18.2.1 矩形(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(人教版）

八年级下册 （ 人教版 ）数学 ∴DE＝ 1 2 BC ， DE∥BC. 选择方法二 . ∵FG∥AB ， AG∥BF ， ∴ 四边形 ABFG 为平行四边形 ， ∴AB＝GF. ∵D ， E 分别是边 AB ， AC 的中点 ， ∴DB＝ 1 2 AB ， EC＝ 1 2 AC＝AE. ∵AG∥BC ， ∴∠G ＝∠EFC ， ∴△AEG≌△CEF （ AAS ） ， ∴AG＝CF ， EG＝EF ， ∴BD＝EF. ∵BD∥ EF ， ∴ 四边形 BDEF 为平行四边形 ， ∴DE＝BF ， DE∥BF. ∵ 在 △ABC 中 ， E 是边 AC 的中点 ， ∴AE＝ CE. ∵AG∥BF ， ∴∠AGE＝∠CFE ， 即在 △AED 和 △CEF 中 ， ∠AGE=∠CFE ， ∠AEG=∠CEF ， AE=CE E ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△AED≌△CEF （ AAS ） ， ∴AG＝CF. 又 ∵AG＝BF ， ∴AG＝CF＝BF ， ∴BF＝ 1 2 BC ， ∴DE＝ 1 2 BC. ∴DE＝ 1 2 BC ， DE∥BC. 【 例 】 证明 ： （ 1 ） 如图 1 ， ∵AE⊥BE ， ∴ ∠AED＝∠AEB＝90° ， ∴∠BAE+∠ABE＝90° ， ∠DAE+ ∠ADE＝90°. ∵∠BAE＝∠DAE ， ∴∠ABE＝∠ADE ， ∴AB＝AD. ∵AE⊥BE ， ∴BE＝DE. ∵BF＝FC ， ∴EF＝ 1 2 DC＝ 1 2 （ AC-AD ） ＝ 1 2 （ AC-AB ） . （ 2 ） 结论 ： EF＝ 1 2 （ AB-AC ） . 理由 ： 如图 2 ， 延长 AC 交 BE 的延长线于点 P. ∵AE⊥ BP ， ∴∠AEP ＝∠AEB ＝90° ， ∴∠BAE+∠ABE＝90° ， ∠PAE+ ∠APE＝90°. ∵∠BAE＝∠PAE ， ∴∠ABE＝∠APE ， ∴AB＝AP. ∵AE⊥BP ， ∴BE＝PE. ∵BF＝FC ， ∴EF＝ 1 2 PC＝ 1 2 （ AP-AC ） ＝ 1 2 （ AB-AC ） . 1. B 2. B 3. B 4. B 5. 144° 6. 2 7. 证明 ： ∵BE ， CD 都是 △ABC 的中线 ， ∴DE 是 △ABC 的中位线 ， ∴DE∥BC ， DE＝ 1 2 BC. ∵F ， G 分别 是 OB ， OC 的中点 ， ∴FG∥BC ， FG＝ 1 2 BC ， ∴DE∥FG 且 DE＝FG ， ∴ 四边形 DEGF 是平行四边形 ， ∴DF＝EG. 8. B 9. 解 ： （ 1 ） 连接 DE ， ∵ 在边长为 4 的等边 △ABC 中 ， D ， E 分别为 AB ， BC 的中点 ， ∴DE 是 △ABC 的 中位线 ， ∴DE＝2 ， 且 DE∥AC ， BD＝BE＝EC＝2. ∵EF⊥AC 于点 F ， ∠C ＝60° ， ∴ ∠FEC ＝30° ， ∠DEF＝∠EFC＝90° ， ∴FC＝ 1 2 EC＝ 1 ， 故 EF＝ 2 2 -1 2 姨 ＝ 3 姨 . （ 2 ） ∵G 为 EF 的 中 点 ， ∴EG ＝ 3 姨 2 ， ∴DG ＝ DE 2 +EG 2 姨 ＝ 2 2 + 3 姨 2 2 , 2 姨 ＝ 19 姨 2 . 10. D 11. 4 18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 直角 B 【 知识点 2 】 直角 相等 1. A 2. C 3. B 【 例 1 】 D 【 例 2 】 （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ， ∴AD∥BC ， ∠ABE＝90° ， ∴∠DAF＝∠AEB. ∵DF⊥ AE ， ∴∠DFA＝90° ， ∴∠ABE＝∠DFA. 在 △ADF 和 △EAB 中 ， ∠AFD=∠EBA ， ∠DAF=∠AEB ， AD=EA E ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△ADF≌△EAB （ AAS ）， ∴AF＝EB. （ 2 ） 解 ： ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ， BC＝5 ， CD＝3 ， ∴AD＝BC＝5 ， AB＝CD＝3 ， ∠B＝90°. ∵AD＝ AE ， ∴AE＝5 ， ∴BE＝ AE 2 -AB 2 姨 ＝ 5 2 -3 2 姨 ＝4. 由 （ 1 ） 知 ， AF＝BE ， ∴AF＝4 ， ∴EF＝AE-AF＝5-4＝1 ， 即 EF 的长是 1. 1. B 2. A 3. C 4. A 5. 10 姨 6. 2 姨 7. 6 8. （ 1 ） 证明 ： ∵AE⊥BD ， CF⊥BD ， ∴AE∥CF ， ∠AEB＝∠DFC＝90° . ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ， ∴AB＝ CD ， AB∥CD ， ∴∠ABE＝∠FDC. 在 △ABE 和 △CDF 中 ， ∠ABE=∠FDC ， ∠AEB=∠DFC ， AB=CD E ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△ABE≌△CDF （ AAS ）， ∴AE＝ A B C D E F 图 1 图 2 例题答图 A B C E F P A B C D E F G 第 9 题答图 64 参 考 答 案 CF ， ∴ 四边形 AECF 为平行四边形 . （ 2 ） 解 ： ∵ 四边形 ABCD 是 矩 形 ， ∴AC ＝2AO. ∵AE⊥BO ， BE ＝EO ， ∴AO ＝AB ＝1 ， ∴AC ＝2 ， ∴BC ＝ AC 2 -AB 2 姨 ＝ 2 2 -1 2 姨 ＝ 3 姨 . 9. （ 1 ） 解 ： ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ， ∴AB＝CD ， OA ＝OB ＝OC ＝OD ， ∠BAD ＝90° ， ∴∠OAB ＝ ∠DBA ， ∠OAD ＝∠ADB. ∵∠OAB +∠OAD ＝∠BAD ＝90° ， ∴ ∠OAB+∠ADB＝90° . ∵BF∥AC ， ∴∠ABF＝∠OAB. ∵ ∠BAF＝∠ADB ， ∴∠ABF+∠BAF＝90°. ∵∠BAF＝35° ， ∴ ∠ABF＝90°-35°＝55° ， ∴∠OAB＝∠DBA＝55°. ∵AE＝CD ， ∴AE ＝AB ， ∴∠AEB ＝∠ABD ＝55° ， ∴∠BAE ＝180° - （ ∠AEB +∠ABD ） ＝180° - （ 55° +55° ） ＝70° ， ∴∠EAC ＝ ∠BAE-∠OAB＝70°-55°＝15°. （ 2 ） 证明 ： 如图 ， 在 OB 上截取 OH＝OE ， 连接 CH ， 在 △AOE 和 △COH 中 ， OA=OC ， ∠AOE=∠COH ， OE=OH H ( ( ( ( ' ( ( ( ( ) ， ∴ △AOE≌△COH （ SAS ）， ∴∠AEB＝∠CHO ， AE＝CH. ∵ ∠AEB ＝∠ABD ＝∠ABF ， AB ＝AE ， ∴AB ＝CH. ∵BF ＝ 2OE ， ∴BF＝HE ， ∴△ABF≌△CHE （ SAS ）， ∴∠AFB＝ ∠CEH＝90° ， ∴CE⊥BD. 10. 证明 ： （ 1 ） ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ， ∴AB＝ DC ， ∠B＝∠C＝90°. ∵E 是 BC 的中点 ， ∴BE＝CE. 在 △ABE 和 △DCE 中 ， AB=DC ， ∠B=∠C ， BE=CE E ( ( ( ( , ( ( ( ( ) ， ∴△ABE≌△DCE （ SAS ） . （ 2 ） ∵△ABE ≌ △DCE ， ∴AE ＝DE ， ∴ ∠EAD ＝ ∠EDA. 11. 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 为矩形 ， ∴AB＝CD ， ∠B＝∠C＝90°. ∵BE＝CF ， ∴BE+EF＝CF+EF ， 即 BF＝CE. 在 △ABF 和 △DCE 中 ， AB=CD ， ∠B=∠C ， BF=CE H ( ( ( ( , ( ( ( ( ) ， ∴△ABF≌△DCE （ SAS ）， ∴AF＝DE. 18.2.1 矩形 （ 第二课时 ） 【 知识点 1 】 平行四边形 相等 直角 1. B 2. A 3. C 【 知识点 2 】 一半 C 【 例 1 】 4 【 例 2 】 （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行 四边形 ， ∴DF∥EB ， AB＝CD. 又 ∵CF＝AE ， ∴DF＝ BE ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∵DE⊥AB ， ∴∠DEB＝90° ， ∴ 四边形 BFDE 是矩形 . （ 2 ） 解 ： ∵AF 平 分 ∠DAB ， DC∥AB ， ∴ ∠DAF＝∠FAB ， ∠DFA＝∠FAB ， ∴∠DAF＝∠DFA. ∵DF＝5 ， ∴AD＝FD＝5. ∵AE＝CF＝3 ， DE⊥AB ， ∴DE= AD 2 -AE 2 姨 =4 ， ∴ 矩形 BFDE 的面积是 DF · DE＝ 5×4＝20. 【 例 3 】 D 解析 ： 如 图 ， 连接 AF. ∵AB＝AD ， F 是 BD 的中点 ， ∴AF⊥BD. 在 Rt△ACF 中 ， ∵∠AFC＝ 90° ， E 是 AC 的中点 ， EF＝ 3 ， ∴AC＝2EF＝6. 故选 D. 1. D 2. A 3. C 4. CD＝BE （ 或 ∠ADB＝90° 或 CE⊥DE ） 5. 10 6. 3 7. 3 8. 4 9. （ 1 ） 证 明 ： ∵AD∥BC ， EC ＝AD ， ∴ 四 边 形 AECD 是平行四边形 . 又 ∵∠D＝90° ， ∴ 四边形 AECD 是矩形 . （ 2 ） 解 ： ∵AC 平 分 ∠DAB ， ∴∠BAC ＝∠DAC. ∵AD∥BC ， ∴∠DAC＝∠ACB ， ∴∠BAC＝∠ACB ， ∴BA＝ BC＝5. ∵EC＝2 ， ∴BE＝3. 10. （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AD∥BC ， AD＝BC. ∵DE＝AF ， ∴EF＝BC ， EF∥BC ， ∴ 四边形 BCEF 是平行四边形 . 又 ∵CE⊥AD ， ∴∠CEF＝ 90° ， ∴ 平行四边形 BCEF 是矩形 . （ 2 ） 解 ： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴CD＝ AB＝3. ∵CF＝4 ， DF＝5 ， ∴CD 2 +CF 2 ＝DF 2 ， ∴△CDF 是直 角三角形 ， ∠DCF＝90° ， ∴S △CDF ＝ 1 2 DF×CE＝ 1 2 CF×CD ， ∴CE＝ CF×CD DF ＝ 4×3 5 ＝ 12 5 . 由 （ 1 ） 得 ， EF＝BC ， 四边形 BCEF 是 矩 形 ， ∴∠FBC ＝90° ， BF ＝CE ＝ 12 5 ， ∴BC ＝ CF 2 -BF 2 姨 = 4 2 - 12 5 5 . 2 姨 ＝ 16 5 ， ∴EF＝ 16 5 . 11. 解 ： （ 1 ） 四边形 EGFH 是平行四边形 . 理由 如下 ： 由题意得 ， AE＝CF＝t. ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ， ∴AD∥BC ， AD＝BC ， ∴∠GAE＝∠HCF. ∵G ， H 分别是 AD ， BC 的中点 ， ∴AG＝ 1 2 AD ， CH＝ 1 2 BC ， ∴AG＝CH ， ∴△AEG≌△CFH （ SAS ）， ∴EG＝FH ， ∠AEG＝∠CFH ， A B C D E F OH 第 9 题答图 A B C D E F 例 3 题答图 65 平行四边形 第十八章 18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形 （第一课时） 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 矩形的定义 ◎ 有一个角是 的平行四边形是矩形. 如图 18.2-1 ， 矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， ∠AOB=60° ， 已知 AB=1 ， 则 BD 的长度是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 姨 2 D. 3 姨 【知识点 2 】 矩形的性质 ◎ 矩形的四个角都是 ；矩形的对角线 . 1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （ ） A. 对角线相等 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相平分 2. 如图 18.2-2 ， 在直角坐标系中， 矩形 OABC ， 点 B 的坐标是 （ 1 ， 3 ）， 则 AC 的长是 （ ） A. 3 B. 7 姨 C. 10 姨 D. 4 3. 如图 18.2-3 ， 矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， ∠AOB＝60° ， AB＝4 ， 则矩形 对角线的长为 （ ） A. 4 B. 8 C. 4 3 姨 D. 4 5 姨 例题点拨 素养导向 【例 1 】 如图 18.2-4 ， 延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E ， 使 CE＝ BD ， 连接 AE ， 若 ∠ABD＝60° ， 则 ∠E＝ （ ） A. 45° B. 30° C. 20° D. 15° A B C D O 图 18.2-1 图 18.2-2 图 18.2-3 A B C D O x y A B C O 图 18.2-4 A B C D E 59 八年级下册 （人教版）数学 【点拨】 由 CE=BD 不难想出连接 AC ， 使 AC ， BD 相交于点 O ， 根据矩形的性质得出 ∠ABC＝90° ， AC＝BD ， OB＝OC ， 则 ∠OBC＝∠OCB＝30° ， 通过证明 CE＝CA ， 得出 ∠E＝∠CAE ， 即可解答 . 【例 2 】 如图 18.2-5 ， 在矩形 ABCD 中， E 是 BC 上一点， 且 AE＝ AD ， 过点 D 作 DF⊥AE 于点 F. （ 1 ） 求证： AF＝BE. （ 2 ） 已知 BC＝5 ， CD＝3 ， 求 EF 的长 . 【点拨】 （ 1 ） 根据矩形的性质和垂直的定义可以得到 ∠DAF＝∠AEB ， ∠AFD＝∠EBA ， 再根据 AD＝AE ， 利用 AAS 可以判断 △ADF 和 △EAB 全等， 从而可以得到结论成立 . （ 2 ） 根 据矩形的性质和勾股定理， 可以得到 BE 的长， 再根据 （ 1 ） AF＝BE ， 即可得到 AF 的长， 然 后根据 AE＝5 ， 即可计算出 EF 的长 . 夯实四基 达标闯关 1. 两个矩形的位置如图所示， 若 ∠1＝α ， 则 ∠2＝ （ ） A. α-90° B. 180°-α C. α-45° D. 270°-α 2. 在矩形 ABCD 中， AB＝5 ， CB＝12 ， 连接 AC ， ∠BAC 的平分线交 BC 于点 E ， 则线段 BE 的长为 （ ） A. 10 3 B. 11 3 C. 3 D. 4 3. 小王同学在喝水时想到了这样一个问题： 如图， 矩形 ABCD 为一个正在倒水的水杯的 截面图， 杯中水面与 AD 的交点为 E ， 当水杯底面 AB 与水平面的夹角为 37° 时， ∠CED 的 大小为 （ ） A. 27° B. 37° C. 53° D. 63° 图 18.2-5 A B C D E F 2 1 A B C D E 37° A B C D E H 第 3 题图第 2 题图第 1 题图 60 平行四边形 第十八章 4. 如图， 矩形 ABCD 的对角线交于点 O ， DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E ， 若 AB＝2 ， AD=2 3 姨 ， 则 OE＝ （ ） A. 2 7 姨 B. 2 6 姨 C. 2 10 姨 D. 4 5. 如图， 矩形 ABCD 中， AB＝6 ， BC＝8 ， AE 平分 ∠BAD 交 BC 于点 E ， 点 F ， G 分别为 AD ， AE 的中点， 则 FG＝ . 6. 如图， 在矩形 ABCD 中， 点 E 在 AD 上， 且 EC 平分 ∠BED ， 若 BC＝2 ， ∠CBE＝45° ， 则 AB＝ . 7. 如图， 线段 BC 为等腰 △ABC 的底边， 矩形 ADBE 的对角线 AB 与 DE 交于点 O ， 若 OE＝3 ， 则 AC＝ . 8. 如图， 在矩形 ABCD 中， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 分别过点 A ， C 作 AE⊥BD 于 点 E ， CF⊥BD 于点 F ， 连接 AF ， CE. （ 1 ） 求证： 四边形 AECF 是平行四边形 . （ 2 ） 若 AB＝1 ， BE＝EO ， 求 BC 的长 . 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图 A B C D E F G A B C D E A B C D E O 第 8 题图 A B C D E F O 第 4 题图 A B C D E O 61 八年级下册 （人教版）数学 能力提升 综合拓展 9. 如图， 在矩形 ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 交于点 O ， F 是经过点 B 且与 AC 平行的直 线上一点， 且 ∠BAF＝∠ADB ， 点 E 在线段 OD 上， 且满足 AE＝CD ， 连接 CE. （ 1 ） 若 ∠BAF＝35° ， 求 ∠EAC 的度数 . （ 2 ） 若 BF＝2OE ， 求证： CE⊥BD. 中考链接 真题演练 10. （ 2024 ·无锡） 如图， 在矩形 ABCD 中， 点 E 是 BC 的中点， 连接 AE ， DE. 求证： （ 1 ） △ABE≌△DCE. （ 2 ） ∠EAD＝∠EDA. 11. （ 2024 ·陕西） 如图， 四边形 ABCD 是矩形， 点 E 和点 F 在边 BC 上， 且 BE＝CF. 求 证： AF＝DE. 第 10 题图 第 11 题图 A B C D E A B C D E F 第 9 题图 A B C D E F O 62