17.2 勾股定理的逆定理(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(人教版）

八年级下册 （人教版）数学 知识梳理 形成联系 【知识点 1 】 互逆命题与互逆定理 ◎ 如果两个命题的题设和结论正好 ，那么这样的两个命题叫做 命题. 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 . ◎ 如果一个定理的逆命题经过 是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫 做互逆定理，其中一个叫做另一个的 . 1. 下列命题的逆命题错误的是 （ ） A. 直角三角形的两锐角互余 B. 两直线平行， 内错角相等 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 对顶角相等 2. 在 △ABC 中， ∠A ， ∠B ， ∠C 的对边分别是 a ， b ， c ， 下列命题中的假命题是 （ ） A. 若 a 2 +b 2 ≠c 2 ， 则 △ABC 不是直角三角形 B. 若 a 2 ＝ （ b+c ）（ b-c ）， 则 △ABC 是直角三角形 C. 若 a ∶ b ∶ c＝3 ∶ 4 ∶ 5 ， 则 ∠C＝90° D. 若 ∠A ∶∠B ∶∠C＝2 ∶ 3 ∶ 5 ， 则 △ABC 是直角三角形 【知识点 2 】 勾股定理的逆定理 ◎ 如果三角形的三边长 a ， b ， c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 1. 已知三组数据： ①2 ， 3 ， 4 ； ②3 ， 4 ， 5 ； ③1 ， 2 ， 5 姨 . 分别以每组数据中的三个数 为三角形的三边长， 能构成直角三角形的是 （ ） A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③ 2. 下列各组线段中能构成直角三角形的是 （ ） A. 2 ， 3 ， 4 B. 5 ， 6 ， 7 C. 6 ， 8 ， 10 D. 5 ， 24 ， 25 例题点拨 素养导向 【例】 如图 17.2-1 ， 在四边形 ABCD 中， ∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90° ， AB＝BC＝CD＝DA ， E 是 BC 的中点， F 是 CD 上一点， 且 AB＝4 ， CF＝1. 求证： ∠AEF＝90°. 【点拨】 由勾股定理可得出 △AEF 各边的长度， 再由勾股定理的逆定 理可以证得结论 . 17.2 勾股定理的逆定理 （第一课时） D F C E B A 图 17.2-1 30 勾 股 定 理 第十七章 夯实四基 达标闯关 1. 命题 “等腰三角形两底角相等” 的逆命题是 ， 逆命题是 命题 . （填 “真” 或 “假”） 2. 五根小木棒， 其长度分别为 7 ， 15 ， 20 ， 24 ， 25 ， 现将它们摆成两个直角三角形， 下 列示意图正确的是 （ ） 3. 城市绿化是城市重要的基础设施， 是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公 益事业 . 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下， 在临街清理出了一块可以绿化 的空地 . 如图， 已知 AC＝4 ， BC＝3 ， BD＝12 ， AD＝13 ， ∠ACB＝90° ， 求阴影部分的面积 . 4. 如图， 在 △ABC 中， AB ∶ CB ∶ CA＝3 ∶ 4 ∶ 5 ， 且周长为 72 cm ， 点 M 以 2 cm/s 的速度从 A 向 B 运动， 点 N 以 3 cm/s 的速度从 B 向 C 运动， 如果两点同时出发， 经过 4 s 后， △BMN 的面积为多少？ 20 25 24 7 15 25 20 24 7 15 7 24 20 25 15 7 24 25 20 15 A B C D A C D B 第 3 题图 N B M A C 第 4 题图 31 八年级下册 （人教版）数学 能力提升 综合拓展 5. 如图， AB＝AC ， AD＝AE ， ∠BAC＝∠DAE＝90°. （ 1 ） 求证： CE＝BD. （ 2 ） 若 AC＝2 ， EC＝4 ， DC＝2 2 姨 ， 求 ∠ACD 的度数 . （ 3 ） 在 （ 2 ） 的条件下， 直接写出 DE 的长为 . （只填结果， 不用写计算过程） 中考链接 真题演练 6. （ 2022 ·三水区） 如图， 在 △ABC 中， AC＝15 ， AB＝20 ， BC＝25 ， 点 A 在直线 MN 上， 且点 B ， C 位于直线 MN 的同侧， ∠MAC＝40°. （ 1 ） 求 ∠NAB 的度数 . （ 2 ） 过点 A 作 AD⊥BC 交 BC 于点 D ， 求 AD 的长 . M N C D B A 第 6 题图 D B A E C 第 5 题图 32 八年级下册 （ 人教版 ）数学 6 姨 -1. ∵∠BCE＝90° ， ∴DE＝ CD 2 +CE 2 姨 ＝ 8-2 6 姨姨 . ② 点 D 在线段 BC 的延长线上时 ， 如图 2 ， ∵AB＝ AC＝ 3 姨 ， ∠BAC＝90° ， ∴BC＝ 6 姨 . ∵CD＝1 ， ∴BD＝ 6 姨 +1. ∵△ACE≌△ABD ， ∴CE＝BD＝ 6 姨 +1. ∵∠BCE＝90° ， ∴∠ECD＝ 90° ， ∴DE ＝ 1 2 + （ 6 姨 +1 ） 2 姨 ＝ 8+2 6 姨姨 . 综上所述 ， DE 的 长为 8-2 6 姨姨 或 8+2 6 姨姨 . 17.2 勾股定理的逆定理 （ 第一课时 ） 【 知识点 1 】 相反 互逆 逆命题 证明 逆 定理 1. D 2. A 【 知识点 2 】 a 2 +b 2 =c 2 1. D 2. C 【 例 】 证明 ： ∵E 为 BC 的中点 ， AB＝BC＝CD＝ DA ， AB＝4 ， ∴BE＝CE＝2 ， BC＝CD＝DA＝4. ∵CF＝1 ， ∴DF＝3. ∵∠B＝∠C＝∠D＝90° ， ∴AE＝ AB 2 +BE 2 姨 ＝ 4 2 +2 2 姨 ＝2 5 姨 ， EF ＝ CE 2 +CF 2 姨 ＝ 2 2 +1 2 姨 ＝ 5 姨 ， AF＝ AD 2 +DF 2 姨 ＝ 4 2 +3 2 姨 ＝5. ∵AE 2 +EF 2 ＝ 20+5＝25 ， AF 2 ＝5 2 ＝25 ， ∴AE 2 +EF 2 ＝AF 2 ， ∴∠AEF＝ 90°. 1. 两个角相等的三角形是等腰三角形 真 2. C 3. 解 ： 如图 ， 连接 AB ， ∵∠ACB＝90° ， AC＝4 ， BC＝3 ， ∴AB= AC 2 +BC 2 姨 =5. 又 ∵BD＝ 12 ， AD＝13 ， ∴AB 2 +BD 2 ＝169＝ AD 2 ， ∴∠ABD＝90° ， ∴△ABD 是直角三角形 ， ∴ 阴影部分的 面积为 1 2 ×AB×BD- 1 2 ×AC×BC= 1 2 ×5×12- 1 2 ×4×3=24. 4. 解 ： 设 AB ＝3x cm ， CB ＝4x cm ， CA ＝5x cm ， ∴3x+4x+5x＝72 ， ∴x＝6 ， ∴AB＝18 cm ， CB＝24 cm ， CA＝ 30 cm. ∵AB 2 +CB 2 ＝18 2 +24 2 ＝900 ， CA 2 ＝30 2 ＝900 ， ∴AB 2 + CB 2 ＝CA 2 ， ∴△ABC 是直角三角形 ， ∴∠B＝90°. 当 t＝ 4 时 ， BM＝AB-AM＝18-2×4＝10 （ cm ） ， BN＝3×4＝ 12 （ cm ）， ∴S △BMN = 1 2 BM · BN=60 cm 2 ， ∴ 经过 4 s 时 ， △BMN 的面积为 60 cm 2 . 5. （ 1 ） 证明 ： ∵∠BAC＝∠DAE＝90° ， ∴∠BAC- ∠DAC＝∠DAE-∠DAC ， ∴∠EAC＝∠BAD. ∵AB＝AC ， AD＝AE ， ∴△ACE≌△ABD （ SAS ）， ∴CE＝BD. （ 2 ） 解 ： ∵△ACE≌△ABD ， ∴BD＝EC＝4. ∵BC 2 ＝ AC 2 +AB 2 ＝2 2 +2 2 ＝8 ， CD 2 ＝ （ 2 2 姨 ） 2 ＝8 ， BD 2 ＝4 2 ＝16 ， ∴BC 2 + CD 2 ＝BD 2 ， ∴∠BCD＝90°. ∵∠ACB＝45° ， ∴∠ACD＝∠BCD+ ∠ACB＝135°. （ 3 ） 2 10 姨 . 6. 解 ： （ 1 ） ∵AB 2 +AC 2 ＝20 2 +15 2 ＝625 ， BC 2 ＝25 2 ＝ 625 ， ∴AB 2 +AC 2 ＝BC 2 ， ∴△ABC 是直角三角形 ， ∴∠BAC＝ 90° . ∵∠MAC＝40° ， ∴∠NAB＝180°-∠BAC-∠MAC＝ 180°-90°-40°＝50°. （ 2 ） ∵AD⊥BC ， ∴S △ABC ＝ 1 2 BC · AD＝ 1 2 AC · AB ， ∴ 1 2 ×25AD＝ 1 2 ×15×20 ， ∴AD＝12. 17.2 勾股定理的逆定理 （ 第二课时 ） 【 知识点 】 正整数 1. D 2. B 【 例 】 解 ： （ 1 ） 在 Rt△ABC 中 ， AB＝24 m ， BC＝7 m ， ∴AC= 24 2 +7 2 姨 =25 （ m ） . 在 △ADC 中 ， CD＝15 m ， AD＝20 m ， AC＝25 m ， ∵CD 2 +AD 2 ＝ 15 2 +20 2 ＝25 2 ＝AC 2 ， ∴△ADC 为直角三角形 ， ∴ ∠D＝90°. （ 2 ） ∵△ADC 是直角三角形 ， ∴S △ADC = 1 2 × AD×DC= 1 2 ×20×15=150 （ m 2 ） . ∵S △ABC = 1 2 ×AB× BC= 1 2 ×24×7=84 （ m 2 ）， ∴S 四边形 ABCD =S △ADC +S △ABC = 150+84=234 （ m 2 ） . 1. C 2. 40 m 3. 解 ： 设体育馆楼高 AC＝x m ， 则绳子长为 AB＝ （ x+2 ） m ， 在 Rt△ABC 中 ， AB 2 ＝AC 2 +BC 2 ， ∴ （ x+2 ） 2 ＝ x 2 +6 2 ， 解得 x＝8. 答 ： 体育馆楼高 AC 的值为 8 m. 4. 解 ： （ 1 ） 是 . 理由 ： 在 △CHB 中 ， ∵CH 2 +BH 2 ＝ 60 2 +80 2 ＝100 2 ， BC 2 ＝100 2 ， ∴CH 2 +BH 2 ＝BC 2 ， ∴CH⊥AB ， ∴CH 是从村庄 C 到河边的最近路线 . （ 2 ） 设 AC＝x m ， 在 Rt△ACH 中 ， 由已知得 AC＝ x ， AH＝x-60 ， CH＝80 ， 由勾股定理得 AC 2 ＝AH 2 +CH 2 ， ∴x 2 ＝ （ x-60 ） 2 +80 2 ， 解得 x＝ 250 3 . 答 ： 原来的路线 AC 的 长为 250 3 m. 5. （ 1 ） 解 ： DE 2 ＝BD 2 +EC 2 . （ 2 ） 证明 ： DE 2 ＝BD 2 + EC 2 仍然成立 . 如图 1 ， 将 △EAC 绕点 A 顺时针旋转 90° 得到 △TAB ， 连接 DT ， ∴∠ABT ＝∠C ＝45° ， AT ＝ AE ， ∠TAE＝90°. ∵∠ABC＝ 45° ， ∴∠TBC＝∠TBD＝90°. C A B E D 图 2 第 6 题答图 A C DB 第 3 题答图 T A CD EB 图 1 60