位数字大2，两位数字的积比这个两位数小34，则这个两位数为 ． 2．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 3．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）阅读与思考：下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细阅读并完成任务． 求为正整数）方法欣赏在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求为正整数）的值”这个问题的两种解法供大家欣赏． 方法1：把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2 ．．．．．．．．①   则．．．．．．② ①+②得   即： ∴． 方法2：“递归法”（设． 由完全平方公式可得，． 我们列出特殊情况：； ； ； … ．两边分别相加可得，． ． 任务： (1)计算：　　； (2)我们知道：；；；则 ； (3)列方程解答问题：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？” 【经典例题五 营销问题】 【例5】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）某网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售256袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． (1)求七月到九月月销售量的月平均增长率． (2)该网点十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价1元，销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？（农产品进价每袋25元，原售价为每袋40元） 1．（2025·广东深圳·一模）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了元，请完成下列问题： (1)降价元后的月销售量为___________件：（用含的式子表示） (2)当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 2．（24-25九年级上·四川达州·期末）某商场以每件20元的价格购进种商品，经市场调查发现该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)该商场规定这种商品每件售价不得高于40元，商场要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 3．（2025·河南安阳·模拟预测）直播带货打破了传统农产品销售的地域限制，拓宽了销售渠道，让全国各地的消费者都能品尝到特色农产品，增强了消费者对农产品的信任度，使得农产品更具吸引力．某主播带货一种农产品，经调查发现，其日销售量件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如图所示： (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)该主播日带货销售额能否达到2550元？如果能，请求出每件的售价；如果不能，请说明理由． 【经典例题六 动态几何问题】 【例6】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，另一动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，点同时出发，当有一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动时间为，那么经过多长时间，的面积为？ 1．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为S．当时， s． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P，Q分别从点D，A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止移动．若点P移动的时间为t秒． （1）当点P在移动时，的长为 ．（用含t的式子表示） （2）当以A，P，Q为顶点的三角形的面积为时，t的值为 ． 3．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，在中，，厘米，厘米．点从点开始沿边向点以1厘米秒的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以2厘米秒的速度移动（到达点即停止运动）． (1)如果、分别从、两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于的三分之一？ (2)如果、两点分别从、两点同时出发，而且动点从点出发，沿移动（到达点即停止运动），动点从出发，沿移动（到达点即停止运动），几秒钟后，、相距6厘米？ 【经典例题七 工程问题】 【例7】（24-25八年级下·浙江温州·期中）全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 1．（24-25·福建厦门·模拟预测）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12 ．经过三年治理，境内长江水质明显改善 ． （1）求的n值； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量； 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 3．（24-25八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【经典例题八 行程问题】 【例8】（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 1．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 2．（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 3．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【经典例题九 图表信息题】 【例9】（24-25九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 1．（24-25九年级上·广东广州·期末）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 3．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【经典例题十 其他问题】 【例10】（24-25九年级上·河北保定·期末）为美化市容，某广场用规格为的灰、白两种颜色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示． 【观察思考】 图1中灰砖有1块，白砖有8块；图2中灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．．． 【规律总结】 （1）图4中灰砖有_________块，白砖有________块；图n中灰砖有_______块，白砖有______块． 【问题解决】 （2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形？请通过计算说明你的理由． 1．（24-25九年级上·山西朔州·阶段练习） 图形             … 点的个数 2 3 4 5 … 线段的条数 1 3 6 10 … (1)根据表格中的规律猜想：由7个点构成的图形中有______条线段，由n个点构成的图形中有______条线段． (2)某校为庆祝国庆节，活跃同学们的文化生活，特举行歌咏比赛，七（6）班荣获年级第一名．比赛结束后，该班每两位同学之间互发一条信息庆祝．经过统计，得知全班同学共发出了1980条信息，问该班共有多少名同学？ 2．（24-25九年级上·河北保定·期中）我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（时间） … 40 50 60 … 学习效率 … 0.64 m 1 … 记录学习效率时，每10分钟为一个记录单元． (1)求40分钟到60分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和m的值． (2)研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加10分钟，学习效率值下降0.2．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能． ①求学习时间为80分钟的学习效能． ②当学习效能低于20的时候为无效学习，此时必须停止学习．恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，根据以上研究成果计算每晚作业时间的合理范围． 3．（24-25七年级上·重庆·期末）环保活动周期间，某社区每月举办一次“垃圾分类，环保惠民”活动，社区居民每月共完成垃圾分类的A类（可回收垃圾）和B类（厨余垃圾）总量可获得积分奖励．其全场月分类垃圾总量积分奖励方案如下表所示： 月分类垃圾总量 积分奖励方案 未超过100千克 不享受积分奖励 超过100千克但未超过300千克的部分 每20千克积10分 超过300千克的部分 每20千克积15分 （每1千克分类垃圾总量都可以按照奖励方案规则积分，如月分类垃圾总量为101千克可以获得积分） (1)若某家庭月分类垃圾总量为a千克，当时，该家庭获得积分奖励为______分；当时，该家庭获得积分奖励为______分（用含a的代数式表示）． (2)已知小李家第一季度前两个月都参与活动，2月的月分类垃圾总量比1月多40千克，共获得积分260分，求小李家1月的月分类垃圾总量是多少千克？ (3)为了鼓励更多家庭参与到环保活动中，社区加大力度开展了积分兑换活动，社区决定提高月分类垃圾总量超过300千克部分的积分，并定为每20千克积分，在此基础上再一次性赠送积分分．在（2）问条件下小李家2月B类分类垃圾总量是A类垃圾总量的1.2倍还要多8千克，3月小李家里A类垃圾总量比2月A类垃圾总量增加，B类垃圾总量比2月B类垃圾总量增加，3月小李家月分类垃圾总量获得积分比2月积分增长，求m的值． 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（图中单位：），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 2．（2024·四川广元·一模）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，…，前n行的点数和不能是以下哪个结果（   ）    A．820 B．600 C．465 D．210 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）小亮爸爸是一个养花爱好者．如图，他爸爸想要使用长为27米的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为12米，靠墙的一面不用篱笆），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃（中间的篱笆将长方形分成两个小长方形）．如果要围成面积为54平方米的长方形花圃，那么的长为（   ）米． A．3 B．6 C．3或6． D．4或6 4．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）某学习小组全体同学都为本组其他人员送了一张新年贺卡，若全组共送贺卡张，则这个小组的同学共有（   ）人 A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下、左、右页边距分别为、、、．若纸张大小为，考虑打印图片整体的匀称美，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需设置页边距为 ． 6．（24-25九年级上·福建泉州·期中）《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为，按此法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为，x为 ．    7．（24-25九年级上·山西大同·期末）山西作为“小杂粮王国”誉满全国，小米尤为出名，素有“中国小米在山西，山西小米数第一”的美誉．某店铺销售一批箱装小米（如图），每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱．春节期间，为了让利于顾客，该店铺计划降价销售，根据销售经验，单价每降低1元，每天可多销售2箱，则该店铺每天可获得的最大利润为 元． 8．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）有如下问题：“平面上，分别有2个点，3个点，4个点，5个点，…，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上．经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如下图表进行探究： 若某人共画了171条直线，则该平面上共有 个点． 点数 2 3 4 5 … n 示意图 … 直线条数 1 … _______ 9．（24-25九年级上·四川成都·期末）当下，夜经济已成为成都经济高质量发展的重要组成部分，李华在某夜市商圈销售成都文创纪念T恤，他以每件55元的价格进购一批纪念T恤，以70元售出，平均每天能售出36件．经李华调查发现，这种纪念T恤的售价每增加1元，其日销售量就将减少2件． (1)求关于的函数表达式； (2)为了实现平均每天400元的销售利润，纪念T恤的售价应定为多少元． 10．（24-25九年级上·河北沧州·期中）“这么近，那么美，周末到河北”，河北拥有得天独厚的自然风光和丰富的历史文化资源，吸引着众多游客前来探索；河北著名旅游景点正定古城今年5月份共接待游客达20万人次，预计在7月份，将接待游客达万人次． (1)求正定古城景区5月至7月期间接待游客人次的月平均增长率． (2)景区一个纪念品专卖店在销售中发现，一款纪念品每件进价为20元，销售价为35元时，每天可售出100件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，若每件纪念品降价1元，则平均可多售出10件，当每件售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款纪念品销售中实现平均每天1560元的利润额． 11．（24-25八年级上·上海·期末）云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． (1)若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ (2)小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 12．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 13．（24-25九年级上·广东梅州·期中）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，8月份的销售量为256件，10月份的销售量为400件．设9月份、10月份这两个月销售量的月平均增长率不变． (1)求该款吉祥物8月份到10月份销售量的月平均增长率． (2)经市场预测，11月份的销售量将与10月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销的方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该吉祥物的售价为多少元时，月销售利润为8400元? 14．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，容易发现，三角点阵中前3行的点数之和为6． (1)尝试：前15行的点数之和为 ； (2)思考：三角点阵中前行的点数之和 （填“能”或“不能”）为500．请说明理由； (3)拓展：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 15．（24-25九年级上·福建漳州·期中）下面是小艾进行数学学科项目学习时记录的部分内容． 项目主题：如何利用闲置纸板箱制作储物盒 项目探究：如图1，图中是小艾家放置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示． 下图是用闲置纸板箱拆解出的长方形纸板①，②，两种长方形纸板宽均为． 项目成果：小艾分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①制作方式：裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 长方形纸板②制作方式：将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 请你帮助小艾完成下列项目任务： 任务一：按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a为__________cm； 任务二：利用任务一计算所得的数据a，进一步探究． （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求裁去角上4个相同的小正方形的边长； （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为，求小长方形的边的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元二次方程的应用重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 传播问题 题型二 增长率问题 题型三 与图形有关的问题 题型四 数字问题 题型五 营销问题 题型六 动态几何问题 题型七 工程问题 题型八 行程问题 题型九 图表信息题 题型十 其他问题 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x； ③依据等量关系式和未知数x建立方程； ④解方程并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 知识点02 一元二次方程应用题常见类型： 1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）数字问题。 知识点03 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础 1.增长率问题 a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 2.降低率问题 a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 总结：有关增长率和降低率的有关数量关系 增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”). 知识点04 传播问题实例探索 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 知识点05 碰面问题（循环问题） （1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m= （2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m= 【经典例题一 传播问题】 【例1】（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）有一个人患流感，经过两轮感染后共有64人患流感，则第三轮传染后共有（    ）个人患流感 A．7 B．8 C．448 D．512 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮一个人传染个人，第一轮后共有（）个人，第一轮后共有个人，即可求解；找出其中等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设每轮一个人传染个人，由题意得 ， 解得：， 则第三轮传染后共有（人）， 故选：D． 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践中，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），． 故选：B． 2．（2023·广东阳江·一模）鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同． (1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？ (2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？ 【答案】(1)12只 (2)2197只 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式． （1）平均每只病鸡传染了x只健康鸡，则第一天有x只鸡被传染，第二天有只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可； （2）根据经过三轮传染后患病的鸡＝经过两轮传染后患病的鸡数+经过两轮传染后患病的鸡数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每只病鸡传染了x只健康鸡，由题意得： ， 解，得，，(不符合题意舍去)， 答：每只病鸡传染健康鸡12只； （2）解：， 答：三轮传染后，患病的鸡共有2197只． 3．（24-25九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 【答案】(1)7，13，21 (2) (3)10个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，还涉及有理数的计算，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）分别求出主干、支干和小分支的总数填表即可； （2）①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：；②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：；③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）由题意得，再解方程即可． 【详解】（1）解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为； 则填表为： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 （2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）解：由题意得，， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每个支干长出10个小分支． 【经典例题二 增长率问题】 【例2】（24-25九年级上·江西赣州·期末）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，24-25年利润为2亿元，2024年利润为亿元． (1)求该企业从24-25年到2024年利润的年平均增长率； (2)若2025年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2025年的利润能否超过亿元？ 【答案】(1)年平均增长率为 (2)能超过 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）可得2024年利润为元，进而可求解； （2）2025年的利润为，求出进行比较，即可求解； 掌握增长率的典型模型（）的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：设企业从24-25年到2024年利润的年平均增长率为，由题意得 ， 解得：，（舍去）， 答：企业从24-25年到2024年利润的年平均增长率为； （2）解：由题意得 （亿元）， ， 企业2025年的利润能超过亿元． 1．（24-25九年级上·重庆巫山·期末）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率x连续两次降价，已知5月份礼盒的售价为486元，根据题意可列方程为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．商家在3月份提价后的价格为元，4，5月份按照相同的降价率x连续两次降价后价格为，据此可列出方程． 【详解】解：商家在3月份提价后的价格为元，4，5月份按照相同的降价率x连续两次降价后价格为，所以可列方程． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·云南昆明·期末）随着新能源汽车技术的提高，电能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店新能源汽车销售量自2023年起逐月增加，据统计，该店1月份销售新能源汽车25辆，3月份销售了36辆． (1)求该店这两个月的月平均增长率； (2)若月平均增长率保持不变，求该店4月份卖出多少辆新能源汽车．（结果保留整数） 【答案】(1)该店这两个月的月平均增长率为 (2)该店4月份卖出43辆新能源汽车 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该店这两个月的月平均增长率为，利用该店3月份销售新能源汽车的数量该店1月份销售新能源汽车的数量该店这两个月的月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用该店4月份销售新能源汽车的数量该店3月份销售新能源汽车的数量该店这两个月的月平均增长率），即可求出结论． 【详解】（1）解：设该店这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该店这两个月的月平均增长率为； （2）解：根据题意得：（辆． 答：该店4月份卖出43辆新能源汽车． 3．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）2024年是农历甲辰龙年．网店老板小王近期购进一批进价89元的“龙年大吉”保温杯，以每个100元的价格销售．由于销售火爆，保温杯的销售单价经过两次调整后，上涨到每个121元，此时每天可售出66个． (1)若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； (2)调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加3个．为了尽快减少库存，小王决定降价促销．若使每天所获销售利润为1512元，则销售单价应降低多少元？ 【答案】(1)每次上涨的百分率为 (2)销售单价应降低20元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设每次上涨的百分率为，则第一次调整后的售价为元，第二次调整后的售价为元，由此列方程即可； （2）设销售单价应降低元，根据进价、售价、销量、利润之间关系列方程，即可求解． 【详解】（1）解：设每次上涨的百分率为， 由题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每次上涨的百分率为． （2）解：设销售单价应降低元，根据题意，得 解方程，得，（不合题意，舍去）． 答：销售单价应降低20元． 【经典例题三 与图形有关的问题】 【例3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）泾阳茯茶是中国传统的黑茶之一，具有消食健胃、降脂减肥、补充维生素和矿物质等功效． (1)如图，某茶庄种植茯茶，由于规模不断扩大，现计划开阔一块面积为平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多米，求采茶基地的长和宽； (2)如图，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与（）中的采茶基地大小、形状均相同，后计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光，若鲜花的种植面积为平方米，求小路的宽度． 【答案】(1)采茶基地的长为米，宽为米； (2)小路的宽度为米． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设采茶基地的宽为米，则长为米，根据面积为平方米列方程，然后解方程并检验即可； （）设小路的宽度为米，根据鲜花的种植面积为平方米列出方程，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设采茶基地的宽为米，则长为米， 根据题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：采茶基地的长为米，宽为米； （2）解：由（）得采茶基地的长为米，采茶基地的宽为米，设小路的宽度为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：小路的宽度为米． 1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）矩形种植区域如图所示，米，米．现计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜，其余区域种植胡萝卜，已知，胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半，设米． (1)______米（用含的代数式表示），______米； (2)求的长． 【答案】(1)，25 (2)米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式，解题的关键是： （1）根据线段的和差即可得出米，根据计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜，，可得米； （2）根据胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半，列方程即可求得DF的长． 【详解】（1）解：∵计划从矩形种植区域开垦出两个正方形区域用于种植青菜，，米． ∴米，米，， ∴米，（米）， 故答案为：，25； （2）解：由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴米． 2．（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． (1)要使无盖长方体盒子的底面积为，那么剪去的正方形的边长为多少？ (2)你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于吗？请说明理由 (3)当把长方形硬纸板的四周分别剪去个同样大小的正方形和个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为时请直接写出结果并画出平面示意图 【答案】(1) (2)不可能，理由见解析 (3)或，示意图见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和根的判别式，找到面积的等量关系是解题的关键． （1）可设剪去的正方形边长为，根据无盖长方体盒子的底面积为，可得方程求解即可； （2）可设剪去的正方形边长为，根据无盖长方体盒子的侧面积等于，可得方程，再根据根的判别式作出判断； （3）可设剪去的正方形边长为，分成两种情况，根据侧面积为列方程讨论求解． 【详解】（1）设剪去的正方形边长为，由题意，得 ， 即， 解得：（不合题意，舍去），． ∴剪去的正方形的边长为． （2）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于，理由如下： 设剪去的正方形边长为，由题意，得 ， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数解． 即折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于． （3）设剪去的正方形边长为， 若按图1所示的方法剪折， 有：， 整理得：， ， ∴此方程无解； 若按图2所示的方法剪折， 有：， 整理得：， 解得：，， 当按图2所示的方法剪去的正方形边长为或时，能使得到的有盖长方体盒子的侧面积达到． 3．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形苗圃，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当苗圃的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的苗圃？ (2)苗圃的面积能达到：吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)当苗圃的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的苗圃 (2)不能，理由见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． （1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实数根即可求解． 【详解】（1）解：设矩形的边，则边， 根据题意，得， 化简，得， 解得， 当时，， 当时，， 答：当苗圃的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的苗圃． （2）不能，理由如下： 由题意得，， 化简，得， ， 一元二次方程没有实数根， 苗圃的面积不能达到． 【经典例题四 数字问题】 【例4】（2024·云南昆明·一模）如图三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点第行有个点，已知前行共有个点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、一元二次方程的应用，解决本题的关键是结合图形，找出数字的运算规律，利用规律列出一元二次方程解决问题． 【详解】解：第一行有个点，第二行有个点第行有个点， 根据前行共有个点， 可得：， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，(舍去)， 的值为． 故答案为： ． 1．（24-25九年级上·辽宁·阶段练习）已知一个两位数的十位数字比个位数字大2，两位数字的积比这个两位数小34，则这个两位数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设个位数字为，则十位数字为，根据两位数字的积比这个两位数小34，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字为， 由题意，得：， 解得：或， ∴这个两位数为：或； 故答案为：或 2．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)10 (3)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据日历的特点先求出b、c、d，再根据当a越大时，b也越大，求出a的最大值即可求出的最大值； （2）根据方框中最大数与最小数的乘积为180，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，根据方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和为124，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【详解】（1）解：由题意得，； ∵a是正整数， ∴也是正整数， ∴当a越大时，b也越大， 根据日历的特点可知a的最大值为23，此时b的值为24， ∴的最大值为； 故答案为：；；；； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． ∴最小数是10； （3）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵时，在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 3．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）阅读与思考：下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细阅读并完成任务． 求为正整数）方法欣赏在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求为正整数）的值”这个问题的两种解法供大家欣赏． 方法1：把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2 ．．．．．．．．①   则．．．．．．② ①+②得   即： ∴． 方法2：“递归法”（设． 由完全平方公式可得，． 我们列出特殊情况：； ； ； … ．两边分别相加可得，． ． 任务： (1)计算：　　； (2)我们知道：；；；则 ； (3)列方程解答问题：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？” 【答案】(1)20706 (2) (3)这群人共有11人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及数字的变化规律 （1）根据方法1：“头尾相加法”，即可解答； （2）根据方法2：“递归法”计算即可； （3）设这群人共有人，根据等差数列求和公式和平均数公式得到关于梨子个数的方程，解方程求解即可解答． 【详解】（1）， 故答案为：20706； （2）令 ..... ①， ....................② ②①：有， 故答案为：； （3）设这群人共有人， 由题意，得， 即， 解方程，得（舍去），， 答：这群人共有11人． 【经典例题五 营销问题】 【例5】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）某网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售256袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． (1)求七月到九月月销售量的月平均增长率． (2)该网点十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价1元，销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？（农产品进价每袋25元，原售价为每袋40元） 【答案】(1) (2)降价5元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系列出方程是解题关键． （1）设三、四这两个月的月平均增长率为x，利用七月销量九月的销量进而求出答案； （2）首先设当农产品每袋降价m元时，再利用每袋的利润销量总利润列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设八、九这两个月的月平均增长率为x． 由题意得： ， 解得：(不合题意，舍去) 答：八、九这两个月的平均增长率为25%． （2）解：设当农产品每袋降价m元时，该淘宝网店10月份获利4250元． 根据题意可得：， 解得：(不合题意，舍去) 答：当农产品每袋降价5元，该淘宝网店10月份获利4250元． 1．（2025·广东深圳·一模）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了元，请完成下列问题： (1)降价元后的月销售量为___________件：（用含的式子表示） (2)当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1) (2)当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了元，则降价元后的月销售量为件． （2）设降价降了元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为8400元列方程求解即可． 【详解】（1）解： 降价元后的月销售量为件 故答案为： （2）解：设降价降了元，则每件的利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 2．（24-25九年级上·四川达州·期末）某商场以每件20元的价格购进种商品，经市场调查发现该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)该商场规定这种商品每件售价不得高于40元，商场要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一次函数、一元二次方程的实际应用，注意计算的准确性是解题关键． （1）设与之间的函数关系式为：，将点，代入即可求解； （2）根据题意得到，然后解方程求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为：， 将点，代入得：， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：； （2）解：由题意得：， 整理得，， 解得：，， ∵商场规定这种商品每件售价不得高于元， ∴， ∴商品要想获得元的利润，每件商品的售价应定为元． 3．（2025·河南安阳·模拟预测）直播带货打破了传统农产品销售的地域限制，拓宽了销售渠道，让全国各地的消费者都能品尝到特色农产品，增强了消费者对农产品的信任度，使得农产品更具吸引力．某主播带货一种农产品，经调查发现，其日销售量件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如图所示： (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)该主播日带货销售额能否达到2550元？如果能，请求出每件的售价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能达到2550元；理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：由题意，设一次函数的关系式为， 结合图象过点，，得， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由题意，销售额，假设销售额能达到2550元， 则， 整理得， ∴ ， ∴该方程没有实数解，即该主播日带货销售额不能达到2550元． 【经典例题六 动态几何问题】 【例6】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，另一动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，点同时出发，当有一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动时间为，那么经过多长时间，的面积为？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据的面积为列方程求解即可． 【详解】解：由题意，得， ， ， 整理，得 解得， ，则， ， 经过，的面积为． 1．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为S．当时， s． 【答案】3 【分析】本题主要考查动点问题，涉及解一元二次方程，根据题意得，，，，并求得t的取值范围为，利用面积公式可列出，求解即可． 【详解】解：∵点D从点C开始沿边运动，速度为， ∴，， ∵，点E从点B开始沿边运动，速度为， ∴，， 根据题意知t的最大值为，即， ∵，， ∴， 则， 解得： ，（舍去）， ∴当时，． 故答案为：3． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P，Q分别从点D，A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止移动．若点P移动的时间为t秒． （1）当点P在移动时，的长为 ．（用含t的式子表示） （2）当以A，P，Q为顶点的三角形的面积为时，t的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式． （1）利用的长的长−点的运动速度运动时间求解即可； （2）分Q在和上讨论，根据三角形的面积构建方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，得， ∴， 故答案为：； （2）当Q在上时，此时， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）； 当Q在上时，此时， 根据题意，得， （不符合题意，舍去）， 综上，， 故答案为：． 3．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，在中，，厘米，厘米．点从点开始沿边向点以1厘米秒的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以2厘米秒的速度移动（到达点即停止运动）． (1)如果、分别从、两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于的三分之一？ (2)如果、两点分别从、两点同时出发，而且动点从点出发，沿移动（到达点即停止运动），动点从出发，沿移动（到达点即停止运动），几秒钟后，、相距6厘米？ 【答案】(1)2秒或4秒 (2)秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握三角形的面积计算方法，勾股定理，能够表示出线段和的长是解答本题的关键． （1）设经过秒钟，的面积等于的三分之一，分别表示出线段和线段的长，然后根据面积之间的关系列出方程求得时间即可； （2）设秒时，、相距6厘米，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设秒后，的面积等于的三分之一，根据题意得： ， 解得：或4． 答：2秒或4秒后，的面积等于的三分之一． （2）解：设秒时，、相距6厘米，根据题意得： ， 解得：（舍去）或． 答：秒时，、相距6厘米． 【经典例题七 工程问题】 【例7】（24-25八年级下·浙江温州·期中）全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 【答案】（1）；（2）该工厂引进了27条或13条生产线． 【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天 故答案为：； （2）根据题意，得， 解得，， 该工厂引进了27条或13条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 1．（24-25·福建厦门·模拟预测）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12 ．经过三年治理，境内长江水质明显改善 ． （1）求的n值； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量； 【答案】（1）；（2），60家 【分析】（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，列出关于n的一元一次等式，从而求出答案； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，列出关于m的一元二次等式，从而求出m及第二年用乙方案新治理的工厂数量． 【详解】解：(1)由题意可得：， 解得； (2)由题意可得：， 解得：，（舍去）， ∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：（家）． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的实际应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据所给条件，找出合适的等量关系，列出方程从而求解． 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 3．（24-25八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 【经典例题八 行程问题】 【例8】（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 1．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 (2)60分钟 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 2．（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 3．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)它们运动了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 【经典例题九 图表信息题】 【例9】（24-25九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】(1)10% (2)2500000张 【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量=总结单价，即可求出结论； 【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 1．（24-25九年级上·广东广州·期末）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【答案】（1） ；（2）10 【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解； （2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨， 元； （2）若 ，有 ，解得： ，即 ，不合题意，舍去， ∴ ， 根据题意得： ， 解得： （舍去）， 答：规定用水量a的值为10吨． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 【答案】（1）②；（2）． 【分析】（1）仿照案例构造图形，即可判断正确构图； （2）仿照案例构造图形即可求得x的值． 【详解】解：（1）应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形的面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．故正确构图的是②． 故答案为：②； （2）首先构造了如图2所示的图形． 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得． 【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程．体现了数形结合的思想． 3．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【答案】(1)甲的说法不正确，理由见解析 (2)①；②过重 【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握表中算法，两个表的互补性． （1）设女性身高为x米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可； （2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求出小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得． 【详解】（1）解：假设甲叙述正确，设女性的身高为x米， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； （2）解：①由题意可知：， 解得， 故答案为：； ②小王父亲的理想体重（公斤）， 实际体重占比， 过重， 答：小王的父亲体重被归类为过重类别． 【经典例题十 其他问题】 【例10】（24-25九年级上·河北保定·期末）为美化市容，某广场用规格为的灰、白两种颜色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示． 【观察思考】 图1中灰砖有1块，白砖有8块；图2中灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．．． 【规律总结】 （1）图4中灰砖有_________块，白砖有________块；图n中灰砖有_______块，白砖有______块． 【问题解决】 （2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形？请通过计算说明你的理由． 【答案】（1），，，；（2）不存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形，理由见解析 【分析】本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法和一元二次方程的性质． （1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图5白砖和灰砖的数量，通过图1到图4的数字规律得出图n白砖和灰砖的数量； （2）假设存在图n白砖数恰好比灰砖数少16的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程没有整数解说明假设不成立． 【详解】图1灰砖的数量为1， 图2灰砖的数量为4， 图3灰砖的数量为9， 图4灰砖的数量为16， 得图n灰砖的数量为， 图1白砖的数量为， 图2白砖的数量为 图3白砖的数量为， 图4白砖的数量为， 得图n白砖的数量为， 故答案为：25，24；，． 解：（1） （2）假设存在，设图中白砖数恰好比灰砖数少16， 白砖数量为，灰砖数量为， ， ， 方程没有整数解， 不存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形． 1．（24-25九年级上·山西朔州·阶段练习） 图形             … 点的个数 2 3 4 5 … 线段的条数 1 3 6 10 … (1)根据表格中的规律猜想：由7个点构成的图形中有______条线段，由n个点构成的图形中有______条线段． (2)某校为庆祝国庆节，活跃同学们的文化生活，特举行歌咏比赛，七（6）班荣获年级第一名．比赛结束后，该班每两位同学之间互发一条信息庆祝．经过统计，得知全班同学共发出了1980条信息，问该班共有多少名同学？ 【答案】(1)21， (2)该班有45名学生 【分析】本题考查了图形的变化类问题，一元二次方程的应用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据表格的数据可得线段的条数与点的个数之间的关系，即可得解； （2）根据（1）中得到的结论即可列出方程，从而求解． 【详解】（1）解：由表格的数据可得，线段的条数与点的个数之间的关系为：， ∴由7个点构成的图形中有条线段； （2）解：设该班同学有名学生， 由题意可得：， 解得：，（舍去）， ∴该班同学有名学生． 2．（24-25九年级上·河北保定·期中）我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（时间） … 40 50 60 … 学习效率 … 0.64 m 1 … 记录学习效率时，每10分钟为一个记录单元． (1)求40分钟到60分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和m的值． (2)研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加10分钟，学习效率值下降0.2．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能． ①求学习时间为80分钟的学习效能． ②当学习效能低于20的时候为无效学习，此时必须停止学习．恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，根据以上研究成果计算每晚作业时间的合理范围． 【答案】(1)40分钟到60分钟的增长率为，m的值为0.8 (2)①48②作业时间的合理范围是60至100分钟 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）设40分钟到60分钟的增长率为x，利用60分钟时学习效率=40分钟时学习效率分钟的增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将符合题意的值代入中，即可求出m的值； （2）①根据学习效能的定义求解即可； ②设每晚作业时间为分钟，根据学习效能低于20的时候为无效学习，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，将符合题意的值代入中，可求出最长学习时间，结合规定作业时间不少于1个小时，即可确定每晚作业时间的合理范围． 【详解】（1）解：设40分钟到60分钟的增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴40分钟到60分钟的增长率为， ∴． 答：40分钟到60分钟的增长率为，m的值为0.8； （2）解：①学习时间为80分钟的学习效能为： ②设每晚作业时间为分钟， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， ∴超过100分钟为无效学习， ∴作业时间的合理范围是60至100分钟． 3．（24-25七年级上·重庆·期末）环保活动周期间，某社区每月举办一次“垃圾分类，环保惠民”活动，社区居民每月共完成垃圾分类的A类（可回收垃圾）和B类（厨余垃圾）总量可获得积分奖励．其全场月分类垃圾总量积分奖励方案如下表所示： 月分类垃圾总量 积分奖励方案 未超过100千克 不享受积分奖励 超过100千克但未超过300千克的部分 每20千克积10分 超过300千克的部分 每20千克积15分 （每1千克分类垃圾总量都可以按照奖励方案规则积分，如月分类垃圾总量为101千克可以获得积分） (1)若某家庭月分类垃圾总量为a千克，当时，该家庭获得积分奖励为______分；当时，该家庭获得积分奖励为______分（用含a的代数式表示）． (2)已知小李家第一季度前两个月都参与活动，2月的月分类垃圾总量比1月多40千克，共获得积分260分，求小李家1月的月分类垃圾总量是多少千克？ (3)为了鼓励更多家庭参与到环保活动中，社区加大力度开展了积分兑换活动，社区决定提高月分类垃圾总量超过300千克部分的积分，并定为每20千克积分，在此基础上再一次性赠送积分分．