精品解析：山东省菏泽市牡丹区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷

七年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2024 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数定义．根据题意利用相反数定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵相反数是2024， 故选：B． 2. 菏泽市被誉为“中国牡丹之都”，在牡丹产业发展方面取得了显著成就，形成了以牡丹和芍药为主，玫瑰、菊花、蝴蝶兰等花卉融合发展的多元化产业体系．2024年菏泽市牡丹芍药等花卉全产业链综合产值达到了13000000000元，将该数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：把数据13000000000用科学记数法表示为； 故选：C． 3. 如图，用一平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．根据圆锥、圆柱、四棱柱的形状特点逐项判断即可得． 【详解】解：沿着与四棱柱、圆柱底面垂直的方向可以截出长方形； 圆锥中不可能截出长方形； ∴其截面可能是长方形的有3个， 故选：C． 4. 以下调查中，适合普查的是（ ） A. 检测“神舟十七号”飞船的重要零部件 B. 了解全国中学生的视力情况 C. 检测漳州的城市空气质量 D. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，理解根据所要考查的对象的特征灵活选用调查方式是解题的关键．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A． 检测“神舟十七号”飞船的重要零部件，要求每个零件都没有问题适合普查，故此项符合题意； B． 了解全国中学生的视力情况，调查范围广适合抽样调查，故此项不符合题意； C． 检测漳州的城市空气质量，调查范围广适合抽样调查，故此项不符合题意； D． 了解一批圆珠笔芯的使用寿命，调查具有破坏性适合抽样调查，故此项不符合题意． 故选：A． 5. 下列式子中，与是同类项的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项． 【详解】解：A、与所含字母不相同，不是同类项，该选项不符合题意； B、与所含字母不相同，不是同类项，该选项不符合题意； C、与相同字母的指数不相同，不是同类项，该选项不符合题意； D、与是同类项，该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同类项．解题的关键是根据同类项定义中的两个“相同”解答：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同． 6. 某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银本叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 点动成线 C. 直线是向两方无限延伸的 D. 两点之间线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】根据实际问题结合选项所列举的原理进行分析即可． 【详解】用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分，则原来所减掉的线段的两个端点之间由曲线变为了线段，周长缩小了，则应用的原理是两点之间线段最短， 故选：D． 【点睛】本题考查了线段的性质，关键是掌握两点之间所有的连线中，线段最短． 7. 《孙子算经》记载：“今有百鹿人城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”其大意是：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问共有多少户人家？设有户人家，则下列所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设有户人家，根据“每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每家共取一头，恰好取完”，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设有户人家， 依题意，得：． 故选：B． 8. 能清楚地反映漳州市近三年初中毕业学生人数的变化情况，应绘制（　　） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 直方图 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图的特点解答． 【详解】解：能清楚地反映漳州市近三年初中毕业学生人数的变化情况，应绘制折线统计图， 故选：C． 【点睛】此题考查了统计图的特点，条形统计图能够直观地反映各变量数量的差异，折线图能直观反映各变量的变化趋势，扇形统计图能清楚地表示各部分在总体中所占的百分比，直方图体现个体的数量，熟记每种统计图的特点是解题的关键． 9. 一个圆锥底面半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，则圆锥的母线长为（ ） A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查扇形弧长计算公式，圆的周长计算公式，先求出圆的周长，再根据公式计算即可可求母线长． 【详解】解：圆锥的底面周长为：； ∴圆锥侧面展开图的弧长为， 设圆锥的母线长为R， ∴， 解得． 故选A． 10. 图1有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图2，有5个三角形，记作；再分别连接图2中间的小三角形三边中点得到图3，有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则的值为（ ） A. 8085 B. 8089 C. 8092 D. 8093 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形变化的一般规律问题．能够通过观察，掌握其内在规律是解题的关键．由第一个图中1个三角形，第二个图中5个三角形，第三个图中9个三角形，每次递增4个，即可得出第n个图形中有个三角形，从而可得答案． 【详解】解：由图知，第一个图中1个三角形，即个； 第二个图中5个三角形，即个； 第三个图中9个三角形，即个； … ∴第n个图形中有个三角形． ∴； 故选：D． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案．） 11. 谜语是我国民间文学的一种特殊形式，古时称“度辞”或“隐语”．谜语：“正看三条边；侧看三条边；上看圆圈圈，就是没直边．”____________．（打一几何体） 【答案】圆锥 【解析】 【分析】本题主要考查了生活中简单的几何体，解题的关键是熟练掌握圆锥的特点，根据圆锥特点即可解答． 【详解】解：这个几何体为圆锥． 故答案为：圆锥． 12. 某景点山上的温度是﹣1℃，山下的温度是4℃，则山下的温度比山上的温度高 _____℃． 【答案】5 【解析】 【分析】直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵某景点山上的温度是−1℃，山下的温度是4℃， ∴山下的温度比山上的温度高：4−（−1）＝5（℃）． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了有理数的减法，正确掌握相关运算法则是解题关键． 13. 如图是一个平角，如果，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角度的计算．根据题意可知，即可计算本题答案． 【详解】解：∵是一个平角， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为3．则下列结论： 小长方形的较长边为； 阴影B的较短边为； 阴影A的周长与阴影B的周长之和随y的值的变化而变化； ． 其中正确的有______．（填序号） 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据图形的长宽关系可以求出阴影A的长为，宽为，阴影B的长为，宽为，依此逐项进行判断即可． 【详解】解：由图可知， 小长方形的较长边为，故正确； 阴影B的较短边为：，故错误； 阴影A的长为，宽为，阴影B的长为，宽为， 则阴影A的周长与阴影B的周长之和为：，与y的值的变化无关，故错误； 阴影A的面积与阴影B的面积之和等于大长方形面积减去5块全等的长方形面积，即，故正确； 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的分割、用字母代数式表示边长，根据边长关系分别表示出阴影A、B的长和宽是解题关键． 15. 小明在地理课上知道了我国的五大名山（泰山，衡山，华山，恒山，嵩山）的海拔，课后他绘制统计图以便更清楚地表示五座山的高度，那么最适宜采用的是______统计图．（填“折线”、“条形”、“扇形”） 【答案】条形 【解析】 【分析】根据条形统计图，扇形统计图和折线统计图的特点来判断即可． 【详解】解：为了便于清楚地表示五座山的高度，那么最适宜采用的是条形统计图， 故答案为：条形． 【点睛】本题考查统计图的选择，弄清统计图的特征是解题的关键． 16. 已知的取值与代数式的对应值如表： x … 0 1 2 3 … ax+b … 9 7 5 3 1 … 根据表中信息，得出了如下结论：①；②关于方程的解是；③|；④的值随着值的增大而减小．其中正确的是________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据题意得：当时，，可得①正确；当时，，可得关于的方程的解是；故②正确；再由当时，，当时，，可得③错误；然后求出，可得当的值越大，越小，即也越小，可得④错误；即可求解． 【详解】解：根据题意得：当时，，故①正确； 当时，， ∴关于的方程的解是；故②正确； 当时，， 当时，， ∵， ∴，故③错误； ∵，当时，， ∴， 解得：， ∴， ∴当的值越大，越小，即也越小， ∴的值随着值的增大而减小，故④正确； 所以其中正确的是①②④． 故答案为：①②④ 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，解二元一次方程组，不等式的性质，理解表格的意义是解题的关键． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】 ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】直接去括号合并同类项，把已知数值代入计算求出答案即可． 【详解】解：原式， 当，时， 原式． 【点睛】此题主要考查了整式化简和代入求值，正确合并同类项是解题关键． 19. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次方程．方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 20. 一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查从三个方面看组合体得到的形状图，从上面看得到组合体的形状图出发，结合数字空间想象出组合体的空间立体结构是解决问题的关键．根据从上面看组合体得到的形状图及相应数字可以想象该组合体的空间立体结构，进而得到从正面看与从左面看的形状图． 【详解】解：如图所示： 21. 如图，已知线段a，b． （1）作线段（要求：尺规作图，保留作图痕迹不写作法）； （2）当，时，延长（1）中线段至点C，使，点D是的中点，求． 【答案】（1）图见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）作射线，在射线上截取，在线段上，截取，线段即为所求； （2）由题意易得，则有，然后根据线段中点的定义可进行求解． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴． 【点睛】本题考查作图复杂作图，线段的和差以及中点的定义，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型． 22. 为了让学生了解工业互联网相关知识，某校准备开展“工业互联网”主题日活动，聘请专家为学生做五个领域的专题报告：A．数字孪生；B．人工智能；C．应用； D．工业机器人；E．区块链．为了解学生的研学意向，随机抽取部分学生进行调查，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求本次调查所抽取的学生人数，并直接补全条形统计图； （2）求扇形统计图中领域“B”对应扇形的圆心角的度数； （3）学校有1000名学生参加本次活动，地点安排在两个多功能厅，每场报告时间为90分钟．由下面的活动安排表可知，A和D两场报告时间与场地已经确定．在确保听取报告的每名同学都有座位的情况下，请你合理安排B，C，E三场报告，补全此次活动安排表（写出一种方案即可），并说明理由 工业互联网主题日活动安排表 地点（座位数） 时间 1号多功能厅（300座） 2号多功能厅（150座） 8：00-9：30 D 10：00-11：30 A 14：00-15：30 设备检修暂停使用 【答案】（1）40，见解析 （2） （3）领域B只能安排在2号多功能厅，领域C，E安排在1号多功能厅，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图综合运用，样本估计总体，熟练掌握是解题的关键． （1）根据统计图，用领域的人数除以占比即可得出总人数，进而求得的人数，从而补全条形统计图； （2）根据领域“”的占比乘以即可求解； （3）根据样本估计总体，分别求得的人数，进而根据表格数据即可求解． 【小问1详解】 解：（人）； ∴（人）； 补全图形如下： 【小问2详解】 ， ∴领域“B”对应扇形的圆心角的度数为； 【小问3详解】 可安排如下： “工业互联网”主题日活动安排表 地点（座位数） 时间 1号多功能厅（300座） 2号多功能厅（150座） 8：00-9：30 B 10：00-11：30 C 或 E 14：00-15：30 E C 设备检修暂停使用 理由：参加三场报告的学生人数如下： B场：（人）； C场：（人）； E场：（人）； ∵号多功能厅（300座），2号多功能厅（150座）， ∴领域B只能安排在2号多功能厅，领域C，E安排在1号多功能厅（顺序可对换）． 23. 如下图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数．从下往上，第1个至第5个台阶上依次标，，，1，4，且任意相邻五个台阶上数的和都相等． 【尝试】（1）求前5个台阶上的数的和； （2）求第6个台阶上的数． 【应用】（3）求从下往上前2024个台阶上的数的和． 【发现】（4）求第次出现标“1”所在的台阶数．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】 【分析】本题主要考查数字的变化规律、有理数的运算、解一元一次方程，解题的关键是根据相邻五个台阶上数的和都相等得出台阶上的数字是每5个一循环． （1）将前5个数字相加可得； （2）根据“相邻五个台阶上数和都相等”列出方程求解可得； （3）根据“台阶上的数字是每5个一循环”求解可得； （4）由循环规律即可知数“1”所在的台阶数为． 【详解】解：（1）由题意得前5个台阶上数的和是； （2）由题意得， 解得：， 则第6个台阶上的数x是； （3）由题意知台阶上的数字是每5个一循环， ∵， ∴， 即从下到上前2024个台阶上数的和为； （4）∵台阶上的数字是每5个一循环，出现1的台阶数为4，9，14，19，．．．， ∴数1所在的台阶数为． 24. 已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角的度数的，则称射线是的奇分线． （1）判断一个角的平分线是否是这个角的奇分线； （2）如图，． ①若射线是的奇分线，求的度数； ②射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线是的奇分线． 【答案】（1） （2）①或或；②当t为27或36或54时 【解析】 【分析】(1)根据奇分线的定义即可求解； (2)①分3种情况，根据奇分线的定义得到方程求解即可； ②分3种情况，根据奇分线的定义得到方程求解即可． 【小问1详解】 解：一个角的平分线是这个角的奇分线； 【小问2详解】 解：①，若射线是的奇分线，则根据奇分线的定义可知有3种情况符合题意： 当时， ， 解得， 则； 当时， ， 解得； 当时， ； 综上，的度数为或或； ②当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 综上，当t为27或36或54时，射线是的奇分线． 【点睛】本题考查了几何图形中角的有关计算，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2024 C. D. 2. 菏泽市被誉为“中国牡丹之都”，在牡丹产业发展方面取得了显著成就，形成了以牡丹和芍药为主，玫瑰、菊花、蝴蝶兰等花卉融合发展的多元化产业体系．2024年菏泽市牡丹芍药等花卉全产业链综合产值达到了13000000000元，将该数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，用一平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 以下调查中，适合普查的是（ ） A. 检测“神舟十七号”飞船的重要零部件 B. 了解全国中学生的视力情况 C. 检测漳州的城市空气质量 D. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命 5. 下列式子中，与是同类项为（ ） A. B. C. D. 6. 某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银本叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 点动成线 C. 直线是向两方无限延伸的 D. 两点之间线段最短 7. 《孙子算经》记载：“今有百鹿人城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”其大意是：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问共有多少户人家？设有户人家，则下列所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 能清楚地反映漳州市近三年初中毕业学生人数的变化情况，应绘制（　　） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 直方图 9. 一个圆锥底面半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，则圆锥的母线长为（ ） A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm 10. 图1有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图2，有5个三角形，记作；再分别连接图2中间的小三角形三边中点得到图3，有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则的值为（ ） A. 8085 B. 8089 C. 8092 D. 8093 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案．） 11. 谜语是我国民间文学的一种特殊形式，古时称“度辞”或“隐语”．谜语：“正看三条边；侧看三条边；上看圆圈圈，就是没直边．”____________．（打一几何体） 12. 某景点山上的温度是﹣1℃，山下的温度是4℃，则山下的温度比山上的温度高 _____℃． 13. 如图是一个平角，如果，，则__________． 14. 如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为3．则下列结论： 小长方形的较长边为； 阴影B较短边为； 阴影A的周长与阴影B的周长之和随y的值的变化而变化； ． 其中正确的有______．（填序号） 15. 小明在地理课上知道了我国的五大名山（泰山，衡山，华山，恒山，嵩山）的海拔，课后他绘制统计图以便更清楚地表示五座山的高度，那么最适宜采用的是______统计图．（填“折线”、“条形”、“扇形”） 16. 已知的取值与代数式的对应值如表： x … 0 1 2 3 … ax+b … 9 7 5 3 1 … 根据表中信息，得出了如下结论：①；②关于方程解是；③|；④的值随着值的增大而减小．其中正确的是________．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17 计算： 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 解方程：． 20. 一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 21. 如图，已知线段a，b． （1）作线段（要求：尺规作图，保留作图痕迹不写作法）； （2）当，时，延长（1）中线段至点C，使，点D是的中点，求． 22. 为了让学生了解工业互联网相关知识，某校准备开展“工业互联网”主题日活动，聘请专家为学生做五个领域的专题报告：A．数字孪生；B．人工智能；C．应用； D．工业机器人；E．区块链．为了解学生的研学意向，随机抽取部分学生进行调查，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求本次调查所抽取的学生人数，并直接补全条形统计图； （2）求扇形统计图中领域“B”对应扇形的圆心角的度数； （3）学校有1000名学生参加本次活动，地点安排在两个多功能厅，每场报告时间为90分钟．由下面的活动安排表可知，A和D两场报告时间与场地已经确定．在确保听取报告的每名同学都有座位的情况下，请你合理安排B，C，E三场报告，补全此次活动安排表（写出一种方案即可），并说明理由 工业互联网主题日活动安排表 地点（座位数） 时间 1号多功能厅（300座） 2号多功能厅（150座） 8：00-9：30 D 10：00-11：30 A 14：00-15：30 设备检修暂停使用 23. 如下图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数．从下往上，第1个至第5个台阶上依次标，，，1，4，且任意相邻五个台阶上数的和都相等． 【尝试】（1）求前5个台阶上的数的和； （2）求第6个台阶上的数． 【应用】（3）求从下往上前2024个台阶上的数的和． 【发现】（4）求第次出现标“1”所在的台阶数．（用含的式子表示） 24. 已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角的度数的，则称射线是的奇分线． （1）判断一个角的平分线是否是这个角的奇分线； （2）如图，． ①若射线是的奇分线，求的度数； ②射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线是的奇分线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$