第2章 2 不等式的基本性质-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(北师大版）

八年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 某农户， 某一天上午以每斤 x 元的价格从批发市场买了 45 斤黄金瓜， 下午他又 以每斤 y 元的价格买了 35 斤黄金瓜， 第二天他以每斤 x+y 2 元的价格将所进的黄金瓜全部卖 出， 结果他发现自己没赚钱反而亏本了 ． 请你根据上述信息推导 x ， y 的大小关系 . 【分析】 根据题意， 得到不等关系： 买黄金瓜每斤的平均价 ＞ 卖黄金瓜每斤的平均价， 然 后根据单价 = 总价 ÷ 数量， 用买黄金瓜花的钱除以购买的斤数， 求出买黄金瓜每斤的平均价， 再根据买黄金瓜每斤的平均价 ＞ 卖黄金瓜每斤的平均价， 应用不等式的性质判断出 x ， y 的关 系即可 ． 【解答】 根据题意， 可得 45x+35y 45+35 ＞ x+y 2 ， ∴ 45x+35y 80 ＞ x+y 2 ． ∴ 45x+35y 80 ×80＞ x+y 2 ×80． ∴45x+35y＞40x+40y． 整理不等式， 得 x＞y． 【点拨】 本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式模型， 读懂题意， 抓住关键词语， 弄清运算的先后顺序和不等关系， 把文字语言的不等关系转化为用符号表示的不等式， 再运 用不等式的基本性质解决问题 ． 基础巩固 达标闯关 1. 若 m+3＞n+3 ， 则 m－2 n－2 ； 若 x＜1 ， 则 －2x+2 0. 2. 若 x+2＞5 ， 则 x 3 ； 若 －3x＞9 ， 则 x －3. 3. 设 a＞b ， 则 － a 7 － b 7 ， 3－2a 3－2b. 4. 当 x 时， 代数式 x－4 是负数 . 5. 如果 a＞b ， 则下列不等式不成立的是 （ ） A. a+2＞b+2 B. 2－a＞2－b C. 2a＞2b D. a－2＞b－2 6. 若 2a+3b-1>3a+2b ， 则 a ， b 的大小关系为 （ ） A. a<b B. a>b C. a=b D. 不能确定 7. 若 x＜y ， 则 ax＞ay 的条件是 （ ） A. a＞0 B. a＜0 C. a≥0 D. a≤0 8. 若 a<b ， 则下列不等式成立的是 （ ） A. am<bm B. am>bm C. a |m| < b |m| D. a-m<b-m 2 不等式的基本性质 40 一元一次不等式与一元一次不等式组 第二章 9. 利用不等式的性质将下列不等式化为 “ x＜a ” 或 “ x＞a ” 的形式 . （ 1 ） x<2x-3. （ 2 ） -4x<-20. （ 3 ） 3x- 1 2 > 1 3 . （ 4 ） 6-3 （ x+1 ） <1. （ 5 ） 1- x 8 >-9. （ 6 ） 0.4-5x<3x-0.2. 能力提升 综合拓展 10. 下列不等式变形是否正确？ 若正确， 说明是怎样变过来的； 若不正确， 请说明理由 . （ 1 ） 若 a＞b ， 则 3a－c＞3b－c. （ 2 ） 若 a＜b ， 则 3－ 1 2 a ＞3－ 1 2 b. 11. 有一个两位数， 个位上的数字为 a （ a≠0 ）， 十位上的数字是 b ， 如果把这个两位数 的个位数字和十位数字对调， 得到的两位数大于原来的两位数， 请你用不等式的基本性质说 明 a 与 b 哪个大 . 12. 张老师给同学们出了一道题目： “利用不等式基本性质将关于 x 的不等式 mx＋m＜0 （ m 是不为 0 的常数） 化成 ‘ x＞a ’ 或 ‘ x＜a ’ 的形式 . ” 小颖的解法如下： 将不等式的两边同时减去 m ， 得 mx＜－m ， 不等式两边同时除以 m ， 得 x＜－1. 小颖的解答过程是否正确？ 如果正确， 请说明每步的依据； 如果不正确， 请说明错误原 因， 并给出正确的解答过程 . 41 八年级下册 （北师大版）数学 * 13. 阅读下列材料： 解答 “已知 x-y=2 ， 且 x＞1 ， y＜0 ， 试确定 x+y 的取值范围” 有如下解法： 解： ∵x-y=2 ， ∴x=y+2. 又 ∵x＞1 ， ∴y+2-2＞1-2 ， 即 y＞-1. 又 ∵y＜0 ， ∴-1＜y＜0. ① ∵y=x-2 ， y＜0 ， ∴x-2+2＜0+2. ∴1＜x＜2. ② 由 ①+② 得 -1+1＜y+x＜0+2 ， ∴x+y 的取值范围是 0＜x+y＜2． 请仿照上述方法， 回答下列问题 ． （ 1 ） 已知 x-y=3 ， 且 x＞2 ， y＜1 ， 求出 x+y 的取值范围 . （ 2 ） 已知 y＞1 ， x＜-1 ， 若 x-y=a 成立， 求 x-2y 的取值范围 ． （结果用含 a 的式子表示） 中考链接 真题演练 14. （ 2024 ·长春） 不等关系在生活中广泛存在 ． 如图， a ， b 分别表示两位同学的身高， c 表示台阶的高度 ． 图中两人的对话体现的数学原理是 （ ） A. 若 a＞b ， 则 a+c＞b+c B． 若 a＞b ， b＞c ， 则 a＞c C． 若 a＞b ， c＞0 ， 则 ac＞bc D． 若 a＞b ， c＞0 ， 则 a c ＞ b c 15. （ 2024 ·上海） 如果 x＞y ， 那么下列式子正确的是 （ ） A． x+5≤y+5 B． x-5＜y-5 C． 5x＞5y D． -5x＞-5y 16. （ 2024 ·苏州） 若 a＞b-1 ， 则下列结论一定正确的是 （ ） A． a+1＜b B． a-1＜b C． a＞b D． a+1＞b 第 14 题图 a b a c 我比你高 c b 你还是比我高 42 参 考 答 案 ∴AD＝ AF 2 +DF 2 姨 ＝ 6 2 +6 2 姨 ＝6 2 姨 ． 第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组 1 不 等 关 系 1. m－2＜0 2. 0＜a≤100 3. 1 2 （ y 2 -9 ） ≥0 4. D 5. B 6. A 7. C 8. A 9. （ 1 ） 4a＞b+5 （ 2 ） 1 2 m-n 2 <0 （ 3 ） 3x+1<2x-5 （ 4 ） a （ a+b ） ＜ （ 3a－1 ） 2 10. 解： （ 1 ） 如一个长与宽分别是 a cm 和 b cm 的矩形的周长不超过 15 cm. （ 2 ） 如小明身上共有 40 元， 他到水 果超市买了 5 元 1 kg 的提子 x kg ， 3 元 1 kg 的苹果 y kg. 11. 6x－2 （ 19－x ） ＞75. 12. 0<x- x 2 + x 4 + x 7 7 % <6. 13. 20×5+15x≥300. 14. D 15. A 2 不等式的基本性质 1. ＞ ＞ 2. ＞ ＜ 3. ＜ ＜ 4. ＜4 5. B 6. A 7. B 8. D 9. （ 1 ） x＞3 （ 2 ） x＞5 （ 3 ） x＞ 5 18 （ 4 ） x> 2 3 （ 5 ） x＜80 （ 6 ） x＞0.075 10. 解： （ 1 ） 正确 . 不等式两边都乘以 3 ， 再同时减去 c. （ 2 ） 正确 . 不等式的两边都除以 －2 ， 再同时加 3. 11. 10a+b＞10b+a ， a＞b. 12. 解： 解法不正确 . 不等式两边同时除以 m 时， 没有考虑 m 的符号 . 正确解答： 当 m＞0 时， 得 x＜－1 ； 当 m＜0 时， 得 x＞－1. * 13. 解： （ 1 ） ∵x-y=3 ， ∴x=3+y. ∵x＞2 ， ∴3+y＞2. ∴y＞-1. 又 ∵y＜1 ， ∴-1＜y＜1. ① 同理得 2＜x＜4 ， ② ∴①+② 得 -1+ 2＜x+y＜1+4 ， ∴1＜x+y＜5. （ 2 ） ∵x-y=a ， ∴x=a+y. ∵x＜-1 ， ∴a+y＜-1. ∴y＜-1-a. ∵y＞1 ， ∴1＜y＜-a-1. ∴2a+2＜-2y＜-2. ① 同理 得 1+a＜x＜-1 ， ② ∴①+② 得 3a+3＜x-2y＜-3． 14. A 15. C 16. D 3 不等式的解集 1. 1 ， 2 ， 3 2. x≤2 3. 6 4. x≤ 1 1-a 5. 答案不唯一， 如 x＜3.5 6. D 7. D 8. B 9. 略 . 10. x＜ － 5 3 ， 图略 . 11. 解： ∵ 不等式 （ a+1 ） x＞a+1 的解集是 x＜1 ， ∴a+1＜0 ， ∴a＜-1． 12． C 13． A 14． A 4 一元一次不等式 （第 1 课时） 1. ② 2. 4 无数 4 3. ＜5 4. C 5. B 6. A 7. D 8. （ 1 ） x≥－ 9 2 （ 2 ） x＜7 （ 3 ） x≤－2 （ 4 ） x＞3 （ 5 ） x≤5 （ 6 ） y＞ 1 5 图略 . 9. 解： 两人均错误 . 正确的解答过程如下： 去分母， 得 6x- （ x+2 ） ＜2 （ 2-x ） . 去括号， 得 6x-x-2＜4-2x. 移项， 得 6x-x+ 2x＜4+2. 合并同类项， 得 7x＜6. 两边都除以 7 ， 得 x＜ 6 7 ． 10. 解： x＞－3 ， ∴x=－2 ， a=4. 11. 解： （ 1 ） （ -2 ） ※ 3 姨 = （ -2 ） 2 × 3 姨 - （ -2 ） × 3 姨 -3 3 姨 =4 3 姨 +2 3 姨 -3 3 姨 =3 3 姨 . （ 2 ） 由题意， 得 3※m≥-6 ， 则 9m-3m-3m≥-6 ， 解得 m≥-2. 图略 . 12. x＜1 13. 0≤m＜ 1 3 14. x＞8 m≤7 15. D 16. A 4 一元一次不等式 （第 2 课时） 1. x≥－15 2. 14 3. b a < b+m a+m （ a>b>0 ， m>0 ） 4. A 5. B 6. 0 ， 1 ， 2 ； 1 ， 2 ， 3 ； 2 ， 3 ， 4. 7. 解： 设这 5 名工人的平均体重为 x kg ， 得 5x+700>1 000. 解这个不等式， 得 x>60. 答： 这 5 名工人的平均体重超 过了 60 kg. 8. 解： 设小英的速度为 x km/h ， 则 1 15 x≥ 1 6 + 1 15 7 % ×4. 解得 x≥14. 答： 小英的平均速度至少是 14 km/h. 9. 解： （ 1 ） 设租用 45 座客车 a 辆， 则 45a=60 （ a-1 ） -30. 解得 a=6. 45a=270. 答： 该校参加春游的人数为 270 人 . （ 2 ） 设租用 45 座客车为 x 辆， 则 45x+60 （ x+1 ） ≥270. 解得 x≥2. 所以 x=2 ， 此时租金为 5 600 元 . 10. 解： （ 1 ） 设每辆 A 型号货车满载能运 x t 生活物资 ， 每辆 B 型号货车满载能运 y t 生活物资 ， 依题意 ， 得 x+3y=28 ， 2x+5y=50 0 . 解得 x=10 ， y=6 0 . 答： 每辆 A 型号货车满载能运 10 t 生活物资， 每辆 B 型号货车满载能运 6 t 生活物资 . （ 2 ） 设 还需联系 m 辆 B 型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地， 依题意， 得 10×3+6m≥62.4. 解得 m≥5.4. 又 ∵m 为 正整数， ∴m 的最小值为 6． 答： 至少还需联系 6 辆 B 型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地 . 11. 解： （ 1 ） ∵35×8+30=310 （元）， 310＜370 ， ∴m＜35． 依题意， 得 30+8m+12 （ 35-m ） =370. 解得 m=20． 答： 该车间的 日废水处理量为 20 t． （ 2 ） 设一天产生工业废水 x t ， 当 0＜x≤20 时 ， 8x+30≤10x. 解得 15≤x≤20 ； 当 x＞20 时 ， 12 （ x-20 ） +8×20+30≤10x. 解得 20＜x≤25． 综上所述， 该厂一天产生的工业废水量的范围为 15≤x≤25． 第 13 题答图 A B C D E 第 14 题答图 A B C D M N P E A B C D A B C D E F 图 1 第 15 题答图 图 2 183