第2章 5 一元一次不等式与一次函数(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(北师大版）

八年级下册 （北师大版）数学 12. 8.8 13. C 14. C 提示： 设改搭公交车上下班 x 天， 则 （ 0.17-0.04 ）· 20x＞800. 解得 x＞ 4 000 13 . 又 ∵x 为正整数， ∴x 的最小值为 308. 15. 解： 设可购买这种型号的水基灭火器 x 个， 则购买干粉灭火器 （ 50-x ） 个 . 根据题意， 得 540x+380 （ 50-x ） ≤21 000. 解得 x≤12.5. ∵x 为整数， ∴x 取最大值为 12. 答： 最多可购买这种型号的水基灭火器 12 个 ． 16. 解： （ 1 ） 设甲池的排水速度是 x m 3 /h. 根据题意， 得 36-3x=2 （ 36-3×8 ） ． 解得 x=4． 答： 甲池的排水速度是 4 m 3 /h. （ 2 ） 设排水 t h ， 根据题意， 得 36×2- （ 4+8 ） t≥24． 解得 t≤4． 答： 最多可以排水 4 h． 5 一元一次不等式与一次函数 （第 1 课时） 1. <2 2. x＜－2 x＞0 3. x≤ 1 2 x>3 4. x＞2 5. A 6. D 7. 解： （ 1 ） a=1 ， b=1. （ 2 ） x≥-2. 8. 解： （ 1 ） ∵3a-12≥0 ， ∴a≥4. （ 2 ） ∵y=-x+ （ 3a-12 ） 的图象经过点 P （ －1 ， 4 ）， ∴4=- （ -1 ） +3a-12. ∴a=5. ∴ 一次 函数的表达式为 y=-x+3 ， 则 -x+3>-7 ， 解得 x＜10. 9. （ 1 ） x=2 x＞0 （ 2 ） x<1 （ 3 ） 解： 当 x＜1 时， mx＜kx+b ； 当 x=1 时， mx=kx+b ； 当 x＞1 时， mx＞kx+b. 10. 解： （ 1 ） y 租 =0.5x ， y 会 =0.3x+20. （ 2 ） 租书卡每天收费 0.5 元， 会员卡每天收费 0.3 元 . （ 3 ） 由图象可知， 一年 租书时间在 100 天以内， 用租书卡省钱； 租书时间为 100 天时， 两种卡租书费用一样； 租书时间超过 100 天用会员卡省钱 . * 11. 解： 设招聘甲工种的工人为 x 人， 则招聘乙工种的工人为 （ 150－x ） 人， 则 150－x≥2x ， 则 x≤50. 设付给聘请的 工人月工资总数为 y 元， 则有 y=1 800x+3 000 （ 150－x ） =－1 200x+450 000 ， ∵k=-1 200<0 ， ∴y 随 x 的增大而减小 . ∴ 当 x= 50 时， 每月所支付的工资最少， 即甲工种招聘 50 人， 乙工种招聘 100 人时， 可使得每月所支付的工资最少 . 12. x<-1 13. x<1 14. B 15. 解： （ 1 ） 员工生产 30 件产品时， 两种方案付给的报酬一样多 . （ 2 ） 设方案二中 y 关于 x 的函数表达式为 y 1 ＝ k 1 x+b 1 ， 分别将点 （ 0 ， 600 ）， （ 30 ， 1 200 ） 代入 y 1 ＝k 1 x+b 1 中， 得 30k 1 +b 1 =1 200 ， b 1 =600 0 . 解得 k 1 =20 ， b 1 =600 0 . ∴ 方案二中 y 关于 x 的 函数表达式为 y 1 ＝20x+600. （ 3 ） 设方案一中 y 关于 x 的函数表达式为 y 2 ＝k 2 x ， 将 （ 30 ， 1 200 ） 代入 y 2 ＝k 2 x 中， 得 1 200= 30k 2 . 解得 k 2 =40. ∴ 方案一中 y 关于 x 的函数表达式为 y 2 ＝40x. 当 y 1 ＜y 2 时， 即 20x+600＜40x ， 解得 x＜30 时， 选择方案二； 当 y 1 ＞y 2 时， 即 20x+600＞40x ， 解得 x＞30 时， 选择方案一； 当 y 1 ＝y 2 时， 即 20x+600＝40x ， 解得 x=30 时， 选择两个方案都 可以 . 答： 若员工的生产件数 x 的取值范围是 0≤x＜30 ， 选择方案二； 若生产件数为 30 ， 选择两个方案都可以； 若生产 件数 x 的取值范围是 x＞30 ， 选择方案一 ． 5 一元一次不等式与一次函数 （第 2 课时） 1. 解： 设需要中国结 x 个， 则直接购买需 10x 元， 自制需 （ 4x+200 ） 元 . 分两种情况： ① 若 10x<4x+200 ， 解得 x< 33 1 3 ， 即不多于 33 个时， 到商店购买更便宜 . ② 若 10x>4x+200 ， 解得 x>33 1 3 ， 即大于 33 个时， 自己制作更便宜 . 2. 解 ： （ 1 ） 由题意 ， 得 y 甲 ＝60x. 当 x≤2 时 ， y 乙 ＝65x ， 当 x ＞2 时 ， y 乙 ＝65 ×2 +65 ×0.8 （ x -2 ） ＝52x +26. ∴y 乙 ＝ 65x （ x≤2 ）， 52x+26 （ x>2 ） 0 . （ 2 ） 当 60x＜52x+26 时， 即 x< 13 4 时， 到甲商店购买樱桃更省钱； 当 60x＝52x+26 时， 即 x＝ 13 4 时， 到 甲、 乙两家商店购买樱桃花费相同； 当 60x＞52x+26 ， 即 x＞ 13 4 时， 到乙商店购买樱桃更省钱 ． 3. 解： y 甲 =9x ， y 乙 =8x+5 000 ， x≥3 000 ； 当 x=5 000 时， 两种购买方案的费用相同； 当 x>5 000 时， 乙种方案费用 少； 3 000≤x<5 000 时， 甲种方案费用少 . * 4. 解： （ 1 ） 设 y 1 =k 1 x+80 ， 把点 （ 1 ， 95 ） 代入， 可得 95=k 1 +80 ， 解得 k 1 =15 ， ∴y 1 =15x+80 （ x≥0 ）； 设 y 2 =k 2 x ， ∵ 直 线 y 2 =k 2 x 过点 （ 1 ， 30 ）， 可得 30=k 2 ， 即 k 2 =30 ， ∴y 2 =30x （ x≥0 ） . （ 2 ） 当 y 1 =y 2 时， 15x+80=30x ， 解得 x= 16 3 ； 当 y 1 ＞y 2 时， 15x+80＞30x ， 解得 x＜ 16 3 ； 当 y 1 ＜y 2 时， 15x+80＜30x ， 解得 x＞ 16 3 . ∴ 当租车时间为 16 3 小时， 选择甲、 乙公司一样合 算； 当租车时间小于 16 3 小时时， 选择乙公司合算； 当租车时间大于 16 3 小时时， 选择甲公司合算 . 5. 解： （ 1 ） 设这条公路的长为 x km ， 由题意， 得 x-8 10 - x 40 = 6 60 . 解得 x=12. 答： 这条公路的长为 12 km. （ 2 ） 由题 意， 得 y 1 =40t ， y 2 =10t+8. （ 3 ） 由题意， 得 40t≤10t+8. 解得 t≤ 4 15 . 答： 当 t≤ 4 15 时， 甲没有超过乙 . * 6. 解： （ 1 ） 由图象知， 640+16a-2×14a=520. ∴a=10. （ 2 ） 设当 10≤x≤30 时， y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+ b ， 由题意， 得 10k+b=520 ， 30k+b=0 0 . 解得 k=-26 ， b=780 0 . ∴y=-26x+780. 当 x=20 时， y=260 ， 即检票到第 20 min 时， 候车室排队等候检 票的旅客有 260 人 . （ 3 ） 设需同时开放 n 个检票口， 则由题意知 14n×15≥640+16×15. 解得 n≥4 4 21 . ∵n 为整数， ∴n=5. 答： 至 少需要同时开放 5 个检票口 . 7. （ 1 ） 300 240 （ 2 ） 解： 设购买 x 件这种文化用品， 当 0＜x≤40 时， 在 甲超市的购物金额为 10x 元， 在乙超市的购物金额为 0.8×10x=8x （元） . ∵10x＞ 8x ， ∴ 选择乙超市支付的费用较少 . 当 x＞40 时， 在甲超市的购物金额为 400+ 0.6 （ 10x-400 ） = （ 6x+160 ） 元， 在乙超市的购物金额为 0.8×10x=8x （元） . 若 6x+ 160＞8x ， 则 x＜80 ； 若 6x+160=8x ， 则 x=80 ； 若 6x+160＜8x ， 则 x＞80． 综上， 当购 买数量不足 80 件时， 选择乙超市支付的费用较少； 当购买数量为 80 件时， 选 择两超市支付的费用相同； 当购买数量超过 80 件时， 选择甲超市支付的费用较少 ． 8. 解： （ 1 ） 3 2 - 1 2 - 12 17 - 21 26 函数 y＝ 4-x 2 x 2 +1 的图象如图所示 . （ 2 ） 答案不唯一， 如： ① 该函数图象是轴对称图形， 对称轴是 y 轴； ② 该函数在自变 量的取值范围内有最大值， 当 x＝0 时， 函数取得最大值 4 ； ③ 当 x＜0 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x＞0 时， y 随 x 的增大而减小 . （ 3 ） 由图象可知， 不等式 - 3 2 x+3＞ 4-x 2 x 2 +1 的解集为 x＜-0.3 （估计值） 或 1＜x＜2． -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 x y O y=- 3x 2 +3 第 8 题答图 184 八年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 已知一次函数 y=kx+b 与 y=mx+n 的图象如图所示 ． （ 1 ） 写出关于 x ， y 的方程组 y=kx+b ， y=mx+ + n 的解 . （ 2 ） 若 0＜kx+b＜mx+n ， 根据图象写出 x 的取值范围 ． 【分析】 （ 1 ） 根据方程组的解即为函数图象的交点坐标解答 . （ 2 ） 直观看出当 kx+b>0 时， x 的取值范围是 x<5 ， 当 y=mx+n 的 函数值大于 y=kx+b 的函数值时， x 的取值范围是 x>3 ， 即可确定当 0<kx+b<mx+n 时， x 的取值范围 . 【解答】 （ 1 ） ∵ 两个函数图象的交点坐标为 （ 3 ， 4 ）， ∴ 方程组 y=kx+b ， y=mx+ + n 的解是 x=3 ， y=4 + . （ 2 ） 由图可知， 当 0＜kx+b＜mx+n 时， x 的取值范围是 3＜x＜5． 【点拨】 本题主要考查了函数表达式与图象的关系， 满足表达式的点就在函数的图象上， 在函数图象上的点， 就一定满足函数表达式 ． 函数图象交点坐标为两个函数表达式组成的方 程组的解 ． 基础巩固 达标闯关 1. 一次函数 y=－3x+6 ， 当 x 时， 函数值 y>0. 2. 如图， 一次函数的图象与 x 轴交于点 （ -2 ， 0 ）， 与 y 轴交于点 0 ， 3 2 2 # . 当 y＜0 时， 自 变量 x 的取值范围是 ； 当 y＞1.5 时， x 的取值范围是 . 3. 如图， 根据图象回答： 2x-1≤0 的解集为 ， 2x-1>x+2 的解集为 . 4. 直线 y=-2x+b 与 x 轴交于点 （ 2 ， 0 ）， 则不等式 -2x+b<0 的解集是 . 5. 直线 l 1 ： y=k 1 x+b 与直线 l 2 ： y=k 2 x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示， 则关于 x 的不等式 k 2 x≥k 1 x+b 的解集为 （ ） A. x≤-1 B. x≥-1 C. x<-1 D. x>-1 y=kx+b y=mx+n x y O 4 6 3 5 例题图 5 一元一次不等式与一次函数 （第 1课时） x y O -1 y=2x-1 y=x+2 1 2 3 5 4 3 2 1 y x l 1 l 2 3 -1 O 第 3 题图 第 5 题图 第 2 题图 O -1 -1-2-3 1 2 3 x y 3 2 1 52 一元一次不等式与一元一次不等式组 第二章 6. 已知关于 x 的不等式 ax＋1＞0 （ a≠0 ） 的解集是 x＜1 ， 则直线 y＝ax＋1 与 x 轴的交点坐 标是 （ ） A. （ 0 ， 1 ） B. （ －1 ， 0 ） C. （ 0 ， －1 ） D. （ 1 ， 0 ） 7. 如图， 已知函数 y＝ax－3 和 y＝3x＋b 的图象交于点 P （ －2 ， －5 ）， 根据图象回答下列问题 . （ 1 ） 求 a 和 b 的值 . （ 2 ） 不解不等式， 请直接写出 3x＋b≥ax－3 的解集 . 能力提升 综合拓展 8. 已知关于 x 的一次函数 y=-x+ （ 3a-12 ） 的图象与 y 轴交点的纵坐标是非负数 . （ 1 ） 求 a 的取值范围 . （ 2 ） 已知一次函数的图象经过点 P （ －1 ， 4 ）， 如果要使 y>-7 ， 求 x 的取值范围 . 9. 已知一次函数 y=kx+b （ k ， b 为常数， 且 k≠0 ） 的图象如图 1 所示 ． （ 1 ） 方程 kx+b=0 的解为 ， 不等式 kx+b＜4 的解集为 . （ 2 ） 如图 2 ， 正比例函数 y=mx （ m 为常数， 且 m≠0 ） 与一次函数 y=kx+b 相交于点 P ， 则不等式 kx+b>mx 的解集为 . （ 3 ） 在 （ 2 ） 的条件下， 比较 mx 与 kx+b 的大小 . y O y=3x+b 2 y=ax-3 x 2 -2 第 7 题图 P -5 x y O A B 4 2 x y O A B 4 21 P 图 1 图 2 第 9 题图 53 八年级下册 （北师大版）数学 10. 某图书馆开展两种方式的租书业务： 一种是使用会员卡， 另一种是使用租书卡 . 使 用这两种卡租书， 租书金额 y （元） 与租书时间 x （天） 之间的关系如图所示 . （ 1 ） 分别写出用租书卡和会员卡租书金额 y （元） 与租书时间 x （天） 之间的函数关系式 . （ 2 ） 两种租书方式每天租书的收费分别是多少元？ （ 3 ） 若两种租书卡的使用期限均为一年， 根据图象回答， 在这一年中如何选取这两种租 书方式更省钱？ * 11. 某工程队要招聘甲、 乙两工种的工人 150 人， 甲、 乙两工种的工人的月工资分别为 1 800 元和 3 000 元 . 现要求乙工种的人数不少于甲工种人数的 2 倍， 问甲、 乙两工种各招聘 多少人时， 可使得每月所支付的工资最少 . 第 10 题图 y/ 元 50 20 O 100 租书卡 会员卡 x/ 天 54 一元一次不等式与一元一次不等式组 第二章 中考链接 真题演练 12． （ 2022 ·扬州） 如图， 函数 y=kx+b （ k＜0 ） 的图象经过点 P ， 则关于 x 的不等式 kx+b＞ 3 的解集为 ． 13． （ 2022 ·西宁） 如图， 直线 y 1 =k 1 x 与直线 y 2 =k 2 x+b 交于点 A （ 1 ， 2 ） ． 当 y 1 ＜y 2 时， x 的取 值范围是 ． 14. （ 2024 ·广东） 已知不等式 kx+b＜0 的解集是 x＜2 ， 则一次函数 y＝kx+b 的图象大致是 （ ） 15. （ 2023 ·丽水） 我市 “共富工坊” 问海借力， 某公司产品销售量得到大幅提升 ． 为促 进生产， 公司提供了两种付给员工月报酬的方案， 如图所示， 员工可以任选一种方案与公司 签订合同 ． 看图解答下列问题 . （ 1 ） 直接写出员工生产多少件产品时， 两种方案付给的报酬一样多 . （ 2 ） 求方案二中 y 关于 x 的函数表达式 . （ 3 ） 如果你是劳务服务部门的工作人员， 你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案？ 第 12 题图 第 13 题图 -1 3 O P x y x y O A 1 2 y 1 =k 1 x y 2 =k 2 x+b x/ 件 y/ 元 400 600 800 1 000 1 200 200 O 5040302010 60 方案一 方案二 第 15 题图 -3 x y O -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 3 2 1 -3 x y O -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 3 2 1 -3 x y O -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 3 2 1 -3 x y O -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 3 2 1 CBA D 55