18.1.2 平行四边形的判定(第3课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(人教版）

平行四边形 第十八章 知识梳理 形成联系 【知识点】 ◎ 连接三角形两边 的线段叫做三角形的中位线. ◎ 三角形的中位线 三角形的第三边，并且等于第三边的 . 1. 如图 18.1-13 ， 在 △ABC 中， 点 D ， E 分别是 AC ， BC 的中点， 连接 AE ， DE. 下列线 段中， 是 △ABC 的中位线的是 （ ） A. DE B. AE C. CE D. AD 2. 如图 18.1-14 ， 小华注意到跷跷板静止状态时， 可以与地面构成一个 △ABC ， 跷跷板 中间的支撑杆 EF 垂直于地面 （ E ， F 分别为 AB ， AC 的中点）， 若 EF＝35 cm ， 则点 B 距离地 面的高度为 （ ） A. 80 cm B. 70 cm C. 60 cm D. 50 cm 3. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法， 选择其中一种， 完成证明 . 18.1.2 平行四边形的判定 （第三课时） A B C D E A B C F E 图 18.1-14 图 18.1-13 三角形中位线定理： 三角形的中位线平 行于三角形的第三边， 并且等于第三边的一半 ． 已知： 如图 1 ， △ABC 中， D ， E 分别是边 AB ， AC 的中点 ． 求证： DE∥BC ， DE＝ 1 2 BC． 方法一 证明： 如图 2 ， 延长 DE 到 点 F ， 使 EF ＝DE ， 连 接 FC ， DC ， AF． 方法二 证明： 如图 3 ， 过点 E 作 EF∥AB 交 BC 于点 F ， 过点 A 作 AG∥BC 交直线 EF 于点 G． 图 18.1-15 图 1 图 2 图 3 A B C D E A B C D E F A B C D E F G 55 八年级下册 （人教版）数学 例题点拨 素养导向 【例】 如图 18.1-16 ， 在 △ABC 中， AE 平分 ∠BAC ， BE⊥AE 于点 E ， 点 F 是 BC 的中点 . （ 1 ） 如图 1 ， BE 的延长线与 AC 边相交于点 D ， 求证： EF＝ 1 2 （ AC-AB ） . （ 2 ） 如图 2 ， 写出线段 AB ， AC ， EF 的数量关系， 并证明你的结论 . 【点拨】 （ 1 ） 先证明 AB＝AD ， 根据等腰三角形的三线合一， 推出 BE＝ED ， 根据三角形 的中位线定理即可解决问题 . （ 2 ） 根据等腰三角形的三线合一及三角形的中位线定理即可解 决问题 . 夯实四基 达标闯关 1. 如图， 为测量位于一水塘旁的两点 A ， B 间的距离， 在地面上确定点 O ， 分别取 OA ， OB 的中点 C ， D ， 量得 CD＝12 m ， 则 A ， B 之间的距离是 （ ） A. 48 m B. 24 m C. 12 m D. 6 m 2. 如图， 在 △ABC 中， AB＝BC＝10 ， BD 平分 ∠ABC 交 AC 于点 D ， 点 F 在 BC 上， 且 BF＝4 ， 连接 AF ， 点 E 为 AF 的中点， 连接 DE ， 则 DE 的长为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 图 18.1-16 图 1 图 2 A B C D E F A B C E F A B C D O 第 1 题图 第 2 题图 A B C DE F 56 平行四边形 第十八章 3. 如图， DE 为 △ABC 的中位线， ∠ABC 的平分线交 DE 于点 F ， 若 EF＝2 ， BC＝10 ， 则 AB 的长为 （ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 4. 如图， 已知 △ABC 中， 点 M 是 BC 边上的中点， AN 平分 ∠BAC ， BN⊥AN 于点 N ， 若 AB＝7 ， MN＝3 ， 则 AC 的长为 （ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 5. 如图， 在四边形 ABCD 中， P 是对角线 AC 的中点， E ， F 分别为 AD ， BC 的中点， AB＝DC ， ∠PEF＝18° ， 则 ∠EPF 的度数为 . 6. 如图， △ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于点 O. 若 BC＝8 ， 则 OD＝ . 7. 如图， 在 △ABC 中， 中线 BE ， CD 交于点 O ， F ， G 分别是 OB ， OC 的中点 . 连接 DF ， FG ， EG ， DE. 求证： DF＝EG. 能力提升 综合拓展 8. 如图， 点 E 为 荀ABCD 的对角线 AC 上一点， AC＝9 ， CE＝2 ， 连接 DE 并延长至点 F ， 使得 EF＝DE ， 连接 BF ， 则 BF 的长为 （ ） A. ９ 2 B. 5 C. １３ 2 D. 7 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图 A B C D E F P A B C D E F O A B C D E F G O 第 8 题图 A B C D E F 第 3 题图 第 4 题图 A B C D E F A B C M N 57 八年级下册 （人教版）数学 9. 如图， 在边长为 4 的等边 △ABC 中， D ， E 分别为 AB ， BC 的中点， EF⊥AC 于点 F ， G 为 EF 的中点， 连接 DG. （ 1 ） 求 EF 的长 . （ 2 ） 求 DG 的长 . 中考链接 真题演练 10. （ 2024 ·广安） 如图， 在 △ABC 中， 点 D ， E 分别是 AC ， BC 的中点， 若 ∠A＝45° ， ∠CED＝70° ， 则 ∠C 的度数为 （ ） A. 45° B. 50° C. 60° D. 65° 11. （ 2024 ·浙江） 如图， D ， E 分别是 △ABC 边 AB ， AC 的中点， 连接 BE ， DE. 若 ∠AED＝ ∠BEC ， DE＝2 ， 则 BE 的长为 . 第 11 题图第 10 题图 A B C D E A B C D E 第 9 题图 A B C D E F G 58 参 考 答 案 和 △ABC 中 ， ∠HEF=∠ABC ， EF=BC ， ∠HFE=∠ACB B % % % % $ % % % % & ， ∴△HEF≌△ABC （ ASA ） ， ∴ ∠BAC＝∠H＝∠FAH ， HE＝AB ， ∴HE-AE＝AB-AE ， 即 AH＝BE. ∵BD∥AC ， ∴∠DBE＝∠DEB＝ ∠BAC＝∠FAH＝∠H. 在 △FAH 和 △DBE 中 ， ∠FAH=∠DBE ， AH=BE ， ∠H=∠DEB B % % % % B % % % % & ， ∴ △FAH ≌ △DBE （ ASA ）， ∴FA＝BD. ∵FA∥BD ， ∴ 四边形 ABDF 为平行 四边形 . 11. （ 1 ） 证明 ： 选择 ① 或 ② ， 证明如下 ： 选择 ① ， ∵∠B=∠AED ， ∴BC∥DE. ∵AB∥CD ， ∴ 四边形 BCDE 为平行四边形 . 选择 ② ， ∵AE=BE ， AE=CD ， ∴BE=CD. ∵AB∥CD ， ∴ 四边形 BCDE 为平行四边形 . （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 可知 ， 四边形 BCDE 为平行四边 形 ， ∴DE =BC =10. ∵AD ⊥AB ， ∴ ∠A =90° ， ∴AE = DE 2 -AD 2 姨 = 10 2 -8 2 姨 =6 ， 即线段 AE 的长为 6. 18.1.2 平行四边形的判定 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 互相平分 C 【 例 】 证明 ： ∵AC⊥BE ， AC⊥DF ， ∴∠BEO＝ ∠DFO＝90°. 在 △BEO 与 △DFO 中 ， ∠EOB=∠FOD ， ∠BEO=∠DFO ， BE=DF F % % % % B % % % % & ， ∴△BEO≌△DFO （ AAS ） ， ∴EO＝FO ， BO＝DO. 又 ∵AF ＝CE ， ∴AF -FO ＝CE -EO ， ∴AO ＝CO. 又 ∵BO＝DO ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 1. B 2. C 3. C 4. D 5. 2 6. OB＝OD （ 或 AD∥BC 或 AB∥CD ） 7. 平行四边形 8. 证明 ： （ 1 ） ∵AC∥BD ， ∴∠C＝∠D ， 在 △AOC 和 △BOD 中 ， ∠C=∠D ， ∠COA=∠DOB ， OA=OB B % % % % B % % % % & ， ∴ △AOC ≌ △BOD （ AAS ）， ∴OD＝OC. （ 2 ） ∵OD＝OC ， E ， F 分别是 OC ， OD 的中点 ， ∴OF＝ 1 2 OD ， OE＝ 1 2 OC ， ∴EO＝FO. 又 ∵OA＝OB ， ∴ 四 边形 AFBE 是平行四边形 . 9. 证明 ： （ 1 ） ∵∠E＝∠F ， ∴AD∥BC. ∵AD＝BC ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AC ， BD 互相平分 ， 即点 O 是线段 AC 的中点 . （ 2 ） ∵AD∥BC ， ∴∠EAC＝∠FCA ， 在 △OAE 和 △OCF 中 ， ∠EAO=∠FCO ， AO=CO ， ∠AOE=∠COF B % % % % B % % % % & ， ∴△OAE≌△OCF （ ASA ）， ∴OE＝OF. 又 ∵OA＝OC ， ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形 . 10. 解 ： （ 1 ） 正确的方案有 3 种 . （ 2 ） ① 方案甲 . 连接 AC ， 如图所示 . ∵ 四边形 ABCD 是 平行四边形 ， O 为 BD 的中 点 ， ∴OB＝OD ， OA＝OC. ∵BN＝ NO ， OM＝MD ， ∴NO＝OM ， ∴ 四边形 ANCM 为平行四边形 ， 故方案甲正确 . ② 方案乙 . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AB＝ CD ， AB∥CD ， ∴∠ABN＝∠CDM. ∵AN⊥BD ， CM⊥ BD ， ∴AN∥CM ， ∠ANB＝∠CMD. 在 △ABN 和 △CDM 中 ， ∠ABN=∠CDM ， ∠ANB=∠CMD ， AB=CD B % % % % B % % % % & ， ∴ △ABN ≌ △CDM （ AAS ） ， ∴AN＝CM. 又 ∵AN∥CM ， ∴ 四边形 ANCM 为平行四边 形 ， 故方案乙正确 . ③ 方案丙 . ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴ ∠BAD＝∠BCD ， AB＝CD ， AB∥CD ， ∴∠ABN＝∠CDM. ∵AN 平分 ∠BAD ， CM 平分 ∠BCD ， ∴∠BAN＝∠DCM. 在 △ABN 和 △CDM 中 ， ∠ABN=∠CDM ， AB=CD ， ∠BAN=∠DCM B % % % % B % % % % & ， ∴△ABN≌ △CDM （ ASA ）， ∴AN＝CM ， ∠ANB＝∠CMD ， ∴∠ANM＝ ∠CMN ， ∴AN∥CM ， ∴ 四边形 ANCM 为平行四边形 ， 故方案丙正确 . 11. D 12. D 18.1.2 平行四边形的判定 （ 第三课时 ） 【 知识点 】 中点 平行于 一半 1. A 2. B 3. 证明 ： 选择方法一 . ∵ 在 △ABC 中 ， E 是 边 AC 的中点 . ∴AE＝CE. 在 △AED 和 △CEF 中 ， AE=EC ， ∠AED=∠CEF ， DE=EF B % % % % B % % % % & ， ∴△AED≌△CEF （ SAS ）， ∴CF＝ AD ， ∠DAE＝∠FCE ， ∴CF∥AB. ∵ 点 D 是边 AB 的中点 ， ∴AD＝DB ， ∴CF＝DB ， ∴ 四边形 DBCF 为 平行四边形 ， ∴DF＝BC ， DF∥BC. ∵DE＝ 1 2 DF ， A B C D E F H 第 10 题答图 A B C D M N O 甲 ： 第 10 题答图 63 八年级下册 （ 人教版 ）数学 ∴DE＝ 1 2 BC ， DE∥BC. 选择方法二 . ∵FG∥AB ， AG∥BF ， ∴ 四边形 ABFG 为平行四边形 ， ∴AB＝GF. ∵D ， E 分别是边 AB ， AC 的中点 ， ∴DB＝ 1 2 AB ， EC＝ 1 2 AC＝AE. ∵AG∥BC ， ∴∠G ＝∠EFC ， ∴△AEG≌△CEF （ AAS ） ， ∴AG＝CF ， EG＝EF ， ∴BD＝EF. ∵BD∥ EF ， ∴ 四边形 BDEF 为平行四边形 ， ∴DE＝BF ， DE∥BF. ∵ 在 △ABC 中 ， E 是边 AC 的中点 ， ∴AE＝ CE. ∵AG∥BF ， ∴∠AGE＝∠CFE ， 即在 △AED 和 △CEF 中 ， ∠AGE=∠CFE ， ∠AEG=∠CEF ， AE=CE E ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△AED≌△CEF （ AAS ） ， ∴AG＝CF. 又 ∵AG＝BF ， ∴AG＝CF＝BF ， ∴BF＝ 1 2 BC ， ∴DE＝ 1 2 BC. ∴DE＝ 1 2 BC ， DE∥BC. 【 例 】 证明 ： （ 1 ） 如图 1 ， ∵AE⊥BE ， ∴ ∠AED＝∠AEB＝90° ， ∴∠BAE+∠ABE＝90° ， ∠DAE+ ∠ADE＝90°. ∵∠BAE＝∠DAE ， ∴∠ABE＝∠ADE ， ∴AB＝AD. ∵AE⊥BE ， ∴BE＝DE. ∵BF＝FC ， ∴EF＝ 1 2 DC＝ 1 2 （ AC-AD ） ＝ 1 2 （ AC-AB ） . （ 2 ） 结论 ： EF＝ 1 2 （ AB-AC ） . 理由 ： 如图 2 ， 延长 AC 交 BE 的延长线于点 P. ∵AE⊥ BP ， ∴∠AEP ＝∠AEB ＝90° ， ∴∠BAE+∠ABE＝90° ， ∠PAE+ ∠APE＝90°. ∵∠BAE＝∠PAE ， ∴∠ABE＝∠APE ， ∴AB＝AP. ∵AE⊥BP ， ∴BE＝PE. ∵BF＝FC ， ∴EF＝ 1 2 PC＝ 1 2 （ AP-AC ） ＝ 1 2 （ AB-AC ） . 1. B 2. B 3. B 4. B 5. 144° 6. 2 7. 证明 ： ∵BE ， CD 都是 △ABC 的中线 ， ∴DE 是 △ABC 的中位线 ， ∴DE∥BC ， DE＝ 1 2 BC. ∵F ， G 分别 是 OB ， OC 的中点 ， ∴FG∥BC ， FG＝ 1 2 BC ， ∴DE∥FG 且 DE＝FG ， ∴ 四边形 DEGF 是平行四边形 ， ∴DF＝EG. 8. B 9. 解 ： （ 1 ） 连接 DE ， ∵ 在边长为 4 的等边 △ABC 中 ， D ， E 分别为 AB ， BC 的中点 ， ∴DE 是 △ABC 的 中位线 ， ∴DE＝2 ， 且 DE∥AC ， BD＝BE＝EC＝2. ∵EF⊥AC 于点 F ， ∠C ＝60° ， ∴ ∠FEC ＝30° ， ∠DEF＝∠EFC＝90° ， ∴FC＝ 1 2 EC＝ 1 ， 故 EF＝ 2 2 -1 2 姨 ＝ 3 姨 . （ 2 ） ∵G 为 EF 的 中 点 ， ∴EG ＝ 3 姨 2 ， ∴DG ＝ DE 2 +EG 2 姨 ＝ 2 2 + 3 姨 2 2 , 2 姨 ＝ 19 姨 2 . 10. D 11. 4 18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 直角 B 【 知识点 2 】 直角 相等 1. A 2. C 3. B 【 例 1 】 D 【 例 2 】 （ 1 ） 证明 ： ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ， ∴AD∥BC ， ∠ABE＝90° ， ∴∠DAF＝∠AEB. ∵DF⊥ AE ， ∴∠DFA＝90° ， ∴∠ABE＝∠DFA. 在 △ADF 和 △EAB 中 ， ∠AFD=∠EBA ， ∠DAF=∠AEB ， AD=EA E ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△ADF≌△EAB （ AAS ）， ∴AF＝EB. （ 2 ） 解 ： ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ， BC＝5 ， CD＝3 ， ∴AD＝BC＝5 ， AB＝CD＝3 ， ∠B＝90°. ∵AD＝ AE ， ∴AE＝5 ， ∴BE＝ AE 2 -AB 2 姨 ＝ 5 2 -3 2 姨 ＝4. 由 （ 1 ） 知 ， AF＝BE ， ∴AF＝4 ， ∴EF＝AE-AF＝5-4＝1 ， 即 EF 的长是 1. 1. B 2. A 3. C 4. A 5. 10 姨 6. 2 姨 7. 6 8. （ 1 ） 证明 ： ∵AE⊥BD ， CF⊥BD ， ∴AE∥CF ， ∠AEB＝∠DFC＝90° . ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ， ∴AB＝ CD ， AB∥CD ， ∴∠ABE＝∠FDC. 在 △ABE 和 △CDF 中 ， ∠ABE=∠FDC ， ∠AEB=∠DFC ， AB=CD E ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， ∴△ABE≌△CDF （ AAS ）， ∴AE＝ A B C D E F 图 1 图 2 例题答图 A B C E F P A B C D E F G 第 9 题答图 64