精品解析：河南省南阳市唐河县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024年秋期期终阶段性文化素质监测八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.1010010001 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别．无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【详解】解：是无限不循环小数，它是无理数； ，是整数，，3.1010010001是分数，它们都不是无理数； 故选：A． 2. 下列各式从左到右的变形为因式分解的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法因式分解即可． 根据提取公因式法和公式法逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. 属于整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； D. ，结果不是积的形式，故该选项不符合题意． 故选B． 3. 如图，在中，，点 为内一点，连接、、，，求证：，用反证法证明时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】假设结论PB≠PC不成立，即PB=PC成立. 【详解】解：假设PB=PC， 在△APB和△APC中， AB=AC，PB=PC，AP=AP， ∴△APB≌△APC， ∴∠APB=∠APC， 与已知∠APB≠∠APC相矛盾， 假设结论不成立， ∴PB≠PC成立. ∴用反证法证明时，第一步应假设B成立． 故选B． 【点睛】本题主要考查了反证法，解题的关键在于能够熟练掌握反证法的步骤． 4. 如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是( ). A. 甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定 B. 乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好 C. 丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高 D. 就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳 【答案】D 【解析】 【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化． 【详解】解：A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确； B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确； C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确； D．就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故D错误． 故选D． 【点睛】本题是折线统计图，要通过坐标轴以及图例等读懂本图，根据图中所示的数量解决问题． 5. 若的三边长分别是 ，，，则下列条件中不能判定是直角三角形的个数有（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理逆定理的运用，三角形内角和定理；判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可． 【详解】解：①，可得：，是直角三角形； ②由，可得：，是直角三角形； ③由，可得：，不是直角三角形； ④由，可得：，是直角三角形； 所以不能判定是直角三角形的个数有个， 故选：． 6. 如图，是的平分线，点M、N分别在边上，添加下列条件，不能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法和角平分线的性质，逐一判断即可． 【详解】解：A、如图：，则：， ∵是的平分线， ∴ ∵， ∴；故A选项正确，不符合题意； B、当时， ∵是的平分线， ∴， 又， ∴；故B选项正确，不符合题意； C、当时， ∵，， ∴；故C选项正确，不符合题意； D、当时，，，无法判断，故D选项错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 7. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将1万表示成，1亿表示成，然后用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】∵1兆＝1万×1万×1亿， ∴1兆＝， 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，科学记数法的表示方法，其中a的范围是，n是整数，正确确定a，n的值是解答本题的关键． 8. 已知O为数轴原点，如图，（1）在数轴上截取线段OA＝2；（2）过点A作直线l垂直于OA；（3）在直线l上截取线段AB＝3；（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴分别于点C，D．根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB＝；③点C对应的数是﹣2；④5＜AD＜6．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意根据勾股定理可得OB，然后再结合数轴上点的表示及无理数的估算可进行求解． 【详解】解：由题意得：∠OAB=90°，OA＝2，AB＝3， ∴，故①错，②正确； ∵O为数轴原点， ∴点C对应的数是，故③错误； ∵，， ∴5＜AD＜6，故④正确； ∴正确的有②④； 故选D． 【点睛】本题主要考查勾股定理、无理数的估算及数轴，熟练掌握勾股定理、无理数的估算及数轴上数的表示是解题的关键． 9. 如图，正方体盒子的棱长为2，M为 的中点，则一只蚂蚁从M点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了两点之间线段最短、正方体的展开图、勾股定理等知识，先利用展开图确定最短路径，再由勾股定理求解即可，牢记相关概念和灵活应用是解题的关键． 【详解】解：如图，蚂蚁沿路线爬行路程最短， ， 为 的中点， ， ． 故选：． 10. 如图，在中，平分，通过尺规作图，得到直线，分别与 ， ，交于点，， ，连结，．