第1章 3 线段的垂直平分线(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(北师大版）

三角形的证明 第一章 自主导学 典例精析 例题 如图， 在 △ABC 中， AB=AC ， ∠A=120° ， BC=6 cm ， AB 的垂直平分线交 BC 于点 M ， 交 AB 于点 E ， AC 的垂直平分线交 BC 于 点 N ， 交 AC 于点 F ， 求 MN 的长 . 【分析】 首先连接 AM ， AN ， 由 ME 是 AB 的垂直平分线， NF 是 AC 的垂直平分线， 可得 AM=BM ， AN=CN. 在 △ABC 中， AB=AC ， ∠BAC=120° ， 易证得 △AMN 是等边三角形， 进而可得 BM=MN=CN. 【解答】 如图， 连接 AM ， AN. ∵EM 是 AB 的垂直平分线， NF 是 AC 的垂直平分线， ∴AM=BM ， AN=CN ， ∴∠BAM=∠B ， ∠CAN=∠C. ∵AB=AC ， ∠BAC=120° ， ∴∠B=∠C=30°. ∴∠AMN=∠ANM=60° ， ∴△AMN 是等边三角形 . ∴AM=MN=AN ， ∴BM=MN=CN. ∵BC=6 cm ， ∴MN=2 cm． 【点拨】 此题考查了线段垂直平分线的性质、 等边三角形的判定与性质以及等腰三角形 的性质 ． 解这类垂直平分线问题时， 基本解题策略是利用垂直平分线的性质构造等腰三角形， 转化为等腰三角形来解决问题 ． 连接 AM 和 AN 构造等腰 △ABM 和 △CAN 是解决本题的关键 . 基础巩固 达标闯关 1. 如图， 在 △ABC 中， AB=10 cm ， BC 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D ， 若 AD=DB ， 则 CD= . 2. 如图， 在 △ABC 中， AC 的垂直平分线交 BC 于点 D ， 垂足为点 E ， △ABD 的周长为 12 cm ， AC=5 cm ， 则 △ABC 的周长为 . 3. 如图， 在 △ABC 中， ∠C=90° ， AB 的垂直平分线交 BC 于点 D ， 垂足为点 E ， ∠CAD= 2∠B ， 则 ∠B= . 4. 如图， 已知边长为 2 的等边三角形 ABC 中， 分别以点 A ， C 为圆心， m 为半径作弧， 两弧交于点 D ， 连接 BD． 若 BD 的长为 2 3 姨 ， 则 m 的值为 ． A B E F C N M D 例题答图 A B E F C N M 例题图 A B D E C A B D E C A B D E C 第 2 题图第 1 题图 第 3 题图 3 线段的垂直平分线 （第 1课时） 第 4 题图 A B C 23 八年级下册 （北师大版）数学 5. 如图， 已知点 O 是 △ABC 的两边 AB 和 AC 的垂直平分线 OD ， OE 的 交点， 且 ∠A=50° ， 则 ∠BOC 的度数为 （ ） A. 100° B. 110° C. 120° D. 125° 6. 在 △ABC 中， AB=AC ， 边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D ， △ABC 和 △DBC 的周长分 别为 60 cm 和 38 cm ， 则 △ABC 的腰和底边长分别为 （ ） A. 24 cm 和 12 cm B. 16 cm 和 22 cm C. 20 cm 和 16 cm D. 22 cm 和 16 cm 7. 如图， 在 △ABC 中， AD 是 ∠BAC 的平分线， FE 垂直平分 AD ， 交 AD 于点 E ， 交 BC 的延长线于点 F ， 连接 AF. 求证： ∠B=∠CAF. 8. 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， D 为 AB 上一点， BD=BC ， 过点 D 作 AB 的垂 线， 交 AC 于点 E ， CD 交 BE 于点 F. 求证： BE 垂直平分 CD. 能力提升 综合拓展 9. 如图， AB⊥BC ， CD⊥BC ， ∠AMB=75° ， ∠DMC=45° ， AM=MD. 求证： AB=BC. M A B D C 第 9 题图 A B D F E C 第 7 题图 第 8 题图 A B D F E C 第 5 题图 O A B D E C 24 三角形的证明 第一章 10. 如图， 在 △ABC 中， AB=AC ， AD 为 BC 边上的中线， E 是 BC 边上的一点， 过点 E 作 EM∥AD ， 交 BA 的延长线于点 M ， 交 AC 于点 N. 求证： 点 A 在 MN 的垂直平分线上 . * 11. 在 △ABC 中， AB=AC ， AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ， 交 BC 所在的直线于点 M. （ 1 ） 如图， 当 ∠A=50° ， 求 ∠DMB 的度数 . （ 2 ） 当 ∠A=80° ， 其他条件不变时， 画出图形， 再求 ∠DMB 的度数 . （ 3 ） 如果设 ∠A=α （ 0°＜α＜90° ）， 说说你发现的规律并证明你的结论 . （ 4 ） 当 ∠A=α （ 90°＜α＜180° ）， 你发现的规律是否还成立？ 如果成立， 请你用文字概括这 一规律； 如果不成立， 请说明理由 . 中考链接 真题演练 12． （ 2024 ·镇江） 如图， △ABC 的边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D ， 连接 BD． 若 AC= 8 ， CD=5 ， 则 BD= ． 13. （ 2024 ·凉山州） 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， DE 垂直平分 AB 交 BC 于点 D ， 若 △ACD 的周长为 50 cm ， 则 AC+BC= （ ） A． 25 cm B． 45 cm C． 50 cm D． 55 cm M A B D C 第 11 题图 M N A B D E C 第 10 题图 第 13 题图第 12 题图 A B C D A B C D E 25 参 考 答 案 ∴∠EAF=∠FAC．∵∠FAD=∠FAC+∠DAC= 1 2 ∠EAC+ 1 2 ∠BAC= 1 2 ×180°=90° ， ∴△ADF 是直角三角形 ． ∵AB=AC ， ∴∠B=∠ACB． ∵∠EAC=2∠EAF=∠B+ ∠ACB ， ∴∠EAF =∠B. ∴AF∥BC. ∴∠AFD = ∠FDC． ∵DF 平 分 ∠ADC ， ∴∠ADF =∠FDC = ∠AFD. ∴AD=AF ， 即直角三角形 ADF 是等腰直 角三角形 ． * 10. （ 1 ） 证 明 ： 如 图 1 ， 连 接 AD. ∵ ∠BAC=90° ， AB=AC ， ∴∠B=∠C=45°. 又 ∵BD= DC ， ∴∠BAD=∠CAD=45° ， AD⊥BD. ∴∠B=∠DAF=45° ， ∠BDE+∠ADE=90° ， AD=BD. 又 ∵∠EDF=90° ， ∴∠ADF+ ∠ADE=90°. ∴∠ADF=∠BDE. ∴△ADF≌△BDE. ∴AF=BE. ∴AE=FC. 在 Rt△AEF 中， ∵EF 2 =AE 2 +AF 2 ， ∴EF 2 =FC 2 +BE 2 . （ 2 ） 成立 . 证明 ： 如图 2 ， 延长 FD 至点 M ， 使 DM=DF ， 连接 BM ， EM ， 易证 △DFC≌△DMB ， ∴BM=CF ， ∠DBM=∠C. ∴BM∥AC. ∴∠ABM=∠BAC=90°. ∵DE⊥DF ， DM=DF ， ED=ED ， ∴△MED≌△FED ， ∴ME=EF. 在 Rt△BEM 中， BE 2 +BM 2 = EM 2 ， ∴BE 2 +FC 2 =EF 2 . 11. D 12. C 2 直角三角形 （第 2 课时） 1. AB∥DC 或 BP=DP 或 AB=CD 或 ∠A=∠C 或 ∠B=∠D 2. 12 3. 7 4. B 5. D 6. C 7. B 8. 证明： ∵DE⊥AB ， DF⊥BC ， ∴∠AED=∠CFD=90°. ∵D 为 AC 的中点， ∴AD=DC. 在 Rt△ADE 和 Rt△CDF 中， AD=CD ， DE=DF ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF. ∴∠A=∠C. ∴BA=BC. ∵AB=AC ， ∴AB=BC=AC. ∴△ABC 是等边三角形 . 9. （ 1 ） 证明 ： ∵BD⊥DE ， CE⊥DE ， ∴∠ADB=∠AEC=90° . 在 Rt△ABD 和 Rt△CAE 中 ， ∵ AB＝CA ， AD＝CE ， ∴Rt△ABD≌Rt△CAE. ∴∠BAD=∠ECA. ∵∠CAE+∠ECA=90° ， ∴∠BAD+∠CAE=90°. ∴∠BAC=180°－ （ ∠BAD+∠CAE ） = 90°. ∴AB⊥AC. （ 2 ） AB⊥AC. 证明： 同 （ 1 ） 一样可证得 Rt△ABD≌Rt△CAE ， ∴∠BAD=∠ECA. ∵∠CAE+∠ECA= 90° ， ∴∠CAE+∠BAD=90°. 即 ∠BAC=90° ， ∴AB⊥AC. * 10. （ 1 ） 证明： ∵OM 是 ∠AOB 的平分线， ∠AOB=90° ， ∴∠DOC=∠EOC=45°. ∵CD⊥OD ， CE⊥OE ， ∴∠ODC=∠OEC= 90°. ∴OD=CD ， OE=CE. 又 ∵OC=OC ， ∴△ODC≌△OEC. ∴OD=DC=OE=CE. 由勾股定理， 得 OC 2 =OD 2 +DC 2 ， 即 OD= 2 姨 2 OC ， ∴OD+OE= 2 姨 OC. （ 2 ） 正文图 2 的结论与 （ 1 ） 相同 . 证明： 过点 C 分别作 OA ， OB 的垂线 ， 垂足分别为 P ， Q ， 则由 （ 1 ） 知 OP=CP=CQ=OQ ， 易证 Rt△PDC≌ Rt△QEC ， ∴QE=PD. ∵OP=OD+DP ， OQ=OE－EQ ， 由 （ 1 ） 知 OP+ OQ= 2 姨 OC ， ∴OD+DP+OE－EQ= 2 姨 OC ， 即 OD+OE= 2 姨 OC. 正文图 3 的结论是 OE－OD= 2 姨 OC. 11. 2 26 姨 提示 ： 在 AD 上截取 AE=BD ， 连接 EC ， 易证 △ACE≌△BCD ， ∴AD=10 ， AB= AD 2 +BD 2 姨 . 12. 3×2 2n-3 13. 如图， △ABC 为所作 . 3 线段的垂直平分线 （第 1 课时） 1. 5 cm 2. 17 cm 3. 22.5° 4. 2 或 2 7 姨 5. A 6. D 7. 证明： ∵FE 垂直平分 AD ， ∴FA=FD. ∴∠ADF=∠DAF. ∵AD 是 ∠BAC 的平分线， ∴∠CAD=∠BAD. 又 ∵∠ADF= ∠B+∠BAD ， ∠FAD=∠CAF+∠CAD ， ∴∠B=∠CAF. 8. 证明 ： ∵∠ACB=90° ， ED⊥AB ， ∴∠EDB=∠ECB=90° . ∵BD=BC ， BE=BE ， ∴Rt△BEC≌Rt△BED. ∴DE=CE. 又 ∵BD=BC ， ∴BE 垂直平分 CD. 9. 证明： 连接 AC. ∵∠AMB=75° ， ∠DMC=45° ， ∴∠AMD=180°－∠AMB－∠DMC=60°. 又 ∵AM=DM ， ∴△AMD 是等边 三角形 . ∴AM=AD. ∵CD⊥BC ， ∠DMC=45° ， ∴∠MDC=45°. ∴MC=DC. ∴AC 是 MD 的垂直平分线 . ∴∠ACD=∠ACB=45°. ∵AB⊥BC ， ∴∠BAC=45°. ∴AB=BC. 10. 证明： ∵AB=AC ， AD 为 BC 边上的中线， ∴∠B=∠C ， ∠ADC=90°. ∵EM∥AD ， ∴∠CEN=∠ADB=90°. ∴∠B+∠M= 90° ， ∠C+∠ENC=90°. ∴∠M=∠ENC. 又 ∵∠ENC=∠ANM ， ∴∠M=∠ANM. ∴AM=AN. ∴ 点 A 在 MN 的垂直平分线上 . * 11. 解： （ 1 ） ∵AB=AC ， ∠A=50° ， ∴∠B=∠ACB=65°. ∵DM 是 AB 的垂直平分线， ∴∠BDM=90°. ∴∠DMB=25°. （ 2 ） 图形略 . 此时 M 点在 BC 边上 . 同 （ 1 ） 方法可得 ∠DMB=40°. （ 3 ） ∠DMB 的度数等于顶角度数的一半， 即 ∠DMB= 1 2 α. 证明： ∵AB=AC ， ∠A=α ， ∴∠B= 1 2 （ 180°－∠A ） =90°－ 1 2 α. 又 ∵∠DMB+∠B=90° ， ∴∠DMB= 1 2 α. （ 4 ） 成立 . 等腰 三角形一腰的垂直平分线与底边所在直线相交所夹的角 （锐角） 等于顶角度数的一半 . 12. 3 13. C 3 线段的垂直平分线 （第 2 课时） 1. A 2. D 3. B 4. C 5. 提示： 分别过点 A ， B ， C 作 BC ， AC ， AB 的垂线， 垂足分别为 D ， E ， F ， 则 AD ， BE ， CF 即为所求 . 作图略 . 6. 解： （ 1 ） 如图， △ABC 即为所求 . （ 2 ） 这样的直线不唯一 . ① 作线段 OB 的垂直平分线 AC. ② 作长方形 OA′BC′ 、 直线 A′C′ ， 则 直线 AC 和直线 A′C′ 即为所求的直线 . 设 A （ m ， 0 ）， C （ 0 ， n ）， 由勾股 定理， 得 AB 2 =AA′ 2 +A′B 2 ， BC 2 =BC′ 2 +CC′ 2 ， 即 m 2 = （ 6-m ） 2 +4 2 ， n 2 = （ n- 4 ） 2 +6 2 . 解得 m= 13 3 ， n= 13 2 ， ∴A 13 3 ， ， ( 0 ， C 0 ， 13 2 ， 2 ， 易得直线 AC 的函数表达式为 y=- 3 2 x+ 13 2 ， 则点 A′ （ 6 ， 0 ）， C′ （ 0 ， 4 ）， 易得直线 A′C′ 的函数表达式为 y=- 2 3 x+4. 7. D 8. 如图， △ABC 即为所求 . 第 9 题答图 B C A D E M F N G H 第 10 题答图 图 1 图 2 A B D F E C M A B D F E C A B C l m n 第 13 题答图 第 6 题答图 O x y B A′ A C′ C 第 8 题答图 l A B M N C D 181