广东省广州市执信中学2024-2025学年高三下学期3月检测数学试题

2025届高三3月数学学科检测 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数满足（i是虚数单位），则的取值范围是 A． B． C． D． 3．已知直线的一个方向向量为，其倾斜角为，则 A． B． C． D． 4．已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为 A．2 B． C． D．1 5．已知数列的各项均为正数，，若表示不超过的最大整数，记数列的前项和为，当100时，的值为 A．28 B．29 C．30 D．31 6．已知，，函数的图象如图所示，是的图象与相邻的三个交点，与轴交于相邻的两个交点为，若在区间上有2027个零点，则的最大值为 A． B． C． D． 7．已知圆锥DO的轴截面为等边三角形，是底面的内接正三角形，点P在DO上，且．若平面PBC，则实数 A． B． C． D． 8．已知函数，若对，恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值可能为 A． B． C．0 D． 10．已知一个袋子中放有5个不同的红球和3个不同的黄球，则下列说法正确的是 A．若将袋子中的球全部随机分到两个不同的盒子中，每个盒子不空，则共有256种分配方法 B．若从袋子中不放回地摸出4个球（1次1个），记X为摸出的球中红球的个数，则 C．若从袋子中有放回地依次摸球4次（1次1个），记M为摸出的红球个数，则 D．若从袋子中有放回地依次摸球6次（1次1个）且记录每一次结果，则摸出3个红球3个黄球的可能性最大 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等，而心形线也是其中一种，因其形状像心形而得名，其平面直角坐标方程可表示为，图形如图所示． 当时，点在其中一条心形线C上，且，对于这条心形线，下列说法正确的是 A．若，则 B． C．该心形线围住的区域面积 D．该心形线上有4个整点（横、纵坐标均为整数的点） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知为奇函数，当时，，则 ． 13．如图，设是椭圆的左右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的交点，延长与椭圆交于，若，则椭圆的离心率为__________. 14．已知数列满足，其前项和为，且． 则 ；若对任意的，恒成立，则首项的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知曲线. (1)求在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 16．（15分）在中，内角的对边分别为，记的面积为，若分别以为边长的正三角形的面积依次为，且满足， （1）求； （2）设的平分线交于点，若，，求的长． 17．（15分）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，为下底面圆周上异于的点． （1）点为线段的中点，证明：直线平面； （2）若四棱锥的体积为3，且，求直线与平面夹角的正弦值． 18．（17分）已知O为坐标原点，双曲线的离心率为，且过点. (1)求C的标准方程； (2)过C的右焦点F的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，点Q是线段的中点，过点F且与垂直的直线交直线于M点， ①判断点M是否在一条定直线上，请说明理由； ②记面积为，证明：. 19．（17分）定义：， . 已知数列满足． （1）若，，求，的值； （2）若，，使得恒成立．探究：是否存在正整数p，使得，若存在请求出所有的p，若不存在请说明理由； （3）若数列为正项数列，且集合的元素个数为有限个，证明：不存在实数A，使得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三3月数学学科检测(含答案） 单选答案：CDBBC，ADB 多选答案：CD；BC；ABD 填空答案：；；① 3036 ， ② 详解： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，，则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式不等式化简集合B，再利用集合的并集运算即可. 【详解】依题意，， 因为，所以，解得 ，所以， . 故选：C. 2．已知复数满足（i是虚数单位），则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模的几何意义，转化为点到圆心为，半径为的圆上的点的最值问题，从而得解. 【详解】表示对应的点是圆心为，半径为的圆上的点，   的几何意义表示该圆上的点和点之间的距离，而圆心到点的距离为， 所以的最大距离为，最小距离为， 所以的取值范围为. 故选：D. 3．已知直线的一个方向向量为，其倾斜角为，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，再结合同角基本关系式和正弦二倍角公式即可求解. 【详解】由题意可知， 故选：B． 4．已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为 A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由平面向量数量积的定义、平面向量数量积的运算性质结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】设，又，所以， 根据二次函数性质，所以当时，， 故选：B. 5. 已知数列的各项均为正数，，若表示不超过的最大整数，记数列的前项和为，当100时，的值为 A．28 B．29 C．30 D．31 答案：C 【详解】因，可得是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，因为数列的各项均为正数， 所以，因为， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 则 .说明对应数为30 6． 已知，，函数的图象如图所示，，，是的图象与相邻的三个交点，与轴交于相邻的两个交点，，若在区间上，有2027个零点，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象得到和，得到函数解析式，得到相邻两个零点的距离有两种，可能为，数形结合得到当为个和1014个时，取得最大值，得到答案. 【详解】将原点坐标代入得，又，所以， 故， 的中点横坐标为， 故， 又对应的点为轴左侧第一个最低点，所以， 解得，解得， 所以， 令得， 则或， 解得或， 所以相邻两个零点的距离有两种，可能为， 在上，有2027个零点，要求的最大值， 则当为个和1014个时，取得最大值， 故最大值为. 故选：A 7．已知圆锥DO的轴截面为等边三角形，是底面的内接正三角形，点P在DO上，且．若平面PBC，则实数（    ） A． B． C． D． 答案：D 【详解】解：如图所示； 不妨设，则，，． 因为平面PBC，平面PBC， 所以， 在中，由勾股定理有，即， 解得． 故选：D. 【法2】可以考虑特殊情况，设， 则PO为体对角线的，即,, 则. 8．已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况讨论. 【详解】分和两种情况讨论： （1）当时，等价于恒成立， 因为时，恒成立，所以； （2）当时，等价于恒成立， 当时，，恒成立，所以； 当时，即或恒成立.     也就是或恒成立     而当时，，，     所以或. 综合（1）（2）可知：或.，选：B. 【法2】可带入选项检验，当k=时， 当时，单调递减，所以最大值把1代入发现＜0， 当时，单调递增，则最大值为大于0，不符合条件，排除包含的选项，即排除ACD，选B 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立⇔； （2）恒成立⇔. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值可能为 A． B． C．0 D． 【答案】CD 【分析】求出圆心到直线的距离，利用弦长、圆的半径及弦心距关系式列出方程，求出即可. 【详解】由圆的圆心为：，半径为：， 所以圆心到直线的距离为： ， 又直线被圆所截得的弦长为， 所以 解得：或， 故选：CD. 10．已知一个袋子中放有5个不同的红球和3个不同的黄球，则下列说法正确的是 A．若将袋子中的球全部随机分到两个不同的盒子中，每个盒子不空，则共有256种分配方法 B．若从袋子中不放回地摸出4个球（1次1个），记X为摸出的球中红球的个数，则 C． 若从袋子中有放回地依次摸球4次（1次1个），记M为摸出的红球个数，则 D．若从袋子中有放回地依次摸球6次（1次1个）且记录每一次的结果，则摸出3个红球3个黄球的可能性最大 【答案】BC 【分析】根据分步计数原理可判断A的正误，根据超几何分布求出后可判断B的正误，求出的分布列可判断C的正误，根据二项分布的方差公式可判断D的正误. 【详解】对于A，将袋子中的球全部随机分到两个不同的盒子中，每个盒子不空， 则共有种分配方法，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，设为摸出的红球的个数，则，故，故C正确； 对于D，设为摸出的黄球的个数为，Y可取0到6，则摸出4个红球2个黄球的可能性最大，故D错误； 故选：BC. 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等，而心形线也是其中一种，因其形状像心形而得名，其平面直角坐标方程可表示为，图形如图所示． 当时，点在其中一条心形线C上，且，对于这条心形线，下列说法正确的是 A．若，则 B． C．该心形线围住的区域面积 D．该心形线上有4个整点（横、纵坐标均为整数的点） 【答案】ABD 【解析】依题意，心形线C的直角坐标方程为， 过原点,由，可知三点共线， 可设直线，由 消去y，得．不妨设， 则． ∴，故A正确； 令，可得，由图可知，但由于点要求不在y轴上． 令，则心形线C的方程可化为， 也可将心形线C的方程化为，故B正确， C：令，与心形线可围成矩形 代入得，解得， 由于三次函数单调递增，可知， 故中间矩形的面积，顶部两个弧形面积和； 底部弧形面积，所以， 该心形线围住的区域面积，故C错误 当，或，进而可得或0， 当时，方程无整数解； 当时，，故 ∴C上有4个整点，故D正确， 故选:ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知为奇函数，当时，，则 ． 参考答案： 13．如图，设是椭圆的左右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的交点，延长与椭圆交于，若,则椭圆的离心率为__________. 【分析】设，结合椭圆定义可表示出，在中，利用勾股定理可构造方程求得；在中，利用勾股定理构造齐次方程可求得离心率. 【详解】连接， 设，则， 由椭圆定义知：，，， 在以为直径的圆上，， 在中，，即， 解得：或（舍）；，， 在中，，即， . 【法2】可利用焦半径公式 ，可得，又因为，可得离心率 14．已知数列满足，其前项和为，且． 则 ；若对任意的，恒成立，则首项的取值范围是 ． 参考答案 ① 3036 ② ① 当，，故， ，，即数列的奇数项与偶数项均为公差为3的等差数列， 故，则. ②由上可知，数列为公差为6的等差数列， 若对任意的，恒成立， 由得，，即，可解得； 由得，，即，结合，可解得； 由得，，即，结合，可解得； 另外还需要满足，结合上述条件可解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分）已知曲线. (1)求在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以， ---------------------------1分 ，即切点为， ---------------------------2分 又， --------------------------3分 所以切线方程为，即； -------------------------5分 （2）因为， 函数有两个零点， 等价于曲线与直线有两个交点， ------------------------6分 又， ------------------------7分 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值， ------------------------10分 又时，， 且当时，， 且 ------------------------11分 所以的图象如下所示： 由图可得实数的取值范围为． ------------------------13分 16．（15分）在中，内角的对边分别为，记的面积为，若分别以为边长的正三角形的面积依次为，且满足， （1）求； （2）设的平分线交于点，若，，求的长． 16题参考答案： （1）由题意，，，（2分） 则． 由余弦定理得，所以，（4分） 又， 所以， （6分） 则，又，所以．（7分） （2）法一：由（1）知，又， 所以，所以，所以．（9分） 由余弦定理可得，得，，（11分） 所以，所以， （13分） 在中．（15分） 法二：由（1）知，，整理得，（9分） 由正弦定理得，（10分） 又，所以， 因为，所以， （12分） 由，，得．（13分） 在中，.（15分） 17．（15分）如图， 圆台的轴截面为等腰梯形，，为下底面圆周上异于的点．    （1）点为线段的中点，证明：直线平面； （2）若四棱锥的体积为3，且，求直线与平面夹角的正弦值． 17题参考答案（1）取中点，连接， 则有，， ………………………2分 如图：    在等腰梯形中，， 所以，， 则四边形为平行四边形，所以， ………………………4分 又平面，平面，所以直线平面． ……………………5分 （2）过点作于，在等腰梯形中，， 所以梯形的高，所以等腰梯形面积为， 所以四棱锥的体积，解得， ………7分 在中，由射影定理得或（舍去）， ……………9分 当时，以为坐标原点， 以过点平行与的方向，所在直线为坐标轴， 建立如图所示的空间直角坐标系；    则有， ………………………11分 故，， 设平面的法向量，故， 令，得， ………………………13分 设直线与平面夹角的大小为， 则， 所以直线与平面夹角的正弦值为； ………………………15分 18．（17分） 已知O为坐标原点，双曲线的离心率为，且过点. (1)求C的标准方程； (2)过C的右焦点F的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，点Q是线段的中点，过点F且与垂直的直线交直线于M点， ①判断点M是否在一条定直线上，请说明理由； ②记面积为，证明：. 18题参考答案：（1）由已知双曲线离心率，即， 则双曲线方程为，又曲线过点，即，解得， 所以双曲线方程为； ………3分 （2）由（1）得， ①由已知直线的斜率k存在且，设直线，， 且， 联立直线与双曲线，得，恒成立，且， ………5分 即，解得， ………6分 又Q为A，B中点， 则，则， 即， ………8分 则直线，又直线过点，且过点F，则， 联立与，即，解得， 即， ………11分 即点M在定直线上. ………12分 ②由，即证， ………13分 ， ………14分 利用对称性，不妨设， 则， 故成立 ………17分 19.（17分）定义：， . 已知数列满足． （1）若，，求，的值； （2）若，，使得恒成立．探究：是否存在正整数p，使得，若存在请求出所有的p，若不存在请说明理由； （3）若数列为正项数列，且集合的元素个数为有限个，证明：不存在实数A，使得． 解析：（1）依题意，，显然； 故； ------------1分 ， 即或，则或． ------------3分 （2）， 对恒成立， ， ------------5分 此即表明或 , ----------6分 ①若，则且, 的集合为 ----------7分 ②若，且 时, 当 , 且时,. 的集合为 且 ----------8分 ③时, ， ， ， 当, 且 时, . 的集合为 且 ---------9分 （3），；----------10分 由， ①若，则，， ---------11分 对任意，取（[x]表示不超过x的最大整数）， 当时，； ---------13分 ②若，设，，---------15分 对任意，取（[x]表示不超过x的最大整数）， 当时，； ---------17分 故不存在实数A，使得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$