若，，，，则 的长度为（ ） A. B. 6 C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，然后得到垂直平分 ，求出，然后求出，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】∵，平分， ∴ 由作图可得，垂直平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和和勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请你写出一个小于﹣1的无理数__________． 【答案】-1.010010001......(答案不唯一） 【解析】 【详解】根据无理数的定义，指无限不循环小数，答案不唯一. 12. 对某校八年级（1）班50名同学的一次数学测验成绩进行统计，如果80.5—90.5分这一组的频数是18，那么这个班的学生这次数学测验成绩在80.5—90.5分之间的频率是____. 【答案】0.36 【解析】 【详解】∵80.5—90.5分这一组的频数是18，该班总人数为50， ∴测验成绩在80.5—90.5分之间的频率为：. 故答案为. 13. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离 长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 _________尺． 【答案】14.5 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 设秋千的绳索长尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可得出结论． 【详解】解：设秋千的绳索长为x尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，， ∴， 解得：， 答：绳索长为14.5尺． 故答案为：14.5． 14. 如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正方形的边长为2．若用正数 、表示直角三角形的两条直角边，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式变形求值．由勾股定理与正方形的性质得出，根据完全平方公式变形可得． 【详解】解：大正方形的边长为5，小正方形的边长为2， ，， ，即， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点 在直线 上，，点 为 上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最短路线问题．点和点在直线 的同旁，需要作点关于点 的对称点，连接交直线 于点 ，的值最小．由轴对称的性质可得，，进而可得的度数．易得为等腰三角形，那么可得的度数．解题的关键是掌握下面两个知识点：当两个定点在动点所在直线的同旁，求两个定点和动点的距离和的最小值，需要作其中一点关于动点所在直线的对称点，连接对称点和另一个点的线段与动点所在直线相交即可得到动点的位置；两个图形关于某条直线成轴对称，对应线段相等，对应角相等． 【详解】解：∵点和点在直线 的同旁， ∴作点关于点 的对称点，连接交直线 于点 ，则的值最小． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）32 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，幂的混合运算，同底数幂乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据算术平方根定义，立方根定义，绝对值意义进行求解即可； （2）根据积的乘方运算法则进行计算即可； （3）将变形为，然后再整体代入求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： （3）解：， ． 17. 北京时间2022年6月5日，神舟十四号载人飞船发射取得圆满成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类．回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图： （1）此次调查中接受调查的人数为____人； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为______°； （4）该校共有1000人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？ 【答案】（1）50 （2）见解析 （3）43.2 （4）920人 【解析】 【分析】（1）利用“频数÷频率=总数”，根据“关注”类有6人，占总体的12%即可求解． （2）有（1）得总人数为50人，再利用“总数×频率=频数”可求得“非常关注”类的人数，进而补全条形统计图可求解． （3）“关注”类占12%，利用圆心角等于360°乘以该部分所占总体的百分比即可求解． （4）利用样本评估总体的方法即可求解． 【小问1详解】 解：由图可得： “关注”类有6人，占总体的12%， ∴此次调查中接受调查的人数为：（人）， 故答案为：50． 【小问2详解】 由（1）的总数为50人，“非常关注”类占总体的32%， ∴“非常关注”类有：（人）， 补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 由图可得： “关注”类占12%， ∴“关注”对应扇形的圆心角为：， 故答案为：43.2． 【小问4详解】 （人）， 答：该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共920人． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图综合、求扇形的圆心角、利用样本评估总体，从条形统计图和扇形统计图中获取信息和数量间的关系，熟练利用样本评估总体的方法是解题的关键． 18. 杨老师在黑板上布置了一道题，小白和小红展开了下面的讨论： 已知时，求代数式：的值． 这道题与x无关，是可以解的． 只知道y的值，没有告诉x的值，求不出答案． 根据上述情景，你认为谁说得对？为什么？并求出代数式的值． 【答案】小红说得对，理由见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的乘法公式是解决本题的关键．利用乘法法则化简给出的代数式，根据化简结果判断谁说得对并把代入化简式计算即可． 【详解】解：小红说得对． 理由： ∵化简结果中不含x，所以值与x取值无关． 所以小红说得对． 当时， 原式 19. 