17.1 勾股定理(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(人教版）

参 考 答 案 分 ∠CAB ， ∴DE＝DC. 在 △ABC 中 ， ∵∠C＝90° ， BC＝8 ， AC＝6 ， ∴AB＝10. 设 CD＝x ， 则 DE＝CD＝x ， BD＝8-x ， 在 Rt△ACD 与 Rt△AED 中 ， ∵ CD=DE ， AD=AD D ， ∴Rt△ACD≌ Rt△AED （ HL ）， ∴AE＝AC＝6 ， ∴BE＝4. 在 Rt△BED 中 ， ∵DE 2 +EB 2 ＝DB 2 ， 即 x 2 +4 2 ＝ （ 8-x ） 2 ， 解得 x＝3 ， ∴S △ABD ＝ 1 2 AB · DE＝ 1 2 ×10×3＝15. 6. 解 ： 此车没有超速 . 理由如下 ： 如图 ， 过点 C 作 CH⊥MN 于点 H ， ∵∠CBN＝ 60° ， ∴∠BCH ＝30° . ∵BC ＝ 200 m ， ∴BH＝100 m. ∵CH 2 + BH 2 =BC 2 ， ∴CH=100 3 姨 m. ∵∠CAN ＝45° ， ∴AH =CH = 100 3 姨 m ， ∴AB=100 3 姨 -100≈73 （ m ） . ∵60 km/h＝ 50 3 m/s 且 73 6 < 50 3 ， ∴ 此车没有超速 . 17.1 勾股定理 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 1. D 2. B 3. C 4. D 5. 解 ： ∵CB ＝60 m ， AC ＝20 m ， AC⊥AB ， ∴AB＝ 60 2 -20 2 姨 ＝40 2 姨 （ m ） . 【 例 】 解 ： ∵AB ＝DE ＝2.5 m ， BC ＝1.5 m ， ∠C ＝90 ° ， ∴AC ＝ AB 2 -BC 2 姨 ＝ 2 . 5 2 -1 . 5 2 姨 ＝ 2 （ m ） . 设 AE 的长为 x m ， 依题意得 CE＝AC-x= 2 -x. ∵BD ＝0.5 m ， ∴CD=CB+BD=2 m ， ∴ 在 Rt△ECD 中 ， CE＝ DE 2 -CD 2 姨 ＝ 2.5 2 - （ 1.5+0.5 ） 2 姨 ＝1.5 （ m ） ， ∴2 -x＝1.5 ， ∴x＝0.5 ， 即 AE＝0.5 m. 答 ： 滑杆顶端 A 下滑 0.5 m. 1. A 2. D 3. C 4. 解 ： 设 AB＝x m ， ∵∠ABD＝ 90° ， ∴ 在 Rt△ABD 中 ， 根据勾股定理得 x 2 +5 2 ＝ （ x+1 ） 2 ， 解得 x＝12 ， ∴AB 的长为 12 m. 答 ： 旗杆 AB 的长为 12 m. 5. 解 ： 展开后由题意得 ∠C＝90° ， AC＝3×10+3×6＝48 ， BC＝55 ， 由勾股 定理得 AB＝ AC 2 +BC 2 姨 ＝ 48 2 +55 2 姨 ＝ 73 （ cm ） . 答 ： 最短路线的距离为 73 cm. 6. 解 ： （ 1 ） 在 Rt△ABC 中 ， BC= AB 2 -AC 2 姨 = 324-24 姨 =10 3 姨 （ m ） . 答 ： 该斜 坡的坡高 BC 长为 10 3 姨 m. （ 2 ） ∵∠α＝60° ， ∴∠AMN＝ 30° ， ∴AM＝2AN. ∵ 在 Rt△AMN 中 ， AN 2 +MN 2 ＝AM 2 ， ∴AN 2 +300＝4AN 2 ， ∴AN＝10 m ， ∴AM＝20 m ， ∴AM-AB＝ 20-18＝2 （ m ） . 答 ： 长度增加了 2 m. 17.1 勾股定理 （ 第三课时 ） 【 知识点 1 】 1. B 2. A 【 知识点 2 】 1. D 2. 解 ： 由已知 ， △ADE 沿 DE 翻折 ， A ， B 两点重合 ， ∴AE=BE. 设 CE＝x ， 则 AE＝BE＝8-x. 在 Rt△BCE 中 ， BC 2 +CE 2 ＝BE 2 ， ∴6 2 +x 2 ＝ （ 8-x ） 2 ， 解得 x＝ 7 4 . 答 ： CE 的长为 7 4 . 【 例 】 解 ： 设 EC 的长为 x cm ， 则 DE＝ （ 8-x ） cm. ∵△ADE 折叠后的图形是 △AFE ， ∴AD＝AF ， ∠D ＝∠AFE. 又 ∵AE =AE ， ∴△AFE≌△ADE ， ∴DE＝EF. ∵AD＝BC＝10 cm ， ∴AF＝AD＝10 cm. 又 ∵AB＝8 cm ， 在 Rt△ABF 中 ， 根据勾股定理 ， 得 AB 2 +BF 2 ＝AF 2 ， ∴8 2 +BF 2 ＝10 2 ， ∴BF＝6 cm. ∴FC＝ BC-BF＝10-6＝4 （ cm ） . 在 Rt△EFC 中 ， 根据勾 股定理 ， 得 FC 2 +EC 2 ＝EF 2 ， ∴4 2 +x 2 ＝ （ 8-x ） 2 ， ∴x＝3. 答 ： EC 的长为 3 cm. 1. C 2. 2 6 姨 3. 3 4. D 5. 解 ： 连接 DF ， 在长 方形 ABCD 中 ， ∵AE 平分 ∠BAD ， ∴BE＝AB＝4 ， CE＝ BC -BE ＝7 -4 ＝3 ， 则 在 Rt△CDE 中 ， DE＝ CE 2 +DC 2 姨 ＝5. 在 Rt△AFD 中 ， AF 2 +AD 2 ＝DF 2 ， 即 AF 2 +7 2 ＝DF 2 ， ① 在 Rt△BEF 中 ， （ 4-AF ） 2 +4 2 ＝EF 2 ， ② 在 Rt△EFD 中 ， DF 2 ＝EF 2 +5 2 ， ③ 化简可得 AF 2 ＝1 ， 即 AF＝1 ， ∴BF＝3. 则 在 Rt△BEF 中 ， EF＝ 3 2 +4 2 姨 ＝5. 6. （ 1 ） 证明 ： ∵△ABC 和 △ADE 都是等腰直角 三角 形 ， ∴AB＝AC ， AD＝AE ， ∠BAC＝∠DAE＝90° ， ∴∠BAD＝∠CAE. 在 △ACE 和 △ABD 中 ， AC=AB ， ∠CAE=∠BAD ， AE=AD D * * * * ) * * * * + ， ∴△ACE≌△ABD. （ 2 ） 解 ： 不变 . 理由如下 ： ∵△ACE≌△ABD ， ∴ ∠ACE＝∠ABD＝45° ， ∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45° ＝90° ， ∴∠BCE 的度数不变 ， 为 90°. （ 3 ） 解 ： ① 点 D 在线段 BC 上时 ， 如图 1 ， ∵AB＝AC＝ 3 姨 ， ∠BAC＝90° ， ∴BC＝ AB 2 +AC 2 姨 = 6 姨 . ∵CD＝1 ， ∴BD＝ 6 姨 -1. ∵△ACE≌△ABD ， ∴CE ＝BD ＝ 第 6 题答图 A B C 第 5 题答图 B α A CN l 1 M l 2 第 6 题答图 第 5 题答图 D E C A B 图 1 D C B F A E 45° 60° M A B N C H 59 勾 股 定 理 第十七章 8 m 6 m 知识梳理 形成联系 【知识点】 勾股定理及实际应用 1. 王大爷离家出门散步， 他先向正北走了 6 m ， 接着又向正东走了 8 m ， 此时他离家的 距离为 （ ） A. 7 m B. 8 m C. 9 m D. 10 m 2. 如图 17.1-4 ， 阴影部分是一个半圆， 则这个半圆的面积是 （ ） A. 9 4 π cm 2 B. 81 8 π cm 2 C. 81π cm 2 D. 81 4 π cm 2 3. 如图 17.1-5 ， 由于台风的影响， 一棵树在离地面 6 m 处折断， 树顶落在离树干底部 8 m 处， 则这棵树在折断前 （不包括树根） 的高度是 （ ） A. 8 m B. 10 m C. 16 m D. 18 m 4. 如图 17.1-6 ， 学校有一块长方形花圃， 有极少数人为了避开拐角走 “捷径”， 在花圃 内走出了一条 “路” . 他们仅仅少走了 （ ） 步路 （假设 2 步为 1 m ）， 却踩伤了花草 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图 17.1-7 ， 池塘边有两点 A ， B ， 点 C 是与 BA 方向成直角的 AC 方向上一点 . 测得 CB＝60 m ， AC＝20 m ， 你能求出 A ， B 两点间的距离吗？ 17.1 勾股定理 （第二课时） A 15 cm 12 cm B 4 m 3 m 图 17.1-4 图 17.1-5 图 17.1-6 60 m A B 20 m C 图 17.1-7 23 八年级下册 （人教版）数学 例题点拨 素养导向 【例】 如图 17.1-8 ， 滑杆在机械槽内运动， ∠ACB 为直角， 已知滑杆 AB 长 2.5 m ， 顶端 A 在 AC 上运动， 量得滑杆下端 B 距 C 点的距离为 1.5 m. 当端点 B 向右移动 0.5 m 到达点 D 时， 求滑杆顶端 A 移动到点 E 时下滑了多少 . 【点拨】 由题意可知滑杆 AB 与 AC ， CB 正好构成直角三角形， 故可用勾股定理进行计 算 . 本题考查正确运用勾股定理 . 善于观察题目的信息是解题的关键 . 夯实四基 达标闯关 1. 如图， 湖的两岸有 A ， B 两点， 在与 AB 成直角的 BC 方向上的点 C 处测得 AC＝50 m ， BC＝30 m ， 则 A ， B 两点间的距离为 （ ） A. 40 m B. 30 m C. 50 m D. 10 34 姨 m 2. 如图， 一支铅笔放在圆柱体笔筒中， 笔筒的内部底面直径是 9 cm ， 内壁高 12 cm ， 则 这支铅笔的长度可能是 （ ） A. 9 cm B. 12 cm C. 15 cm D. 18 cm 3. 如图， 有两棵树， 一棵高 10 m ， 另一棵高 4 m ， 两树相距 8 m. 一只鸟从一棵树的树 梢飞到另一棵树的树梢， 则小鸟至少飞行了 （ ） A. 6 m B. 8 m C. 10 m D. 12 m 图 17.1-8 C B A 第 3 题图第 2 题图第 1 题图 D A E C B 24 勾 股 定 理 第十七章 4. 学校操场边有一根垂直于地面 l 的旗杆 AB ， 一根无弹力、 不能伸缩的绳子 n 紧系于 旗杆顶端 A 处 （打结处忽略不计） . 聪明的小陶同学通过操作、 测量发现： 如图 1 ， 当绳子 n 紧靠在旗杆上拉紧到底端 B 后， 还多出 1 m ， 即 BC＝1 m. 如图 2 ， 当离开旗杆底端 B 处 5 m 后， 绳子恰好拉直且绳子末端 D 处恰好接触地面， 即 BD＝5 m. 请你跟小陶同学一起算 一算旗杆 AB 的高度 . 能力提升 综合拓展 5. 如图是一个三级台阶， 它的每一级的长、 宽和高分别等于 55 cm ， 10 cm 和 6 cm ， A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点， A 点上有一只蚂蚁， 想到 B 点去吃可口的食物， 这只蚂 蚁从 A 点出发， 沿着台阶面爬到 B 点， 最短路程是多少？ 第 4 题图 图 1 图 2 第 5 题图 n A C B l 10 55 6 A B C n A D B l C 25 八年级下册 （人教版）数学 中考链接 真题演练 6. （ 2021 ·株洲） 某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中， 发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患， 该斜坡横断面示意图如图 2 所示， 水平线 l 1 ∥l 2 ， 点 A ， B 分别在 l 1 ， l 2 上， 斜坡 AB 的长为 18 m ， 过点 B 作 BC⊥l 1 于点 C ， 且线段 AC 的长 为 2 6 姨 m. （ 1 ） 求该斜坡的坡高 BC. （结果用最简根式表示） （ 2 ） 为降低落石风险， 该管理部门计划对该斜坡进行改造， 改造后的斜坡坡角 α 为 60° ， 过点 M 作 MN⊥l 1 于点 N ， 求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米 . 第 6 题图 B α A CN l 1 M l 2 图 1 图 2 26