第2章 4 一元一次不等式(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(北师大版）

八年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 已知 A 地在 B 地的西方， 且有一条以 A ， B 两地为端点的东西向的直线道路， 其全长为 400 km． 今在此道路上距离 A 地 12 km 处设置第一个广告牌， 之后每往东 27 km 就设置一个广告牌 ． 若某车从此道路上距离 A 地 19 km 处出发， 往东直行 320 km 后才停止， 则此车在停止前经过的最后一个广告牌距离 A 地多少千米？ 【分析】 由于在此道路上距离 A 地 12 km 处设置第一个广告牌， 之后每往东 27 km 就设 置一个广告牌， 所以第 n 个广告牌距离 A 地 ［ 12+27 （ n-1 ）］ km. 设此车停止前经过的最后 一个广告牌为第 x 个广告牌， 根据题意列出不等式 12+27 （ x-1 ） ≤320+19 ， 将不等式的最大 整数解代入 12+27 （ x-1 ）， 计算即可 ． 【解答】 设此车停止前经过的最后一个广告牌为第 x 个广告牌 . 根据题意， 得 12+27 （ x-1 ） ≤320+19. 解这个不等式， 得 x≤13 1 9 . 即此车停止前经过的最后一个广告牌为第 13 个广告牌， 则 12+27× （ 13-1 ） =336 （ km ）， 所以此车在停止前经过的最后一个广告牌距离 A 地 336 km． 【点拨】 本题考查了一元一次不等式的应用 . 解题关键是要读懂题目的意思， 根据题目给 出的条件， 找出合适的不等关系列出不等式， 再求解 ． 基础巩固 达标闯关 1. 若代数式 2 （ x－2 ）的值不大于 3 （ x+2 ） +5 的值， 则 x 的取值范围是 . 2. 某容器盛着水， 先用去 4 L ， 又用去余下的 1 2 之后， 剩下的水不少于 5 L ， 那么最初 容器内所盛的水至少应有 L. 3. 在 a g 糖水中含有 b g 糖 （ a>b>0 ）， 现在加入 m g 糖， 则糖水变得更甜了 . 这一实际 问题说明了数学上的一个不等关系式， 则这个不等关系式为 . 4. 若 x 与 7 的和的 2 倍大于 10 ， 那么 x 应满足 （ ） A. x＞－2 B. x＞－7 C. x＞ 3 2 D. x＜－2 5. 某单位需要购买分类垃圾桶 6 个， 市场上有 A 型和 B 型两种分类垃圾桶， A 型分类 垃圾桶 500 元 / 个， B 型分类垃圾桶 550 元 / 个， 总费用不超过 3100 元， 则不同的购买方式 A B 0 12 39 66 例题图 4 一元一次不等式 （第 2课时） 48 一元一次不等式与一元一次不等式组 第二章 有（ ） A． 2 种 B． 3 种 C． 4 种 D． 5 种 6. 三个连续自然数的和小于 12 ， 试写出满足条件的所有自然数组 . 7. 某幢楼电梯的最大承载量为 1 000 kg ， 超过这个承载量时电梯的警示铃就会响 . 在电 梯里装上 700 kg 的装修材料后， 5 名装修工人走进了电梯， 这时， 电梯的警示铃响了， 这说 明已超过了电梯的最大承载量， 那么这 5 名工人的平均体重超过了多少千克？ 能力提升 综合拓展 8. 小英妈妈去市场买菜， 平均每小时走 4 km ， 出发 10 min 后， 天突然下起雨来， 小英 要想在 4 min 之内骑自行车将雨伞送到妈妈手中， 小英的平均速度至少是多少？ （下雨时小 英妈妈仍然保持原来的平均速度） 9. 某校师生春游， 如果单独租用 45 座客车若干辆， 刚好坐满； 如果单独租用 60 座客 车， 可少租一辆， 且余 30 个空座位 . （ 1 ） 求该校参加春游的人数 . （ 2 ） 已知 45 座客车的租金为每辆 1 000 元， 60 座客车的租金为每辆 1 200 元， 这次春 游同时租这两种客车， 其中 60 座客车比 45 座客车多租 1 辆， 这样租金比单独租用一种客车 节省， 按这种方案租车需要租金多少元？ 49 八年级下册 （北师大版）数学 10. 洪涝灾害给人民的生活带来了极大的影响 ． “一方有难， 八方支援”， 某市筹集了大 量的生活物资， 用 A ， B 两种型号的货车分两批运往受灾严重的地区 ． 具体运输情况如下： （ 1 ） 求 A ， B 两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资 . （ 2 ） 该市后续又筹集了 62.4 t 生活物资， 现已联系了 3 辆 A 型号货车 ． 试问至少还需联 系多少辆 B 型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地 . 11. 某工厂为贯彻落实 “绿水青山就是金山银山” 的发展理念， 投资组建了日废水处理 量为 m t 的废水处理车间， 对该厂工业废水进行无害化处理 ． 但随着工厂生产规模的扩大， 该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务， 需要将超出日废水处理量的废水交给第三方 企业处理 ． 已知该车间处理废水每天需固定成本 30 元， 并且每处理一吨废水还需其他费用 8 元； 将废水交给第三方企业处理， 每吨需支付 12 元 ． 根据记录， 某日， 该厂产生工业废水 35 t ， 共花费废水处理费 370 元 ． （ 1 ） 求该车间的日废水处理量 m. （ 2 ） 为实现可持续发展， 走绿色发展之路， 工厂合理控制了生产规模， 使得每天废水处 理的平均费用不超过 10 元 /t ， 试计算该厂一天产生的工业废水量的范围 ． 第一批 第二批 A 型货车的辆数 / 辆 1 2 B 型货车的辆数 / 辆 3 5 累计运输物资的吨数 /t 28 50 备注： 第一批、 第二批每辆货车均满载 50 一元一次不等式与一元一次不等式组 第二章 中考链接 真题演练 12． （ 2023 ·广东） 某商品进价 4 元， 标价 5 元出售， 商家准备打折销售， 但其利润率不 能少于 10% ， 则最多可打 折 ． 13. （ 2024 ·安徽） 已知实数 a ， b 满足 a-b+1＝0 ， 0＜a+b+1＜1 ， 则下列判断正确的是 （ ） A． - 1 2 ＜a＜0 B． 1 2 ＜b＜1 C． -2＜2a+4b＜1 D． -1＜4a+2b＜0 14. （ 2024 ·台湾） 小玲搭飞机旅游， 已知她本次所搭飞机产生的碳排放量为 800 公斤， 为了弥补这些碳排放量， 她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车 ． 依据下面的信息， 假设 小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车来回的总距离皆为 20 公里， 则与驾驶汽车相比， 要使 她上下班减少产生的碳排放量超过她所搭飞机产生的碳排放量， 那么她至少要改搭公交车的 天数是 （ ） A． 310 天 B． 309 天 C． 308 天 D． 307 天 15. （ 2024 ·山西） 为加强校园消防安全， 学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭 火器共 50 个 ． 其中水基灭火器的单价为 540 元 / 个， 干粉灭火器的单价为 380 元 / 个 ． 若学校购 买这两种灭火器的总价不超过 21 000 元， 则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 16. （ 2024 ·辽宁） 甲、 乙两个水池注满水， 蓄水量均为 36 m 3 ． 工作期间需同时排水， 乙 池的排水速度是 8 m 3 /h． 若排水 3 h ， 则甲池剩余水量是乙池剩余水量的 2 倍 ． （ 1 ） 求甲池的排水速度 ． （ 2 ） 工作期间， 如果这两个水池剩余水量的和不少于 24 m 3 ， 那么最多可以排水几小时？ 每人使用各种交通工具每移动 1 公里产生的碳排放量 ● 自行车： 0 公斤 ● 公交车： 0.04 公斤 ● 摩托车： 0.05 公斤 ● 汽车： 0.17 公斤 51 参 考 答 案 ∴AD＝ AF 2 +DF 2 姨 ＝ 6 2 +6 2 姨 ＝6 2 姨 ． 第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组 1 不 等 关 系 1. m－2＜0 2. 0＜a≤100 3. 1 2 （ y 2 -9 ） ≥0 4. D 5. B 6. A 7. C 8. A 9. （ 1 ） 4a＞b+5 （ 2 ） 1 2 m-n 2 <0 （ 3 ） 3x+1<2x-5 （ 4 ） a （ a+b ） ＜ （ 3a－1 ） 2 10. 解： （ 1 ） 如一个长与宽分别是 a cm 和 b cm 的矩形的周长不超过 15 cm. （ 2 ） 如小明身上共有 40 元， 他到水 果超市买了 5 元 1 kg 的提子 x kg ， 3 元 1 kg 的苹果 y kg. 11. 6x－2 （ 19－x ） ＞75. 12. 0<x- x 2 + x 4 + x 7 7 % <6. 13. 20×5+15x≥300. 14. D 15. A 2 不等式的基本性质 1. ＞ ＞ 2. ＞ ＜ 3. ＜ ＜ 4. ＜4 5. B 6. A 7. B 8. D 9. （ 1 ） x＞3 （ 2 ） x＞5 （ 3 ） x＞ 5 18 （ 4 ） x> 2 3 （ 5 ） x＜80 （ 6 ） x＞0.075 10. 解： （ 1 ） 正确 . 不等式两边都乘以 3 ， 再同时减去 c. （ 2 ） 正确 . 不等式的两边都除以 －2 ， 再同时加 3. 11. 10a+b＞10b+a ， a＞b. 12. 解： 解法不正确 . 不等式两边同时除以 m 时， 没有考虑 m 的符号 . 正确解答： 当 m＞0 时， 得 x＜－1 ； 当 m＜0 时， 得 x＞－1. * 13. 解： （ 1 ） ∵x-y=3 ， ∴x=3+y. ∵x＞2 ， ∴3+y＞2. ∴y＞-1. 又 ∵y＜1 ， ∴-1＜y＜1. ① 同理得 2＜x＜4 ， ② ∴①+② 得 -1+ 2＜x+y＜1+4 ， ∴1＜x+y＜5. （ 2 ） ∵x-y=a ， ∴x=a+y. ∵x＜-1 ， ∴a+y＜-1. ∴y＜-1-a. ∵y＞1 ， ∴1＜y＜-a-1. ∴2a+2＜-2y＜-2. ① 同理 得 1+a＜x＜-1 ， ② ∴①+② 得 3a+3＜x-2y＜-3． 14. A 15. C 16. D 3 不等式的解集 1. 1 ， 2 ， 3 2. x≤2 3. 6 4. x≤ 1 1-a 5. 答案不唯一， 如 x＜3.5 6. D 7. D 8. B 9. 略 . 10. x＜ － 5 3 ， 图略 . 11. 解： ∵ 不等式 （ a+1 ） x＞a+1 的解集是 x＜1 ， ∴a+1＜0 ， ∴a＜-1． 12． C 13． A 14． A 4 一元一次不等式 （第 1 课时） 1. ② 2. 4 无数 4 3. ＜5 4. C 5. B 6. A 7. D 8. （ 1 ） x≥－ 9 2 （ 2 ） x＜7 （ 3 ） x≤－2 （ 4 ） x＞3 （ 5 ） x≤5 （ 6 ） y＞ 1 5 图略 . 9. 解： 两人均错误 . 正确的解答过程如下： 去分母， 得 6x- （ x+2 ） ＜2 （ 2-x ） . 去括号， 得 6x-x-2＜4-2x. 移项， 得 6x-x+ 2x＜4+2. 合并同类项， 得 7x＜6. 两边都除以 7 ， 得 x＜ 6 7 ． 10. 解： x＞－3 ， ∴x=－2 ， a=4. 11. 解： （ 1 ） （ -2 ） ※ 3 姨 = （ -2 ） 2 × 3 姨 - （ -2 ） × 3 姨 -3 3 姨 =4 3 姨 +2 3 姨 -3 3 姨 =3 3 姨 . （ 2 ） 由题意， 得 3※m≥-6 ， 则 9m-3m-3m≥-6 ， 解得 m≥-2. 图略 . 12. x＜1 13. 0≤m＜ 1 3 14. x＞8 m≤7 15. D 16. A 4 一元一次不等式 （第 2 课时） 1. x≥－15 2. 14 3. b a < b+m a+m （ a>b>0 ， m>0 ） 4. A 5. B 6. 0 ， 1 ， 2 ； 1 ， 2 ， 3 ； 2 ， 3 ， 4. 7. 解： 设这 5 名工人的平均体重为 x kg ， 得 5x+700>1 000. 解这个不等式， 得 x>60. 答： 这 5 名工人的平均体重超 过了 60 kg. 8. 解： 设小英的速度为 x km/h ， 则 1 15 x≥ 1 6 + 1 15 7 % ×4. 解得 x≥14. 答： 小英的平均速度至少是 14 km/h. 9. 解： （ 1 ） 设租用 45 座客车 a 辆， 则 45a=60 （ a-1 ） -30. 解得 a=6. 45a=270. 答： 该校参加春游的人数为 270 人 . （ 2 ） 设租用 45 座客车为 x 辆， 则 45x+60 （ x+1 ） ≥270. 解得 x≥2. 所以 x=2 ， 此时租金为 5 600 元 . 10. 解： （ 1 ） 设每辆 A 型号货车满载能运 x t 生活物资 ， 每辆 B 型号货车满载能运 y t 生活物资 ， 依题意 ， 得 x+3y=28 ， 2x+5y=50 0 . 解得 x=10 ， y=6 0 . 答： 每辆 A 型号货车满载能运 10 t 生活物资， 每辆 B 型号货车满载能运 6 t 生活物资 . （ 2 ） 设 还需联系 m 辆 B 型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地， 依题意， 得 10×3+6m≥62.4. 解得 m≥5.4. 又 ∵m 为 正整数， ∴m 的最小值为 6． 答： 至少还需联系 6 辆 B 型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地 . 11. 解： （ 1 ） ∵35×8+30=310 （元）， 310＜370 ， ∴m＜35． 依题意， 得 30+8m+12 （ 35-m ） =370. 解得 m=20． 答： 该车间的 日废水处理量为 20 t． （ 2 ） 设一天产生工业废水 x t ， 当 0＜x≤20 时 ， 8x+30≤10x. 解得 15≤x≤20 ； 当 x＞20 时 ， 12 （ x-20 ） +8×20+30≤10x. 解得 20＜x≤25． 综上所述， 该厂一天产生的工业废水量的范围为 15≤x≤25． 第 13 题答图 A B C D E 第 14 题答图 A B C D M N P E A B C D A B C D E F 图 1 第 15 题答图 图 2 183 八年级下册 （北师大版）数学 12. 8.8 13. C 14. C 提示： 设改搭公交车上下班 x 天， 则 （ 0.17-0.04 ）· 20x＞800. 解得 x＞ 4 000 13 . 又 ∵x 为正整数， ∴x 的最小值为 308. 15. 解： 设可购买这种型号的水基灭火器 x 个， 则购买干粉灭火器 （ 50-x ） 个 . 根据题意， 得 540x+380 （ 50-x ） ≤21 000. 解得 x≤12.5. ∵x 为整数， ∴x 取最大值为 12. 答： 最多可购买这种型号的水基灭火器 12 个 ． 16. 解： （ 1 ） 设甲池的排水速度是 x m 3 /h. 根据题意， 得 36-3x=2 （ 36-3×8 ） ． 解得 x=4． 答： 甲池的排水速度是 4 m 3 /h. （ 2 ） 设排水 t h ， 根据题意， 得 36×2- （ 4+8 ） t≥24． 解得 t≤4． 答： 最多可以排水 4 h． 5 一元一次不等式与一次函数 （第 1 课时） 1. <2 2. x＜－2 x＞0 3. x≤ 1 2 x>3 4. x＞2 5. A 6. D 7. 解： （ 1 ） a=1 ， b=1. （ 2 ） x≥-2. 8. 解： （ 1 ） ∵3a-12≥0 ， ∴a≥4. （ 2 ） ∵y=-x+ （ 3a-12 ） 的图象经过点 P （ －1 ， 4 ）， ∴4=- （ -1 ） +3a-12. ∴a=5. ∴ 一次 函数的表达式为 y=-x+3 ， 则 -x+3>-7 ， 解得 x＜10. 9. （ 1 ） x=2 x＞0 （ 2 ） x<1 （ 3 ） 解： 当 x＜1 时， mx＜kx+b ； 当 x=1 时， mx=kx+b ； 当 x＞1 时， mx＞kx+b. 10. 解： （ 1 ） y 租 =0.5x ， y 会 =0.3x+20. （ 2 ） 租书卡每天收费 0.5 元， 会员卡每天收费 0.3 元 . （ 3 ） 由图象可知， 一年 租书时间在 100 天以内， 用租书卡省钱； 租书时间为 100 天时， 两种卡租书费用一样； 租书时间超过 100 天用会员卡省钱 . * 11. 解： 设招聘甲工种的工人为 x 人， 则招聘乙工种的工人为 （ 150－x ） 人， 则 150－x≥2x ， 则 x≤50. 设付给聘请的 工人月工资总数为 y 元， 则有 y=1 800x+3 000 （ 150－x ） =－1 200x+450 000 ， ∵k=-1 200<0 ， ∴y 随 x 的增大而减小 . ∴ 当 x= 50 时， 每月所支付的工资最少， 即甲工种招聘 50 人， 乙工种招聘 100 人时， 可使得每月所支付的工资最少 . 12. x<-1 13. x<1 14. B 15. 解： （ 1 ） 员工生产 30 件产品时， 两种方案付给的报酬一样多 . （ 2 ） 设方案二中 y 关于 x 的函数表达式为 y 1 ＝ k 1 x+b 1 ， 分别将点 （ 0 ， 600 ）， （ 30 ， 1 200 ） 代入 y 1 ＝k 1 x+b 1 中， 得 30k 1 +b 1 =1 200 ， b 1 =600 0 . 解得 k 1 =20 ， b 1 =600 0 . ∴ 方案二中 y 关于 x 的 函数表达式为 y 1 ＝20x+600. （ 3 ） 设方案一中 y 关于 x 的函数表达式为 y 2 ＝k 2 x ， 将 （ 30 ， 1 200 ） 代入 y 2 ＝k 2 x 中， 得 1 200= 30k 2 . 解得 k 2 =40. ∴ 方案一中 y 关于 x 的函数表达式为 y 2 ＝40x. 当 y 1 ＜y 2 时， 即 20x+600＜40x ， 解得 x＜30 时， 选择方案二； 当 y 1 ＞y 2 时， 即 20x+600＞40x ， 解得 x＞30 时， 选择方案一； 当 y 1 ＝y 2 时， 即 20x+600＝40x ， 解得 x=30 时， 选择两个方案都 可以 . 答： 若员工的生产件数 x 的取值范围是 0≤x＜30 ， 选择方案二； 若生产件数为 30 ， 选择两个方案都可以； 若生产 件数 x 的取值范围是 x＞30 ， 选择方案一 ． 5 一元一次不等式与一次函数 （第 2 课时） 1. 解： 设需要中国结 x 个， 则直接购买需 10x 元， 自制需 （ 4x+200 ） 元 . 分两种情况： ① 若 10x<4x+200 ， 解得 x< 33 1 3 ， 即不多于 33 个时， 到商店购买更便宜 . ② 若 10x>4x+200 ， 解得 x>33 1 3 ， 即大于 33 个时， 自己制作更便宜 . 2. 解 ： （ 1 ） 由题意 ， 得 y 甲 ＝60x. 当 x≤2 时 ， y 乙 ＝65x ， 当 x ＞2 时 ， y 乙 ＝65 ×2 +65 ×0.8 （ x -2 ） ＝52x +26. ∴y 乙 ＝ 65x （ x≤2 ）， 52x+26 （ x>2 ） 0 . （ 2 ） 当 60x＜52x+26 时， 即 x< 13 4 时， 到甲商店购买樱桃更省钱； 当 60x＝52x+26 时， 即 x＝ 13 4 时， 到 甲、 乙两家商店购买樱桃花费相同； 当 60x＞52x+26 ， 即 x＞ 13 4 时， 到乙商店购买樱桃更省钱 ． 3. 解： y 甲 =9x ， y 乙 =8x+5 000 ， x≥3 000 ； 当 x=5 000 时， 两种购买方案的费用相同； 当 x>5 000 时， 乙种方案费用 少； 3 000≤x<5 000 时， 甲种方案费用少 . * 4. 解： （ 1 ） 设 y 1 =k 1 x+80 ， 把点 （ 1 ， 95 ） 代入， 可得 95=k 1 +80 ， 解得 k 1 =15 ， ∴y 1 =15x+80 （ x≥0 ）； 设 y 2 =k 2 x ， ∵ 直 线 y 2 =k 2 x 过点 （ 1 ， 30 ）， 可得 30=k 2 ， 即 k 2 =30 ， ∴y 2 =30x （ x≥0 ） . （ 2 ） 当 y 1 =y 2 时， 15x+80=30x ， 解得 x= 16 3 ； 当 y 1 ＞y 2 时， 15x+80＞30x ， 解得 x＜ 16 3 ； 当 y 1 ＜y 2 时， 15x+80＜30x ， 解得 x＞ 16 3 . ∴ 当租车时间为 16 3 小时， 选择甲、 乙公司一样合 算； 当租车时间小于 16 3 小时时， 选择乙公司合算； 当租车时间大于 16 3 小时时， 选择甲公司合算 . 5. 解： （ 1 ） 设这条公路的长为 x km ， 由题意， 得 x-8 10 - x 40 = 6 60 . 解得 x=12. 答： 这条公路的长为 12 km. （ 2 ） 由题 意， 得 y 1 =40t ， y 2 =10t+8. （ 3 ） 由题意， 得 40t≤10t+8. 解得 t≤ 4 15 . 答： 当 t≤ 4 15 时， 甲没有超过乙 . * 6. 解： （ 1 ） 由图象知， 640+16a-2×14a=520. ∴a=10. （ 2 ） 设当 10≤x≤30 时， y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+ b ， 由题意， 得 10k+b=520 ， 30k+b=0 0 . 解得 k=-26 ， b=780 0 . ∴y=-26x+780. 当 x=20 时， y=260 ， 即检票到第 20 min 时， 候车室排队等候检 票的旅客有 260 人 . （ 3 ） 设需同时开放 n 个检票口， 则由题意知 14n×15≥640+16×15. 解得 n≥4 4 21 . ∵n 为整数， ∴n=5. 答： 至 少需要同时开放 5 个检票口 . 7. （ 1 ） 300 240 （ 2 ） 解： 设购买 x 件这种文化用品， 当 0＜x≤40 时， 在 甲超市的购物金额为 10x 元， 在乙超市的购物金额为 0.8×10x=8x （元） . ∵10x＞ 8x ， ∴ 选择乙超市支付的费用较少 . 当 x＞40 时， 在甲超市的购物金额为 400+ 0.6 （ 10x-400 ） = （ 6x+160 ） 元， 在乙超市的购物金额为 0.8×10x=8x （元） . 若 6x+ 160＞8x ， 则 x＜80 ； 若 6x+160=8x ， 则 x=80 ； 若 6x+160＜8x ， 则 x＞80． 综上， 当购 买数量不足 80 件时， 选择乙超市支付的费用较少； 当购买数量为 80 件时， 选 择两超市支付的费用相同； 当购买数量超过 80 件时， 选择甲超市支付的费用较少 ． 8. 解： （ 1 ） 3 2 - 1 2 - 12 17 - 21 26 函数 y＝ 4-x 2 x 2 +1 的图象如图所示 . （ 2 ） 答案不唯一， 如： ① 该函数图象是轴对称图形， 对称轴是 y 轴； ② 该函数在自变 量的取值范围内有最大值， 当 x＝0 时， 函数取得最大值 4 ； ③ 当 x＜0 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x＞0 时， y 随 x 的增大而减小 . （ 3 ） 由图象可知， 不等式 - 3 2 x+3＞ 4-x 2 x 2 +1 的解集为 x＜-0.3 （估计值） 或 1＜x＜2． -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 x y O y=- 3x 2 +3 第 8 题答图 184