18.1.2平行四边形的判定(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(人教版）

八年级下册 （人教版）数学 知识梳理 形成联系 【知识点】 平行四边形的判定 ◎ 对角线 的四边形是平行四边形. 综合实践课上， 嘉嘉画出 △ABD ， 利用尺规作图找一点 C ， 使得四边形 ABCD 为平行四 边形 . ①～③ 是其作图过程 . 在嘉嘉的作法中， 可直接判定四边形 ABCD 为平行四边形的条件 是 （ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 例题点拨 素养导向 【例】 如图 18.1-12 ， 线段 AC 与 BD 相交于点 O ， 分别过点 B ， D 作 AC 的垂线， 垂足分 别为 E ， F ， 且 BE＝DF ， AF＝CE ， 依次连接点 A ， B ， C ， D. 求证： 四边形 ABCD 为平行四边 形 . 【点拨】 由已知易证 △BEO≌△DFO （ AAS ）， 得出 EO＝FO ， BO＝DO ， 又由 AF＝CE ， 即 可推出结论 . 18.1.2 平行四边形的判定 （第二课时） A B D O A B D O C A B D O C ③②① 图 18.1-12 A B C D E F O 50 平行四边形 第十八章 夯实四基 达标闯关 1. 如图， 已知 △ABD ， 用尺规进行如下操作： ① 以点 B 为圆心， AD 长为半径画弧； ② 以点 D 为圆心， AB 长为半径画弧； ③ 两弧在 BD 上方交于点 C ， 连接 BC ， DC. 可直接判 定四边形 ABCD 为平行四边形的条件是 （ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 2. 下列条件中， 不能判定四边形是平行四边形的是 （ ） A. 对角线互相平分 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相垂直 D. 一组对边平行， 一组对角相等 3. 四边形 ABCD 中， 对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 给出下列四个条件： ①AD∥BC ； ②AD＝BC ； ③OA＝OC ； ④OB＝OD. 从中任选两个条件， 能使四边形 ABCD 为平行四边形的选 法有 （ ） A. 6 种 B. 5 种 C. 4 种 D. 3 种 4. 如图， 已知在 荀ABCD 中， E ， F 是对角线 BD 上的两点， 则以下条件不能判断四边形 AECF 为平行四边形的是 （ ） A. BE＝DF B. AF⊥BD ， CE⊥BD C. ∠BAE＝∠DCF D. AF＝CE 5. 如图， 荀ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， BD＝12 ， 点 E 在线段 BO 上从点 B 出 发， 以每秒 1 个单位长度的速度运动， 点 F 在线段 OD 上从点 O 出发， 以每秒 2 个单位长度 的速度运动 . 若点 E ， F 同时出发， 设运动时间为 t ， 当 t＝ 时， 四边形 AECF 是平行 四边形 . 6. 如图， 四边形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， OA＝OC ， 请补充一个条件 ， 使四边形 ABCD 是平行四边形 . 7. 阅读以下作图步骤： ① 任意画两条相交直线 m ， n ， 记交点为 O ； ② 以点 O 为中心， 分别在直线 m ， n 上截取 OB 与 OD ， OA 与 OC ， 使 OB＝OD ， OA＝OC ； ③ 顺序连接所得的四点得到四边形 ABCD. 根据以上作图步骤， 可以推断四边形 ABCD 的形状是 . 第 6 题图第 5 题图第 4 题图 A B C D E F A B C D O E F A B C D O 第 7 题图 A B C D m n O A B C D 第 1 题图 51 八年级下册 （人教版）数学 8. 如图， AB ， CD 相交于点 O ， AC∥DB ， OA＝OB ， E ， F 分别是 OC ， OD 的中点 . （ 1 ） 求证： OD＝OC. （ 2 ） 求证： 四边形 AFBE 是平行四边形 . 9. 如图， 四边形 ABCD 中 AC ， BD 相交于点 O ， 延长 AD 至点 E ， 连接 EO 并延长交 CB 的延长线于点 F ， ∠E＝∠F ， AD＝BC. （ 1 ） 求证： O 是线段 AC 的中点 . （ 2 ） 连接 AF ， EC ， 证明四边形 AFCE 是平行四边形 . A B C D E F O 第 9 题图 第 8 题图 A B C D E F O 52 平行四边形 第十八章 能力提升 综合拓展 10. 如图 1 ， 荀ABCD 中， AD＞AB ， ∠ABC 为锐角 . 要在对角线 BD 上找点 N ， M ， 使四 边形 ANCM 为平行四边形， 现有图 2 中的甲、 乙、 丙三种方案 . （ 1 ） 正确的方案有 种 . （ 2 ） 针对上述三种作图方案， 请选择一种你认为正确的方案， 并给出证明过程 . 中考链接 真题演练 11. （ 2024 ·乐山） 如图， 下列条件中不能判定四边形 ABCD 为平行 四边形的是 （ ） A. AB∥DC ， AD∥BC B. AB＝DC ， AD＝BC C. AO＝CO ， BO＝DO D. AB∥DC ， AD＝BC 第 10 题图 图 1 图 2 A B C D A B C D M N O 取 BD 中点 O ， 作 BN=NO ， OM=MD 甲： A B C D M N 作 AN⊥BD 于点 N ， CM⊥BD 于点 M 乙： A B C D M N 作 AN ， CM 分别平 分 ∠BAD ， ∠BCD 丙： 第 11 题图 A B C D O 53 八年级下册 （人教版）数学 12. （ 2024 ·河北） 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程 . 已知： 如图， △ABC 中， AB＝AC ， AE 平分 △ABC 的外角 ∠CAN ， 点 M 是 AC 的中 点， 连接 BM 并延长交 AE 于点 D ， 连接 CD. 求证： 四边形 ABCD 是平行四边形 . 证明： ∵AB＝AC ， ∴∠ABC＝∠3. ∵∠CAN＝∠ABC+∠3 ， ∠CAN＝∠1+∠2 ， ∠1＝∠2 ， ∴① . 又 ∵∠4＝∠5 ， MA＝MC ， ∴△MAD≌△MCB （ ② ） . ∴MD＝MB. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 若以上解答过程正确， ①② 应分别为 （ ） A. ∠1＝∠3 ， AAS B. ∠1＝∠3 ， ASA C. ∠2＝∠3 ， AAS D. ∠2＝∠3 ， ASA 第 12 题图 A B C D M N E 1 2 4 5 3 54 参 考 答 案 和 △ABC 中 ， ∠HEF=∠ABC ， EF=BC ， ∠HFE=∠ACB B % % % % $ % % % % & ， ∴△HEF≌△ABC （ ASA ） ， ∴ ∠BAC＝∠H＝∠FAH ， HE＝AB ， ∴HE-AE＝AB-AE ， 即 AH＝BE. ∵BD∥AC ， ∴∠DBE＝∠DEB＝ ∠BAC＝∠FAH＝∠H. 在 △FAH 和 △DBE 中 ， ∠FAH=∠DBE ， AH=BE ， ∠H=∠DEB B % % % % B % % % % & ， ∴ △FAH ≌ △DBE （ ASA ）， ∴FA＝BD. ∵FA∥BD ， ∴ 四边形 ABDF 为平行 四边形 . 11. （ 1 ） 证明 ： 选择 ① 或 ② ， 证明如下 ： 选择 ① ， ∵∠B=∠AED ， ∴BC∥DE. ∵AB∥CD ， ∴ 四边形 BCDE 为平行四边形 . 选择 ② ， ∵AE=BE ， AE=CD ， ∴BE=CD. ∵AB∥CD ， ∴ 四边形 BCDE 为平行四边形 . （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 可知 ， 四边形 BCDE 为平行四边 形 ， ∴DE =BC =10. ∵AD ⊥AB ， ∴ ∠A =90° ， ∴AE = DE 2 -AD 2 姨 = 10 2 -8 2 姨 =6 ， 即线段 AE 的长为 6. 18.1.2 平行四边形的判定 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 互相平分 C 【 例 】 证明 ： ∵AC⊥BE ， AC⊥DF ， ∴∠BEO＝ ∠DFO＝90°. 在 △BEO 与 △DFO 中 ， ∠EOB=∠FOD ， ∠BEO=∠DFO ， BE=DF F % % % % B % % % % & ， ∴△BEO≌△DFO （ AAS ） ， ∴EO＝FO ， BO＝DO. 又 ∵AF ＝CE ， ∴AF -FO ＝CE -EO ， ∴AO ＝CO. 又 ∵BO＝DO ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 1. B 2. C 3. C 4. D 5. 2 6. OB＝OD （ 或 AD∥BC 或 AB∥CD ） 7. 平行四边形 8. 证明 ： （ 1 ） ∵AC∥BD ， ∴∠C＝∠D ， 在 △AOC 和 △BOD 中 ， ∠C=∠D ， ∠COA=∠DOB ， OA=OB B % % % % B % % % % & ， ∴ △AOC ≌ △BOD （ AAS ）， ∴OD＝OC. （ 2 ） ∵OD＝OC ， E ， F 分别是 OC ， OD 的中点 ， ∴OF＝ 1 2 OD ， OE＝ 1 2 OC ， ∴EO＝FO. 又 ∵OA＝OB ， ∴ 四 边形 AFBE 是平行四边形 . 9. 证明 ： （ 1 ） ∵∠E＝∠F ， ∴AD∥BC. ∵AD＝BC ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AC ， BD 互相平分 ， 即点 O 是线段 AC 的中点 . （ 2 ） ∵AD∥BC ， ∴∠EAC＝∠FCA ， 在 △OAE 和 △OCF 中 ， ∠EAO=∠FCO ， AO=CO ， ∠AOE=∠COF B % % % % B % % % % & ， ∴△OAE≌△OCF （ ASA ）， ∴OE＝OF. 又 ∵OA＝OC ， ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形 . 10. 解 ： （ 1 ） 正确的方案有 3 种 . （ 2 ） ① 方案甲 . 连接 AC ， 如图所示 . ∵ 四边形 ABCD 是 平行四边形 ， O 为 BD 的中 点 ， ∴OB＝OD ， OA＝OC. ∵BN＝ NO ， OM＝MD ， ∴NO＝OM ， ∴ 四边形 ANCM 为平行四边形 ， 故方案甲正确 . ② 方案乙 . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AB＝ CD ， AB∥CD ， ∴∠ABN＝∠CDM. ∵AN⊥BD ， CM⊥ BD ， ∴AN∥CM ， ∠ANB＝∠CMD. 在 △ABN 和 △CDM 中 ， ∠ABN=∠CDM ， ∠ANB=∠CMD ， AB=CD B % % % % B % % % % & ， ∴ △ABN ≌ △CDM （ AAS ） ， ∴AN＝CM. 又 ∵AN∥CM ， ∴ 四边形 ANCM 为平行四边 形 ， 故方案乙正确 . ③ 方案丙 . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴ ∠BAD＝∠BCD ， AB＝CD ， AB∥CD ， ∴∠ABN＝∠CDM. ∵AN 平分 ∠BAD ， CM 平分 ∠BCD ， ∴∠BAN＝∠DCM. 在 △ABN 和 △CDM 中 ， ∠ABN=∠CDM ， AB=CD ， ∠BAN=∠DCM B % % % % B % % % % & ， ∴△ABN≌ △CDM （ ASA ）， ∴AN＝CM ， ∠ANB＝∠CMD ， ∴∠ANM＝ ∠CMN ， ∴AN∥CM ， ∴ 四边形 ANCM 为平行四边形 ， 故方案丙正确 . 11. D 12. D 18.1.2 平行四边形的判定 （ 第三课时 ） 【 知识点 】 中点 平行于 一半 1. A 2. B 3. 证明 ： 选择方法一 . ∵ 在 △ABC 中 ， E 是 边 AC 的中点 . ∴AE＝CE. 在 △AED 和 △CEF 中 ， AE=EC ， ∠AED=∠CEF ， DE=EF B % % % % B % % % % & ， ∴△AED≌△CEF （ SAS ）， ∴CF＝ AD ， ∠DAE＝∠FCE ， ∴CF∥AB. ∵ 点 D 是边 AB 的中点 ， ∴AD＝DB ， ∴CF＝DB ， ∴ 四边形 DBCF 为 平行四边形 ， ∴DF＝BC ， DF∥BC. ∵DE＝ 1 2 DF ， A B C D E F H 第 10 题答图 A B C D M N O 甲 ： 第 10 题答图 63