4 第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理-【名校课堂】2024-2025学年八年级下册数学同步课时训练（北师大版 2012）

4角平分线 第1课时角平分线的性质定理及其逆定理 6.(2024·云南)已知AF是等腰三角形ABC底 基础题 边BC上的高.若点F到直线AB的距离为 知识点1角平分线的性质定理 3,则点F到直线AC的距离为 ( 1.(2024·青海改编)如图，O℃平分∠AOB,点 A B.2 C.3 P在OC上，PD⊥OB,PD=2,则点P到OA 知识点2角平分线的判定定理 的距离是 7.在△ABC中，两个完全一样的三角板按如图 B 所示的方式摆放，它们的一组对应直角边分 别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重 合于点M处，则点M一定在 () 第1题图 第2题图 A.∠A的平分线上 2.(本课时T1变式)如图，已知OC平分∠AOB, B.边AC的高上 P是OC上一点，PH⊥OB于点H,Q是射线 C.边BC的垂直平分线上 D.边AB的中线上 OA上的一个动点.若PH=5,则PQ长的最 小值为。 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 ∠CAB,DE⊥AB于点E.若CD=3,BD=5, 则BE的长为 第7题图 第8题图 8.如图，点O在一块直角三角板ABC上（其中 ∠ABC=30),OM⊥AB于点M,ON⊥BC于 点N.若OM=ON,则∠ABO= 9.如图所示，AD是△ABC的中线，DF⊥AC 第3题图 第4题图 DE⊥AB,垂足分别为F,E,BE=CF.求证：AD 4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DE⊥ 平分∠BAC AB.若AC=2,DE=1,则S△CD= 5.如图，P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA 于点C,PD⊥OB于点D,连接CD交OP于 点E,则下列结论不一定正确的是 A.PC=PD B.OC=OD C.OP垂直平分CD D.OE=CD 20 名拉常·数学·八年级下的 B中档题 C综合题- 10.(2024·常州)如图，在纸上画有∠AOB,将 14.感知： 两把直尺按图示摆放，两直尺边缘的交点P 如图1，AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°， 在∠AOB的平分线上，则 ∠B=90°，易知：DB=DC A.d与d一定相等 探究： B.d1与d一定不相等 (1)如图2，AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD= 180°，∠ABD<90°.求证：DB=DC. C.41与12一定相等 (2)如图3，AD平分∠BAC,BD=DC,AC≠ D.1与l2一定不相等 AB.求证：∠ABD+∠ACD=180° 11.如图，在x轴、y轴上分别截取OA,OB,使 OA=OB,再分别以点A,B为圆心、大于 号AB的长为半径画弧，两弧交于点卫.若点 P的坐标为(a,2a一3)，则a的值为 图3 1护 X 第11题图 第12题图 12.(2023·随州)如图，在Rt△ABC中，∠C 90°，AC=8,BC=6,D为AC上一点.若BD 是∠ABC的平分线，则AD=· 13.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°， E为BC的中点，且AE平分∠BAD.求证： (1)DE平分∠ADC (2)AB+CD=AD. 里日纳 与角平分线有关的双垂线模型 已知Q是∠MON的平分线上的一点. (1)如图1，若QE⊥OM,则可作QF⊥ ON,构造轴对称的全等.（如本课时T12) 图 2 (2)如图2，若题干中角平分线上的点到 角的两边的垂线段未知，常过已知点作两条 垂线段，如作QE⊥OM,QF⊥ON,从而证 QE=QF.(如本课时T14)》 名校理置 mcerHuwn 21·∠CBE=∠EPD-∠ADB=125-90'=35.:BE是∠ABC的 第2课时三角形三边的垂直平分线 平分线∠ABD2 CBE-70°.在R△ABD中，∠BAD=90 1.B2.A ∠ABD=90°-70°=20 6.D7.24 3解：：P为△ABC三边垂直平分线的交点，六PA=PC=PB .∠PAC=∠PCA=20°，∠PBC=∠PCB=30°，∠PAB=∠PBA. 8.解：能，理由如下ョ在R△ABC中，，AB=4cm,BC=3cm, ∠AC-90°，∴.AC-√+3-5(m.在△ACD中，，AD= ·∠PAB=7×(180-2×20°-2×30)=40. 13 cm,CD=12 cm.AC=5 e cm.AD =169.CD+AC =169. 4.55,到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上两 .AD=CD+A(,.∠ACD=g0, 点确定一条直线 9.A10.C1.13或12.A13.D14.D15.言 6解：图略. 7.D8.B9.C10.711.8 16边我建新金的8严Cm 12.解：图略，△ABC即为所求， 13.解：(1)ME是边AB的垂直平分线，NF是边AC的垂直平分 DE=DE,在R1△ABD'中，BD'=√AD-AB=VI0一6 线，.AE■BE,AF=CF..∠B■∠BAE,∠C=∠CAF 8(cm),,.CD=2cm设E=xcm,则DE=DE=(6-x)m.在 ∠BAC=120.∴.∠B+∠C=180-120=60.·∠BAE+ R△DCE中，D'E=EC+DC,即(6-r)=r+2,解得r ∠CAF= ∠B+∠C=60.∴.∠EAF=∠BAC (∠BAE+ ∠CAF)=120-60°=60°.(2)①由(1)得，BE=AE,FA=FC 3.4C= 3m. BC=BE+EF+FC=AE+EF+AF=12.②∠B+∠C=45 17.解：(1)13(2)√9(3)如图4，将容器的侧面展 ∠BAC=135.由(1)得，∠EAB=∠B,∠FAC=∠C.,.∠EAF ∠BAC-(∠EAB+∠FAC)=∠BAC-(∠B+ /)=135 开，作点A关于E下的对称点A,连接AB,则AB 的长即为最短距离.·AD=5cmBD=12一3+ 5一90.设AE=x,则EF=12-T-4=8x,在R△EAF中： AE十AF=EF,即r十4=(8一r).解得x=3.AF=4,AE 3=12(cm).A'B=√AD+BD=13m..蚂 蚊吃到饭粒需要爬行的最短路程为13m 44 =3,EF=5..Sa= 2AE·AF=号×3X4=6 第2课时直角三角形全等的判定 微专题3 症A65C2”-0.在R△AC和R 【例】解：(1)图路，分别作点A关于C和CD的对称点A‘,A°，连接 A'A”,交BC于点M.交CD于点N.则点M,N即为所求，(2)120 AB=BA. △BAD中，{BC-AD:R△ABC≌R△BADH).∴∠ABC 4角平分线 ∠BAD..0A=(0B. 第1课时角平分线的性质定理及其逆定理 8.答案不唯一，如：AB-ED9.ASA 1.2 4. 5.D6.C 7.A8.15 I0.证明：AB LBD,.EDLBD,ACLCE,∠B=∠D=∠A(CE= 9.正明：，AD是△ABC的中线，.BD=CD.DE⊥AB,DF⊥AC ,.∠DCE+∠DEC=90,∠BCA十∠DCE-90°.·∠BA= ·∠BED-∠CFD=90.:在R:△BDE和RL△CDF中， ∠BCA=∠DEC, ∠DEC,在△ABC和△CDE中，∠B=∠D, .△ABC≌ {BD-CP,R△BDE2R△CDF(HL.DE=DE,又：DE⊥ BE-CF. AB=CD. 1B,DF⊥AC,.AD平分∠BAC △CDE(AAS). 10.A11.312.5 11.A12.313.5或10 I3.证明：(1)过点E作EF⊥AD于点F,,∠B=90,AE平分 14.AD- AB2△A'B'C‘证明： /C-∠C-90,AD ∠DAB,BE=EF,:E是BC的中点，，BE=CE,∴.(E=EF A'D',AC=AC,,R1△ADC≌Rt△AD'C(HI.)..CD=CD 又∠C=90,EF⊥AD..DE平分∠ADC.(2)在Rt△ABE和 '=2CD'.,BC=BC,在 R△AFE中，能作：R△ABE2R△AFEH.AB AC-AC AF,同理可得，CD=FD.,∴，AB十CD=AF+FD=AD △ABC和△AB'C中， C= C,△AB≌△A'BC(SAS). 14.证明：(I)过点D作DE⊥AB于点E,DF LAC交AC的延长线于 BC-B'C 点F.:AD平分∠BAC,DE⊥AB.DF1AC.∴.DE=DF 15.解：(1)△CDE是等腰直角三角形.里由如下：∠ACB=90 ∠DEB /F=9O°../EBD+ ACD=180°， ACD+∠FCD CA=CB,∠ACD=∠BCE=90,BF⊥AD.ZBFD-90 =180.∴.∠EBD=∠FCD..△DEB2△DFC(AAS)..DB :∠ADC=∠BDF.∠ADC+∠CAD=∠CBE+∠BDF=90 DC.(2)过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点 ·∠CAD 'CBE.∴，△ACD2△BCE(ASA) CD-CE. F.:AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF,∠DEB ,△CDE是等腰直角三角形.(2)按要求洲出图形如图 ∠DFC=90.DB=DC.,.Rt△DEBE≌Rt△DFC(HL). ,∠ABD= ∠DCF,∠DCF+∠ACD=180°，.∠ABD ∠ACD=180 第2课时三角形三个内角的平分线 1.C2.B3.A +.解：“Samn=2AB·DE=立X8DE=8,DE=2.FAD平分 2 3 ∠BAC,DELAB,.DFLAC,DE=DF=2,,S=ZAC·DF (3)结论成立，证明：，∠ACB=90',AF⊥BE,∠FDB+∠FBD -90,∠EBC+∠BEC=90. AeBC在人6BEB ∠FDB =2×6×2=6, 5.C I∠ADC=∠BEC 6.解：图略，分别作三角形绿地两个角的平分线交于点P,点P即为所 ∠ACD=∠BE..△ACD≌△BE.,CD=CE..△CDE是 R AC-BC. 7.D8.D9.10 等腰直角三角形， I0.证明：：PD⊥AC,PE⊥AB,PF⊥BC,PD=PE=PF,P是 3线段的垂直平分线 △ABC角平分线的交点.，CP平分∠ACB,BP平分∠AB 第1课时线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 ·∠PCB=∠ACB,∠PBC=∠ABC.六∠BPC=180 1,D2.D3.C4.80°5.126.A7.线段AB 8.解：：AB-AD,.∠ABD一∠ADB,且点A在线段BD的垂直平 ∠PCB-∠PBC=180°- Z(∠ACB+∠ABC)-180- (1800 分线上，，∠ABC=∠ADC,∠ABC ∠ABD ∠ADB,即∠CBD一∠CDB..CB-CD..点C在线段BD的垂直 -∠BAC)=90°+∠BAC 平分线上，∴直线AC是对角线D的垂直平分线. IL.解：I)证明：过点E作EGLAD于点G:EHLBC于点H.:EF 9.20或7010.A11.C12.11613. ⊥AB.∠AEF=50°，∴∠FAE=90 -50°=40.，∠BAD=100 ∴.∠CAD=180-100°-40°=40，，.∠FAE=∠CAD=40°，即 14.解：(I)∠BAC=50.AD平分∠BAC.∠EAD= T∠BAC= CA为∠DAF的平分线.义EF⊥AB.EGLAD,EF=EC 'BE是∠ABC的平分线，，EF=EH..EG=EH..点E在 25.DE⊥AB,.∠AED=00°..∠EDA=90°-25=65 ∠ADC的平分线上.∴.DE平分∠ADC.(2)设EG=x,由(1)得 (2)1证明：DEAB.∠ACB=90°，，.∠AED=∠ACB=90 AD平分∠BAC..∠DAE=∠DAC :AD=AD,△AEE EF=EH=E=工Sm=20,AD=1.CD=122AD·EBG ☑△ACD(AAS),,AE=AC.DE=DC,.直线AD是线段CE的 垂直平分线 +号CD·EH-20,即2红+6x=20,解得上-2.5.∴EF-上 15.解：(1)证明：连接AE.AD⊥BC,D为BE的中点，∴AD重直平 分BE,AB=AE.EF垂直平分AC,AE=CE,,AB=CE (2)AE-CE,∠CAE 2.5.Sam-之AB:EF=号×7x2.5=5 32. AEB=AEBE6BAC8∠AE4」 微专题4 1.2:3142.203.3 16.A【变式】10 42 ,s八下·参考答蜜