第1章自我检测-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(北师大版）

八年级下册 （北师大版）数学 ∴ 小李求的是十三边形 ． 10. C 11. B 第一章自我检测 1. C 2. C 3. D 4. B 5. D 6. A 7. 15° 8. 24 9. 9 cm ， 9 cm ， 6 cm 或 7 cm ， 7 cm ， 10 cm 10. 30° 或 150° 11. 13 cm 12. 15 13. 60° 14. ２４ 5 15. 证明： 连接 AD. ∵∠A=90° ， AB=AC ， ∴∠B=∠C=45°. ∵D 是 BC 边上的中点， ∴BD=DC ， AD⊥BC ， ∠BAD=∠CAD =45° ， ∴AD=BD ， ∠B=∠DAF. 又 ∵BE=AF ， ∴△ADF≌△BDE. ∴∠BDE=∠ADF. ∵∠ADE+∠BDE=90° ， ∴∠ADE+∠ADF= 90°. ∴∠EDF=90° ， 即 ED⊥FD. 16. 证明： ∵BF∥AC ， ∴∠C=∠CBF. ∵BC 平分 ∠ABF ， ∴∠ABC=∠CBF. ∴∠C=∠ABC. ∴AB=AC. ∵AD 是 △ABC 的角 平分线， ∴BD=CD ， AD⊥BC. ∵∠EDC=∠BDF ， ∴△CDE≌△BDF. ∴CE=BF. ∵AE=2BF ， ∴AC=3BF. 17. （ 1 ） 证明： ∵AD 平分 ∠BAC ， DE⊥AB ， DF⊥AC ， ∴DE=DF. 又 ∵AD=AD ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF. ∴AE=AF. （ 2 ） 证明： 连接 DB ， DC ， ∵DG 垂直平分 BC ， ∴BD=DC. 又 ∵DE=DF ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF. ∴BE=CF. （ 3 ） 解： 令 AE=x ， 则 BE=8－x ， ∴CF=8－x ， AF=AC+CF=4+ （ 8－x ） =12－x. ∴x=12－x ， ∴x=6 ， 即 AE=6. 18. （ 1 ） 证明： ∵△ABC 和 △ADE 是等边三角形 . ∴AB=AC ， AD=AE ， ∠BAC=∠DAE=60°. ∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+ ∠CAE ， 即 ∠BAE=∠CAD. ∴△ABE≌△ACD. ∴∠ABE=∠ACD ， ∠BGC=180°－∠CBE－∠BCD=180°－ （ ∠CBE+∠BCA+ ∠ACD ） = 60°. （ 2 ） ∠BGC=90°. 证法与 （ 1 ） 相同 . （ 3 ） ∠BGC=α. 19. 解： （ 1 ） 图中有 5 个等腰三角形， EF=BE+CF. （ 2 ） 还有两个等腰三角形， 为 △BEO ， △CFO ， EF=BE+CF. 理 由： ∵EF∥BC ， ∴∠EOB=∠CBO. 又 ∵∠EBO=∠CBO ， ∴∠EOB=∠EBO. ∴BE=EO. 同理可证 OF=CF ， ∴EF=EO+OF=BE+ CF. （ 3 ） 有等腰三角形 BEO 、 等腰三角形 CFO ， 此时 EF=BE－CF. 理由 ： ∵OE∥BC. ∴∠CBO=∠EOB. 又 ∵∠EBO= ∠CBO ， ∴∠EBO=∠EOB. ∴BE=EO. 同理可证 OF=FC ， ∴BE=EO=EF+FO=EF+CF. ∴EF=BE－CF. 第二章自我检测 1. B 2. B 3. C 4. A 5. C 6. B 7. C 8. B 9. 3a-2y≥-1 10. 3 11. >9 12. m<0 13. a<3 14. m<2 15. 0 16. 7<x<17 17. （ 1 ） x≥15 （ 2 ） x< 7 5 （ 3 ） x>3 （ 4 ） -1≤x<9. 图略 . 18. m<4. 19. 解： 设每天安排 x 小组， 则 1.8 2 · 5x≥15-1.8 ， 解得 x≥2 14 15 ， ∴ 至少安排 3 个小组 . 20. 解 ： （ 1 ） 设购买一个足球需要 x 元 ， 购买一个篮球需要 y 元 ， 则购买一个排球也需要 x 元 ， 由题意得 2x+3y=340 ， 4x+5y=600 0 . 解得 x=50 ， y=80 0 . 答： 购买一个足球需要 50 元， 购买一个篮球需要 80 元 . （ 2 ） 设该中学购买篮球 m 个， 由题 意得 80m+50 （ 100-m ） ≤6 000 ， 解得 m≤33 1 3 ， ∵m 是整数， ∴m 最大可取 33. 答： 这所中学最多可以购买篮球 33 个 . 21. 解： （ 1 ） 根据题意， 得 （ 10×2+2×3 ） ×6×30=4 680 （名）， ∴ 安检所需要的总费用为 （ 2×3 000+2×2×200+3×500+ 3×1×200 ） ×6=53 400 （元） . 答： 在规定时间内可通过 4 680 名人员， 安检所需要的总费用为 53 400 元 . （ 2 ） 设每个入口处 有 n 个通道安放门式安检仪， 而其余 （ 5-n ） 个通道均为手持安检仪 （ 0≤n≤5 的整数）， 根据题意， 得 ［ 10n+2 （ 5-n ）］ × 6×30≥7 000 ， 解不等式， 得 n≥3 11 18 . ∵0≤n≤5 的整数， ∴n=4 或 n=5. 安检所需要的总费用： w= ［ 3 000n+2n×200+500 （ 5-n ） + （ 5-n ） ×1×200 ］ ×6=16 200n+21 000. 当 n 越小 ， 安检所需要的总费用越少 ， ∴n=4 时 ， 安检所需要的总费用最少 ， 为 85 800. 即： 每个入口处， 有 4 个通道安放门式安检仪， 而其余 1 个通道均为手持安检仪， 安检所需要的总费用最少 . 第三章自我检测 1. B 2. C 3. B 4. C 5. A 6. B 7. 1 8. 4π cm 9. 551 m 2 10. 96 11. 150° 12. 110° 13. 共有 4 种作法， 可以作图形如图所示 . 14. 解： （ 1 ） 略 . （ 2 ） 略 . （ 3 ） 答案不唯一， 如可以 O 为原点， 画平面直角坐标系来描述 △A 2 B 2 C 2 的位置 . 15. 解： （ 1 ） 由图象可知， 点 A （ 2 ， 3 ）， 点 D （ -2 ， -3 ）， 点 B （ 1 ， 2 ）， 点 E （ -1 ， -2 ）， 点 C （ 3 ， 1 ）， 点 F （ -3 ， -1 ）； 对应点的坐标特征为横坐标、 纵坐标都互为相反数 . （ 2 ） 通过旋转变换得到 △DEF ， △DEF 与 △ABC 是中心对称， 对称中心是原点 O. （ 3 ） 由 （ 2 ） 可知， a+3+2a=0 ， 4-b+2b-3=0 ， 解 得 a=-1 ， b=-1. 16. 解： （ 1 ） 略 . （ 2 ） 略 . （ 3 ） 点 P 的坐标为 16 5 ， ， * 0 . 17. 解： （ 1 ） ∵△DCO 和 △ABO 都是等边三角形， 且点 O 是线段 AD 的中点， ∴OD=OC=OB=OA ， ∠COD=∠BOA= 60° ， ∠COB=180°-∠COD-∠BOA=60°. ∴∠DOB=120°. ∴∠BDO=∠DBO=30°. 同理： ∠CAO=30° ， ∴∠AED=180°-∠BDO- ∠CAO=120° . ∴∠AEB=180°－∠DEA=60° . （ 2 ） ∵△DCO 和 △ABO 都是等边三角形 ， ∴OD=OC ， OB=OA ， ∠COD= ∠BOA=60° . ∴∠COD+∠COB=∠BOA+∠COB ， 即 ∠DOB=∠AOC. ∴△BOD≌△AOC. ∴∠CAO=∠DBO ， ∠AEB=180°- （ ∠ABE+∠BAE ） =180°- （ ∠ABO+∠DBO+∠BAE ） =180°- （ ∠ABO+∠BAO ） . ∵∠ABO=∠BAO=60° ， ∴∠AEB=180°-60°-60° =60°. 18. 解 ： （ 1 ） = （ 2 ） 成立 . 理由如下 ： 由 （ 1 ） 知 AD＝AE ， 根据旋转的性质 ， 得 ∠DAB＝∠EAC. ∵AB＝AC ， ∴ △DAB≌△EAC （ SAS ）， ∴DB＝CE. （ 3 ） ∵ 将 △BAP 绕点 A 顺时针旋转 90° 得到 △CAE ， ∴△APB≌△AEC. ∴AE＝AP＝2 ， EC＝BP＝1 ， ∠PAE＝90°. ∴∠AEP＝∠APE＝45°. 在 Rt△PAE 中， 由勾股定理得 PE＝2 2 姨 . 在 △PEC 中， PE 2 ＝ （ 2 2 姨 ） 2 ＝8 ， CE 2 ＝BP 2 ＝1 ， PC 2 ＝3 2 ＝9. ∴PE 2 +CE 2 ＝PC 2 . ∴△PEC 是直角三角形 . ∴∠PEC＝90° . ∴∠AEC＝135° . 又 ∵△APB≌△AEC ， ∴ ∠BPA＝∠CEA＝135°． 第四章自我检测 1. D 2. C 3. B 4. D 5. B 6. B 7. 5a 2 b 8. b+c -b-c 9. ±24xy 3x±4y 10. -12 11. ±4 12. x （ x+2 ）（ x-2 ） 13. 40 提示： 原式 =5 ［（ x+y ） 2 -2xy ］ . 14. （ 1 ） （ x-y-2 ）（ x-y+2 ） （ 2 ） （ m+n ） 2 （ m-n ） 2 （ 3 ） （ x+3 ） 2 （ x 2 -4x-9 ） （ 4 ） （ a+2b ） 2 （ a-2b ） 2 （ 5 ） （ m－ 1 ）（ 2m－3 ） 2 （ 6 ） （ x－1 ） 4 15. （ 1 ） 4 000 000 （ 2 ） 500 16. 解： 答案不唯一 . 选择多项式： 1 2 x 2 +x－1 ， 1 2 x 2 +3x+1. 做加法运算： 1 2 x 2 +x- - - 1 + 1 2 x 2 +3x+ ， - 1 ＝x 2 +4x＝x （ x+4 ） . 选择 ① ② ③ ④ 第 13 题答图 194 一、 选择题 （每题 2 分， 共 12 分） 1. 如图， ∠A=15° ， AB=BC=CD=DE=EF ， 那么 ∠FEM 等于 （ ） A. 60° B. 70° C. 75° D. 90° 2. 如图， △ABC≌△AEF ， AB＝AE ， ∠B＝∠E ， 则对于结论： ①AC＝AF ； ②∠FAB＝ ∠EAB ； ③EF＝BC ； ④∠EAB＝∠FAC. 其中正确结论的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图， 点 D 在 AB 上， 点 E 在 AC 上， 且 ∠B＝∠C ， 那么补充下列一个条件后， 仍 无法判定 △ABE≌△ACD 的是 （ ） A. AD＝AE B. AB＝AC C. BE＝CD D. ∠AEB＝∠ADC 4. 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于 （ ） A. 顶角 B. 顶角的一半 C. 底角的一半 D. 底角的 2 倍 5. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45° ， 那么这个三角形的顶角为 （ ） A. 45° B. 90° C. 135° D. 135° 或 45° 6. 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， AC=2BC ， 在直线 BC 或 AC 上取 一点 P ， 使得 △PAB 为等腰三角形， 则符合条件的点 P 共有 （ ） A. 8 个 B. 7 个 C. 6 个 D. 5 个 二、 填空题 （每题 3 分， 共 24 分） 7. 在 △ABC 中， AB=AC ， ∠A=50° ， AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 D ， 垂足为点 E ， 则 ∠DBC 的度数是 . 8. 在 △ABC 中， AB=AC ， AD⊥BC ， 垂足为点 D ， 若 △ABC 的周长为 64 ， △ABD 的 周长为 56 ， 则 AD 的长为 . M NA B D F E C A B F E C A B D E C 第 2 题图 第 3 题图第 1 题图 A B C 第 6 题图 第一章自我检测 （时间： 60 分钟 总分： 100 分） 第一章自我检测 数学八年级下册 （北师大版） 149 八年级下册 （北师大版）数学 9. 若等腰三角形的周长为 24 cm ， 其中两边的差是 3 cm ， 则这个三角形的三条边 长分别为 . 10. 若等腰三角形的腰长为 4 ， 腰上的高为 2 ， 则此等腰三角形的顶角为 . 11. 现有两根木棒， 其长分别为 5 cm ， 12 cm ， 现要再选一根木棒组成面积最大的三 角形， 则第三根木棒长为 . 12. 如图， 一棵大树在一次强台风中从离地面 5 m 处折断倒下， 倒下部分与地面成 30° 夹角， 这棵大树在折断前的高度为 m. 13. 如图， C 为线段 AB 上的一点， 分别以 AC ， CB 为一边作等边三角形 ACD 和等边 三角形 CBE ， AE 交 CD 于点 M ， BD 交 CE 于点 N ， 则 ∠CNM= . 14. 在 △ABC 中， AB=AC=5 ， BC=6 ， 若点 P 在边 AC 上移动， 则 BP 的最小值是 . 三、 证明题 （第 15 ， 16 题各 11 分， 第 17 题 12 分， 共 34 分） 15. 如图， 在 △ABC 中， ∠A=90° ， AB=AC ， D 是 BC 边上的中点， E ， F 分别是 AB ， AC 上的点， 且 BE=AF. 求证： ED⊥FD. 16. 如图， AD 是 △ABC 的角平分线， DE⊥AC ， 垂足为 E ， BF∥AC 交 ED 的延长线 于点 F ， 若 BC 恰好平分 ∠ABF ， AE=2BF. 求证： AC=3BF. M N A B D E C P A B C 30° 第 13 题图第 12 题图 第 14 题图 F A B C D E 第 16 题图 A B D F E C 第 15 题图 150 17. 如图， 在 △ABC 中， AB=8 cm ， AC=4 cm ， ∠BAC 的平分线 AD 与 BC 的垂直平 分线 DG 交于点 D ， 过点 D 的直线 DE⊥AB 于点 E ， DF⊥AC 于点 F （或 AC 的延长线） . （ 1 ） 求证： AE=AF. （ 2 ） 求证： BE=CF. （ 3 ） 求 AE 的长 . 四、 探究题 （每题 15 分， 共 30 分） 18. 如图 1 ， 等边三角形 ABC 和等边三角形 ADE 有一公共顶点 A ， 连接 BE ， DC 交于 点 G. （ 1 ） 求证： ∠BGC=60°. （ 2 ） 如图 2 ， 若 △ABC 和 △ADE 都为等腰直角三角形， 观察图形写出结论并加以 证明 . （ 3 ） 如图 3 ， 若 △ABC 和 △ADE 是顶角均为 α 的两个等腰三角形， 你能得到什么样 的结论？ 请直接写出结论 . 第 17 题图 G A B D E C G A B D E C G A B D E C 第 18 题图 图 1 图 2 图 3 G A B D F E C 第一章自我检测 151 八年级下册 （北师大版）数学 19. （ 1 ） 如图 1 ， 在 △ABC 中， AB=AC ， ∠ABC ， ∠ACB 的平分线交于点 O ， 过点 O 作 EF∥BC 交 AB ， AC 于点 E ， F. 图中有几个等腰三角形？ 猜想 EF 与 BE ， CF 之间有怎 样的关系， 直接写出结论 . （ 2 ） 如图 2 ， 若 AB≠AC ， （ 1 ） 中的其他条件不变， 图中还有等腰三角形吗？ 如果 有， 请写出是哪些三角形 . （ 1 ） 问中猜想的 EF 与 BE ， CF 之间的关系还成立吗？ 请说明 理由 . （ 3 ） 如图 3 ， 若 △ABC 中 ∠ABC 的平分线 BO 与三角形外角平分线 CO 交于点 O ， 过 点 O 作 OE∥BC 交 AB 于点 E ， 交 AC 于点 F. 这时图中还有等腰三角形吗？ EF 与 BE ， CF 的关系又如何？ 说明你的理由 . O A B F E C O A B F E C A B F E C O 第 19 题图 图 1 图 2 图 3 152