如图，在四边形 中，，点E为对角线上一点， ，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴（）； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质以及等腰三角形的性质，还考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中． 20. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2025年1月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再用积较大的数减去较小的数，例如：，你发现了什么规律？ （1）将每个方框的左上角数字设为，请用含的式子表示你发现的规律：______． （2）请利用整式的运算对以上规律进行证明． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． （1）根据题意用含的式子表示其余三个数，表达规律即可； （2）根据整式乘法公式，把化简，即可证明． 【小问1详解】 解：设日历中所示的方框左上角数字为，则其余三个数从小到大依次是：，，， 规律用含的式子可表示为 故答案为：； 【小问2详解】 证明： 21. 定义：如图，点 ， 把线段 分割成、 、，若以， ，为边的三角形是一个直角三角形，则称点 、 是线段 的勾股分割． （1）已知 、 把线段 分割成， ，，若，，，则点 、 是线段 的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点 、 是线段 的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 【答案】（1）点 、 是线段 的勾股分割点；理由见解析 （2）或13． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解新定义，学会分类讨论，注意不能漏解． （1）由，，，可得，根据勾股定理逆定理得出以、 、为边的三角形是一个直角三角形，再根据线段勾股分割点的定义即可判断； （2）设，则，分两种情形①当 为最长线段时，依题意，②当为最长线段时，依题意，分别列出方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：点 、 是线段 的勾股分割点．理由如下： ，， ， 、 、为边的三角形是一个直角三角形， 点 、 是线段 的勾股分割点； 【小问2详解】 解：设，则， ①当 为最长线段时，依题意， 即， 解得； ②当为最长线段时，依题意． 即， 解得． 综上所述，或13． 22. 数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质． 【教材还原】 观察图①，用含字母的等式表示图中图形面积的运算：_______； 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为_______； （2）根据图②所得的公式，若，，则_______． 【解决问题】 如图③，某学校有一块四边形空地 ，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积为，，请求出种草区域的面积． 【答案】教材还原：；类比探究：（1）；（2）5；解决问题：种草区域的面积为23 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式和几何图形的关系，利用图形得出完全平方公式的变式，据此解决问题； 教材还原：用不同的方式求面积即可得出； 类比探究：（1）根据阴影部分面积等于大正方形面积减去两个白色长方形面积即可求解； （2）根据图②所得的公式求解即可； 解决问题：根据类比探究得出的公式求解即可． 【详解】解：教材还原：图①等号左边大正方形的面积为，等号右边三部分面积和为， 用含字母的等式表示图中图形面积的运算为：； 故答案为： 类比探究：（1）阴影部分由两个正方形组成，面积和为，也可以看作大正方形减去两个白色长方形面积，面积和为， 用等式表示图中阴影部分图形的面积和为， 故答案为：； （2）把，代入得，， 解得，， 故答案为：； 解决问题：∵于点，，，该校计划在和区域内种花，经测量种花区域的面积为， ∴，即， ∵，即， 根据可得，， 解得，， 在和的区域内种草，种草区域的面积为， 所以种草区域的面积为23． 23. 综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． （1）折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图2） 问题1：重叠部分的的形状______（是、不是）等腰三角形． 问题2：若，，则重叠部分的面积为______ （2）折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点 的对应点 落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． （3）折纸3：如图4，矩形纸片，，，若点 为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，求的长． 【答案】（1）是； （2） 以点为圆心，以长度为半径作圆交于点 ，作的角平分线，交于点，作图过程如下： （3）或15 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，折叠的性质，勾股定理； （1）①设纸片右下角的点为点M，根据平行线的性质以及折叠的性质可得，即可；②过点C作于点H，则，根据勾股定理可得的长，再由三角形的面积公式计算，即可； （2）以点B为圆心，以 长度为半径作圆交于点F，作的角平分线，交于点E，即可； （3）分两种情况讨论：当点落在长方形纸片 的外部时；当点落在长方形纸片 的内部时结合锐角三角函数，即可求解． 【小问1详解】 问题1：如图②，设点M是纸片下边上的点， ∵纸片为矩形，则， ∴， 由折叠的性质知，， ∴， ∴的形状为等腰三角形， 故答案为：是； 问题2：过点 作于点 ， 则， 则， 则的面积 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当点落在矩形内部时，如图，过点作于点 ，交 由题意得：， 点恰好落在的垂直平分线上，故， 在中，， ，，则，则， 则， ，， ， 在中，， 解得：，． 当点落在矩形外部时，如图， ，，则，则， 则， ，， ， 在中，， 解得：，则． 故的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期期终阶段性文化素质监测八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.1010010001 2. 下列各式从左到右的变形为因式分解的是( ) A. B. C. D. 3. 如图，在中，，点 为内一点，连接、、，，求证：，用反证法证明时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是( ). A. 甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定 B. 乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好 C. 丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高 D. 就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳 5. 若的三边长分别是 ，，，则下列条件中不能判定是直角三角形的个数有（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，是的平分线，点M、N分别在边上，添加下列条件，不能判定的是（　　） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知O为数轴原点，如图，（1）在数轴上截取线段OA＝2；（2）过点A作直线l垂直于OA；（3）在直线l上截取线段AB＝3；（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴分别于点C，D．根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB＝；③点C对应的数是﹣2；④5＜AD＜6．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 9. 如图，正方体盒子的棱长为2，M为 的中点，则一只蚂蚁从M点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，平分，通过尺规作图，得到直线，分别与 ， ，交于点，， ，连结，．若，，，，则 的长度为（ ） A. B. 6 C. D. 7 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请你写出一个小于﹣1的无理数__________． 12. 对某校八年级（1）班50名同学的一次数学测验成绩进行统计，如果80.5—90.5分这一组的频数是18，那么这个班的学生这次数学测验成绩在80.5—90.5分之间的频率是____. 13. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离 长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 _________尺． 14. 如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正方形的边长为2．若用正数 、表示直角三角形的两条直角边，则________． 15. 如图，在中，，，点 在直线 上，，点 为 上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为______度． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： （3）已知，求的值． 17. 北京时间2022年6月5日，神舟十四号载人飞船发射取得圆满成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类．回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图： （1）此次调查中接受调查的人数为____人； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为______°； （4）该校共有1000人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？ 18. 杨老师在黑板上布置了一道题，小白和小红展开了下面的讨论： 已知时，求代数式：的值． 这道题与x无关，是可以解的． 只知道y的值，没有告诉x的值，求不出答案． 根据上述情景，你认为谁说得对？为什么？并求出代数式的值． 19. 如图，在四边形 中，，点E为对角线上一点， ，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2025年1月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再用积较大的数减去较小的数，例如：，你发现了什么规律？ （1）将每个方框的左上角数字设为，请用含的式子表示你发现的规律：______． （2）请利用整式的运算对以上规律进行证明． 21. 定义：如图，点 ， 把线段 分割成、 、，若以， ，为边的三角形是一个直角三角形，则称点 、 是线段 的勾股分割． （1）已知 、 把线段 分割成， ，，若，，，则点 、 是线段 的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点 、 是线段 的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 22. 数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质． 【教材还原】 观察图①，用含字母的等式表示图中图形面积的运算：_______； 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为_______； （2）根据图②所得的公式，若，，则_______． 【解决问题】 如图③，某学校有一块四边形空地 ，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积为，，请求出种草区域的面积． 23. 综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． （1）折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图2） 问题1：重叠部分的的形状______（是、不是）等腰三角形． 问题2：若，，则重叠部分的面积为______ （2）折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点 的对应点 落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． （3）折纸3：如图4，矩形纸片，，，若点 为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $