精品解析：河南省安阳市滑县 2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年第一学期期末学业质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列几何图形不是轴对称图形的是（ ） A. 笛卡尔爱心曲线 B. 费马螺旋曲线 C. 科赫曲线 D. 蝴蝶曲线 2. 若分式的值为，则的值是(　　) A. B. C. D. 任意实数 3. 下列计算正确的是 A. B. C. D. 4. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 5. 一个多边形的内角和与外角和之和为，则这个多边形的边数为（ ） A. 五 B. 六 C. 七 D. 八 6. 如图，，点D在上，下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，边上的中线，则边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则m、n的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，在中，，，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长，交于点D，则下列说法中正确的是（ ） ①是的平分线；②；③是等腰三角形；④点D到直线的距离等于的长度． A. ①②④ B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④ 10. 观察规律：，，……若（n为正整数），则n的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点（3，a）和点（b﹣a，2）关于 x 轴对称，则 b﹣2a＝_____． 12. 请写出一个最简分式，要求该分式含有字母x且在实数范围内不论x取何值，分式都有意义．你写的分式是______． 13. 如图，在中，，若将沿DE折叠到，则______度． 14. 凸透镜成像是自然界中的一个基本现象，其中物距记为u，像距记为v，透镜焦距记为f，三者满足关系式：，若已知u、f，则v＝_____． 15. 如图，在四边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为____________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，已知，用尺规完成以下基本作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）先作的平分线，交边于点；再作线段的垂直平分线，交边于点，交边于点； （2）在（1）的条件下，连接，则与的位置关系是 ，数量关系是 ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．与y轴交于点． （1）在图中画出关于y轴对称的，并写出点的坐标（点A，B，C的对应点分别是点）； （2）在平面直角坐标系中，若点，，那么点是线段的中点．判断点P （填“是”或“不是”） 的中点，写出中点Q的坐标及（1）题中和重叠部分的面积． 19. 小玉利用一根长3.6m的竿子来测量路灯的高度．她的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子（）在的延长线上左右移动，使，此时测得．请根据这些数据，计算路灯的高度． 20. “风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． （1）初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，请你试着写出图中筝形的两条性质（定义除外）：① ；② ； （2）选择（1）题中你写的其中一条筝形的性质进行证明； （3）如图，若，，求筝形的面积． 21. 如图1，有正方形纸片A，B和长方形纸片C各若干张，小王用1张A纸片，2张B纸片，3张C纸片拼出了如图2所示的一个大长方形．在拼图过程中他发现，图2所示大长方形的面积可以用“拼图时用到的6张纸片的面积和”表示，也可以“按长方形面积公式长×宽”计算得出，由此他得到了一个用纸片拼图分解因式的方法． （1）结合图1、图2试着分解因式： ； （2）类比上述用纸片拼图分解因式的方法： ①请你利用图1中A，B，C三种纸片拼出面积为的一个长方形，在图3的方框中画出拼好后的图形； ②你的拼图共用了 张A纸片， 张B纸片， 张C纸片； ③结合你的拼图过程，分解因式 ． 22. 随着科技创新发展，人形机器人集成人工智能、高端制造、新材料等先进技术，有望成为继计算机、智能手机、新能源汽车后的颠覆性产品，发展潜力大，应用前景广．为提高工作效率，某工厂使用A，B两种型号机器人搬运原料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，且A型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人搬运1200千克所用时间相等． （1）求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料； （2）从生产效率和生产安全考虑，A，B两种型号机器人都要参与原料运输但两种机器人不能同时进行工作．如果要求不超过4小时需完成对560千克原料的搬运，则A型机器人至少要搬运多少千克原料？ 23. 如图1，已知和均为等腰直角三角形，，点D在线段上，连接，点O为的中点．连接，并延长交于点P． （1）如图1，写出线段与的数量关系： ； （2）如图1，写出直线与的位置关系： ； （3）将绕点A逆时针旋转，使点E在线段的延长线上（如图2所示位置），此时，点O仍为的中点．那么（2）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期末学业质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列几何图形不是轴对称图形的是（ ） A. 笛卡尔爱心曲线 B. 费马螺旋曲线 C. 科赫曲线 D. 蝴蝶曲线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选B． 2. 若分式的值为，则的值是(　　) A. B. C. D. 任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件：分子=0且分母≠0，列出方程和不等式即可求出的值． 【详解】解：∵分式的值为 ∴ 解得： 故选A． 【点睛】此题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子=0且分母≠0，是解决此题的关键． 3. 下列计算正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同类项的定义，完全平方公式，同底数幂的除法法则，积的乘方的运算法则，解题的关键是熟知只有同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项才能进行合并，并且熟记完全平方公式以及同底数幂的除法法则，积的乘方的运算法则．根据合并同类项，单项式的除法，积的乘方和幂的乘方运算法则和完全平方公式逐一计算作出判断． 【详解】解：A.．与不是同类项，不能相加（合并），选项错误； B．是完全平方公式的应用，结果应含有三项，应为，选项错误； C．两个单项式相除，系数与系数相除，相同的字母相除（同底数幂相除，底数不变，指数相减），应为，选项错误； D．由幂的运算性质（积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，幂的乘方，底数不变，指数相乘）得，正确． 故选：D． 4. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，因此到三角形三边距离相等的点是三个内角平分线的交点． 【详解】解：∵ 角平分线上的点到角的两边距离相等， ∴ 三个内角平分线的交点到三角形的三边距离相等， ∴ 该点是三条内角平分线的交点． 故选：B． 5. 一个多边形的内角和与外角和之和为，则这个多边形的边数为（ ） A. 五 B. 六 C. 七 D. 八 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了多边形的内角和与外角和，一元一次方程的应用．设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和与外角和之和为列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为，由题意可得， ， 解得， 即这个多边形的边数为五， 故选：A 6. 如图，，点D在上，下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，，，证明，，据此得出选项即可． 【详解】解：， ，，，， ，即， 如图，记与的交点为， ∵， ∴， 故A、B、C正确，D不正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 7. 在中，，边上的中线，则边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系问题，熟练掌握“倍长中线法”构造全等三角形是解题关键． 延长至，使，利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围． 【详解】解：如图，延长至，使， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ． A、错误，不符合题意； B、错误，不符合题意； C、错误，不符合题意； D、正确，符合题意． 故选：D． 8. 若，则m、n的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】将左边的式子展开，然后与右边的式子进行对比，从而确定和的值．本题主要考查了多项式乘法法则，熟练掌握多项式乘法法则是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：B． 9. 如图，在中，，，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长，交于点D，则下列说法中正确的是（ ） ①是的平分线；②；③是等腰三角形；④点D到直线的距离等于的长度． A. ①②④ B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质，根据作图，得到是的平分线，判断①，三角形的内角和定理结合角平分线的定义判断②，等角对等边判断③，角平分线的性质判断④即可． 【详解】解：由作图，可知：是的平分线；故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∴是等腰三角形；故③正确； ∵是的平分线，， ∴点到的距离即为的长，点到直线的距离等于点到的距离， ∴点D到直线的距离等于的长度．故④正确； 故选D． 10. 观察规律：，，……若（n为正整数），则n的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式的规律类运算，理解规律和掌握平方差公式是解题关键. 根据题目中式子的特点，利用平方差公式分解因式，然后约分即可求得答案. 【详解】∵ 解得： 经检验，是分式方程的解， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点（3，a）和点（b﹣a，2）关于 x 轴对称，则 b﹣2a＝_____． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据点坐标关于轴对称的变换规律求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：点坐标关于轴对称的变换规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数， 点和点关于轴对称， ， 解得， 则， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了坐标与轴对称变化，熟练掌握点坐标关于轴对称的变换规律是解题关键． 12. 请写出一个最简分式，要求该分式含有字母x且在实数范围内不论x取何值，分式都有意义．你写的分式是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据最简分式的特点，分式有意义的条件，解答即可． 本题考查了最简分式，分式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，写出的分式是． 故答案为：． 13. 如图，在中，，若将沿DE折叠到，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质和三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，由折叠得到则即可求出． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∵将沿DE折叠到， ∴ ∴ ∴ 故答案为： 14. 凸透镜成像是自然界中的一个基本现象，其中物距记为u，像距记为v，透镜焦距记为f，三者满足关系式：，若已知u、f，则v＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分． 根据已知条件，先求出，进行通分后，再求出v即可． 【详解】解：， ， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】延长到使得，延长到使得，连接与、分别交于点、，此时周长最小，推出，进而得出的度数． 【详解】解：延长到使得，延长到使得，连接与、分别交于点、，如图所示： ， 、关于对称，、关于对称， ，， ， 同理：， ，，、M、N、在同一直线上时的周长最小， ，， ， ， ， ． ， 故答案为：． 【点睛】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）2（2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算和分式的化简求值，能正确根据实数和分式的运算法则进行化简是解此题的关键．（1）根据负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方法则计算；（2）先算括号内的加法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可． 【详解】（1）解：原式； ； （2）解：原式； ； ； 当时，原式． 17. 如图，已知，用尺规完成以下基本作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）先作的平分线，交边于点；再作线段的垂直平分线，交边于点，交边于点； （2）在（1）的条件下，连接，则与的位置关系是 ，数量关系是 ． 【答案】（1） 解：如图所示，、为所求． （2）；． 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则为所求；以点、点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点、，连接，交边于点，交边于点，则为所求． （2）根据角平分线的定义和垂直平分线的定义可得，即可得解与的位置关系是平行；证明即可证明与是对应边，数量关系是相等． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：且，理由如下： 如图所示，连接，与的交点为， 是的角平分线， ， 的垂直平分线交于点，交于点， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 综上，；． 【点睛】本题主要考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图是解题关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．与y轴交于点． （1）在图中画出关于y轴对称的，并写出点的坐标（点A，B，C的对应点分别是点）； （2）在平面直角坐标系中，若点，，那么点是线段的中点．判断点P （填“是”或“不是”） 的中点，写出中点Q的坐标及（1）题中和重叠部分的面积． 【答案】（1），， 画图如下： 则即为所求． （2）是，，4 【解析】 【分析】（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，，，画图即可． （2）根据定义解答即可． 本题考查了y轴对称作图，中点坐标公式的应用，三角形面积计算，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意，得，， ∴B，C的中点坐标为即， 故是的中点， 故答案为：是； ∵，， ∴的中点Q的坐标为即； ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 所以， 由， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 所以， 设直线与直线的交点为G，根据题意，得 ， 解得， ∴， 根据对称性质，得重叠部分的面积是． 19. 小玉利用一根长3.6m的竿子来测量路灯的高度．她的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子（）在的延长线上左右移动，使，此时测得．请根据这些数据，计算路灯的高度． 【答案】路灯的高度是 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定的条件是解题的关键． 根据三角形的内角和定理易得，进行得到和全等，再利用全等三角形的性质求解． 【详解】解：由题意得，， ， ， ∵， ， 在和中 ， ， ， ， ， 答：路灯的高度是． 20. “风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． （1）初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，请你试着写出图中筝形的两条性质（定义除外）：① ；② ； （2）选择（1）题中你写的其中一条筝形的性质进行证明； （3）如图，若，，求筝形的面积． 【答案】（1）垂直平分， （2） 性质1：∵，， ∴点均在线段的中垂线上， ∴垂直平分； 性质2：∵， ∴； （3）30 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据题意易得垂直平分，； （2）根据中垂涎的判定方法，全等三角形的判定方法进行判断即可； （3）分割法求出筝形的面积即可． 【小问1详解】 解：观察可知：垂直平分，； 故答案为：垂直平分，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵垂直平分， ∴． 21. 如图1，有正方形纸片A，B和长方形纸片C各若干张，小王用1张A纸片，2张B纸片，3张C纸片拼出了如图2所示的一个大长方形．在拼图过程中他发现，图2所示大长方形的面积可以用“拼图时用到的6张纸片的面积和”表示，也可以“按长方形面积公式长×宽”计算得出，由此他得到了一个用纸片拼图分解因式的方法． （1）结合图1、图2试着分解因式： ； （2）类比上述用纸片拼图分解因式的方法： ①请你利用图1中A，B，C三种纸片拼出面积为的一个长方形，在图3的方框中画出拼好后的图形； ②你的拼图共用了 张A纸片， 张B纸片， 张C纸片； ③结合你的拼图过程，分解因式 ． 【答案】（1） （2） ①如图 ② 3，1，4 ； ③ 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解． （1）按长方形面积公式长×宽”计算得出； （2）①根据题意画出相应图形；②根据拼图即可得到A，B，C三种纸片各用了多少张；③根据长方形的面积分解因式即可． 【小问1详解】 解：通过面积计算可以发现， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ①略 ②根据拼图即可得到共用了3张A纸片，1张B纸片，4张C纸片； 故答案为：3,1,4； ③根据拼图过程和长方形面积公式可得； 故答案为：． 22. 随着科技创新发展，人形机器人集成人工智能、高端制造、新材料等先进技术，有望成为继计算机、智能手机、新能源汽车后的颠覆性产品，发展潜力大，应用前景广．为提高工作效率，某工厂使用A，B两种型号机器人搬运原料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，且A型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人搬运1200千克所用时间相等． （1）求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料； （2）从生产效率和生产安全考虑，A，B两种型号机器人都要参与原料运输但两种机器人不能同时进行工作．如果要求不超过4小时需完成对560千克原料的搬运，则A型机器人至少要搬运多少千克原料？ 【答案】（1）A型机器人每小时搬运150千克原料，型机器人每小时搬运120千克原料 （2）A型机器人至少要搬运400千克原料． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设B型机器人每小时搬运x千克原料，则A型机器人每小时搬运千克原料，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合A型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人搬运1200千克所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设A型机器人要搬运m千克原料，则B型机器人要搬运千克原料，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合工作时间不能超过4小时，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设型机器人每小时搬运千克原料， 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型机器人每小时搬运150千克原料，型机器人每小时搬运120千克原料； 【小问2详解】 设A型机器人要搬运千克原料， 由题意得： 解得： 答：A型机器人至少要搬运400千克原料． 23. 如图1，已知和均为等腰直角三角形，，点D在线段上，连接，点O为的中点．连接，并延长交于点P． （1）如图1，写出线段与的数量关系： ； （2）如图1，写出直线与的位置关系： ； （3）将绕点A逆时针旋转，使点E在线段的延长线上（如图2所示位置），此时，点O仍为的中点．那么（2）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 成立，证明： 如图2，作交的延长线于，连接，连接， ， 在与中， ， ， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形，且是底边的中线， ． 【解析】 【分析】本题综合考查了等腰直角三角形、等腰三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、全等三角形的性质和判定；此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用． （1）由可得，再根据平行线的性质，推出，根据推出，证出，因为，即可得到； （2）由（1）可知，，再由，可得，从而可得是等腰直角三角形，且是底边上的中线，即可得到； （3）作交的延长线于，连接，连接，根据平行线的性质求出，根据证，推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出为等腰直角三角形． 【小问1详解】 解：，理由如下：如图1， ，，， 和为等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）得：， ，， ， ， 是等腰直角三角形，且是底边的中线， ； 故答案为：； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $