第2章 5 一元一次不等式与一次函数(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(北师大版）

八年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 某厂生产一种机械零件， 固定成本为 2 万元， 每个零件成本为 3 元， 零售价为 5 元， 应纳税款为总销售额的 10%． （ 1 ） 写出总利润 y （元） 与销售件数 x （个） 的函数表达式 . （ 2 ） 若要使该厂盈利， 则该零件至少要生产销售多少个？ 试写出解答过程 ． 【分析】 （ 1 ） 根据总利润 = 总销售额 - 总成本 - 固定成本 - 应纳税款即可列出函数表达式 . （ 2 ） 设该零件生产销售 x 个， 根据总销售额 - 总成本 - 固定成本 - 应纳税款 ＞0 即可列出不 等式 ． 【解答】 （ 1 ） 根据题意， 得 y=5x-3x-20 000-5x×10% ， 即 y= 3 2 x-20 000. （ 2 ） 设该零件生产销售 x 个， 根据题意， 得 5x-3x-20 000-5x×10%＞0 ， 解得 x＞13 333 1 3 . ∵x 必须是整数， ∴ 至少生产销售 13 334 个零件该厂才会盈利 ． 【点拨】 此题考查从实际问题抽象出一次函数和一元一次不等式模型的能力， 解题过程 中还要考虑到将不等式的解转化为实际问题的解的实际意义 ． 基础巩固 达标闯关 1. 新学期开始， 某学校准备添置一些中国结挂在教室 . 若到商店去批量购买， 每个中国 结需要 10 元； 若组织一些同学自己制作， 每个中国结的成本为 4 元， 无论制作多少， 另外 还需共付场地租金 200 元 . 亲爱的同学， 请你帮该学校出个主意： 用哪种方式添置中国结的 费用较节省？ 5 一元一次不等式与一次函数 （第 2课时） 56 一元一次不等式与一元一次不等式组 第二章 2. 甲、 乙两家水果商店， 平时以同样的价格出售品质相同的樱桃 ． 春节期间， 甲、 乙两 家商店都让利酬宾： 甲商店的樱桃价格为 60 元 /kg ； 乙商店的樱桃价格为 65 元 /kg ， 若一次 购买 2 kg 以上， 超过 2 kg 部分的樱桃价格打八折 ． （ 1 ） 设购买樱桃 x kg ， y 甲 ， y 乙 （单位： 元） 分别表示顾客到甲、 乙两家商店购买樱桃 的付款金额， 求 y 甲 ， y 乙 关于 x 的函数表达式 . （ 2 ） 春节期间， 如何选择甲、 乙两家商店购买樱桃更省钱？ 能力提升 综合拓展 3. 某公司到果园基地购买某种优质水果， 慰问参加抗洪的解放军战士， 果园基地对购买 量在 3 000 kg 以上 （含 3 000 kg ） 的顾客有两种优惠方案 . 甲方案： 每千克 9 元， 由基地送 货上门 . 乙方案： 每千克 8 元， 由顾客自己租车运回 . 已知该公司租车从基地到公司的运费 为 5 000 元 . 请分别写出该公司两种购买方案的费用 y （元） 与所购买的水果量 x （ kg ） 之间 的函数关系式， 并写出自变量 x 的取值范围 . 当购买量在什么范围时， 选择哪种购买方案付 款少？ 请说明理由 . * 4． 五一期间， 小李一家乘坐高铁前往某市旅游， 计划第二天租用新能源汽车自驾出游， 甲租车公司按日收取固定租金 80 元， 另外再按租车时间计费； 乙租车公司无固定租金， 直 接以租车时间计费， 每小时的租费是 30 元 . 小李可选择甲租车公司或乙租车公司 . 根据以上 信息， 解答下列问题 . （ 1 ） 设租车时间为 x h ， 租用甲公司的车所需费用为 y 1 元， 租用乙公司的车所需费用为 y 2 元， 分别求出 y 1 ， y 2 关于 x 的函数表达式 . （ 2 ） 请你帮助小李计算并选择合算的出游方案 ． 165 150 135 120 105 90 75 60 45 30 15 1 2 3 4 5 6 O x/h y/ 元 y 1 y 2 （ 1 ， 30 ） （ 1 ， 95 ） 第 4 题图 57 八年级下册 （北师大版）数学 5. 如图， 折线 AC — CB 是一条公路的示意图， AC=8 km ， 甲骑摩托车从 A 地沿这条公路 到 B 地， 速度为 40 km/h ， 乙骑自行车从 C 地到 B 地， 速度为 10 km/h ， 两人同时出发， 结 果甲比乙早到 6 min． （ 1 ） 求这条公路的长 . （ 2 ） 设甲、 乙出发的时间为 t h ， 甲行驶的路程为 y 1 （ km ）， 乙在骑行时距离 A 地的公路 里程为 y 2 （ km ）， 分别写出 y 1 （ km ）， y 2 （ km ） 与时间 t （ h ） 的函数关系式 . （ 3 ） t 的取值在什么范围时， 甲没有超过乙？ * 6． 十一假期， 某火车站旅客流量不断增大， 旅客需要长时间排队等候检票 ． 经调查发 现， 在车站开始检票时， 有 640 人排队检票 ． 检票开始后， 仍有旅客继续前来排队检票进站 ． 设旅客按固定的速度增加， 检票口检票的速度也是固定的 ． 检票时， 每分钟候车室新增排队 检票进站 16 人， 每分钟每个检票口检票 14 人 ． 已知检票的前 a min 只开放了两个检票口 ． 某 一天， 候车室排队等候检票的人数 y （人） 与检票时间 x （ min ） 的关系如图所示 ． （ 1 ） 求 a 的值 . （ 2 ） 检票到第 20 min 时， 候车室排队等候检票的人数是多少？ （ 3 ） 若要在开始检票后 15 min 内让所有排队的旅客都能检票进站， 以便后到站的旅客 随到随检， 问检票一开始至少需要同时开放几个检票口 . A B C 8 km 第 5 题图 640 520 30 x/min y/ 人 O a 第 6 题图 58 一元一次不等式与一元一次不等式组 第二章 中考链接 真题演练 7. （ 2022 ·宿迁） 某单位准备购买文化用品， 现有甲、 乙两家超市进行促销活动， 该文 化用品两家超市的标价均为 10 元 / 件， 甲超市一次性购买金额不超过 400 元的不优惠， 超过 400 元的部分按标价的六折售卖； 乙超市全部按标价的八折售卖 ． （ 1 ） 若该单位需要购买 30 件这种文化用品， 则在甲超市的购物金额为 元， 在 乙超市的购物金额为 元 . （ 2 ） 假如你是该单位的采购员， 你认为选择哪家超市支付的费用较少？ 8. （ 2021 ·重庆） 在初中阶段的函数学习中， 我们经历了列表、 描点、 连线画函数图象， 并结合图象研究函数性质及其应用的过程 ． 以下是我们研究函数 y= 4-x 2 x 2 +1 的性质及其应用的部 分过程， 请按要求完成下列各小题 ． （ 1 ） 请把下表补充完整， 并在给出的图中补全该函数的大致图象 . （ 2 ） 请根据这个函数的图象写出该函数的一条性质 . （ 3 ） 已知函数 y＝- 3 2 x+3 的图象如图所示 ． 根据函数图象直接写出不等式 - 3 2 x+3＞ 4-x 2 x 2 +1 的 解集 ． （近似值保留一位小数， 误差不超过 0.2 ） x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … y= 4-x 2 x 2 +1 … - 21 26 - 12 17 - 1 2 0 3 2 4 0 … -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 x y O y=- 3x 2 +3 第 8 题图 59 八年级下册 （北师大版）数学 12. 8.8 13. C 14. C 提示： 设改搭公交车上下班 x 天， 则 （ 0.17-0.04 ）· 20x＞800. 解得 x＞ 4 000 13 . 又 ∵x 为正整数， ∴x 的最小值为 308. 15. 解： 设可购买这种型号的水基灭火器 x 个， 则购买干粉灭火器 （ 50-x ） 个 . 根据题意， 得 540x+380 （ 50-x ） ≤21 000. 解得 x≤12.5. ∵x 为整数， ∴x 取最大值为 12. 答： 最多可购买这种型号的水基灭火器 12 个 ． 16. 解： （ 1 ） 设甲池的排水速度是 x m 3 /h. 根据题意， 得 36-3x=2 （ 36-3×8 ） ． 解得 x=4． 答： 甲池的排水速度是 4 m 3 /h. （ 2 ） 设排水 t h ， 根据题意， 得 36×2- （ 4+8 ） t≥24． 解得 t≤4． 答： 最多可以排水 4 h． 5 一元一次不等式与一次函数 （第 1 课时） 1. <2 2. x＜－2 x＞0 3. x≤ 1 2 x>3 4. x＞2 5. A 6. D 7. 解： （ 1 ） a=1 ， b=1. （ 2 ） x≥-2. 8. 解： （ 1 ） ∵3a-12≥0 ， ∴a≥4. （ 2 ） ∵y=-x+ （ 3a-12 ） 的图象经过点 P （ －1 ， 4 ）， ∴4=- （ -1 ） +3a-12. ∴a=5. ∴ 一次 函数的表达式为 y=-x+3 ， 则 -x+3>-7 ， 解得 x＜10. 9. （ 1 ） x=2 x＞0 （ 2 ） x<1 （ 3 ） 解： 当 x＜1 时， mx＜kx+b ； 当 x=1 时， mx=kx+b ； 当 x＞1 时， mx＞kx+b. 10. 解： （ 1 ） y 租 =0.5x ， y 会 =0.3x+20. （ 2 ） 租书卡每天收费 0.5 元， 会员卡每天收费 0.3 元 . （ 3 ） 由图象可知， 一年 租书时间在 100 天以内， 用租书卡省钱； 租书时间为 100 天时， 两种卡租书费用一样； 租书时间超过 100 天用会员卡省钱 . * 11. 解： 设招聘甲工种的工人为 x 人， 则招聘乙工种的工人为 （ 150－x ） 人， 则 150－x≥2x ， 则 x≤50. 设付给聘请的 工人月工资总数为 y 元， 则有 y=1 800x+3 000 （ 150－x ） =－1 200x+450 000 ， ∵k=-1 200<0 ， ∴y 随 x 的增大而减小 . ∴ 当 x= 50 时， 每月所支付的工资最少， 即甲工种招聘 50 人， 乙工种招聘 100 人时， 可使得每月所支付的工资最少 . 12. x<-1 13. x<1 14. B 15. 解： （ 1 ） 员工生产 30 件产品时， 两种方案付给的报酬一样多 . （ 2 ） 设方案二中 y 关于 x 的函数表达式为 y 1 ＝ k 1 x+b 1 ， 分别将点 （ 0 ， 600 ）， （ 30 ， 1 200 ） 代入 y 1 ＝k 1 x+b 1 中， 得 30k 1 +b 1 =1 200 ， b 1 =600 0 . 解得 k 1 =20 ， b 1 =600 0 . ∴ 方案二中 y 关于 x 的 函数表达式为 y 1 ＝20x+600. （ 3 ） 设方案一中 y 关于 x 的函数表达式为 y 2 ＝k 2 x ， 将 （ 30 ， 1 200 ） 代入 y 2 ＝k 2 x 中， 得 1 200= 30k 2 . 解得 k 2 =40. ∴ 方案一中 y 关于 x 的函数表达式为 y 2 ＝40x. 当 y 1 ＜y 2 时， 即 20x+600＜40x ， 解得 x＜30 时， 选择方案二； 当 y 1 ＞y 2 时， 即 20x+600＞40x ， 解得 x＞30 时， 选择方案一； 当 y 1 ＝y 2 时， 即 20x+600＝40x ， 解得 x=30 时， 选择两个方案都 可以 . 答： 若员工的生产件数 x 的取值范围是 0≤x＜30 ， 选择方案二； 若生产件数为 30 ， 选择两个方案都可以； 若生产 件数 x 的取值范围是 x＞30 ， 选择方案一 ． 5 一元一次不等式与一次函数 （第 2 课时） 1. 解： 设需要中国结 x 个， 则直接购买需 10x 元， 自制需 （ 4x+200 ） 元 . 分两种情况： ① 若 10x<4x+200 ， 解得 x< 33 1 3 ， 即不多于 33 个时， 到商店购买更便宜 . ② 若 10x>4x+200 ， 解得 x>33 1 3 ， 即大于 33 个时， 自己制作更便宜 . 2. 解 ： （ 1 ） 由题意 ， 得 y 甲 ＝60x. 当 x≤2 时 ， y 乙 ＝65x ， 当 x ＞2 时 ， y 乙 ＝65 ×2 +65 ×0.8 （ x -2 ） ＝52x +26. ∴y 乙 ＝ 65x （ x≤2 ）， 52x+26 （ x>2 ） 0 . （ 2 ） 当 60x＜52x+26 时， 即 x< 13 4 时， 到甲商店购买樱桃更省钱； 当 60x＝52x+26 时， 即 x＝ 13 4 时， 到 甲、 乙两家商店购买樱桃花费相同； 当 60x＞52x+26 ， 即 x＞ 13 4 时， 到乙商店购买樱桃更省钱 ． 3. 解： y 甲 =9x ， y 乙 =8x+5 000 ， x≥3 000 ； 当 x=5 000 时， 两种购买方案的费用相同； 当 x>5 000 时， 乙种方案费用 少； 3 000≤x<5 000 时， 甲种方案费用少 . * 4. 解： （ 1 ） 设 y 1 =k 1 x+80 ， 把点 （ 1 ， 95 ） 代入， 可得 95=k 1 +80 ， 解得 k 1 =15 ， ∴y 1 =15x+80 （ x≥0 ）； 设 y 2 =k 2 x ， ∵ 直 线 y 2 =k 2 x 过点 （ 1 ， 30 ）， 可得 30=k 2 ， 即 k 2 =30 ， ∴y 2 =30x （ x≥0 ） . （ 2 ） 当 y 1 =y 2 时， 15x+80=30x ， 解得 x= 16 3 ； 当 y 1 ＞y 2 时， 15x+80＞30x ， 解得 x＜ 16 3 ； 当 y 1 ＜y 2 时， 15x+80＜30x ， 解得 x＞ 16 3 . ∴ 当租车时间为 16 3 小时， 选择甲、 乙公司一样合 算； 当租车时间小于 16 3 小时时， 选择乙公司合算； 当租车时间大于 16 3 小时时， 选择甲公司合算 . 5. 解： （ 1 ） 设这条公路的长为 x km ， 由题意， 得 x-8 10 - x 40 = 6 60 . 解得 x=12. 答： 这条公路的长为 12 km. （ 2 ） 由题 意， 得 y 1 =40t ， y 2 =10t+8. （ 3 ） 由题意， 得 40t≤10t+8. 解得 t≤ 4 15 . 答： 当 t≤ 4 15 时， 甲没有超过乙 . * 6. 解： （ 1 ） 由图象知， 640+16a-2×14a=520. ∴a=10. （ 2 ） 设当 10≤x≤30 时， y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+ b ， 由题意， 得 10k+b=520 ， 30k+b=0 0 . 解得 k=-26 ， b=780 0 . ∴y=-26x+780. 当 x=20 时， y=260 ， 即检票到第 20 min 时， 候车室排队等候检 票的旅客有 260 人 . （ 3 ） 设需同时开放 n 个检票口， 则由题意知 14n×15≥640+16×15. 解得 n≥4 4 21 . ∵n 为整数， ∴n=5. 答： 至 少需要同时开放 5 个检票口 . 7. （ 1 ） 300 240 （ 2 ） 解： 设购买 x 件这种文化用品， 当 0＜x≤40 时， 在 甲超市的购物金额为 10x 元， 在乙超市的购物金额为 0.8×10x=8x （元） . ∵10x＞ 8x ， ∴ 选择乙超市支付的费用较少 . 当 x＞40 时， 在甲超市的购物金额为 400+ 0.6 （ 10x-400 ） = （ 6x+160 ） 元， 在乙超市的购物金额为 0.8×10x=8x （元） . 若 6x+ 160＞8x ， 则 x＜80 ； 若 6x+160=8x ， 则 x=80 ； 若 6x+160＜8x ， 则 x＞80． 综上， 当购 买数量不足 80 件时， 选择乙超市支付的费用较少； 当购买数量为 80 件时， 选 择两超市支付的费用相同； 当购买数量超过 80 件时， 选择甲超市支付的费用较少 ． 8. 解： （ 1 ） 3 2 - 1 2 - 12 17 - 21 26 函数 y＝ 4-x 2 x 2 +1 的图象如图所示 . （ 2 ） 答案不唯一， 如： ① 该函数图象是轴对称图形， 对称轴是 y 轴； ② 该函数在自变 量的取值范围内有最大值， 当 x＝0 时， 函数取得最大值 4 ； ③ 当 x＜0 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x＞0 时， y 随 x 的增大而减小 . （ 3 ） 由图象可知， 不等式 - 3 2 x+3＞ 4-x 2 x 2 +1 的解集为 x＜-0.3 （估计值） 或 1＜x＜2． -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 x y O y=- 3x 2 +3 第 8 题答图 184