第1章 4 角平分线(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(北师大版）

八年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， BD 为 ∠ABC 的平分线， AB=BC ， 点 P 在 BD 上， PM⊥AD 于点 M ， PN⊥ CD 于点 N． 求证： PM=PN． 【分析】 根据角平分线的定义可得 ∠ABD=∠CBD ， 然后利用 “ SAS ” 证明 △ABD 和 △CBD 全等， 进而得 ∠ADB=∠CDB ， 然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可证明 ． 【证明】 ∵BD 为 ∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠CBD． ∵AB=CB ， BD=BD ， ∴△ABD≌△CBD （ SAS ） ． ∴∠ADB=∠CDB． ∵ 点 P 在 BD 上， PM⊥AD ， PN⊥CD ， ∴PM=PN． 【点拨】 本题考查了角平分线的性质定理和判定定理、 全等三角形的判定与性质 . 通过三 角形全等得到 ∠ADB=∠CDB 是解题的关键 ． 此外， 还要注意应用角平分线的判定定理时， 一定满足两个条件， 即点在角的内部和该点到角的两边的距离相等 . 基础巩固 达标闯关 1. 如图 ， AO ， BO ， CO 分别平分 ∠BAC ， ∠ABC ， ∠ACB ， OD⊥BC ， △ABC 的 周 长 为 12 ， OD =3 ， 则 △ABC 的面积为 . 2. 如图， 一块直角三角形纸片， 两个直角边 AC= 6 cm ， BC=8 cm ， 现将 △ABC 沿直线 AD 折叠， 使 AC 落 在斜边 AB 边上， 且与 AE 重合， 则 CD= cm. 3. 如图， 在 △ABC 中， ∠C=80° ， ∠BAC 的平分线和 ∠ABC 的平分线相交于点 O ， 则 ∠OAC+∠OBC= . 4. 如图， 在 △ABC 中， ∠ABC ， ∠ACB 的平分线 的夹角为 α ， ∠ABC ， ∠ACB 外角的平分线的夹角为 β ， 则 α 与 β 的关系是 . 5. 如图， 在 △ABC 中， ∠C=90° ， AD 为 ∠CAB 的平分线， E 为 AB 上一点， AE=AC ， 连接 DE ， 则下列结论中错误的是 （ ） A. DE=CD B. ∠ADE=∠ADC C. ∠BDE=∠ADC D. ∠AED=90° 4 角平分线 （第 1课时） 例题图 A B C D M P N 第 2 题图第 1 题图 O A B C 第 3 题图 α β A B D C E 第 4 题图 A B D E C B C D O A A B D E C 第 5 题图 28 三角形的证明 第一章 6. 如图， 点 C 是 ∠AOB 平分线上一点， 点 D ， E 分别在 OA ， OB 上， 再添加下列其中一个条件不能得到 OD=OE 的是 （ ） A. ∠OCD=∠OCE B. ∠ODC=∠OEC C. DC=EC D. DE⊥OC ７. 如图， 已知直线 AB ， AC ， BC 表示相互交叉的公路， 现要建一个货 物中转站， 使它到三条公路的距离相等， 则可供选择的地址有 （ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 8. 如图， 在 △ABC 中， AD 是 ∠BAC 的平分线， DE ， DF 分别是 △ABD 和 △ACD 的高 . 求证： AD 垂直平分 EF. 9. 如图， 在 △ABC 中， AB=AC ， D 是 BC 的中点， DE⊥AB 于点 E ， DF⊥AC 于点 F. 求 证： ∠DEF=∠DFE. 能力提升 综合拓展 10. 如图， AB=CD ， △PAB 的面积与 △PCD 的面积相等 . 求证： OP 平分 ∠AOD. O A B D E C 第 6 题图 第 7 题图 A B C A B D F E C 第 8 题图 O P A B D C 第 10 题图 A B D F E C 第 9 题图 29 八年级下册 （北师大版）数学 11. 如图， 在 △ABC 中， ∠C=90° ， AD 是 ∠BAC 的平分线， DE⊥AB 于点 E ， 点 F 在 AC 上， 且 BD=DF． （ 1 ） 求证： CF=EB. （ 2 ） 试判断 AB 与 AF ， EB 之间存在的数量关系， 并说明理由 ． 12. 如图， 在 △ABC 中， 点 D 在 BC 边上， ∠BAD=100° ， ∠ABC 的平分线交 AC 于点 E ， 过点 E 作 EF⊥AB ， 垂足为 F ， 且 ∠AEF=50° ， 连接 DE． （ 1 ） 求证： DE 平分 ∠ADC. （ 2 ） 若 AB=7 ， AD=4 ， CD=8 ， 且 S △ACD =15 ， 求 △ABE 的面积 ． * 13. 已知 ∠MAN ， AC 平分 ∠MAN. （ 1 ） 在图 1 中， 若 ∠MAN=120° ， ∠ABC=∠ADC=90° ， 求证： AB+AD=AC. （ 2 ） 在图 2 中， 若 ∠MAN=120° ， ∠ABC+∠ADC=180° ， （ 1 ） 中的结论是否仍然成立？ 若成立， 请给出证明； 若不成立， 请说明理由 . （ 3 ） 在图 3 中， 若 ∠MAN=60° ， ∠ABC+∠ADC=180° ， 则 AB+AD= AC. A B C D E F 第 11 题图 A B C D E F 第 12 题图 M N A B D C M N A B D C M N A B D C 第 13 题图 图 3 图 2 图 1 30 三角形的证明 第一章 中考链接 真题演练 14. （ 2023 ·东营） 如图， 在 △ABC 中， 以点 C 为圆心， 任意长为半径作弧， 分别交 AC ， BC 于点 D ， E ； 分别以点 D ， E 为圆心， 大于 1 2 DE 的长为 半径作弧， 两弧交于点 F ； 作射线 CF 交 AB 于点 G． 若 AC=9 ， BC=6 ， △BCG 的面积为 8 ， 则 △ACG 的面积为 . 15． （ 2024 ·青海） 如图， OC 平分 ∠AOB ， 点 P 在 OC 上， PD⊥OB ， PD=2 ， 则点 P 到 OA 的距离是 （ ） A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 16. （ 2024 ·常州） 如图， 在纸上画有 ∠AOB ， 将两把直尺按 图示摆放， 直尺边缘的交点 P 在 ∠AOB 的平分线上， 则 （ ） A． d 1 与 d 2 一定相等 B． d 1 与 d 2 一定不相等 C． l 1 与 l 2 一定相等 D． l 1 与 l 2 一定不相等 17. （ 2023 ·赤峰） 如图， 点 M 在 ∠AOB 的边 OA 上 ． 求作： 射线 MN ， 使 MN∥OB ， 且点 N 在 ∠AOB 的平分线上 ． 作法： ① 以点 O 为圆心， 适当长为半径画弧， 分别交射线 OA ， OB 于点 C ， D． ② 分别以点 C ， D 为圆心， 大于 1 2 CD 长为半径画弧， 两弧在 ∠AOB 的内部相交于点 P． ③ 画射线 OP． ④ 以点 M 为圆心， OM 长为半径画弧， 交射线 OP 于点 N． ⑤ 画射线 MN． 射线 MN 即为所求 ． （ 1 ） 用尺规作图， 依作法补全图形 . （保留作图痕迹） （ 2 ） 根据以上作图过程， 完成下面的证明 ． 证明： ∵OP 平分 ∠AOB ， ∴∠AON＝ ． ∵OM＝MN ， ∴∠AON＝ （ ） ． （括号内填写推理依据） ∴∠BON＝∠ONM． ∴MN∥OB （ ） ． （填写推理依据） 第 14 题图 A B C D E F G A B C D O P 第 15 题图 l 1 cm l 2 cm A BO P d 1 cm d 2 cm 第 16 题图 第 17 题图 A B O M 31 八年级下册 （北师大版）数学 4 角平分线 （第 1 课时） 1. 18 2. 3 3. 50° 4. α+β=180° 5. C 6. C 7. D 8. 证明： ∵AD 是 ∠BAC 的平分线， DE⊥AB ， DF⊥AC ， ∴DE=DF. 