在（2）问条件下小李家2月B类分类垃圾总量是A类垃圾总量的1.2倍还要多8千克，3月小李家里A类垃圾总量比2月A类垃圾总量增加，B类垃圾总量比2月B类垃圾总量增加，3月小李家月分类垃圾总量获得积分比2月积分增长，求m的值． 【答案】(1)， (2)小李家1月的月分类垃圾总量是千克 (3) 【分析】本题主要考查列代数式，一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列出代数式，方程是解题的关键． （1）根据题意，分段收费计算即可； （2）设小李家1月的月分类垃圾总量是千克，则2月的月分类垃圾总量是千克，根据题意，分类讨论：当时；当时；当时；根据各段的费用计算即可求解； （3）设2月份的A类垃圾为千克，由题意可得，再由数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：∵超过100千克但未超过300千克的部分，每20千克积10分， ∴当时，（分）， 当时，（分）， 故答案为：，； （2）解：已知超过100千克但未超过300千克的部分，每20千克积10分， ∴每千克积分， 已知超过300千克的部分，每20千克积15分， ∴每千克积分， 设小李家1月的月分类垃圾总量是千克，则2月的月分类垃圾总量是千克， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得，， ∴小李家1月的月分类垃圾总量是千克； （3）解：月分类垃圾总量超过300千克部分的积分，并定为每20千克积分， ∴每千克积（分）， 由（2）可知，小李家1月的月分类垃圾总量是千克，2月的月分类垃圾总量比1月多40千克， ∴小李家2月的月分类垃圾总量是千克， 设2月份的A类垃圾为千克， ∴， 解得，， ∴（千克）， ∴小李家2月份的A类垃圾为千克，B类垃圾为千克， ∵3月小李家里A类垃圾总量比2月A类垃圾总量增加，B类垃圾总量比2月B类垃圾总量增加， ∴小李家3月份的A类垃圾为千克，B类垃圾为千克， ∴ 解得，． 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（图中单位：），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意弄清图形间的面积关系是解题的关键． 直接利用直角三角形面积的求法列出方程即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 即， 解得：或（舍）， 故选：C． 2．（2024·四川广元·一模）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，…，前n行的点数和不能是以下哪个结果（   ）    A．820 B．600 C．465 D．210 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方方程的应用，先求出前行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为、600、465、210时的值，判断即可得解． 【详解】解：由题意可得：前行的点数之和为， 若前行的点数之和为，则， 解得：（舍去）或，即前行的点数之和为，故A不符合题意； 若前行的点数之和为600，则， 解得：，不是整数，即不存在前行的点数之和为600，故B符合题意； 若前行的点数之和为465，则， 解得：或（舍去），即前行的点数之和为465，故C不符合题意； 若前行的点数之和为210，则， 解得：或（舍去），即前行的点数之和为210，故D不符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）小亮爸爸是一个养花爱好者．如图，他爸爸想要使用长为27米的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为12米，靠墙的一面不用篱笆），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃（中间的篱笆将长方形分成两个小长方形）．如果要围成面积为54平方米的长方形花圃，那么的长为（   ）米． A．3 B．6 C．3或6． D．4或6 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设花圃的长为x米，用总长减去三个宽即为的长，则米，再利用矩形的面积公式列出方程求解即可，正确理解题意，表示出、的长，再找出题目中的等量关系是解决此题的关键． 【详解】解：设花圃的长为x米，则米， ∴， 解得：，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 答：的长应为6米， 故选：B． 4．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）某学习小组全体同学都为本组其他人员送了一张新年贺卡，若全组共送贺卡张，则这个小组的同学共有（   ）人 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握列方程求解是解题的关键； 设这个小组的同学共有人，则每个人都要送张贺卡，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设这个小组的同学共有人， 由题意得： 整理得： 解得：或（舍去）， 这个小组有人； 故选：D 5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下、左、右页边距分别为、、、．若纸张大小为，考虑打印图片整体的匀称美，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需设置页边距为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查列代数式，解一元二次方程．设，用含x的代数式分别表示出打印区域的长和宽，根据长方形的面积公式列关于x的方程并求解即可． 【详解】解：设， 根据题意，得， 经整理，得， 解得（大于18，舍去），， ∴， ∴需设置页边距为． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·福建泉州·期中）《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为，按此法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为，x为 ．    【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由构造的图形得，大正方形的面积为 ，即可求解；理解几何方法，能求出大正方形的面积是解题的关键． 【详解】解：， 阴影部分的面积为， ， 设， ， 大正方形的面积为： ， 大正方形的边长为 ， ； 故答案为：． 7．（24-25九年级上·山西大同·期末）山西作为“小杂粮王国”誉满全国，小米尤为出名，素有“中国小米在山西，山西小米数第一”的美誉．某店铺销售一批箱装小米（如图），每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱．春节期间，为了让利于顾客，该店铺计划降价销售，根据销售经验，单价每降低1元，每天可多销售2箱，则该店铺每天可获得的最大利润为 元． 【答案】1250 【分析】本题考查了利用二次函数解决实际问题能力，根据：每天的总利润=每个玩具利润×降价后每天的销售数量，可列出y关于x的函数关系式，将函数表达式配方成顶点式，可求出最大利润． 【详解】解：解：设每个玩具售价下降了x元，商场每天的销售利润为y元．降价后商场平均每天可售出箱装小米数量为箱； 由题意得， ∴当时，y有最大值1250． ∴该商场每天获得的利润最大利润是1250元． 故答案为：1250． 8．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）有如下问题：“平面上，分别有2个点，3个点，4个点，5个点，…，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上．经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如下图表进行探究： 若某人共画了171条直线，则该平面上共有 个点． 点数 2 3 4 5 … n 示意图 … 直线条数 1 … _______ 【答案】19 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元二次方程的应用：根据前几个图形中点与直线的个数关系可得规律，n个点有条直线，再结合某人共画了171条直线，列出关于n的方程求解即可． 【详解】解：2个点有1条直线， 3个点有条直线， 4个点有条直线， 5个点有条直线， ……， 以此类推可知，n个点有条直线， ∴当直线的条数是时，则，即， ∴， 解得：（舍去）， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·四川成都·期末）当下，夜经济已成为成都经济高质量发展的重要组成部分，李华在某夜市商圈销售成都文创纪念T恤，他以每件55元的价格进购一批纪念T恤，以70元售出，平均每天能售出36件．经李华调查发现，这种纪念T恤的售价每增加1元，其日销售量就将减少2件． (1)求关于的函数表达式； (2)为了实现平均每天400元的销售利润，纪念T恤的售价应定为多少元． 【答案】(1) (2)为了实现平均每天400元的销售利润，纪念T恤的售价应定为80元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用； （1）等量关系式：销售量70元售出时的平均每天销售量售价增价，列出函数，即可求解； （2）等量关系式：平均每天400元的销售利润每件利润销售量，据此列出方程，即可求解； 找出等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：当时， ， ； （2）解：由题意可知： 每日销量为， 每件纪念T恤的利润为元， 每日的利润为元， 根据题意可列方程， ，， 又， 舍去， 为了实现平均每天400元的销售利润，纪念T恤的售价应定为80元． 10．（24-25九年级上·河北沧州·期中）“这么近，那么美，周末到河北”，河北拥有得天独厚的自然风光和丰富的历史文化资源，吸引着众多游客前来探索；河北著名旅游景点正定古城今年5月份共接待游客达20万人次，预计在7月份，将接待游客达万人次． (1)求正定古城景区5月至7月期间接待游客人次的月平均增长率． (2)景区一个纪念品专卖店在销售中发现，一款纪念品每件进价为20元，销售价为35元时，每天可售出100件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，若每件纪念品降价1元，则平均可多售出10件，当每件售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款纪念品销售中实现平均每天1560元的利润额． 【答案】(1) (2)32元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键： （1）设正定古城景区5月至7月期间接待游客人次的月平均增长率为，由5月份接待游客人次等于7月期间接待游客人次建立方程； （2）设每件纪念品降价元，根据每件利润乘以销售量等于利润建立方程求解． 【详解】（1）解：设正定古城景区5月至7月期间接待游客人次的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：，（舍）， 答：正定古城景区5月至7月期间接待游客人次的月平均增长率为； （2）解：设每件纪念品降价元，由题意得： ， 解得：或， 当时，每件售价为元； 当时，每件售价为元， ∵让顾客获得最大优惠， ∴每件售价定为32元． 11．（24-25八年级上·上海·期末）云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． (1)若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ (2)小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 【答案】(1)每间商铺的长为米，宽为米 (2)小王每月需要付给经营者元租金 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，配方法的应用； （1）设垂直于墙的一边长米，可得米，根据三间商铺总面积为列出方程，求得合适的解即可； （2）根据题意求得三间商铺的总面积，根据配方法可得最大值，进而可得租金为多少． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长x米，则米， ， 整理得：， 解得：，， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴． 答：每间商铺的长为米，宽为米； （2）解：三间商铺的总面积为， ∵， ∴时，三间商铺的总面积最大，三间商铺的总面积最大为平方米， (元)． 答：小王每月需要付给经营者元租金． 12．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【答案】(1)； (2)1 (3)7 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用，解答本题的关键是熟练运用矩形的性质解决问题． （1）根据路程等于速度乘以时间得到则； （2）根据矩形的性质得到，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点P在和点P在上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴ 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； （3）解：当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得 ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，． 13．（24-25九年级上·广东梅州·期中）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，8月份的销售量为256件，10月份的销售量为400件．设9月份、10月份这两个月销售量的月平均增长率不变． (1)求该款吉祥物8月份到10月份销售量的月平均增长率． (2)经市场预测，11月份的销售量将与10月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销的方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该吉祥物的售价为多少元时，月销售利润为8400元? 【答案】(1)该款吉祥物8月份到10月份销售量的月平均增长率为 (2)该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物8月份到10月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，利用月销售利润每件的销售利润月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该款吉祥物8月份到10月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：该款吉祥物8月份到10月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为 件， 根据题意得：， 整理得： 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 14．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，容易发现，三角点阵中前3行的点数之和为6． (1)尝试：前15行的点数之和为 ； (2)思考：三角点阵中前行的点数之和 （填“能”或“不能”）为500．请说明理由； (3)拓展：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)120 (2)不能．理由见解析 (3)一共能摆20排． 【分析】本题考查实际问题与一元二次方程：与图形有关的问题，图形变化的规律及列代数式，能根据所给点阵发现前行点数之和的变化规律是解题的关键． （1）依次求出前（为正整数）行点数之和，发现规律即可解决问题； （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题； （3）同（1）理，发现规律，利用规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 三角点阵中前1行的点数之和为：1； 三角点阵中前2行的点数之和为：； 三角点阵中前3行的点数之和为：； 三角点阵中前4行的点数之和为：； ， ∴三角点阵中前行的点数之和为：． ∴前15行的点数之和为． 故答案为：120； （2）解：不能． 依题意，令得， 解得， ∵为正整数， ∴三角点阵中前行的点数之和不能为500． 故答案为：不能； （3）解：同理，三角点阵中前行的点数之和为：． 令得， 解得，． ∵为正整数， ∴， 即一共能摆20排． 15．（24-25九年级上·福建漳州·期中）下面是小艾进行数学学科项目学习时记录的部分内容． 项目主题：如何利用闲置纸板箱制作储物盒 项目探究：如图1，图中是小艾家放置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示． 下图是用闲置纸板箱拆解出的长方形纸板①，②，两种长方形纸板宽均为． 项目成果：小艾分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①制作方式：裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 长方形纸板②制作方式：将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 请你帮助小艾完成下列项目任务： 任务一：按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a为__________cm； 任务二：利用任务一计算所得的数据a，进一步探究． （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求裁去角上4个相同的小正方形的边长； （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为，求小长方形的边的长． 【答案】任务一：40；任务二：（1）小正方形的边长；（2）小长方形的边的长为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，合理将实际问题转化成方程是解决此题的关键． 任务一：先根据长方形纸板的长为，储物盒的区域长为求出制作的储物盒高，再求出a的值即可； 任务二：（1）设截去的小正方形边长为，根据储物盒的底面积是列出方程，解方程即可； （2）设小长方形的边的长为，根据盒子的底面积为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：任务一：储物区域的长为，由于储物盒可以完全放入储物区域， 按照长方形纸板①的制作方式在四角裁去小正方形的边长为：， 则收纳盒的宽小正方形的边长； 任务二：（1）设截去的小正方形边长为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：裁去角上4个相同的小正方形的边长为； （2）设小长方形的边的长为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：小长方形的边的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $$