精品解析：浙江省宁波市北仑中学2024-2025学年高二下学期期初返校考试数学试题

北仑中学2024学年第二学期高二年级期初考试数学试卷 (全年级+外高班使用) 命题：高二备课组 审题：高二备课组 一. 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l过点和，则l倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列为等比数列，若，，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 3. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（    ） A B. C. D. 5. 若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在棱长为的正四面体中，，则直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义域为的函数，其导函数为，且,则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二. 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 椭圆：的左、右焦点分别为，，点为上的任意一点，则（ ） A. 椭圆的长轴长为3 B. 椭圆的离心率为 C. 的最大值为5 D. 存在点，使得 10. 已知数列满足，（），则下列结论正确的有（ ） A. 为等比数列 B. 通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前项和 11. 已知正四棱柱的底面边长为，点分别满足.甲､乙､丙､丁四名同学利用《空间向量与立体几何》这一章的知识对其进行研究，各自得出一个结论： 甲：当时，存，使得； 乙：当时，存在，，使得； 丙：当时，满足的的关系为； 丁：当时，满足的点的轨迹长度为. 其中得出正确结论的同学有（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 三. 填空题：本题共3小题，每小题5分. 共15分. 12. 抛物线的焦点到准线的距离是________. 13. 已知,分别是等差数列的前项和，且，则________ 14. 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 四．解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C的圆心为原点，且与直线相切，直线过点． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆C相切，求直线的方程． （3）若直线被圆C所截得的弦长为，求直线的方程． 16. 设为数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 17. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围． 19 已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北仑中学2024学年第二学期高二年级期初考试数学试卷 (全年级+外高班使用) 命题：高二备课组 审题：高二备课组 一. 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l过点和，则l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两点坐标可求得其斜率，再根据倾斜角与斜率之间的关系可得结果. 【详解】易知直线l的斜率为， 设l的倾斜角为，则，由，可得. 故选：D 2. 已知数列为等比数列，若，，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等比数列公比，进而求出. 【详解】设等比数列公比为，，而，，则，解得， 所以. 故选：B 3. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程表示双曲线求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若方程表示双曲线，则，解得， 所以由推不出方程表示双曲线，故充分性不成立， 由方程表示双曲线推得出，故必要性成立， 所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的方程及点在圆外有且，即可求参数范围. 【详解】由题设，圆，则①， 由点在圆外，则有②， 联立①②得：或 所以实数m的取值范围为 故选：C 5. 若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由恒成立，分离常数，利用基本不等式求得的取值范围. 【详解】依题意，即对任意恒成立， 即恒成立，因为（当且仅当时取“=”）， 所以. 故选：D 6. 已知在棱长为的正四面体中，，则直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】如图，设，易知，， 因为，所以，， 则， 又，得到， ，得到, 设和的夹角为，则, 故选：C. 7. 已知定义域为的函数，其导函数为，且,则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，对求导，结合条件，得到在上单调递减，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】令，则， 又，，所以，即在上单调递减， 对于选项A，因为，所以，故选项A错误， 对于选项B，因为，所以，故选项B正确， 对于选项C，因为，所以，故选项C错误， 对于选项D，，所以，故选项D错误， 故选：B. 8. 如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆上点的坐标从而得到向量坐标，利用向量坐标表示数量积得到相应等量关系，再由点的变化范围得到相应不等式，进而求得取值范围. 【详解】 设， 因为， 又点为半椭圆上一点，所以， 所以 ， 因为存在， 所以， 即在上有解， 因为， 且， 所以在上有解， 即在上有解，所以 又因为， 所以， 即，解得， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设点法，再代入计算相关向量数量积，转化为在上有解，从而得到不等式组，解出即可 二. 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 椭圆：的左、右焦点分别为，，点为上的任意一点，则（ ） A. 椭圆的长轴长为3 B. 椭圆的离心率为 C. 的最大值为5 D. 存在点，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长、半焦距，再逐项判断得解. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的长轴长为6，A错误； 对于B，椭圆的离心率为，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，以线段为直径圆在椭圆内，因此不存在点，使得，D错误. 故选：BC. 10. 已知数列满足，（），则下列结论正确的有（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 前项和 【答案】AB 【解析】 【分析】将给定的递推公式两边取倒数，构造等比数列，求出通项并逐项判断作答. 