2024-2025学年下学期高二数学课时作业·7.2离散型随机变量及其分布列（人教A版选必三）

课时作业·7.2离散型随机变量及其分布列 1．一个袋中有除颜色外完全相同的4个白球和3个红球，从中任取2个，则随机变量可能为(　　) A．所取球的个数　　　　　 B．其中含红球的个数 C．所取白球与红球的总数 D．袋中球的总数 答案　B 解析　所取球的个数为2，是定值，故不是随机变量，故A不正确；从中任取2个，其中含红球的个数的所有可能取值为0，1，2，是随机变量，故B正确；所取白球与红球的总数为2，是定值，故不是随机变量，故C不正确；袋中球的总数为7，是定值，故不是随机变量，故D不正确．故选B. 2．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能取值的个数是(　　) A．6 B．7 C．10 D．25 答案　C 思路分析　利用列举法，求得随机变量X的所有可能取值，由此求得可能取值的个数． 解析　列出所有可能取值如下表所示，由表格可知，所有可能取值为2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，共10个．故选C. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 2 6 8 10 3 3 6 12 15 4 4 8 12 20 5 5 10 15 20 讲评　本小题主要考查利用列举法求离散型随机变量所有的取值，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题． 3．设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.1 m 0.3 0.2 若随机变量Y＝2X－2，则P(Y＝2)等于(　　) A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 答案　A 解析　由离散型随机变量的分布列的性质得 0．1＋0.1＋0.2＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3， ∵随机变量Y＝2X－2，∴P(Y＝2)＝P(X＝2)＝0.3. 4．【多选题】下列问题中的随机变量服从两点分布的是(　　) A．抛掷一枚骰子，出现的点数记为随机变量X B．某射手射击一次，击中目标的次数记为随机变量X C．从装有5个红球，3个白球的袋中取一个球，令随机变量X＝ D．做一次试验，试验成功的次数记为随机变量X 答案　BCD 解析　对选项A，抛掷一枚骰子，出现的点数有6种情况，故随机变量X有6个取值，不服从两点分布，不符合题意；对选项B，射击一次，击中目标的次数为0或1，故随机变量X服从两点分布，符合题意；对选项C，显然服从两点分布，故C符合题意；对选项D，做一次试验，试验成功的次数为0或1，故随机变量X服从两点分布，符合题意．故选BCD. 5．离散型随机变量X的分布列中的部分数据丢失，丢失数据以x，y(x，y∈N)代替，分布列如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20 则P＝(　　) A．0.25 B．0.35 C．0.45 D．0.55 答案　B 解析　根据分布列的性质知，随机变量的所有取值的概率和为1，因此0.1x＋0.05＋0.1＋0.01y＝0.4，即10x＋y＝25，由x，y是0～9间的自然数可解得x＝2，y＝5，故P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.35.故选B. 6．某社团有3名女生、4名男生，随机选3名同学参加某个活动，用X表示选到男生的人数，则X≥1的概率是________． 答案　 解析　由题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，则P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝. 7．口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的分布列为________． 答案　 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 解析　X的所有可能取值为3，4，5. 又P(X＝3)＝＝0.1，P(X＝4)＝＝0.3， P(X＝5)＝＝0.6. 所以X的分布列为： X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 8.某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需回答3个问题，每位选手都有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题目，回答完该题后，再抽取下一道题目作答，某选手抽到科技类题目的道数为X. (1)试求出随机变量X的所有可能取值； (2){X＝1}表示的试验结果是什么？包含事件{X＝1}的不同的结果有多少种？ 解析　(1)由题意得X的所有可能取值为0，1，2，3. (2){X＝1}表示的事件是“恰抽到一道科技类题目”． 从三类题目中各抽取一道，不同的结果有C51C31C21A33＝180(种)． 抽取1道科技类题目，2道文史类题目，不同的结果有C31C52A33＝180(种)． 抽取1道科技类题目，2道体育类题目，不同的结果有C31C22A33＝18(种)． 由分类加法计数原理知可能出现的不同结果有180＋180＋18＝378(种)． 9．对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ，则ξ＝k表示的试验结果为(　　) A．第k－1次检测到正品，而第k次检测到次品 B．第k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品 C．前k－1次检测到正品，而第k次检测到次品 D．前k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品 答案　D 解析　由题意ξ＝k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k，因此前k次检测到的都是正品，第k＋1次检测到次品．故选D. 10．【多选题】已知随机变量X的分布列如表所示，其中a，b，c成等差数列，则(　　) X －1 0 1 P a b c A.a＝ B．b＝ C．c＝ D．P(|X|＝1)＝ 答案　BD 解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝. ∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝1－P(X＝0)＝1－＝. 11．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)． (1)求选出的3名同学来自互不相同的学院的概率； (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列． 解析　(1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝. 所以选出的3名同学来自互不相同的学院的概率为. (2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3. P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)． P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 12.长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时云课的点击量进行统计： 点击量 [0，1 000] (1 000，3 000] (3 000，＋∞) 节数 6 18 12 (1)现从36节云课中采用分层随机抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的节数； (2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0，1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑；若点击量在区间(1 000，3 000]内，则需要花费20分钟进行剪辑；若点击量超过3 000，则不需要剪辑．现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列． 解析　(1)根据分层随机抽样可知，选出的6节课中点击量超过3 000的节数为×6＝2. (2)由分层随机抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间[0，1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000，3 000]内的有3节，点击量超过3 000的有2节，故X的所有可能取值为0，20，40，60. P(X＝0)＝＝，P(X＝20)＝＝＝， P(X＝40)＝＝＝，P(X＝60)＝＝＝， 则X的分布列为： X 0 20 40 60 P 13．【多选题】某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的是(　　) A．游客至多游览一个景点的概率为 B．P(X＝2)＝ C．P(X＝4)＝ D．P(X＝1)＝ 答案　AB 解析　P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＋×C31××＝，故D错误； 所以游客至多游览一个景点的概率为P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝，故A正确； P(X＝2)＝×C31××＋×C32××＝，故B正确； P(X＝4)＝×＝，故C错误．故选AB. 14．一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列． 解析　以ξ表示在取得合格品以前取出的不合格品数，则ξ是一个随机变量，由题设得ξ所有可能取值是0，1，2，3. 当ξ＝0时，即第一次就取到合格品，其概率为P(ξ＝0)＝＝； 当ξ＝1时，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品，其概率为P(ξ＝1)＝×＝； 当ξ＝2时，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率为P(ξ＝2)＝××＝； 当ξ＝3时，即第一、二、三次都取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率为P(ξ＝3)＝×××＝. 所以ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时作业·7.2离散型随机变量及其分布列 1．一个袋中有除颜色外完全相同的4个白球和3个红球，从中任取2个，则随机变量可能为(　　) A．所取球的个数　　　　　 B．其中含红球的个数 C．所取白球与红球的总数 D．袋中球的总数 2．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能取值的个数是(　　) A．6 B．7 C．10 D．25 3．设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.1 m 0.3 0.2 若随机变量Y＝2X－2，则P(Y＝2)等于(　　) A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 4．【多选题】下列问题中的随机变量服从两点分布的是(　　) A．抛掷一枚骰子，出现的点数记为随机变量X B．某射手射击一次，击中目标的次数记为随机变量X C．从装有5个红球，3个白球的袋中取一个球，令随机变量X＝ D．做一次试验，试验成功的次数记为随机变量X 5．离散型随机变量X的分布列中的部分数据丢失，丢失数据以x，y(x，y∈N)代替，分布列如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20 则P＝(　　) A．0.25 B．0.35 C．0.45 D．0.55 6．某社团有3名女生、4名男生，随机选3名同学参加某个活动，用X表示选到男生的人数，则X≥1的概率是________． 7．口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的分布列为________． 8.某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需回答3个问题，每位选手都有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题目，回答完该题后，再抽取下一道题目作答，某选手抽到科技类题目的道数为X. (1)试求出随机变量X的所有可能取值； (2){X＝1}表示的试验结果是什么？包含事件{X＝1}的不同的结果有多少种？ 9．对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ，则ξ＝k表示的试验结果为(　　) A．第k－1次检测到正品，而第k次检测到次品 B．第k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品 C．前k－1次检测到正品，而第k次检测到次品 D．前k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品 10．【多选题】已知随机变量X的分布列如表所示，其中a，b，c成等差数列，则(　　) X －1 0 1 P a b c A.a＝ B．b＝ C．c＝ D．P(|X|＝1)＝ 11．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)． (1)求选出的3名同学来自互不相同的学院的概率； (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列． 12.长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时云课的点击量进行统计： 点击量 [0，1 000] (1 000，3 000] (3 000，＋∞) 节数 6 18 12 (1)现从36节云课中采用分层随机抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的节数； (2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0，1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑；若点击量在区间(1 000，3 000]内，则需要花费20分钟进行剪辑；若点击量超过3 000，则不需要剪辑．现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列． 13．【多选题】某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的是(　　) A．游客至多游览一个景点的概率为 B．P(X＝2)＝ C．P(X＝4)＝ D．P(X＝1)＝ 14．一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$