第17章章末测试卷-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(人教版）

第十七章章末测试卷 第十七章章末测试卷 （本试卷共 23 道题 满分 120 分 考试时间共 120 分钟） 一、 选择题 （本题共 10 小题， 每小题 3 分， 共 30 分 . 在每小题给出的四个选项中， 只有 一项是符合题目要求的） 1. 下列定理有逆定理的是 （ ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行， 同位角相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 直角都相等 2. 满足下列条件的 △ABC 中， 不能判定是直角三角形的是 （ ） A. 3 ， 4 ， 5 B. 9 ， 12 ， 15 C. 5 ， 12 ， 13 D. 5 ， 6 ， 7 3. 如果梯子的底端离建筑物 5 m ， 那么长为 13 m 的梯子可以达到该建筑物的高度是 （ ） A. 12 m B. 14 m C. 15 m D. 13 m 4. 一直角三角形的边长分别为 a ， b ， c ， 若 a 2 =9 ， b 2 =16 ， 那么 c 2 的值是 （ ） A. 5 B. 7 C. 25 D. 25 或 7 5. 已知 Rt△ABC 有两边的长为 12 和 5 ， 则第三边可能是 （ ） A. 7 B. 10 C. 13 D. 17 6. 下列各组数中， 是勾股数的是 （ ） A. 3 姨 ， 4 姨 ， 5 姨 B. 1 ， 1 ， 2 姨 C. 7 ， 24 ， 25 D. 34 姨 ， 3 ， 5 7. 已知等边三角形的边长为 2 ， 则该等边三角形的面积是 （ ） A. 4 B. 2 3 姨 C. 2 D. 3 姨 8. 将一个直角三角形两直角边同时扩大到原来的两倍， 则斜边扩大到原来的 （ ） A. 4 倍 B. 2 倍 C. 不变 D. 无法确定 9. 如图 ， 有一个直角三角形纸片 ， 两直角边 AC＝6 cm ， BC＝8 cm ， 现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠， 使它落在斜边 AB 上， 且与 AE 重合， 则 CD 的长为 （ ） A. 3 B. 3.5 C. 2 D. 5 2 第一部分 选择题 （共 30 分） 第 9 题图 E A C D B 7 八年级下册 （人教版）数学 10. 如图， △ACB 和 △ECD 都是等腰直角三角形， ∠ACB＝∠ECD＝ 90° ， D 为 AB 边上一点， 若 AD＝5 ， BD＝12 ， 则 DE 的长为 （ ） A. 11 B. 13 C. 12 D. 25 第二部分 非选择题 （共 90 分） 二、 填空题 （本题共 5 小题， 每小题 3 分， 共 15 分） 11. 命题： “直角三角形中， 30° 的锐角所对的直角边等于斜边的一半” 的逆命题是 . 12. 《九章算术》 是我国古代最重要的数学著作之一， 在 “勾股” 章中记载了一道 “折竹抵地” 问题： “今有竹高一丈， 末折抵地， 去本三尺， 问折者高几何 . ” 转化成数学 问题是： 如图， 在 △ABC 中， ∠ACB＝90° ， AC+AB＝10 ， BC＝3 ， 则 AC 的长为 . 13. 如图， 分别以直角三角形的三边 a ， b ， c 为边， 向外作等边三 角形、 半圆、 等腰直角三角形和正方形， 上述四种情况的面积关系满足 S 1 +S 2 ＝S 3 的图形有 个 . 14. 如图， 在平面直角坐标系中， A （ 4 ， 0 ）， B （ 0 ， 3 ）， 以点 A 为圆 心， AB 长为半径画弧， 交 x 轴的负半轴于点 C ， 则点 C 坐标为 . 15. 如图， Rt△ABC 的两直角边分别为 1 和 2 ， 以 Rt△ABC 的斜边 AC 为一直角边， 另一直角边为 1 画第二个 △ACD ； 再以 △ACD 的斜边 AD 为一直角边， 另一直角边长为 1 画第三个 △ADE ； …； 依此类推， 第 n 个直角三角形的斜边长是 . 三、 解答题 （本题共 8 小题， 共 75 分 . 解答应写出文字说明、 演算步骤或推理过程） 16. （ 8 分） 在 △ABC 中， ∠C＝90° ， ∠A ， ∠B ， ∠C 的对边分别是 a ， b ， c. （ 1 ） 若 b＝2 ， c＝3 ， 求 a 的值 . （ 2 ） 若 a ∶ c＝3 ∶ 5 ， b＝28 ， 求 a ， c 的值 . C B D A E 第 10 题图 A B C a b c S 3 S 1 S 2 a b c S 3 S 1 S 2 a b c S 3 S 1 S 2 a b c S 3 S 1 S 2 第 12 题图 第 13 题图 B y x A C O 第 14 题图 第 15 题图 E D C B A 1 1 1 F 8 17. （ 8 分） 如图， 在笔直的铁路上 A ， B 两点相距 20 km ， C ， D 为两村庄， DA＝ 8 km ， CB＝14 km ， DA⊥AB 于点 A ， CB⊥AB 于点 B. 现要在 AB 上建一个中转站 E ， 使得 C ， D 两村到 E 站的距离相等， 求 AE 的长 . 18. （ 8 分） 如图， 在四边形 ABCD 中， AB＝8 ， BC＝6 ， ∠B＝90° ， AD＝CD＝5 2 姨 ， 求 四边形 ABCD 的面积 . 19. （ 8 分） 如图， 已知 △ABC 中， ∠C＝90° ， ∠1＝∠2 ， CD＝15 ， BD＝25 ， 求 AC 的长 . B A C D 2 1 第 17 题图 第 18 题图 第 19 题图 第十七章章末测试卷 A E B C D D A B C 9 八年级下册 （人教版）数学 20. （ 8 分） 如图， 某小区有两个喷泉 A ， B ， 两个喷泉的距离为 250 m. 现要为喷泉铺 设供水管道 AM ， BM ， 供水点 M 在小路 AC 上， 供水点 M 到 AB 的距离 MN 的长为 120 m ， BM 的长为 150 m. （ 1 ） 求供水点 M 到喷泉 A ， B 需要铺设的管道总长 . （ 2 ） 求喷泉 B 到小路 AC 的最短距离 . 21. （ 10 分） 如图， 两个村庄 A ， B 在河 CD 的同侧， A ， B 两村到河的距离分别为 AC＝1 km ， BD＝3 km ， CD＝3 km. 现要在河边 CD 上建造一水厂， 向 A ， B 两村送自来水 . 铺设水管的工程费用为 20 000 元 /km ， 请你在 CD 上选择水厂位置 O ， 使铺设水管的费用 最省， 并求出铺设水管的总费用 W. 第 20 题图 D B A C 第 21 题图 A M C B N 10 22. （ 12 分） 将一个矩形纸片 OABC 放置在平面直角坐标系中， 点 O （ 0 ， 0 ）， 点 A （ 8 ， 0 ）， 点 C （ 0 ， 6 ） . P 是边 OC 上的一点 （点 P 不与点 O ， C 重合）， 沿着 AP 折叠该纸片， 得点 O 的对应点为 O′. （ 1 ） 如图 1 ， 当点 O′ 落在边 BC 上时， 求点 O′ 的坐标 . （ 2 ） 若点 O′ 落在边 BC 的上方， O′P ， O′A 分别与边 BC 交于点 D ， E. ① 如图 2 ， 当 ∠OAP＝30° 时， 求点 D 的坐标 . ② 当 CD＝O′D 时， 求点 D 的坐标 . （直接写出结果即可） B A x O′ C P O y 图 1 图 2 第 22 题图 第十七章章末测试卷 A x O B O′ C P y D E 11 八年级下册 （人教版）数学 23. （ 13 分） 如图 1 ， 在 △ABC 中， ∠ACB＝90° ， AC＝BC ， E 为 AC 边上的一点， F 为 AB 边上的一点， 连接 CF ， 交 BE 于点 D 且 ∠ACF＝∠CBE ， CG 平分 ∠ACB 交 BD 于点 G. （ 1 ） 求证： CF＝BG. （ 2 ） 如图 2 ， 延长 CG 交 AB 于点 H ， 连接 AG ， 过点 C 作 CP∥AG 交 BE 的延长线于 点 P ， 求证： PB＝CP+CF. （ 3 ） 如图 3 ， 在 （ 2 ） 的条件下， 当 ∠GAC＝2∠FCH 时， 若 S △AEG ＝3 3 姨 ， BG＝6 ， 求 AC 的长 . 第 23 题图 C E D G F A B C E D G F A B H P C E D G F A B H P 图 1 图 3 图 2 12 八年级下册 （ 人教版 ）数学 162 ， 164 ， 165 ， 175 ， ∴ 中位数 b=164. ∵2.16<25.04 ， ∴ 甲组学生舞台效果更好 . （ 2 ） 170 和 171. 第十六章章末测试卷 一 、 选择题 1. B 2. D 3. C 4. C 5. A 6. A 7. B 8. A 9. B 10. C 二 、 填空题 11. 6 12. x≤3 且 x≠2 13. 23 14. 1 15. 2 2 姨 三 、 解答题 16. 解 ： （ 1 ） 原式 ＝ （ 3 姨 ） 2 -2 2 ＝3-4＝-1. （ 2 ） 原式 ＝ 2×8 姨 + 2×2 姨 ＝4+2＝6. （ 3 ） 原式 ＝10 3 姨 -3 3 姨 +2 3 姨 ＝9 3 姨 . （ 4 ） 原式 ＝ 32 姨 - 1 18 姨 ＝4 2 姨 - 2 姨 6 ＝ 23 2 姨 6 . 17. 解 ： （ 1 ） ∵a＝ 2 姨 -1 ， b＝ 2 姨 +1. ∴ab= （ 2 姨 - 1 ） × （ 2 姨 +1 ） =2-1=1 ， a+b= 2 姨 -1+ 2 姨 +1=2 2 姨 ， ∴a 2 b+ab 2 ＝ab （ a+b）＝1×2 2 姨 ＝2 2 姨 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 可知 ， ∵ab=1 ， a+b=2 2 姨 ， ∴ b a + a b = b 2 ab + a 2 ab = a 2 +b 2 ab = （ a+b ） 2 -2ab ab = （ 2 2 姨 ） 2 -2×1 1 =8-2＝6. 18. 解 ： ∵y = x 2 -8 姨 - 8-x 2 姨 +4 2 姨 ， ∴x 2 -8≥ 0 ， 8-x 2 ≥0 ， ∴x 2 ＝8 ， 即 x=±2 2 姨 ， ∴y=4 2 姨 ， ∴ 当 x=2 2 姨 时 ， x-y=-2 2 姨 . 当 x=-2 2 姨 时 ， x-y=-6 2 姨 . 综上所述 ， x-y 的值为 -2 2 姨 或 -6 2 姨 . 19. 解 ： ∵△ABC 的周长为 （ 5 5 姨 +2 10 姨 ） cm ， ∴AB+BC+AC= （ 5 5 姨 +2 10 姨 ） cm ， ∵AB ， BC 的长分 别为 45 姨 =3 5 姨 cm 和 40 姨 =2 10 姨 cm ， ∴AC=5 5 姨 +2 10 姨 -3 5 姨 -2 10 姨 =2 5 姨 （ cm ） . 20. 解 ： （ 1 ） 由数轴得 ， -1＜a＜0 ， 0＜b＜1 ， |b|＞|a| ， ∴b+a＞0 ， -a+b＞0. 故答案为 ＞ ， ＞. （ 2 ） 由数轴得 ， ∵-1＜a＜0 ， 0＜b＜1 ， |b|＞|a| ， ∴a+1＞ 0 ， b-1＜0 ， a-b＜0 ， ∴ （ a+1 ） 2 姨 +2 （ b-1 ） 2 姨 +｜a-b｜=a+1+ 2 （ 1-b ） + （ b-a ） ＝a+1+2-2b+b-a＝3-b. 21. 解 ： （ 1 ） a≥0. （ 2 ） 由 ｜a+b+1｜+ a-2b+4 姨 =0 ， 得 a+b+1=0 ， a-2b+4=0 0 ， 解得 a=-2 ， b=1 0 ， ∴ （ a+b ） 2 025 ＝ （ -2+1 ） 2 025 ＝ （ -1 ） 2 025 ＝-1. （ 3 ） ∵｜2 024-a｜+ a-2 025 姨 =a ， ∴a-2 025≥0 ， 则 a≥2 025 ， ∴2 024-a＜0 ， 则原方程可化为 a-2 024+ a-2 025 姨 =a ， ∴ a-2 025 姨 =2 024 ， 则 a＝2 024 2 +2 025 ， ∴a-2 024 2 ＝2 025. 22. 解 ： （ 1 ） 根据题意得 ， 截出的两块正方形木 料的边长分别为 18 姨 =3 2 姨 （ dm ） ， 32 姨 =4 2 姨 （ dm ）， 故答案为 3 2 姨 ， 4 2 姨 . （ 2 ） 根据题意得 ， 剩余的木料的长为 3 2 姨 dm ， 宽为 4 2 姨 -3 2 姨 = 2 姨 （ dm ） ， ∴ 剩余的面积为 3 2 姨 × 2 姨 =6 （ dm 2 ） . （ 3 ） 根据题意得 ， 剩余的木料的长为 3 2 姨 dm ， 宽为 4 2 姨 -3 2 姨 = 2 姨 （ dm ）， ∵2×1.5<3 2 姨 <3× 1.5 ， 1.2< 2 姨 <1.5 ， ∴ 能截出 2×1＝2 （ 个 ） 这样的 木条 . 23. 解 ： （ 1 ） 原式 ＝ 3 姨 - 2 姨 （ 3 姨 + 2 姨 ）（ 3 姨 - 2 姨 ） = 3 姨 - 2 姨 ， 原式 ＝ 5 姨 - 3 姨 （ 5 姨 + 3 姨 ）（ 5 姨 - 3 姨 ） ＝ 1 2 （ 5 姨 - 3 姨 ） . 故答案为 3 姨 - 2 姨 ， 1 2 （ 5 姨 - 3 姨 ） . （ 2 ） 原式 ＝ 1 2 （ 11 姨 - 9 姨 + 13 姨 - 11 姨 + … + 121 姨 - 119 姨 ） = 1 2 （ -3+11）＝4. （ 3 ） a＝ 1 2 姨 -1 ＝ 2 姨 +1 ， ∴a-1＝ 2 姨 ， ∴ （ a-1 ） 2 ＝ 2 ， a 2 -2a+1＝2 ， ∴a 2 -2a＝1 ， ∴ 原式 ＝4 （ a 2 -2a ） +1＝4×1+1＝5. 第十七章章末测试卷 一 、 选择题 1. B 2. D 3. A 4. D 5. C 6. C 7. D 8. B 9. A 10. B 二 、 填空题 11. 直角三角形中 ， 如果有一条直角边等于斜边的 一半 ， 那么这条直角边所对的角等于 30° 12. 4.55 13. 4 14. （ -1 ， 0 ） 15. n+4 姨 三 、 解答题 16. 解 ： （ 1 ） ∵∠C＝90° ， ∴a＝ 3 2 -2 2 姨 ＝ 5 姨 . （ 2 ） ∵a ∶ c＝3 ∶ 5 ， ∠C＝90° ， ∴ 由勾股定理得 ， a ∶ b ∶ c＝3 ∶ 4 ∶ 5. ∵b＝28 ， ∴a＝21 ， c＝35. 17. 解 ： 设 AE＝x ， 则 BE＝20-x ， 由勾股定理得 ， 在 Rt△ADE 中 ， DE 2 ＝AD 2 +AE 2 ＝8 2 +x 2 ， 在 Rt△BCE 中 ， CE 2 ＝BC 2 +BE 2 ＝14 2 + （ 20-x ） 2 ， 由题意可知 ， DE＝CE ， ∴ 8 2 + x 2 ＝14 2 + （ 20-x ） 2 ， 解得 x＝13.3. 答 ： AE 的长为 13.3 km. 18. 解 ： 连接 AC ， 在 Rt△ABC 中 ， ∵AB＝8 ， BC＝ 76 参 考 答 案 6 ， ∠B＝90° ， ∴AC＝ AB 2 +BC 2 姨 ＝10. 在 △ADC 中 ， ∵AD＝ CD＝5 2 姨 ， ∴AD 2 +CD 2 ＝ （ 5 2 姨 ） 2 + （ 5 2 姨 ） 2 ＝100. ∵AC 2 ＝ 10 2 ＝100 ， ∴AD 2 +CD 2 ＝AC 2 ， ∴∠ADC＝90° ， ∴S 四边形 ABCD ＝ S △ABC +S △ACD ＝ 1 2 AB · BC+ 1 2 AD · DC＝ 1 2 ×8×6+ 1 2 ×5 2 姨 × 5 2 姨 ＝24+25＝49. 19. 解 ： 如图 ， 过点 D 作 DE⊥AB ， 垂足为点 E ， ∵ ∠1 ＝ ∠2 ， ∴CD ＝DE ＝15. 在 Rt △BDE 中 ， BE ＝ BD 2 -DE 2 姨 ＝ 25 2 -15 2 姨 ＝20 ， ∵CD ＝DE ， AD ＝AD ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED ， ∴AB 2 ＝AC 2 +BC 2 ， 即 （ AC+20 ） 2 ＝ AC 2 + （ 15+25 ） 2 ， 解得 AC＝30. 20. 解 ： （ 1 ） 在 Rt△MNB 中 ， BN＝ BM 2 -MN 2 姨 ＝ 150 2 -120 2 姨 ＝90 （ m ） ， ∴AN ＝AB -BN ＝250 -90 ＝160 （m）， 在 Rt△AMN 中 ， AM＝ AN 2 +MN 2 姨 ＝ 160 2 +120 2 姨 ＝200 （ m）， ∴ 供水点 M 到喷泉 A ， B 需要铺设的管道 总长 ＝200+150＝350 （ m ） . （ 2 ） ∵AB＝250 m ， AM＝200 m ， BM＝150 m ， ∴AB 2 ＝ BM 2 +AM 2 ， ∴△ABM 是直角三角形 ， ∴BM⊥AC ， ∴ 喷 泉 B 到小路 AC 的最短距离是 BM＝150 m. 21. 解 ： 延长 AC 到点 M ， 使 CM＝AC. 连接 BM 交 CD 于点 P ， 点 P 就是所选择的位置 . 在 Rt△BMN 中 ， BN＝3+1＝4 ， MN＝3 ， ∴MB＝ MN 2 +BN 2 姨 ＝5 （ km）， ∴ 最 短路线 AP+BP＝MB＝5 km ， 最省的铺设管道的费用为 W＝5×20 000＝100 000 （ 元 ） . 答 ： 最省的铺设管道的 费用是 100 000 元 . 22. 解 ： （ 1 ） ∵ 点 A （ 8 ， 0 ）， 点 C （ 0 ， 6 ）， 四边形 OABC 为长方形 ， ∴AB＝OC＝6 ， OA＝CB＝8 ， ∠B＝90° ， 根据题意 ， 由折叠可知 △AOP≌△AO′P ， ∴O′A＝OA＝8. 在 Rt△AO′B 中 ， BO′＝ O′A 2 -AB 2 姨 ＝2 7 姨 ， ∴CO′＝ BC-BO′＝8-2 7 姨 ， ∴ 点 O′ 的坐标为 （ 8-2 7 姨 ， 6 ） . （ 2 ） ①∵∠OAP＝30° ， ∴∠OPA＝60° . ∵∠OPA＝ ∠O′PA ， ∴∠CPD＝180°-∠OPA-∠O′PA＝60°. ∵OA＝8 ， ∴OP＝ 8 3 姨 3 ， ∴CP＝6-OP＝6- 8 3 姨 3 ， ∴CD＝6 3 姨 -8 ， ∴ 点 D 的坐标为 （ 6 3 姨 -8 ， 6 ） . ② 连接 AD ， 如图 ， 设 CD＝x ， 则 BD＝BC-CD＝8-x ， O′D ＝CD ＝x ， 根 据 折 叠 可 知 AO′ ＝AO ＝8 ， ∠PO′A ＝ ∠POA＝90° ， ∴ 在 Rt△ADO′ 中 ， AD 2 ＝AO′ 2 +DO′ 2 ＝8 2 +x 2 ＝ x 2 +64 ， 在 Rt△ABD 中 ， AD 2 ＝BD 2 +AB 2 ＝ （ 8-x ） 2 +6 2 ＝x 2 - 16x+100 ， ∴x 2 +64＝x 2 -16x+100 ， 解得 x＝ 9 4 ， ∴CD＝ 9 4 ， ∴D 9 4 ， ， ( 6 . 23. （ 1 ） 证明 ： 如图 1 ， ∵∠ACB＝90° ， AC＝BC ， ∴∠A ＝45° . ∵CG 平 分 ∠ACB ， ∴∠ACG ＝∠BCG ＝ 45° ， ∴ ∠A ＝ ∠BCG. 在 △BCG 和 △CAF 中 ， ∵ ∠A=∠BCG ， AC=BC ， ∠ACF=∠CBE E + + + + * + + + + , ， ∴△BCG≌△CAF （ ASA ）， ∴CF＝BG. （ 2 ） 证明 ： 如图 2 ， ∵PC∥AG ， ∴∠PCA＝∠CAG. ∵ AC＝BC ， ∠ACG＝∠BCG ， CG＝CG E + + + + * + + + + , ， ∴△ACG≌△BCG （ SAS ）， ∴∠CAG＝ ∠CBE. ∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+ 45° ， ∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45° ， ∴∠PCG＝ ∠PGC ， ∴PC＝PG. ∵PB＝BG+PG ， BG＝CF ， ∴PB＝CF+ CP. （ 3 ） 解 ： 解法一 ： 如图 3 ， 过点 E 作 EM⊥AG ， 交 AG 于点 M ， ∵S △AEG ＝ 1 2 AG · EM＝3 3 姨 ， 由 （ 2 ） 得 ， B A C D 2 1 E 第 19 题答图 B D A C M N P 第 21 题答图 第 22 题答图 C E D G F A B C E D G F A B H P 图 1 图 2 A x O B O′ C P y D E 77 八年级下册 （ 人教版 ）数学 △ACG≌△BCG ， ∴BG＝AG＝6 ， ∴ 1 2 ×6×EM＝3 3 姨 ， EM＝ 3 姨 . 设 ∠FCH＝x° ， 则 ∠GAC＝2x° ， ∴∠ACF＝ ∠EBC＝∠GAC＝2x°. ∵∠ACH＝45° ， ∴2x+x＝45 ， x＝15 ， ∴∠ACF ＝∠GAC ＝30° . 在 Rt△AEM 中 ， AE ＝2EM ＝ 2 3 姨 ， AM＝ （ 2 3 姨 ） 2 - （ 3 姨 ） 2 姨 ＝3 ， ∴M 是 AG 的中 点 ， ∴AE ＝EG ＝2 3 姨 ， ∴BE ＝BG+EG ＝6 +2 3 姨 . 在 Rt△ECB 中 ， ∠EBC ＝30° ， ∴CE ＝ 1 2 BE ＝3 + 3 姨 ， ∴AC＝AE+EC＝2 3 姨 +3+ 3 姨 ＝3 3 姨 +3. 解法二 ： 同理得 ∠CAG＝30° ， AG＝BG＝6 ， 如图 4 ， 过点 G 作 GM⊥AC 于点 M ， 在 Rt△AGM 中 ， GM＝3 ， AM ＝ AG 2 -GM 2 姨 ＝ 6 2 -3 2 姨 ＝3 3 姨 ， ∵∠ACG ＝45° ， ∠GMC＝90° ， ∴GM＝CM＝3 ， ∴AC＝AM+CM＝3 3 姨 +3. 第十八章章末测试卷 一 、 选择题 1. D 2. A 3. C 4. B 5. C 6. B 7. D 8. A 9. B 10. B 二 、 填空题 11. 12 12. 8 13. 4 14. 1 15. 3 三 、 解答题 16. 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AD∥ BC ， AD＝BC. ∵BE＝DF ， ∴AD-DF＝BC-BE ， 即 AF＝CE. ∵AD∥BC ， ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 ， ∴AE∥CF. 17. （ 1 ） 证 明 ： ∵ 四 边 形 ABCO 是 矩 形 ， ∴ ∠AOC＝90° ， ∴AO⊥OC ， 即 AD⊥EC. ∵DO＝AO ， EO＝ CO ， ∴ 四边形 AEDC 是平行四边形 ， ∴ 平行四边形 AEDC 是菱形 . （ 2 ） 解 ： ∵ 四边形 AEDC 是菱形 ， ∠AED＝60° ， ∴ ∠AEO＝30° . ∵∠AOE＝90° ， AE＝2 ， ∴OA= 1 2 AE=1 ， ∴EO= AE 2 -OA 2 姨 = 2 2 -1 2 姨 = 3 姨 ， ∴CE=2EO=2 3 姨 ， AD＝2OA＝2 ， ∴S 菱形 AEDC = 1 2 AD · CE= 1 2 ×2×2 3 姨 =2 3 姨 . 18. 证明 ： ∵AD＝DE ， ∴∠DAE＝∠AED. 在矩形 ABCD 中 ， AD∥BC ， ∴∠DAE ＝∠AEB ， ∴∠AED ＝∠AEB. ∵AF⊥DE ， AB⊥BC ， ∴EA 平分 ∠BEF ， ∴AB＝AF. 19. （ 1 ） 证明 ： ∵△EFG 为等边三角形 ， ∴EG=FG. ∵ 点 E ， F 是对角线 AC ， BD 的中点 ， G 为 BC 的中 点 ， ∴EG 是 △CBA 的中位线 ， FG 是 △BCD 的中位线 ， ∴CD=2FG ， AB=2EG ， ∴CD=AB ， ∴ 四边形 ABCD 是 “ 等对边四边形 ” . （ 2 ） 解 ： 过点 B 作 BM⊥CA ， 交 CA 的延长线于 点 M ， 过点 C 作 CN⊥BD 于点 N ， ∵∠BAC+∠BDC= 180° ， ∠BAC+∠BAM=180° ， ∴∠BAM=∠CDN. ∵∠AMB= ∠DNC =90° ， AB =DC ， ∴△BAM≌△CDN （ AAS ） ， ∴BM =CN. ∵BC =CB ， ∴Rt△BCM≌Rt△CBN （ HL ） ， ∴∠DBC =∠ACB. ∵EG 是 △CBA 的 中 位 线 ， FG 是 △BCD 的中位线 ， ∴EG∥AB ， FG∥CD ， ∴∠CEG=∠BAC ， ∠BFG =∠BDC. ∵∠BAC +∠BDC =180° ， ∴∠CEG + ∠BFG =180° . ∵△EFG 是 等 边 三 角 形 ， ∴∠EFG = ∠FEG=60°. ∵∠BFG+∠EFG+∠EFD+∠CEG+∠FEG+ ∠FEA=180°+180° ， ∴∠EFD+∠FEA=60° ， ∴∠DBC+ ∠ACB=60° ， ∴∠DBC= 1 2 ×60°=30°. 20. （ 1 ） 证明 ： 延长 BD 到点 E ， 使得 DE＝BD ， 连 接 AE ， CE ， 如题图 2 所示 ， ∵BD 是斜边 AC 上的中 线 ， ∴AD＝CD. 又 ∵DE＝BD ， ∴ 四边形 ABCE 是平行四 边形 . 又 ∵∠ABC＝90° ， ∴荀ABCE 是矩形 ， ∴BE＝AC. ∵DE＝BD＝ 1 2 BE ， ∴BD＝ 1 2 AC. （ 2 ） 解 ： 上述证明方法中主要体现的数学思想是 转化思想 ， 故答案为 A. （ 3 ） 解 ： 过点 A 在 AB 上 方作 AH⊥AB ， 过点 D 作 DH⊥ AH 于点 H ， 过点 B 在 AB 上方 作 BR⊥AB ， 过点 E 作 ER⊥BR 于 点 R ， 连 接 CH ， CR ， HR ， 延长 RE 交 AH 于点 Q ， 如图所示 . 则四边形 ACDH ， 四边形 CBRE ， 四边形 ABRQ 都为矩形 ， ∴ 四边形 HQED ， 四边形 QACE 均为矩形 ， ∴HQ＝DE＝CD-CE＝8- 3＝5 ， QR＝AB＝12. 在 Rt△HQR 中 ， 由勾股定理得 ， HR＝ HQ 2 +QR 2 姨 ＝ 5 2 +12 2 姨 =13. ∵ 点 F ， G 分别是 AD ， BE 的中点 ， 四边形 ACDH ， 四边形 CBRE 都是矩形 ， ∴ 点 F ， G 分别是 CH 和 CR 的中点 ， ∴FG 是 △CHR 的 F E C G B A D M N 第 19 题答图 B C A F D E G Q H R 第 20 题答图 图 3 C E D G F A B H P M 图 4 C E D G F A B H P M 第 23 题答图 78