又 ∵AD=AD ， ∴Rt△ADE ≌Rt△ADF. ∴AE=AF. ∴AD 垂直平分 EF. 9. 证明： 如图， 连接 AD. ∵AB=AC ， D 是 BC 的中点， ∴AD 是 ∠BAC 的平分线 . 又 ∵DE⊥AB ， DF⊥AC ， ∴DE=DF. ∴∠DEF=∠DFE. 10. 证明： 如图， 过点 P 作 PE⊥AB 于点 E ， PF⊥CD 于点 F ， ∵S △PAB =S △PCD ， ∴PE · AB=PF · CD. 又 ∵AB=CD ， ∴PE=PF. ∴OP 平分 ∠AOD. 11. （ 1 ） 证明： ∵AD 是 ∠BAC 的平分线， DE⊥AB ， ∠C=90° ， 即 CD⊥ AC ， ∴DC=DE. 在 Rt△FCD 和 Rt△BED 中， DC=DE ， DF=DB ， ∴Rt△FCD≌ Rt△BED （ HL ） . ∴CF=EB. （ 2 ） 解： AB=AF+2BE. 理由： 由 （ 1 ） 得， DC= DE ， 又 ∵AD=AD ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED （ HL ） . ∴AC=AE. ∴AB=AE+BE= AF+FC+BE=AF+2BE． 12. （ 1 ） 证明： 如图， 过点 E 作 EG⊥AD 于点 G ， EH⊥BC 于 点 H ， ∵EF⊥AB ， ∠AEF =50° ， ∴ ∠FAE=90°-50°=40°. ∵∠BAD=100° ， ∴∠CAD=180°- 100°-40°=40°. ∴∠FAE=∠CAD=40° ， 即 CA 为 ∠DAF 的平分线 . 又 ∵EF⊥AB ， EG⊥AD ， ∴EF=EG. ∵BE 是 ∠ABC 的平分 线 ， ∴EF=EH. ∴EG=EH. ∴ 点 E 在 ∠ADC 的平分线上 . ∴DE 平分 ∠ADC. （ 2 ） 解： 设 EG=x ， 由 （ 1 ） 得 EF=EH=EG=x. ∵S △ACD =15 ， AD=4 ， CD=8 ， ∴ 1 2 AD · EG+ 1 2 CD · EH=15 ， 即 4x+8x=30. 解得 x= 5 2 . ∴EF= 5 2 . ∴S △ABE = 1 2 AB · EF= 1 2 ×7× 5 2 = 35 4 ． * 13. （ 1 ） 证明： ∵AC 平分 ∠MAN ， ∠MAN=120° ， ∴∠CAB=∠CAD=60°. ∵∠ABC=∠ADC= 90° ， ∴∠ACB=∠ACD=30°. ∴AB=AD= 1 2 AC. ∴AB+AD=AC. （ 2 ） 成立 . 证明： 如图， 过点 C 分别作 AM ， AN 的垂线 ， 垂足分别为 E ， F. ∵AC 平分 ∠MAN ， ∴CE=CF. ∵∠ABC+∠ADC= 180° ， ∠ADC+∠CDE=180° ， ∴∠CDE=∠ABC. ∵∠CED=∠CFB=90° ， ∴△CED≌△CFB. ∴ED= FB. ∴AB+AD=AF+BF+AE-ED=AF+AE. 由 （ 1 ） AF+AE=AC ， ∴AB+AD=AC. （ 3 ） 3 姨 14. 12 15. C 16. A 17. （ 1 ） 如图 . （ 2 ） ∠NOB ∠ONM 等边对等角 内错角相等， 两直线平行 4 角平分线 （第 2 课时） 1. 25° 2. 5 3. C 4. C 5. B 6. 证明： ∵CD⊥AB ， ∴∠DAE+∠DFA=90°. ∵∠CEF=∠CFE ， ∠DFA=∠CFE ， ∴∠DAE+∠CEF=90°. 又 ∵∠ACB=90° ， ∴∠CAE+∠CEF=90°. ∴∠CAE=∠DAE. ∴AE 是 ∠CAD 的平分线 . 又 ∵GE⊥AB ， ∠ACB=90° ， ∴CE=EG. 7. 解： ∵O 为 △ABC 的三条角平分线的交点， OD⊥BC ， OE⊥AC ， OF⊥AB ， ∴OD=OE=OF. ∵∠ACB=90° ， BC=8 cm ， AC=6 cm ， ∴S △ABC = 1 2 BC · AC= 1 2 ×8×6=24 （ cm 2 ） . 由勾股定理 ， 得 AB＝ BC 2 +AC 2 姨 =10 cm. 设 OD=OE=OF=x cm ， ∵S △ABC =S △BOC +S △COA +S △BOA = 1 2 BC · OD+ 1 2 AC · OE+ 1 2 AB · OF ， ∴ 1 2 · 8x+ 1 2 · 6x+ 1 2 · 10x=12x. ∴12x=24. 解得 x=2. ∴OD=OE=OF=2 cm. 8. 解 ： 如图 ， ∵ 点 P 到 ∠ABC 两边的距离相等 ， ∴ 点 P 在 ∠ABC 的平分线上 . ∵ 线段 BD 为等腰三角形 PBD 的底边， ∴PB= PD. ∴ 点 P 在线段 BD 的垂直平分线上 . ∴ 点 P 是 ∠ABC 的平分线 与线段 BD 的垂直平分线的交点 . 9. 解： （ 1 ） 如图， 过点 D 作 DE⊥AB 于点 E ， DF⊥AC 于点 F ， ∵AD 是 △ABC 的角平分线， ∴DE=DF. ∴ S △ABD S △ACD = AB AC = 8 6 = 4 3 . （ 2 ） 如图， 作 AG⊥BC 于点 G ， ∵ S △ABD S △ACD = AB · DE AC · DF = BD · AG DC · AG ， ∴ BD CD = AB AC = 4 3 . （ 3 ） 由 （ 2 ） 知， BD CD = AB AC = 4 3 ， 且 BC=12 ， ∴ BD 12-BD = 4 3 . ∴BD= 48 7 . * 10. 证明： （ 1 ） 如图， 过点 C 作 CF⊥AD 交 AD 的延长线于点 F ， 又 ∵CE⊥AB ， AC 平分 ∠BAD ， ∴CE=CF． ∵∠B+∠ADC=180° ， ∠FDC+∠ADC=180° ， ∴∠B=∠FDC． 又 ∵ ∠CFD=∠CEB ， CE=CF ， ∴△BCE≌△DCF （ AAS ） . ∴BC=CD. （ 2 ） 由 （ 1 ） 得， △BCE≌ △DCF ， ∴BE =DF． ∵AC 平 分 ∠BAD ， ∴∠FAC =∠EAC． ∵∠CFD =∠CEA ， AC =AC ， ∴ △ACE≌△ACF （ AAS ） . ∴AE=AF=AD+DF=AD+BE. ∴AE-AD=BE. （ 3 ） ∵AE=AF ， BE= DF ， ∴AB+AD=AE+BE+AD=AE+DF+AD=AE+AF=2AE. （ 4 ） ∵AE=AF ， BE=DF ， ∴AB-AD= （ AE+BE ） - （ AF-DF ） =BE+DF= 2BE． 11. 6 12. D 13． （ 1 ） 解： 如图， AE 即为所求 . （ 2 ） 证明： ∵AE 平分 ∠BAC ， ∴∠BAE=∠DAE. ∵AB=AD ， AE=AE ， ∴△BAE≌ △DAE （ SAS ） . ∴DE=BE． 14. 解： 如图， 作 ∠DAB 的平分线 AM ， 以 E 为顶点， ED 为一边作 ∠DEN=∠C ， EN 交 AM 于点 P ， 点 P 即为所求 ． 15. 解： （ 1 ） 如图 1 ， AD 即为所求 ． （ 2 ） 如图 2 ， 过点 D 作 DE⊥AB 交 AB 于点 E ， 过点 D 作 DF⊥AC 交 AC 于 点 F ， ∴∠AED＝∠AFD＝90°. ∵AD 是 ∠BAC 的平分线， ∠BAC＝90° ， ∴DE＝DF ， ∠BAD＝∠CAD＝45°. ∴∠ADE＝∠ADF＝45°. ∴AE=DE ， AF=DF. ∴AE＝AF＝ED＝DF. 设 AE＝AF＝ED＝DF＝x ， ∴BE＝AB-AE＝7-x ， FC＝AC-AF＝5-x. 在 Rt△BED 中， BD 2 ＝ ED 2 +BE 2 ＝x 2 + （ 7-x ） 2 . 在 Rt△CFD 中， CD 2 ＝DF 2 +FC 2 ＝x 2 + （ 5-x ） 2 . ∵DB＝DC ， ∴DB 2 ＝DC 2 ， 即 x 2 + （ 7-x ） 2 ＝x 2 + （ 5-x ） 2 . 解得 x＝6. 第 9 题答图 A B D F E C O P E B D C 第 10 题答图 F A 第 17 题答图 A B O M C D P N 第 13 题答图 M N F A B D E C 第 12 题答图 A B C D E F H G 第 10 题答图 A B C D E F 第 8 题答图 C B D P A A B C D 第 9 题答图 E F G 182