【详解】∵，∴， ∴，又， ∴是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确； 所以，则， ∴，故B正确； 因为，所以为递减数列， 故C错误； 数列的前n项和 ，故D错误. 故选：AB. 11. 已知正四棱柱的底面边长为，点分别满足.甲､乙､丙､丁四名同学利用《空间向量与立体几何》这一章的知识对其进行研究，各自得出一个结论： 甲：当时，存在，使得； 乙：当时，存在，，使得； 丙：当时，满足的的关系为； 丁：当时，满足的点的轨迹长度为. 其中得出正确结论的同学有（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意分析可知：点为底面内一点（包含边界），建系，设.对于甲丙丁：结合向量垂直的坐标表示运算求解；对于乙：取点关于平面的对称点为，连接，结合对称性分析判断. 【详解】以A为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图1所示的空间直角坐标系， 因为， 可得，所以点为底面内一点（包含边界）， 则，设， 对于甲同学，当时，，则，， 若，则，整理得， 得，则点存在，此时，所以存在，使得，故选项A正确， 对于乙同学，当时，，点关于平面的对称点为， 连接，则， 所以， 又因为P 与B重合时， 所以存在点，使得，即存在，使得，故B正确， 对于丙同学，当时，，可得， 由，得，即， 所以点的轨迹为中平行于边的中位线， 当为该中位线的中点时，，当不为该中位线的中点时，，故C错误； 对于丁同学，当时，， 可得， 由，得0，整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆与正方形相交的圆弧，如图2所示， 取中点，连接，因为，则， 所以，由圆与正方形的对称性知，， 所以，故点的轨迹长度为，所以选项D正确， 故选：ABD. 【点晴】关键点点晴，本题的关键在于利用向量的线性运算，得，点为底面内一点（包含边界）. 三. 填空题：本题共3小题，每小题5分. 共15分. 12. 抛物线的焦点到准线的距离是________. 【答案】 【解析】 【分析】将转化成标准方程形式，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 所以抛物线的焦点到准线的距离是. 故答案为：. 13. 已知,分别是等差数列的前项和，且，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用等差数列的性质得，再结合条件，即可求解. 【详解】因为等差数列， 所以，又， 所以， 故答案为：. 14. 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点问题转为函数图象的交点 因为，所以方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时，，即图象在上方 当时，，即图象在下方 ，图象显然不符合题意，所以． 令，则， 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 则有，解得，则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为． [方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 =0的两个根为 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则， 若，则在上单调递增，此时若， 则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数 且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解； 法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法． 四．解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C的圆心为原点，且与直线相切，直线过点． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆C相切，求直线的方程． （3）若直线被圆C所截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2），或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离求出半径，即可得到圆C的标准方程； （2）分类讨论直线斜率不存在与存在的情况，当斜率存在时，设出直线，利用点到直线距离等于半径求出斜率，即可求解； （3）分类讨论直线斜率不存在与存在的情况，利用圆的垂径定理，列出弦长公式进行求解. 【小问1详解】 圆心到直线的距离， 所以圆的半径为， 所以； 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切． 直线斜率存在，设直线， 由，得所以切线方程为，或． 【小问3详解】 当直线斜率不存在时，，直线被圆所截得的弦长为，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线， 由，解得：， 故的方程是，即， 综上所述，直线的方程为或 16. 设为数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【小问1详解】 因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． 【小问2详解】 因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 17. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【小问1详解】 取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 18. 已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求，从而可求椭圆的标准方程. （2）设，求出直线的方程后可得的横坐标，从而可得，联立直线的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简，从而可求的范围，注意判别式的要求. 【详解】（1）因为椭圆过，故， 因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即， 故椭圆的标准方程为：. （2） 设， 因为直线斜率存在，故， 故直线，令，则，同理. 直线，由可得， 故，解得或. 又，故，所以 又 故即， 综上，或. 19. 已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【小问1详解】 时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， 【小问2详解】 的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. 【小问3详解】 因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上单调递减，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $